Localization of natural oscillations of thin elastic gaskets

Толық мәтін

1. Постановка задачи. Тонкая пластина (рис. 1)

${\Omega }_H^h=\left\{\begin{array}{c}x=\left(y,z\right)\in {ℝ}^2\times ℝ:\\ y=\left(y_1,y_2\right)\in \omega ,z\in {\Upsilon }_H^h\left(y\right):=\left(\mathrm{0,}hH\left(y\right)\right)\end{array}\right\},$ (1.1)

изготовленная из однородного изотропного материала с постоянными Ламе $\lambda \ge \mathrm{0,}\mu >0$ и плотностью $\rho >0$, жестко защемлена вдоль оснований

$\begin{array}{c}{\Sigma }^0=\left\{x:y\in \omega ,z=x_3=0\right\}\\ {\Sigma }_H^h=\left\{x:y\in \omega ,z=hH\left(y\right)\right\},\end{array}$ (1.2)

но свободна от внешних воздействий на боковой поверхности

${\Gamma }_H^h=\left\{x=\left(x_1,x_2,x_3\right):y\in \partial \omega ,z\in {\Upsilon }_H^h\left(y\right)\right\}$ (1.3)

Рис. 1. Поперечные сечения пластин переменной (а) и постоянной толщины (б).

Сечение $\omega$ — область на плоскости ${ℝ}^2\ni y$, ограниченная простым связным замкнутым гладким (класса $C^{\infty }$; ср. разд. 8, $2^0$) контуром $\partial \omega$, $H$ — гладкая положительная профильная функция на замкнутом множестве $\overline{\omega }=\omega \cup \partial \omega$, а $h$ — малый положительный параметр. Масштабированием сведем характерный размер области $\omega$ к единице, т.е. сделаем декартову систему координат $x$ и все геометрические параметры безразмерными; кроме того, положим $\rho =1$.

Собственные колебания пластины (1.1) описываются системой дифференциальных уравнений Ламе в частных производных и краевыми условиями в смещениях и напряжениях

$\begin{array}{c}-{\sum }_{j=1}^3\frac{\partial }{\partial x_j}{\sigma }_{jk}\left(u^h;x\right)=\\ ={\Lambda }^h{u}^h\left(x\right);x\in {\Omega }_H^h,k=\mathrm{1,2,3}\end{array}$ (1.4)

$u_k^h\left(x\right)=0;x\in {\Sigma }^0\cup {\Sigma }_H^h,k=\mathrm{1,2,3}$ (1.5)

${\sum }_{j=1}^3{n}_j\left(x\right){\sigma }_{jk}\left(u^h;x\right)=0;x\in {\Gamma }_H^h,k=\mathrm{1,2,3}$ (1.6)

Здесь ${\Lambda }^h$ — спектральный параметр (квадрат частоты собственных колебаний), $u_k^h$ — декартовы компоненты вектора смещений $u^h$, т.е. моды собственных колебаний или собственной вектор-функции, а в формуле для декартовых компонент тензора напряжений фигурирует символ Кронекера ${\delta }_{j,k}$

${\sigma }_{jk}\left(u^h\right)=\mu \left(\frac{\partial u_j^h}{\partial x_k}+\frac{\partial u_k^h}{\partial x_j}\right)+\lambda {\delta }_{j,k}\left(\frac{\partial u_1^h}{\partial x_1}+\frac{\partial u_2^h}{\partial x_2}+\frac{\partial u_3^h}{\partial x_3}\right)$ (1.7)

Вариационная формулировка задачи (1.4) — (1.6) апеллирует к интегральному тождеству [1, 2]

$\begin{array}{c}\mathcal{E}\left(u^h,{\psi }^h;{\Omega }_H^h\right)={\Lambda }^h{\left(u^h,{\psi }^h\right)}_{{\Omega }_H^h}\\ {\psi }^h\in H_0^1{\left({\Omega }_H^h;{\Sigma }^0\cup {\Sigma }_H^h\right)}^3\end{array}$ (1.8)

