Regular Quaternion Equations of the Spatial Hill Problem in Kustaanheimo–Stiefel Variables and Quaternion Osculating Elements

Texto integral

1. Введение. В основе небесной механики и астродинамики (механики космического полета) лежат ньютоновские дифференциальные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел и возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел в декартовых (прямоугольных) координатах [1–4]. Ньютоновские уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел вырождаются при соударении второго (изучаемого) тела с первым (центральным) телом (при равенстве нулю расстояния между телами), что делает использование этих уравнений неудобным при изучении движения второго тела в малой окрестности центрального тела или его движения по сильно вытянутым орбитам. Сингулярность в начале координат создает в задаче двух тел в этих случаях не только теоретические, но и практические (вычислительные) трудности. Ньютоновские уравнения возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел вырождаются при соударении изучаемого тела (тела с пренебрежимо малой массой) с одним из двух других тел, имеющих конечные массы, что делает использование этих уравнений неудобным при изучении движения тела с малой массой в окрестности первого или второго гравитирующего тела и также создает не только теоретические, но и вычислительные трудности в ограниченной задаче трех тел в этих случаях.

Устранение особенностей типа сингулярности (деления на ноль) классических (ньютоновских) уравнений небесной механики и астродинамики, порождаемых силами гравитации, получило название “регуляризация” (Леви-Чивита), а уравнения, не имеющие этих особенностей, называются регулярными.

Проблема регуляризации уравнений задачи двух тел, восходит к Эйлеру и Леви-Чивита, которые дали решения одномерной и двумерной задачам о соударении двух тел (в случаях прямолинейного и плоского движений). Наиболее эффективная регуляризация дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел (спинорная или матричная, или каноническая KS-регуляризация) была предложена Кустаанхеймо и Штифелем. Она представляет собой обобщение регуляризации Леви-Чивита уравнений плоского движения и наиболее полно изложена в широко цитируемой монографии [5].

Отметим основные хорошо известные достоинства уравнений Кустаанхеймо–Штифеля. Они, в отличие от ньютоновских уравнений:

− регулярны в центре притяжения;

− линейны для невозмущенных кеплеровских движений (для эллиптического кеплеровского движения, когда полная энергия в задаче Кеплера постоянна и меньше нуля эти уравнения в KS-переменных эквивалентны уравнениям движения четырехмерного одночастотного гармонического осциллятора в новом времени (квадрат частоты этого осциллятора равен половине этой полной энергии, взятой со знаком минус));

− позволяют выработать единый подход к изучению всех трех типов кеплеровского движения;

− близки к линейным уравнениям для возмущенных кеплеровских движений;

− позволяют представить правые части дифференциальных уравнений движения небесных и космических тел в полиномиальной форме, удобной для их решения с помощью ЭВМ.

Эти обстоятельства позволили разработать эффективные методы нахождения решений в аналитической или численной форме таких трудных для классических методов задач как исследование движения вблизи притягивающих масс или движения по орбитам с большими эксцентриситетами. Так, во многих работах, например, в [5–11], показано, что использование регулярных уравнений в KS-переменных позволяет повысить точность численного решения ряда задач небесной механики и астродинамики от двух до семи порядков по сравнению с решениями, полученными при использовании ньютоновских уравнений. Это во многом связано со структурой регулярных уравнений и их замечательными свойствами линейности для невозмущенных кеплеровских движений.

Исследование возмущенного кеплеровского движения проводится в книге [5] не только с использованием регулярных уравнений в осцилляторной форме (с использованием в качестве переменных четырехмерных специальных квадратных матриц (KS-матриц, введенных Штифелем)) и методов теории колебаний, но также с использованием регулярных уравнений в канонической форме, для чего ими разработана теория канонического KS-преобразования. Такой канонический подход к проблеме регуляризации, использующий KS-преобразование, развит в работах [12–14] и широко используется в настоящее время.

Среди методов регуляризации и регулярных моделей небесной механики и астродинамики в последнее время широкое распространение получили кватернионные методы и модели, основанные на использовании четырехмерных гиперкомплексных переменных – кватернионов Гамильтона, компонентами (элементами) которых являются четырехмерные KS-переменные [5]. Эти методы и модели имеют ряд преимуществ аналитического и вычислительного характера перед другими методами и моделями.

В работах автора статьи [15, 16] показано, что кватернионный подход к регуляризации позволяет:

– дать прямой и наглядный вывод регулярных уравнений в KS-переменных (что ставилось Штифелем и Шейфеле под сомнение [5] из-за неоднозначности KS-преобразования),

– дать наглядные геометрическую и кинематическую интерпретации регуляризующему KS преобразованию,

– раскрыть геометрический смысл его неоднозначности,

– получить более общие регулярные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел, частным случаем которых являются регулярные уравнения Кустаанхеймо–Штифеля,

– использовать при решении проблем регуляризации удобный аппарат кватернионов, имеющий наглядность векторного исчисления.

Изучению различных аспектов кватернионной регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел с использованием четырехмерных KS-переменных посвящены многие работы зарубежных авторов, а также работы автора статьи. Среди зарубежных работ отметим статьи Вальдфогеля [17, 18], который утверждает [18], что “кватернионы для регуляризации небесной механики – верный (правильный) путь” и что кватернионы “являются идеальным инструментом для описания и разработки теории пространственной регуляризации в небесной механике”.

Обзоры работ, посвященных кватернионной регуляризации уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, с различной степенью детализации даны в статьях [19–21].

KS-переменные и кватернионы были эффективно использованы также для регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи трех тел (в неограниченном и ограниченном вариантах) [22–26]. История регуляризации задачи трех тел начинается со знаменитых работ Пуанкаре и Зундмана. В работах [22, 23] с использованием канонического формализма Гамильтона и двух KS-преобразований предложена регуляризация уравнений возмущенной пространственной неограниченной задачи трех тел. Приведенная в этих работах восьмимерная регуляризация общей задачи трех тел, основанная на двойной KS-регуляризации, обладает следующими свойствами: 1) уравнения движения являются регулярными при столкновении двух тел; 2) уравнения движения хорошо решаются для случаев, близких к тройным столкновениям.

В книге [6] двойное KS-преобразование предлагается использовать для построения канонических уравнений возмущенной ограниченной задачи трех тел (со ссылкой на регуляризующие алгоритмы, полученные Арсезом, Заре и Хегги). В работах автора статьи [24–26] разработан кватернионный метод регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел, методологически тесно связанный с кватернионным методом регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел в KS-переменных, предложенным ранее [15, 16].