При этом ${\left(·,·\right)}_{{\Omega }_H^h}$ — натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега $L^2\left({\Omega }_H^h\right)$, скалярном или векторном, $H_0^1\left({\Omega }_H^h;\sum _H^h\right)$ — пространство Соболева функций, обращающихся в нуль на поверхности ${\Sigma }_H^h\subset \partial {\Omega }_H^h$, а последний верхний индекс 3 в формуле (1.8) указывает количество компонент пробной вектор-функции ${\psi }^h=\left({\psi }_1^h,{\psi }_2^h,{\psi }_3^h\right)$. Наконец, $\epsilon \left(u^h, u^h; {\Omega }_H^h\right)$ — удвоенная упругая энергия, запасенная пластиной (1.1), а симметричная билинейная форма

$\begin{array}{c}\mathcal{E}\left(u^h,{\psi }^h;{\Omega }_H^h\right)=\\ =\frac{1}{2\mu }\left(\begin{array}{c}{\sum }_{j,k=1}^3{\left({\sigma }_{jk}\left(u^h\right),{\sigma }_{jk}\left({\psi }^h\right)\right)}_{{\Omega }_H^h}-\\ -\frac{\lambda }{3\lambda +2\mu }{\left({\sum }_{j=1}^3{\sigma }_{jj}\left(u^h\right),{\sum }_{k=1}^3{\sigma }_{kk}\left({\psi }^h\right)\right)}_{{\Omega }_H^h}\end{array}\right)\end{array}$ (1.9)

замкнута и положительно определена на пространстве $H_0^1\left({\Omega }_H^h; \sum _{}^0\cup \sum _H^h\right)$. Таким образом, вариационная задача (1.8) (или краевая задача (1.4) — (1.6)) обладает дискретным спектром, образующим монотонную неограниченную положительную последовательность нормальных собственных чисел

$0<{\Lambda }_1^h\le {\Lambda }_2^h\le {\Lambda }_3^h\le ···\le {\Lambda }_m^h\le \dots \to +\infty$ (1.10)

Основная цель работы — исследовать асимптотическое поведение собственных частот и соответствующих мод колебаний пластины в трех ситуациях:

1. профильная функция $H$ имеет глобальный строгий максимум в точке $y^0$ внутри области $\omega$;
2. $H\left(y\right)=H_0$ — постоянная и $\omega$ — круг $B_1=\{y:\left|y\right|<1\}$;
3. $H\left(y\right)=H_0$ — постоянная и кривизна $\kappa$ контура $\gamma$ имеет глобальный строгий экстремум (максимум или минимум; см. разд. 6) в точке $y^0\in \omega$.

В последних двух случаях положим $H_0=1$ (рис. 1б), обозначив пластину и ее боковую поверхность через ${\Omega }^h$ и ${\Gamma }^h$ соответственно. Кроме того, поместим начало $\mathcal{O}$ двумерной системы декартовых координат $y$ в точку $y^0$.

Краевые условия (1.5), (1.11) и (1.6) далее называем условиями Дирихле и Неймана соответственно.

Пластина играет роль тонкой упругой прокладки между двумя абсолютно жесткими штампами, прикрепленной к их поверхностям, однако общепринятый подход к асимптотическому анализу тонких деформируемых тел (см. [3–7] и многие другие публикации) дает правильный ответ — какую-то двумерную задачу на сечении $\omega$ для определения собственных пар {число; вектор-функция} — только в случае пластины постоянной толщины с полностью зафиксированной поверхностью, т.е. при замене краевого условия (1.6) в напряжениях условиями в смещениях

$u_k^h\left(x\right)=0;x\in {\Gamma }_H^h,k=\mathrm{1,2,3}$ (1.11)