Отметим, что неограниченная и ограниченная задачи трех тел имеют существенное различие. Если в невозмущенной неограниченной задаче трех тел существует интеграл энергии, то в невозмущенной ограниченной задаче трех тел такого интеграла не существует. Это затрудняет построение регулярных уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел. (Более того, по словам Арсеза и Заре, предложенный в их работе [22] новый метод регуляризации неограниченной задачи трех тел, использующий в качестве одной из дополнительных переменных энергию системы, нельзя использовать для изучения задачи трех тел, в которой одна из частиц не имеет массы, т. е. для изучения ограниченной задачи трех тел.)

В предложенной нами в работах [24–26] кватернионной регуляризации уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел в качестве дополнительной переменной вместо обычно используемой энергии системы использована (в силу выше указанной причины) переменная, являющаяся интегралом Якоби в невозмущенной пространственной ограниченной круговой задаче трех тел (точнее, являющаяся константой движения Якоби в этой задаче). Такой подход используется нами и в настоящей работе при построении регулярных кватернионных уравнений плоской и пространственной задач Хилла.

В работе [12] развивается теория преобразований гамильтоновых систем уравнений, рассматривается проблема канонического увеличения размерности этих систем. Результаты общей теории иллюстрируются выводом основных соотношений в случае регуляризующего KS-преобразования. Говорится, что общий подход упрощает доказательства и делает более естественными некоторые утверждения, сформулированные для KS-преобразования. В другой работе [13] предложен метод построения пространственных периодических орбит в задаче Хилла с использованием четырехмерных KS-переменных. Метод выявления и построения орбит систематическим путем и исследование их устойчивости опирается [14] на вычислительную процедуру. Уравнения задачи Хилла записываются в KS-переменных в канонической (Гамильтоновой) форме. Отмечается [13], что “KS-переменные существенно используются при вычислениях в анализе. Они позволяют обойти ряд численных и аналитических трудностей, возникающих при рассмотрении орбит, близких к орбите $B_0$, которая всегда проходит через особую точку $\left|x\right|=0$ (тело меньшей массы), и сокращают затраты времени ЭВМ на численное интегрирование). … Характер поведения орбит семейства ${Ë}_0$, близких к $B_0$ в окрестности особой точки $\left|x\right|=0$ представляет самостоятельный интерес. Эта задача анализируется в разделе 13”.

Автором настоящей статьи предлагаются новые регулярные кватернионные дифференциальные уравнения пространственной задачи Хилла в четырехмерных KS-переменных, из которых вытекают, как частные, приводимые в статье регулярные кватернионные дифференциальные уравнения плоской задачи Хилла в двухмерных переменных Леви-Чивита. Предложены три новые формы регулярных уравнений пространственной задачи Хилла в кватернионных оскулирующих элементах (медленно изменяющихся кватернионных переменных).

2. Уравнения пространственной задачи Хилла в прямоугольных координатах. Задача Хилла [1–4] – это вариант ограниченной эллиптической задачи трех тел, рассматриваемых как материальные точки $M_0$, $M_1$ и $M_2$, получаемый из нее, если Солнце (точка $M_0$) удаляется на большое расстояние таким образом, чтобы оставалось справедливым соотношение (по третьему закону Кеплера [3])

$n_0^2{a}_0^3=f\left(m_0+m_1\right),$

где $a_0$ – большая полуось орбиты Солнца, $n_0$ – среднее движение Солнца, $m_0$ и $m_1$ – массы точек $M_0$ и M₁ (Солнца и Земли), f – гравитационная постоянная; масса точки $M_2=M$ (например, Луны или астероида, космического аппарата), движение которой изучается, считается пренебрежимо малой в сравнении с массами точек $M_0$ и $M_1$.

Отметим, что неравномерностью движения Солнца пренебрегается.

В планетоцентрической прямоугольной вращающейся системе координат $M_{1}xyz$, ось $M_{1}x$ которой проходит через Солнце $M_0$, уравнения пространственного движения изучаемой точки M имеют вид [1]

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2n_0\frac{dy}{dt}+f{m}_1\frac{x}{r^3}-3n_0^{2}x=\frac{\partial \Omega }{\partial x}$

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2n_0\frac{dx}{dt}+f{m}_1\frac{y}{r^3}=\frac{\partial \Omega }{\partial y}$ (2.1)

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+f{m}_1\frac{z}{r^3}+n_0^{2}z=\frac{\partial \Omega }{\partial z}$,

где

$\begin{array}{l}\Omega =\frac{1}{2}{n}_0^2\left[3\frac{a_0^3}{r_1^3}{x}^2-3x^2+r^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)\right],r^2=x^2+y^2+z^2\\ \frac{\partial \Omega }{\partial x}=-2n_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)x,\frac{\partial \Omega }{\partial y}=n_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)y,\frac{\partial \Omega }{\partial z}=n_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)z,\end{array}$ (2.2)

x, y и z – планетоцентрические координаты изучаемой точки, r – планетоцентрическое расстояние этой точки, $r_1$ – планетоцентрическое расстояние Солнца $M_0$.

В рамках круговой пространственной ограниченной задачи трех тел функция $\Omega =0$ и уравнения (2.1) задачи Хилла принимают вид (2.3) [1, 2]:

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2n_0\frac{dy}{dt}+f{m}_1\frac{x}{r^3}-3n_0^{2}x=0$

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2n_0\frac{dx}{dt}+f{m}_1\frac{y}{r^3}=0$ (2.3)

$\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+f{m}_1\frac{z}{r^3}+n_0^{2}z=0$

Уравнения (2.3) имеют интеграл Якоби [1, 2]

${\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2-2\frac{f{m}_1}{r}-3n_0^2{x}^2+n_0^2{z}^2=2H$, (2.4)

где H – произвольная постоянная интегрирования.

Уравнения плоского движения изучаемой точки  имеют вид [1, 2]

$\begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2n_0\frac{dy}{dt}+f{m}_1\frac{x}{r^3}-3n_0^{2}x=\frac{\partial \Omega }{\partial x},\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2n_0\frac{dx}{dt}+f{m}_1\frac{y}{r^3}=\frac{\partial \Omega }{\partial y}\\ \frac{\partial \Omega }{\partial x}=-2n_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)x,\frac{\partial \Omega }{\partial y}=n_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)y;r^2=x^2+y^2\end{array}$ (2.5)

Классические дифференциальные уравнения Хилла [2] являются частным случаем уравнений (2.1), получаются из них при $\Omega =0$ и $z=0$ и имеют вид системы двух дифференциальных уравнений (2.6):

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2n_0\frac{dy}{dt}+f{m}_1\frac{x}{r^3}-3n_0^{2}x=\mathrm{0,}\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2n_0\frac{dx}{dt}+f{m}_1\frac{y}{r^3}=0$ (2.6)

Эти уравнения положены Хиллом в основу построенной им теории движения Луны [2].