Собственные вектор-функции задач Дирихле (1.4), (1.5), (1.11) и смешанной краевой (1.4) — (1.6) подчиним условиям ортогональности и нормировки

${\left(u_{\left(p\right)}^h,u_{\left(q\right)}^h\right)}_{{\Omega }^h}={\delta }_{p,q};p,q\in N:=\left\{\mathrm{1,2,3,}\dots \right\}$ (1.12)

В разд. 4–7 показано, что начальные члены последовательности (1.10) собственных чисел смешанной краевой задачи (1.4) — (1.6) находятся из совершенно иных задач, а для собственных вектор-функций характерна сугубая локализация около экстремальных точек кривизны κ контура $\partial \omega$ (ситуация (iii)) или в малой окрестности всей круговой кромки ${\Gamma }^h$ (ситуация (ii)). В ситуации (i) локализация происходит около точек экстремумов профильной функции $H$.

Двумерная модель [8] пластины ${\Omega }^h$ с полностью зафиксированной поверхностью $\partial {\Omega }^h$ указана в разд. 3. Эффекты концентрации мод собственных колебаний обусловлены явлением пограничного слоя, информация о котором приведена в разд. 2. К сожалению, полное исследование спектральной задачи теории упругости в полубесконечной полосе (далее полуполосе; рис. 2)

$\Pi =\{\xi =\left({\xi }_1,{\xi }_2\right):{\xi }_1<\mathrm{0,}{\xi }_2\in \left(\mathrm{0,1}\right)\}$ (1.13)

посредством аналитических выкладок невозможно и требует применения вычислительных методов, а часть результатов в статье получена при рассмотрении возможных разных случаев.

Рис. 2. Полубесконечная упругая полоса, служащая для описания явления пограничного слоя.

Одномерные модели, описывающие, в частности, локализацию собственных вектор-функций в цилиндрической пластине ${\Omega }^h$, найдены в разд. 5 и разд. 6. Пластина ${\Omega }^h$ переменной толщины $hH\left(y\right)$ рассмотрена в разд. 7, где выведена и исследована предельная система дифференциальных уравнений на плоскости с растущими на бесконечности коэффициентами — векторный аналог уравнения гармонического осциллятора [9]. В разд. 8 собраны доступные обобщения и перечислены открытые вопросы, относящиеся, например, к численным решениям модельных задач теории упругости в полуполосе. Кроме того, кратко обсуждаются пластины, изготовленные из несжимаемого материала.

2. Спектр задачи о пограничном слое. В этом разделе рассматриваем пластину (1.1) постоянной толщины, т.е. $H\left(y\right)=1$ (рис. 1б). При некотором $d>0$ в d-окрестности $N_d$ контура $\partial \omega$ введем естественную систему криволинейных координат $\left(n,s\right)$, где $n$ — ориентированное расстояние до $\partial \omega , n<0$ в $\omega \cap N_d$, а $s$ — длина дуги, измеренная вдоль контура против часовой стрелки. Проекции тензора напряжений $\sigma \left(u^h\right)$ на оси $n$, $s$ и $z$ имеют вид

$\begin{array}{c}{\sigma }_{nn}\left(u^h\right)=\left(\lambda +2\mu \right){\partial }_n{u}_n^h+\\ +\lambda \left(J^{-1}\left({\partial }_s{u}_s^h+\kappa u_n^h\right)+{\partial }_z{u}_z^h\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\sigma }_{ss}\left(u^h\right)=\left(\lambda +2\mu \right)J^{-1}\left({\partial }_s{u}_s^h+\kappa u_n^h\right)+\\ +\lambda \left({\partial }_n{u}_n^h+{\partial }_z{u}_z^h\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\sigma }_{zz}\left(u^h\right)=\left(\lambda +2\mu \right){\partial }_z{u}_z^h+\\ +\lambda \left({\partial }_n{u}_n^h+J^{-1}\left({\partial }_s{u}_s^h+\kappa u_n^h\right)\right)\end{array}$ (2.1)