В справочнике по небесной механике и астродинамике [1, Гл. 10] излагается теория движения Луны. Говорится (с. 443) что “Наиболее совершенной с практической точки зрения явилась теория Хилла … Работы Хилла … послужили основой для полной теории движения Луны, которая была построена в 1904–1909 гг. Брауном … С 1960 г. эфемерида Луны для астронамических ежегодников вычисляется непосредственно по тригонометрическим рядам Брауна без помощи его таблиц … Теория Хилла–Брауна с учетом внесенных в нее поправок наиболее полно учитывает в пределах точности, принятой при вычислениях, гравитационные эффекты в движении Луны. В этой главе мы изложим результаты теории Делоне и теории Хилла–Брауна”.

Если теория Хилла строится на основе уравнений (2.6), то теория Хилла–Брауна строится на основе уравнений, имеющих вид уравнений (2.1), (2.2).

Отметим, что классические уравнения Хилла (2.6) являются предметом многих исследований, например, работы [27, 28]. Также отметим, что рассматриваемые в статье исходные уравнения (2.1), (2.2), называемые в справочнике [1] и в книге [2] уравнениями задачи Хилла, находят многие приложения к конкретным задачам теории движения естественных и искусственных небесных тел (в частности, для построения пространственных периодических орбит [13, 14]).

Уравнения (2.1) движения изучаемой точки M необходимо дополнить уравнением орбиты Земли в полярных координатах $r_E$ и $\vartheta$ в инерциальной системе координат с началом в центре масс Солнца, имеющим вид (2.7):

$r_E=r_1=\frac{\left(c^2\text{}/\text{}\mu \right)}{1+\left(f\text{}/\text{}\mu \right)\cos \vartheta }=\frac{p_E}{1+e_E\cos \vartheta }$ (2.7)

Это уравнение описывает изменение величины $r_1$ (планетоцентрического расстояния Солнца $M_0$, равного расстоянию $r_E$ Земли от Солнца). В нем $\mu =f\left(m_0+m_1\right)$ – гравитационный параметр, c – константа площадей; $\vartheta$ – истинная аномалия, характеризующая положение Земли на орбите; $p_E=c^2\text{}/\text{}\mu$ и $e_E=f\text{}/\text{}\mu$ – фокальный параметр и эксцентриситет орбиты Земли.

Уравнение орбиты (2.7) дополняется полярной формой интеграла площадей, записываемой нами в форме дифференциального уравнения (2.8):

$\frac{d\vartheta }{dt}=\frac{c}{r_E^2}$ (2.8)

3. Регулярные кватернионные уравнения задачи Хилла в KS-переменных и переменных Леви-Чивита

3.1. Регулярные кватернионные уравнения пространственной задачи Хилла в KS-переменных, построенные с использованием энергии изучаемой точки. Уравнения задачи Хилла (2.1) и (2.2) могут быть записаны в виде дифференциальных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел, правые части которых содержат слагаемые (“возмущения”), пропорциональные малой величине $n_0$ (среднему движению Солнца) или $n_0^2$. Поэтому регулярные кватернионные уравнения пространственной задачи Хилла, описываемой в декартовых координатах уравнениями (2.1) и (2.2), в четырехмерных KS-переменных $u_j$ ($j=\overline{\mathrm{0,3}}$) [5] имеют вид регулярных кватернионных уравнений возмущенной пространственной задачи двух тел (3.1)–(3.3), полученных автором статьи [16]:

$\frac{d^{2}u}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}hu=f=\frac{1}{2}rq,q=-i\circ u\circ p$ (3.1)

$\frac{dh}{d\tau }=2scal\left(\frac{d\overline{u}}{d\tau }\circ q\right)=2\left(q_0\frac{d{u}_0}{d\tau }+q_1\frac{d{u}_1}{d\tau }+q_2\frac{d{u}_2}{d\tau }+q_3\frac{d{u}_3}{d\tau }\right)$ (3.2)

$\frac{dt}{d\tau }=r=u\circ \overline{u}=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2$ (3.3)

$u=u_0+u_{1}i+u_{2}j+u_{3}k,\overline{u}=u_0-u_{1}i-u_{2}j-u_{3}k$

$f=f_0+f_{1}i+f_{2}j+f_{3}k,q=q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k,p=p_{x}i+p_{y}j+p_{z}k$,

в правых частях которых в рассматриваемом случае (задаче Хилла) фигурируют возмущения $p_x$, $p_y$ и $p_z$ (проекции вектора возмущающего ускорения p на оси вращающейся системы координат $M_{1}xyz$), определяемые в соответствии с уравнениями (2.1) и (2.2) соотношениями (3.4):

$p_x=2n_0\frac{dy}{dt}+3n_0^{2}x+\frac{\partial \Omega }{\partial x}=2n_0\frac{dy}{dt}+n_0^{2}x+2n_0^2\frac{a_0^3}{r_1^3}x$

$p_y=-2n_0\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \Omega }{\partial y}=-2n_0\frac{dx}{dt}+n_0^{2}y-n_0^2\frac{a_0^3}{r_1^3}y$ (3.4)

$p_z=-n_0^{2}z+\frac{\partial \Omega }{\partial z}=-n_0^2\frac{a_0^3}{r_1^3}z$

В этих соотношениях декартовые координаты x, y, z точки M и проекции

$v_x=dx\text{}/\text{}dt,v_y=dy\text{}/\text{}dt,v_z=dz\text{}/\text{}dt$

ее вектора относительной скорости должны быть выражены через KS-переменные $u_j$ и их производные $d{u}_j\text{}/\text{}d\tau$ с помощью соотношений (3.5) и (3.6):

$x=u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2,y=2\left(u_1{u}_2-u_0{u}_3\right),z=2\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right)$ (3.5)

$\frac{dx}{dt}=\frac{2}{r}\left(u_0\frac{d{u}_0}{d\tau }+u_1\frac{d{u}_1}{d\tau }-u_2\frac{d{u}_2}{d\tau }-u_3\frac{d{u}_3}{d\tau }\right)$

$\frac{dy}{dt}=\frac{2}{r}\left(u_1\frac{d{u}_2}{d\tau }+\frac{d{u}_1}{d\tau }{u}_2-u_0\frac{d{u}_3}{d\tau }-\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_3\right)$ (3.6)

$\frac{dz}{dt}=\frac{2}{r}\left(u_1\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{d{u}_1}{d\tau }{u}_3+u_0\frac{d{u}_2}{d\tau }+\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_2\right)$

Кватернион $q=-i\circ u\circ p$, фигурирующий в основном кватернионном уравнении (3.1), с учетом соотношений (3.4) принимает вид (3.7):

$q=-i\circ u\circ p=n_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)ru-i\circ u\circ \left[2n_0\left(\frac{dy}{dt}i-\frac{dx}{dt}j\right)+n_0^2\left(3\frac{a_0^3}{r_1^3}xi-zk\right)\right]$ (3.7)

Здесь и далее i, j, k – векторные мнимые единицы Гамильтона (орты четырехмерного гиперкомплексного пространства).

Фигурирующая в регулярном кватернионном уравнении (3.1) скалярная переменная h определяется соотношениями

$h=\frac{1}{2}{v}^2-\frac{f{m}_1}{r},v^2={\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2$ (3.8)

и удовлетворяет (в исходных переменных) дифференциальному уравнению

$\frac{dh}{dt}=p\cdot v=p_x{v}_x+p_y{v}_y+p_z{v}_z,v_x=\frac{dx}{dt},v_y=\frac{dy}{dt},v_z=\frac{dz}{dt}$, (3.9)

где v – вектор скорости относительного движения изучаемой точки M (вектор скорости точки в системе координат $M_{1}xyz$).

При $p=0$, когда $n_0=0$, переменная h является полной энергией точки M. В этом случае $h=h\left(t_0\right)=h_0=\mathrm{const}$.

С использованием KS-переменных энергия h определяется соотношением

$h=\frac{2}{r}\left[\sum _{j=0}^3{\left(\frac{d{u}_j}{d\tau }\right)}^2-f{m}_1\right];r=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2$ (3.10)

При использовании KS-переменных основное регулярное кватернионное дифференциальное уравнение (3.1) дополняется нами скалярными дифференциальными уравнениями (3.2) и (3.3) для энергии h и времени t.

Уравнения (3.1)–(3.3) также необходимо дополнить уравнениями (3.11):

$r_1=r_E=\frac{\left(c^2\text{}/\text{}\mu \right)}{1+\left(f\text{}/\text{}\mu \right)\cos \vartheta }=\frac{p_E}{1+e_E\cos \vartheta },\frac{d\vartheta }{d\tau }=\frac{cr}{r_1^2}$, (3.11)

которые описывают (в соответствии с уравнениями (2.7), (2.8) и (3.3)) изменение расстояния $r_1$, как функции истинной аномалии $\vartheta$, и изменение во “времени” $\tau$ истинной аномалии $\vartheta$.

Декартовые координаты x, y, z точки M и проекции $v_x$, $v_y$, $v_z$ ее вектора относительной скорости находятся через KS-переменных $u_j$ и их производные $d{u}_j\text{}/\text{}d\tau$ с помощью скалярных соотношений (3.5) и (3.6) или с помощью кватернионных соотношений (3.12):

$\begin{array}{l}r=xi+yj+zk=\overline{u}\circ i\circ u\text{\hspace{0.33em}}\\ v=v_{x}i+v_{y}j+v_{z}k=\frac{dr}{dt}=\frac{dx}{dt}i+\frac{dy}{dt}j+\frac{dz}{dt}k=\frac{2}{r}\overline{u}\circ i\circ \frac{du}{d\tau }\end{array}$ (3.12)

Замечание. Отметим, что регулярные кватернионные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел были получены автором статьи в работах [15, 16] в двух различных формах. В [15] эти уравнения были получены в матричной форме с использованием классических кватернионных матриц, а не KS-матриц, введенных Штифелем и Шейфеле и используемых в их теории регуляризации [5]. В [16] эти уравнения были получены в кватернионной форме с использованием кватернионов Гамильтона. Отметим также, что в работах [15, 16] автором статьи были получены более общие регулярные кватернионные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел (в сравнении с регулярными уравнениями Кустаанхеймо–Штифеля) в предположении, что не выполняется билинейное соотношение Штифеля и Шейфеле

$u_0\frac{d{u}_1}{d\tau }-u_1\frac{d{u}_0}{d\tau }-u_3\frac{d{u}_2}{d\tau }+u_2\frac{d{u}_3}{d\tau }=0$,

накладываемое на KS-переменные и их первые производные (это соотношение Штифель и Шейфеле называют основным в своей теории). В частном случае (при выполнении этого билинейного соотношения) полученные автором статьи в работе [16] общие регулярные кватернионные уравнения возмущенной пространственной задачи двух тел принимают вид уравнений (3.1)–(3.3).

Правая часть f кватернионного дифференциального уравнения (3.1) для четырехмерной переменной , определяемая соотношениями $f=(1\text{}/\text{}2)rq$ и (3.7), может быть преобразована с учетом соотношения

$\frac{dy}{dt}i-\frac{dx}{dt}j=\left(\frac{dx}{dt}i+\frac{dy}{dt}j\right)\circ k=\frac{2}{r}\overline{u}\circ i\circ \frac{du}{d\tau }\circ k+\frac{1}{r}\frac{dz}{d\tau }$

к другому, более удобному виду (3.13):

$f=\frac{1}{2}rq=2n_{0}r\frac{du}{d\tau }\circ k+\frac{1}{2}{n}_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r^{2}u-i\circ u\circ \left[n_0\frac{dz}{d\tau }+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left(3\frac{a_0^3}{r_1^3}xi-zk\right)\right]$, (3.13)

где

$\begin{array}{l}\frac{dz}{d\tau }=2\left(u_1\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{d{u}_1}{d\tau }{u}_3+u_0\frac{d{u}_2}{d\tau }+\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_2\right)\\ x=u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2,z=2\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right)\end{array}$

В регулярных кватернионных дифференциальных уравнениях (3.1)–(3.3) пространственной задачи Хилла, дополненных уравнениями (3.11) и соотношением (3.13), в качестве зависимых переменных выступают KS-переменные $u_j$ ($j=\overline{\mathrm{0,3}}$) (компоненты кватернионной переменной u) и энергия h относительного движения изучаемой точки M, а также планетоцентрическое расстояние Солнца $r_1=r_E$, реальное время t и истинная аномалия $\vartheta$. В этих уравнениях независимой переменной является “фиктивное” время $\tau$, связанное с временем t дифференциальным уравнением (3.3) (дифференциальным преобразованием времени Зундмана).