$\begin{array}{c}{\sigma }_{ns}\left(u^h\right)={\sigma }_{sn}\left(u^h\right)=\\ =\mu \left({\partial }_n{u}_s^h+J^{-1}\left({\partial }_s{u}_n^h-\kappa u_s^h\right)\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{\sigma }_{sz}\left(u^h\right)={\sigma }_{zs}\left(u^h\right)=\\ =\mu \left(J^{-1}{\partial }_s{u}_z^h+{\partial }_z{u}_s^h\right)\end{array}$

${\sigma }_{zn}\left(u^h\right)={\sigma }_{nz}\left(u^h\right)=\mu \left({\partial }_n{u}_z^h+{\partial }_z{u}_n^h\right)$

При этом $\kappa \left(s\right)$ — кривизна контура переменного знака, т.е. отрицательная на вогнутых участках дуги $\partial \omega \ni s$, а $J\left(n,s\right)=1+n\kappa \left(s\right)$ — якобиан. Кроме того, $n_i$ — проекция на ось $y_i$ единичного вектора двумерной нормали к границе сечения $\omega , i=1,2$, а проекции вектора смещений $u^h$ на оси криволинейной системы координат заданы формулами

$u_n^h=n_1{u}_1^h+n_2{u}_2^h,u_s^h=-n_2{u}_1^h+n_1{u}_2^h,u_z^h=u_3^h$

Наконец, запишем в координатах $n, s$ и $z$ систему уравнений (1.4)

$\begin{array}{c}-{\partial }_n{\sigma }_{nn}\left(u^h\right)-J^{-1}\left(\begin{array}{l}{\partial }_s{\sigma }_{ns}\left(u^h\right)+\\ +\kappa \left({\sigma }_{nn}\left(u^h\right)-{\sigma }_{ss}\left(u^h\right)\right)\end{array}\right)-\\ -{\partial }_z{\sigma }_{nz}\left(u^h\right)={\Lambda }^h{u}_n^h\end{array}$

$\begin{array}{c}-{\partial }_n{\sigma }_{sn}\left(u^h\right)-J^{-1}\left({\partial }_s{\sigma }_{ss}\left(u^h\right)+2\kappa {\sigma }_{sn}\left(u^h\right)\right)-\\ -{\partial }_z{\sigma }_{sz}\left(u^h\right)={\Lambda }^h{u}_s^h\end{array}$ (2.2)

$\begin{array}{c}-{\partial }_n{\sigma }_{zn}\left(u^h\right)-J^{-1}\left({\partial }_s{\sigma }_{zs}\left(u^h\right)+\kappa {\sigma }_{zn}\left(u^h\right)\right)-\\ -{\partial }_z{\sigma }_{zz}\left(u^h\right)={\Lambda }^h{u}_z^h\end{array}$

Для построения пограничного слоя, как обычно, произведем растяжение координат

$n\mapsto \eta =h^{-1}n,z\mapsto \zeta =h^{-1}z$, (2.3)

но сохраним прежний масштаб для длины дуги $s$ на контуре $\partial \omega$. В результате $\left(3\times 3\right)$ - матрица $L^h$ дифференциальных операторов второго порядка из левых частей уравнений (2.2), действующая на вектор $\left(u_n^h, u_z^h, u_s^h\right)$, допускает расщепление

$\begin{array}{c}{L}^h\left(n,z,s,{\partial }_n,{\partial }_z,{\partial }_s\right)=\\ =h^{-2}{L}^{\left(0\right)}\left({\partial }_{\eta },{\partial }_{\zeta }\right)+h^{-1}{L}^{\left(1\right)}\left(s,{\partial }_{\eta },{\partial }_{\zeta },{\partial }_s\right)+\\ +L^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_{\zeta },{\partial }_s\right)+\dots \end{array}$ (2.4)