В скалярной записи регулярное кватернионное уравнение пространственной задачи Хилла (3.1), дополненное уравнениями (3.11) и соотношением (3.13), принимает вид (3.14) и (3.15):

$\frac{d^2{u}_j}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}h{u}_j=f_j;j=\overline{\mathrm{0,3}}$ (3.14)

$f_0=n_0\left(-2r\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{dz}{d\tau }{u}_1\right)+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left[\left(\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r+3\frac{a_0^3}{r_1^3}x\right)u_0-z{u}_2\right]$

$f_1=n_0\left(2r\frac{d{u}_2}{d\tau }-\frac{dz}{d\tau }{u}_0\right)+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left[\left(\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r+3\frac{a_0^3}{r_1^3}x\right)u_1-z{u}_3\right]$

$f_2=n_0\left(-2r\frac{d{u}_1}{d\tau }+\frac{dz}{d\tau }{u}_3\right)+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left[\left(\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r-3\frac{a_0^3}{r_1^3}x\right)u_2-z{u}_0\right]$ (3.15)

$f_3=n_0\left(2r\frac{d{u}_0}{d\tau }-\frac{dz}{d\tau }{u}_2\right)+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left[\left(\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r-3\frac{a_0^3}{r_1^3}x\right)u_3-z{u}_1\right]$,

где

$\begin{array}{c}r=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2,x=u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2,z=2\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right)\\ \frac{dz}{d\tau }=2\left(u_1\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{d{u}_1}{d\tau }{u}_3+u_0\frac{d{u}_2}{d\tau }+\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_2\right)\end{array}$

Дифференциальное уравнение (3.2) для энергии h с учетом соотношения (3.7) для кватерниона q может быть записано в следующем виде:

$\frac{dh}{d\tau }=\frac{1}{2}{n}_0^2\left[\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)\frac{d{r}^2}{d\tau }+3\frac{a_0^3}{r_1^3}\frac{d{x}^2}{d\tau }-\frac{d{z}^2}{d\tau }\right]$, (3.16)

где расстояние r и координаты x, y определены (как функции переменных $u_j$) выше приведенными соотношениями.

Таким образом, в скалярной записи регулярные кватернионные уравнения пространственной задачи Хилла (3.1)–(3.3), (3.11), (3.13) имеют вид дифференциальных уравнений (3.14), (3.16) и (3.3), дополненных уравнениями (3.11) и соотношениями (3.15).

В рамках круговой пространственной задачи Хилла, когда расстояние $r_1=a_0=\text{const}$, дифференциальное уравнение (3.16) для энергии h принимает более простой вид (3.17):

$\frac{dh}{d\tau }=\frac{1}{2}{n}_0^2\left(3\frac{d{x}^2}{d\tau }-\frac{d{z}^2}{d\tau }\right)$ (3.17)

Из этого уравнения следует интеграл Якоби (2.4) в форме (3.18):

$h=\frac{1}{2}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)+H;H=\text{const}$ (3.18)

В полученных регулярных дифференциальных уравнениях (3.1)–(3.4), (3.11) и (3.14)–(3.16), (3.3), (3.11) основное кватернионное уравнение (3.1) и соответствующие ему скалярные уравнения (3.14) в KS-переменных имеют вид уравнений движения четырехмерного возмущенного осциллятора, что позволяет построить (см. разд. 5) соответствующие им уравнения в медленно изменяющихся переменных (в четырехмерных кватернионных оскулирующих элементах).

3.2. Регулярные кватернионные уравнения плоской задачи Хилла в двухмерных переменных Леви-Чивита $u_0$ и $u_3$, построенные с использованием энергии h изучаемой точки. Эти уравнения (в рамках эллиптической ограниченной задачи трех тел) получаются из выше приведенных регулярных кватернионных уравнений пространственной задачи Хилла (3.1)–(3.3) и имеют вид уравнений (3.19):

$\begin{array}{c}\frac{d^2}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}h==\frac{1}{2}r\\ \frac{dh}{d\tau }=2\text{scal}\left(\frac{d}{d\tau }\circ \right)=2\left(q_0\frac{d{u}_0}{d\tau }+q_3\frac{d{u}_3}{d\tau }\right),\frac{dt}{d\tau }=r=\circ =u_0^2+u_3^2\\ r_1=r_E=\frac{\left(c^2/\mu \right)}{1+\left(f/\mu \right)\cos \vartheta }=\frac{p_E}{1+e_E\cos \vartheta },\frac{d\vartheta }{d\tau }=\frac{cr}{r_1^2},\end{array}$ (3.19)

дополненных соотношениями (3.20)–(3.23)

$u=u_0+u_{3}k,\overline{u}=u_0-u_{3}k,q=-i\circ u\circ p,p=p_{x}i+p_{y}j$ (3.20)

$\begin{array}{l}{p}_x=2n_0\frac{dy}{dt}+3n_0^{2}x+\frac{\partial \Omega }{\partial x}=2n_0\frac{dy}{dt}+n_0^{2}x+2n_0^2\frac{a_0^3}{r_1^3}x\\ p_y=-2n_0\frac{dx}{dt}+\frac{\partial \Omega }{\partial y}=-2n_0\frac{dx}{dt}+n_0^{2}y-n_0^2\frac{a_0^3}{r_1^3}y\end{array}$ (3.21)

$x=u_0^2-u_3^2,y=-2u_0{u}_3$ (3.22)

$\frac{dx}{dt}=\frac{2}{r}\left(u_0\frac{d{u}_0}{d\tau }-u_3\frac{d{u}_3}{d\tau }\right),\frac{dy}{dt}=-\frac{2}{r}\left(u_0\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_3\right)$ (3.23)

Кватернион f, стоящий в правой части первого кватернионного уравнения из системы (3.19), может быть записан в виде (3.24):

$\begin{array}{c}=\frac{1}{2}r=2n_{0}r\frac{d}{d\tau }\circ +\frac{1}{2}{n}_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r^2+\frac{3}{2}\frac{a_0^3}{r_1^3}{n}_0^{2}rx=\\ =2n_{0}r\frac{d}{d\tau }\circ +\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left\{\left[r+2\frac{a_0^3}{r_1^3}{u}_0^2-4\frac{a_0^3}{r_1^3}{u}_3^2\right]u_0+\left[r-4\frac{a_0^3}{r_1^3}{u}_0^2+2\frac{a_0^3}{r_1^3}{u}_3^2\right]u_3\right\}\end{array}$ (3.24)

Отметим, что в регулярных кватернионных уравнениях плоской задачи Хилла (3.19), дополненных соотношениями (3.20)–(3.23) или кватернионным соотношением (3.24), переменными являются переменные Леви-Чивита $u_0$ и $u_3$, являющиеся компонентами двухмерной кватернионной переменной $u=u_0+u_{3}k$, энергия h относительного движения изучаемой точки M, а также реальное время t.

В скалярной записи регулярные кватернионные уравнения плоской задачи Хилла, построенные в рамках эллиптической плоской ограниченной задачи трех тел, принимают вид уравнений (3.25):

$\begin{array}{c}\frac{d^2{u}_k}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}h{u}_k=f_k;k=\mathrm{0,3}\\ \frac{dh}{d\tau }=\frac{1}{2}{n}_0^2\left[\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)\frac{d{r}^2}{d\tau }+3\frac{a_0^3}{r_1^3}\frac{d{x}^2}{d\tau }\right],\frac{dt}{d\tau }=r=u_0^2+u_3^2\\ r_1=r_E=\frac{\left(c^2/\mu \right)}{1+\left(f/\mu \right)\cos \vartheta }=\frac{p_E}{1+e_E\cos \vartheta },\frac{d\vartheta }{d\tau }=\frac{cr}{r_1^2},\end{array}$ (3.25)

где

$\begin{array}{c}{f}_0=-2r{n}_0\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left(\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r+3\frac{a_0^3}{r_1^3}x\right)u_0\\ f_3=2r{n}_0\frac{d{u}_0}{d\tau }+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left(\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r-3\frac{a_0^3}{r_1^3}x\right)u_3\end{array}$

$x=u_0^2-u_3^2,r=u_0^2+u_3^2$

Для круговой плоской задачи Хилла расстояние $r_1=a_0$ и скалярные регулярные дифференциальные уравнения этой задачи принимают вид уравнений (3.26):

$\frac{d^2{u}_k}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}h{u}_k=f_k;k=\mathrm{0,3,}\frac{dh}{d\tau }=\frac{3}{2}{n}_0^2\frac{d{x}^2}{d\tau },\frac{dt}{d\tau }=r=u_0^2+u_3^2$ (3.26)

или вид уравнений (3.27):

$\begin{array}{l}\frac{d^2{u}_k}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}h{u}_k=f_k;k=\mathrm{0,3,}\frac{dt}{d\tau }=r=u_0^2+u_3^2\\ h=\frac{3}{2}{n}_0^2{x}^2+H;x=u_0^2-u_3^2,H=\text{const,}\end{array}$ (3.27)

где

$\begin{array}{l}{f}_0=-2r{n}_0\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{3}{2}{n}_0^{2}rx{u}_0,f_3=2r{n}_0\frac{d{u}_0}{d\tau }-\frac{3}{2}{n}_0^{2}rx{u}_3\\ x=u_0^2-u_3^2,r=u_0^2+u_3^2\end{array}$

3.3. Регулярные кватернионные уравнения пространственной задачи Хилла в KS-переменных, построенные с использованием переменной Якоби. Рассматривая пространственную задачу Хилла в общем случае (для некруговой задачи), введем вместо энергии h новую переменную H, называемую автором статьи переменной Якоби и определяемую соотношением

$H=h-\frac{1}{2}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)$ (3.28)

Эта переменная обращается для круговой задачи Хилла в соответствии с (3.18) в константу движения изучаемой точки M, фигурирующую в интеграле Якоби.

В соответствии с уравнением (3.16) и соотношением (3.28) для энергии h переменная H удовлетворяет дифференциальному уравнению

$\frac{dH}{d\tau }=\frac{1}{2}{n}_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)\left(\frac{d{r}^2}{d\tau }-3\frac{d{x}^2}{d\tau }\right)=\frac{1}{2}{n}_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)\frac{d}{d\tau }\left(r^2-3x^2\right)$

Кватернионные уравнения эллиптической пространственной задачи Хилла (3.1)–(3.3), (3.11), дополненные соотношением (3.13), с использованием новой переменной H принимают вид уравнений (3.29) и (3.30):

$\frac{d^2}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}H=$ (3.29)

$\begin{array}{l}\frac{dH}{d\tau }=\frac{1}{2}{n}_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)\frac{d}{d\tau }\left(r^2-3x^2\right),\frac{dt}{d\tau }=r=u\circ \overline{u}=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2\\ r_1=r_E=\frac{\left(c^2/\mu \right)}{1+\left(f/\mu \right)\cos \vartheta }=\frac{p_E}{1+e_E\cos \vartheta },\frac{d\vartheta }{d\tau }=\frac{cr}{r_1^2},\end{array}$ (3.30)

где

$\begin{array}{c}F=\frac{1}{4}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)u+f=\frac{1}{4}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)u+\frac{1}{2}rq=\\ =\frac{1}{4}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)u-\frac{1}{2}ri\circ u\circ p=\\ =2n_{0}r\frac{du}{d\tau }\circ k+\frac{1}{4}{n}_0^2\left[3x^2-z^2+2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r^2\right]u-\\ -n_{0}i\circ u\circ \left[\frac{dz}{d\tau }+\frac{1}{2}{n}_{0}r\left(3\frac{a_0^3}{r_1^3}xi-zk\right)\right]\end{array}$ (3.31)

$\begin{array}{l}x=u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2,z=2\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right)\\ \frac{dz}{d\tau }=2\left(u_1\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{d{u}_1}{d\tau }{u}_3+u_0\frac{d{u}_2}{d\tau }+\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_2\right)\end{array}$

В дифференциальных уравнениях (3.29)–(3.31) пространственной задачи Хилла в качестве зависимых переменных выступают KS-переменные $u_j$, $j=\overline{\mathrm{0,3}}$ и переменная Якоби H, определяемая соотношением (3.28) и обращающаяся для круговой задачи Хилла в константу движения, планетоцентрическое расстояние Солнца $r_1=r_E$, а также время t и истинная аномалия $\vartheta$. В этих уравнениях независимой переменной, по-прежнему, является “фиктивное” время $\tau$, связанное с временем t вторым из дифференциальных уравнений (3.30).