При этом

$L^{\left(0\right)}\left({\partial }_{\eta },{\partial }_{\zeta }\right)=-\left(\begin{array}{ccc}\left(\lambda +2\mu \right){\partial }_{\eta }^2+\mu {\partial }_{\zeta }^2& \left(\lambda +\mu \right){\partial }_{\eta }{\partial }_{\zeta }& 0\\ \left(\lambda +\mu \right){\partial }_{\zeta }{\partial }_{\eta }& \left(\lambda +2\mu \right){\partial }_{\zeta }^2+\mu {\partial }_{\eta }^2& 0\\ 0& 0& \mu {\partial }_{\eta }^2+\mu {\partial }_{\zeta }^2\end{array}\right)$ (2.5)

$L^{\left(1\right)}\left(s,{\partial }_{\eta },{\partial }_{\zeta },{\partial }_s\right)=-\left(\begin{array}{ccc}2\left(\lambda +\mu \right)\kappa \left(s\right){\partial }_{\eta }& 0& \left(\lambda +\mu \right){\partial }_s{\partial }_{\eta }\\ \left(\lambda +\mu \right)\kappa \left(s\right){\partial }_{\zeta }& \mu \kappa \left(s\right){\partial }_{\eta }& \left(\lambda +\mu \right){\partial }_s{\partial }_{\zeta }\\ \left(\lambda +\mu \right){\partial }_{\eta }{\partial }_s& \left(\lambda +\mu \right){\partial }_{\zeta }{\partial }_s& -\mu \kappa \left(s\right){\partial }_{\eta }\end{array}\right)$ (2.6)

$\begin{array}{c}{L}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_{\zeta },{\partial }_s\right)=\\ =\left(\begin{array}{ccc}-\mu {\partial }_s^2+2\left(\lambda +\mu \right)\kappa {\left(s\right)}^2\eta {\partial }_{\eta }-2\mu \kappa {\left(s\right)}^2& 0& L_{sn}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_s\right)\\ \left(\lambda +\mu \right)\kappa {\left(s\right)}^2\eta {\partial }_{\varsigma }& -\mu {\partial }_s^2+\mu \kappa {\left(s\right)}^2\eta {\partial }_{\eta }& L_{sz}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_s\right)\\ L_{sn}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_s\right)& L_{sz}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_s\right)& L_{ss}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_s\right)\end{array}\right)\end{array}$ (2.7)

Следующие скалярные операторы из матрицы (2.7) востребованы в вычислениях не будут:

$\begin{array}{c}{L}_{ns}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_s\right)=2\left(\lambda +\mu \right)\kappa \left(s\right){\partial }_{\eta }{\partial }_s+\\ +\left(\lambda +\mu \right)\kappa \left(s\right)\eta {\partial }_s-\mu {\partial }_s\kappa \left(s\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{L}_{sn}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_s\right)=-\left(\lambda +2\mu \right){\partial }_s\kappa \left(s\right)+\\ +\left(\lambda +\mu \right)\kappa \left(s\right)\eta {\partial }_{\eta }{\partial }_s-\mu \kappa \left(s\right){\partial }_s\end{array}$

$L_{zs}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_z,{\partial }_s\right)=\left(\lambda +\mu \right)\kappa \left(s\right)\eta {\partial }_{\zeta }{\partial }_s$

$L_{sz}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\zeta },{\partial }_s\right)=\left(\lambda +\mu \right)\kappa \left(s\right){\partial }_{\zeta }{\partial }_s$

$\begin{array}{c}{L}_{ss}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_{\eta },{\partial }_s\right)=-\left(\lambda +2\mu \right){\partial }_s^2+\\ +\mu \kappa {\left(s\right)}^2\eta {\partial }_{\eta }+\mu \kappa {\left(s\right)}^2\end{array}$

Аналогичные, но более простые расщепления верны для дифференциальных операторов первого порядка из формул (2.1) для напряжений. Далее понадобятся соотношения