3.4. Регулярные кватернионные уравнения плоской задачи Хилла в переменных Леви-Чивита $u_0$ и $u_3$, построенные с использованием переменной Якоби. Эти уравнения получаются из регулярных кватернионных уравнений пространственной задачи Хилла (3.29)–(3.31) и имеют следующий вид:

$\begin{array}{c}\frac{d^{2}u}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}Hu=F,\frac{dH}{d\tau }=\frac{1}{2}{n}_0^2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)\frac{d}{d\tau }\left(r^2-3x^2\right)\\ \frac{dt}{d\tau }=r=u\circ \overline{u}=u_0^2+u_3^2\\ r_1=r_E=\frac{\left(c^2/\mu \right)}{1+\left(f/\mu \right)\cos \vartheta }=\frac{p_E}{1+e_E\cos \vartheta },\frac{d\vartheta }{d\tau }=\frac{cr}{r_1^2},\end{array}$ (3.32)

где

$u=u_0+u_{3}k,\overline{u}=u_0-u_{3}k$

$F=F_0+F_{3}k=2n_{0}r\frac{du}{d\tau }\circ k+\frac{1}{4}{n}_0^2\left[3x^2+2\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)r^2\right]u+\frac{3}{2}{n}_0^2\frac{a_0^3}{r_1^3}rx\overline{u}$ (3.33)

$x=u_0^2-u_3^2,y=-2u_0{u}_3,r=u\circ \overline{u}=u_0^2+u_3^2$

4. Регулярные кватернионные уравнения круговой пространственной задачи Хилла в KS-переменных. Для этой задачи проекции вектора возмущающего ускорения

$p_x=2n_0\frac{dy}{dt}+3n_0^{2}x,p_y=-2n_0\frac{dx}{dt},p_z=-n_0^{2}z$

С их учетом соотношение (3.7) для кватерниона  принимает вид (4.1):

$q=q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k=-i\circ u\circ p=-i\circ u\circ \left[2n_0\left(\frac{dy}{dt}i-\frac{dx}{dt}j\right)+n_0^2\left(3xi-zk\right)\right]$ (4.1)

При этом правая часть f кватернионного уравнения (3.1), определяемая соотношением (3.13), упрощается и принимает вид (4.2):

$f=f_0+f_{1}i+f_{2}j+f_{3}k=\frac{1}{2}rq=2n_{0}r\frac{du}{d\tau }\circ k-i\circ u\circ \left[n_0\frac{dz}{d\tau }+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left(3xi-zk\right)\right]$ (4.2)

В этом случае дифференциальное уравнение (3.16) для энергии h принимает вид (3.17), из которого, как уже отмечалось, следует интеграл Якоби (3.18).

Регулярные кватернионные уравнения пространственной задачи Хилла (3.1)–(3.3), (3.11), (3.13), в которых используется энергия точки h, для круговой задачи с учетом соотношений (4.2) и (3.18) принимают вид (4.3) и (4.4):

$\frac{d^{2}u}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}hu=f=\frac{1}{2}rq=2n_{0}r\frac{du}{d\tau }\circ k-i\circ u\circ \left[n_0\frac{dz}{d\tau }+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left(3xi-zk\right)\right]$ (4.3)

$\frac{dt}{d\tau }=r=u\circ \overline{u}=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2$, (4.4)

где

$\begin{array}{l}u=u_0+u_{1}i+u_{2}j+u_{3}k,h=\frac{1}{2}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)+H;H=const\\ x=u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2,z=2\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right)\\ \frac{dz}{d\tau }=2\left(u_1\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{d{u}_1}{d\tau }{u}_3+u_0\frac{d{u}_2}{d\tau }+\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_2\right)\end{array}$ (4.5)

В скалярной записи эти уравнения имеют вид (4.6):

$\frac{d^2{u}_j}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}h{u}_j=\frac{1}{2}r{q}_j=f_j;j=\overline{\mathrm{0,3}},\frac{dt}{d\tau }=r=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2$, (4.6)

где

$h=\frac{1}{2}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)+H;H=\text{const}$

$\begin{array}{l}{f}_0=n_0\left(-2r\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{dz}{d\tau }{u}_1\right)+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left(3x{u}_0-z{u}_2\right)\\ f_1=n_0\left(2r\frac{d{u}_2}{d\tau }-\frac{dz}{d\tau }{u}_0\right)+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left(3x{u}_1-z{u}_3\right)\\ f_2=n_0\left(-2r\frac{d{u}_1}{d\tau }+\frac{dz}{d\tau }{u}_3\right)+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left(3x{u}_2-z{u}_0\right)\\ f_3=n_0\left(2r\frac{d{u}_0}{d\tau }-\frac{dz}{d\tau }{u}_2\right)+\frac{1}{2}{n}_0^{2}r\left(3x{u}_3-z{u}_1\right)\end{array}$ (4.7)

$\begin{array}{l}x=u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2,z=2\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right)\\ \frac{dz}{d\tau }=2\left(u_1\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{d{u}_1}{d\tau }{u}_3+u_0\frac{d{u}_2}{d\tau }+\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_2\right)\end{array}$

Отметим, что правые части $f_j$ уравнений (4.6) (компоненты кватерниона f), определяемые соотношениями (4.7), могут быть представлены в виде (4.8):

$\begin{array}{l}{f}_0=a{u}_0+b{u}_3-c{u}_2,f_1=a{u}_1-b{u}_2-c{u}_3\\ f_2=a{u}_2-b{u}_1-c{u}_0,f_3=-a{u}_3+b{u}_0-c{u}_1\end{array}$

$\begin{array}{c}a=r\left(n_0\frac{dy}{dt}+\frac{3}{2}{n}_0^{2}x\right)=2n_0\left(u_1\frac{d{u}_2}{d\tau }+\frac{d{u}_1}{d\tau }{u}_2-u_0\frac{d{u}_3}{d\tau }-\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_3\right)+\\ +\frac{3}{2}{n}_0^{2}r\left(u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2\right)\end{array}$ (4.8)

$\begin{array}{l}b=n_{0}r\frac{dx}{dt}=2n_0\left(u_0\frac{d{u}_0}{d\tau }+u_1\frac{d{u}_1}{d\tau }-u_2\frac{d{u}_2}{d\tau }-u_3\frac{d{u}_3}{d\tau }\right)\\ c=\frac{1}{2}{n}_0^{2}rz=n_0^{2}r\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right)\end{array}$