$\begin{array}{c}{B}^h\left(n,z,s,{\partial }_n,{\partial }_z,{\partial }_s\right)=h^{-1}{B}^{\left(0\right)}\left({\partial }_{\eta },{\partial }_{\zeta }\right)+\\ +B^{\left(1\right)}\left(s,{\partial }_s\right)+h{B}^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_s\right)+\dots \end{array}$

$B^{\left(0\right)}\left({\partial }_{\eta },{\partial }_{\zeta }\right)=\left(\begin{array}{ccc}\left(\lambda +2\mu \right){\partial }_{\eta }& \lambda {\partial }_{\zeta }& 0\\ \mu {\partial }_{\zeta }& \mu {\partial }_{\eta }& 0\\ 0& 0& \mu {\partial }_{\eta }\end{array}\right)$

$B^{\left(1\right)}\left(s,{\partial }_s\right)=\left(\begin{array}{ccc}\lambda \kappa \left(s\right)& 0& \lambda {\partial }_s\\ 0& 0& 0\\ \mu {\partial }_s& 0& -\mu \kappa \left(s\right)\end{array}\right)$ (2.8)

$B^{\left(2\right)}\left(\eta ,s,{\partial }_s\right)=\left(\begin{array}{ccc}-\lambda \kappa {\left(s\right)}^2\eta & 0& -\lambda \kappa \left(s\right)\eta {\partial }_s\\ 0& 0& 0\\ -\mu \kappa \left(s\right)\eta {\partial }_s& 0& -\mu \kappa {\left(s\right)}^2\eta \end{array}\right)$

для матрицы дифференциальных операторов из выражения

$B^h{u}^h=\left({\sigma }_{nn}\left(u^h\right),{\sigma }_{nz}\left(u^h\right),{\sigma }_{ns}\left(u^h\right)\right)$ в левой части краевого условия Неймана (1.6).

После выделения главных асимптотических частей (2.4) дифференциальных операторов и замены $h^2{\Lambda }^h\mapsto M$ нормированного спектрального параметра получим из системы (1.4) двумерную систему уравнений теории упругости для вектора смещений $U\text{'}=\left(U_1, U_2\right)$ в полуполосе $\Pi$ (формула (1.13) и рис. 2)

$-\mu {\Delta }_{\xi }{U}^{\text{'}}-\left(\lambda +\mu \right){\nabla }_{\xi }\cdot {\nabla }_{\xi }{U}^{\text{'}}=M{U}^{\text{'}}\text{ в }\Pi$, (2.9)

а также уравнение Гельмгольца для скаляра $U_3$ (депланации)

$-\mu {\Delta }_{\xi }{U}_3=M{U}_3\text{\hspace{0.33em}в\hspace{0.33em}}\Pi$ (2.10)

Рис. 2. Полубесконечная упругая полоса, служащая для описания явления пограничного слоя.

При этом $M$ — новое обозначение спектрального параметра, координаты $\eta ={\xi }_1$ и $\varsigma ={\xi }_2$ интерпретируем как декартовы на плоскости ${\mathrm{ℝ}}^2\supset \Pi$, а $U_1, U_2$ и $U_3$ — как образы компонент $u_n, u_z$ и $u_s$ вектора смещений. Вместе с тем в разд. 5 и 6 при операциях с трехмерным вектором $U$ обозначаем проекции на оси криволинейной системы координат через $U_n, U_z$ и $U_s$.

Уравнение (2.10) с проистекающими от исходных условий (1.5) и (1.6) смешанными краевыми условиями

$U_3\left({\xi }_1\mathrm{,0}\right)=U_3\left({\xi }_1\mathrm{,1}\right)=0;{\xi }_1<0$ (2.11)

$\mu \frac{\partial U_3}{\partial {\xi }_1}\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)=0;{\xi }_2\in \left(\mathrm{0,1}\right)$ (2.12)

изучается посредством метода Фурье. В частности, дискретный спектр задачи (2.10) — (2.12) пуст, а ее непрерывный спектр — луч с точкой отсечки

$M_{{}_{†}}={\pi }^2\mu$ (2.13)

При $M=M_{{}_{†}}$ у задачи (2.10) — (2.12) есть ограниченное, стабилизирующееся на бесконечности решение

$U_3^{†}\left(\xi \right)=\text{sin}\left(\pi {\xi }_2\right)$ (2.14)

Иными словами, наблюдается пороговый резонанс [10], простой и правильный по терминологии [11]. Наконец, при постановке условия Дирихле

$U_3=0;\xi \in \partial \Pi$ (2.15)

всюду на границе полуполосы непрерывный и дискретный спектры скалярной задачи Дирихле остаются без изменений, но пороговый резонанс исчезает, так как у задачи с параметром (2.13) нет ограниченных решений, а только линейно растущее $c{\xi }_1\sin \left({\mathrm{\pi \xi }}_2\right)$ и счетный набор малоинтересных решений с экспоненциальным ростом при ${\xi }_1\to -\infty$.

Изучен [12–15] спектр $\wp$ двумерной системы (2.9) в упругой изотропной полуполосе $\Pi$ с разнообразными краевыми условиями на ее боковых сторонах и торце

$\begin{array}{c}{\varpi }_j=\left\{\xi :{\xi }_1<\mathrm{0,}{\xi }_2=j\right\}\\ j=\mathrm{0,1,}\text{ è\hspace{0.33em}}{\varpi }_{·}=\left\{\xi :{\xi }_1=\mathrm{0,}{\xi }_2\in \left(\mathrm{0,1}\right)\right\}\end{array}$

Сократим обозначение производных: $\partial {}_j=\partial /\partial {\xi }_j; j=1,2$. Для вытекающих из формул (1.5) и (1.6) смешанных краевых условий

$U_1\left(\xi \right)=U_2\left(\xi \right)=0;\xi \in {\varpi }_0\cup {\varpi }_1$ (2.16)

$\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\left(U;\xi \right):=\left(\lambda +2\mu \right){\partial }_1{U}_1\left(\xi \right)+\\ +\lambda {\partial }_2{U}_2\left(\xi \right)=0;\xi \in {\varpi }_{·}\end{array}$ (2.17)

${\sigma }_{12}\left(U;\xi \right):=\mu {\partial }_2{U}_1\left(\xi \right)+\mu {\partial }_1{U}_2\left(\xi \right)=0;\xi \in {\varpi }_{·}$

проверено [14], что непрерывный спектр ${\wp }_c$ оператора системы Ламе — луч $\left[M_{{}_{†}},+\infty \right)$ с точкой отсечки (2.13), а дискретный спектр ${\wp }_d$ содержит по крайней мере одну точку $M_1\in \left(0,M_{{}_{†}}\right)$, причем сопутствующая захваченная волна ${\overline{U}}_{\left(1\right)}\in H_0^1{\left(\Pi ;{\varpi }_0\cup {\varpi }_1\right)}^2$ затухает на бесконечности с экспоненциальной скоростью.

Краевые условия (2.17) и (2.12) получены при учете расщепления (2.8). Косвенная аргументация, основанная на геометрической и материальной симметрии задачи подсказывает, что $M_1$ — единственная точка в ${\wp }_d$. Далее используем это свойство дискретного спектра, хотя его строгое обоснование до сих пор не найдено.