Регулярные кватернионные уравнения пространственной задачи Хилла (3.30)–(3.31), в которых используется в явном виде переменная H, для круговой задачи принимают вид (4.9):

$\frac{d^{2}u}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}Hu=F,\frac{dt}{d\tau }=r=u\circ \overline{u}=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2$, (4.9)

где $H=\text{const}$ – постоянная Якоби,

$\begin{array}{c}F=\frac{1}{4}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)u+f=\\ =\frac{1}{4}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)u+2n_{0}r\frac{du}{d\tau }\circ k-n_{0}i\circ u\circ \left[\frac{dz}{d\tau }+\frac{1}{2}{n}_{0}r\left(3xi-zk\right)\right]\end{array}$ (4.10)

$\begin{array}{l}x=u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2,z=2\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right)\\ \frac{dz}{d\tau }=2\left(u_1\frac{d{u}_3}{d\tau }+\frac{d{u}_1}{d\tau }{u}_3+u_0\frac{d{u}_2}{d\tau }+\frac{d{u}_0}{d\tau }{u}_2\right)\end{array}$

В скалярной записи эти уравнения принимают вид (4.11):

$\frac{d^2{u}_j}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}H{u}_j=F_j;j=\overline{\mathrm{0,3}},\frac{dt}{d\tau }=r=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2$, (4.11)

где

$F_j=f_j+\frac{1}{4}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)u_j;x=u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2,z=2\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right)$, (4.12)

компоненты $f_j$ определяются соотношениями (4.7) или (4.8).

Умножим j-е уравнение системы (4.11) на $d{u}_j\text{}/\text{}d\tau$ и сложим левые и правые части полученных уравнений, учитывая соотношения (4.7). Интегрируя найденное соотношение, получим первый интеграл уравнений пространственной задачи Хилла в KS-переменных для круговой задачи, имеющий вид (4.13):

${\left(\frac{d{u}_0}{d\tau }\right)}^2+{\left(\frac{d{u}_1}{d\tau }\right)}^2+{\left(\frac{d{u}_2}{d\tau }\right)}^2+{\left(\frac{d{u}_3}{d\tau }\right)}^2-\frac{1}{2}r\left[\frac{1}{2}{n}_0^2\left(3x^2-z^2\right)+H\right]=c_h$, (4.13)

где $c_h$ – произвольная постоянная интегрирования,

$r=u_0^2+u_1^2+u_2^2+u_3^2,x=u_0^2+u_1^2-u_2^2-u_3^2,z=2\left(u_1{u}_3+u_0{u}_2\right);H=\text{const}$

Можно показать, что постоянная $c_h=\left(1\text{}/\text{}2\right)f{m}_1.$

Отметим, что уравнения пространственной задачи Хилла в KS-переменных в общем случае (не только для круговой задачи) имеют первый частный интеграл

$u_0\frac{d{u}_1}{d\tau }-u_1\frac{d{u}_0}{d\tau }-u_3\frac{d{u}_2}{d\tau }+u_2\frac{d{u}_3}{d\tau }=0$, (4.14)

называемый в пространственной задаче двух тел билинейным соотношением [5].

5. Регулярные уравнения пространственной задачи Хилла в кватернионных оскулирующих элементах (медленно изменяющихся кватернионных переменных)

5.1. Первая форма уравнений в кватернионных оскулирующих элементах. Полагая правую часть f кватернионного уравнения (3.1), определяемую соотношением (3.13), в котором может быть вынесен общий малый постоянный множитель $n_0$ (среднее движение Солнца), равной нулю, получаем:

$\frac{d^{2}u}{d{\tau }^2}-\frac{1}{2}hu=0;h=const$ (5.1)

Общее решение этого уравнения, имеющего вид регулярного кватернионного дифференциального уравнения невозмущенной пространственной задачи двух тел, для энергии $h<0$ имеет следующий вид:

$u=\alpha \cos \left(k\tau \right)+\beta \sin \left(k\tau \right),\frac{du}{d\tau }=k\left[-\alpha \sin \left(k\tau \right)+\beta \cos \left(k\tau \right)\right];k={\left(-\frac{1}{2}h\right)}^{1/2}$, (5.2)

где $\alpha ={\alpha }_0+{\alpha }_{1}i+{\alpha }_{2}j+{\alpha }_{3}k$ и $\beta ={\beta }_0+{\beta }_{1}i+{\beta }_{2}j+{\beta }_{3}k$ – произвольные кватернионные постоянные интегрирования.

Полагая $f\ne 0$, а энергию h переменной величиной, будем рассматривать соотношения (5.2) как формулы замены кватернионных переменных u и $du\text{}/\text{}d\tau$ на новые кватернионные переменные $\alpha$ и $\beta$ (кватернионные оскулирующие (медленно изменяющиеся) переменные).

Формулы обратного перехода от переменных $\alpha$ и $\beta$ к переменным u и $du\text{}/\text{}d\tau$ имеют вид (5.3):

$\alpha =\cos \left(k\tau \right)u-\frac{1}{k}\sin \left(k\tau \right)\frac{du}{d\tau },\beta =\sin \left(k\tau \right)u+\frac{1}{k}\cos \left(k\tau \right)\frac{du}{d\tau };k={\left(-\frac{1}{2}h\right)}^{1/2}$ (5.3)

Первая форма уравнений пространственной задачи Хилла в кватернионных оскулирующих элементах $\alpha$ и $\beta$ для $h<0$ в соответствии с уравнениями (3.1)–(3.3) и соотношениями (5.3) имеет вид уравнений (5.4)–(5.6):

$\frac{d\alpha }{d\tau }=\left[-\frac{1}{k}\sin \left(k\tau \right)\right]f,\frac{d\beta }{d\tau }=\left[\frac{1}{k}\cos \left(k\tau \right)\right]f;k={\left(-\frac{1}{2}h\right)}^{1/2}$ (5.4)

$\begin{array}{l}\frac{dh}{d\tau }=\frac{1}{2}{n}_0^2\left[\left(1-\frac{a_0^3}{r_1^3}\right)\frac{d{r}^2}{d\tau }+3\frac{a_0^3}{r_1^3}\frac{d{x}^2}{d\tau }-\frac{d{z}^2}{d\tau }\right]\\ r_1=r_E=\frac{\left(c^2\text{}/\text{}\mu \right)}{1+\left(f\text{}/\text{}\mu \right)\cos \vartheta }=\frac{p_E}{1+e_E\cos \vartheta },\frac{d\vartheta }{d\tau }=\frac{cr}{r_1^2}\end{array}$ (5.5)