Вариационная постановка задачи (2.9), (2.16), (2.17) сводится к интегральному тождеству [1, 2]

$E\left(U^{\text{'}},\Psi ;\Pi \right)=M{\left(U^{\text{'}},\Psi \right)}_{\Pi },\Psi \in H_0^1{\left(\Pi ;\partial \Pi \setminus \overline{{\varpi }_{·}}\right)}^2$ (2.18)

В плоском случае удвоенная упругая энергия, порожденная вектором смещений $\Psi =\left({\Psi }_1,{\Psi }_2\right)$ в полуполосе, имеет вид

$\begin{array}{c}E\left(\Psi ,\Psi ;\Pi \right)=\\ ={\int }_{\Pi }\left(\begin{array}{c}2\mu {\left|\frac{\partial {\Psi }_1}{\partial {\xi }_1}\right|}^2+2\mu {\left|\frac{\partial {\Psi }_2}{\partial {\xi }_2}\right|}^2+\\ +\mu {\left|\frac{\partial {\Psi }_1}{\partial {\xi }_2}+\frac{\partial {\Psi }_2}{\partial {\xi }_1}\right|}^2+\lambda {\left|\frac{\partial {\Psi }_1}{\partial {\xi }_1}+\frac{\partial {\Psi }_2}{\partial {\xi }_2}\right|}^2\end{array}\right)d\xi \end{array}$ (2.19)

Собственную вектор-функцию $U_{\left(1\right)}^{\text{'}}$ нормируем в пространстве Лебега $L^2{\left(\Pi \right)}^2$.

При помощи классического приема [16] доказано [13], что при постановке на торце условия Дирихле

$\overline{U}\left(\xi \right)=0;\xi \in {\varpi }_{•}$ (2.20)

у задачи (2.9), (2.16), (2.20) захваченных волн нет на любых частотах, т.е. пуст и точечный спектр (дискретный спектр плюс собственные числа, вкрапленные в непрерывный спектр). Более того, отсутствует пороговый резонанс.

Вопрос о реализации порогового резонанса в смешанной краевой задаче (2.9), (2.16), (2.17), т.е. наличии у нее при $M=M_{†}$ ограниченного (вещественного) решения

$U^{†}\left(\xi \right)=K_{†}\text{sin}\left(\pi {\xi }_2\right)e_{\left(1\right)}+{\tilde{U}}^{†}\left(\xi \right)$ (2.21)

с экспоненциально затухающим остатком ${\tilde{U}}^{†}\left(\xi \right)$, коэффициентом $K_{†}$ и ортом $e_{\left(1\right)}$ оси ${\xi }_1$, остается открытым, но ответ на него в данной работе не востребован по существу. Из-за наличия собственного числа $M_1\in {\wp }_d$ правдоподобна гипотеза: пороговый резонанс отсутствует и у смешанной краевой задачи, и вместо ограниченного решения (2.21) появляется имеющее линейный рост на бесконечности (опять-таки вещественное) решение

$U^{\#}\left(\xi \right)=\left({\xi }_1+K_{\#}\right)\text{sin}\left(\pi {\xi }_2\right)e_{\left(1\right)}+{\tilde{U}}^{\#}\left(\xi \right)$ (2.22)

с каким-то коэффициентом $K_{\#}$ и экспоненциально затухающим остатком ${\tilde{U}}^{\#}\in H_0^1{\left(\Pi ;{\varpi }_0\cup {\varpi }_1\right)}^2$. При этом в принципе не исключено возникновение затухающего $\left(K_{†}=0\right)$ решения (2.21), т.е. захваченной волны, при которой $M_{†}$ — истинное собственное число, а сам пороговый резонанс — мнимый (терминология [11]). Если же $K_{†}\ne 0$, то решение (2.22) заведомо отсутствует, а почти стоячая волна (2.21) порождает правильный пороговый резонанс. Таким образом, в скалярной задаче (2.10) — (2.12) пороговый резонанс правильный, а почти стоячая волна (2.14) устроена очень просто, так как остаток $U^{†}$ нулевой.

3. Двумерная модель тонкой пластины с полностью зафиксированной поверхностью. Изложим с некоторыми исправлениями результат [8] для задачи Дирихле (1.4), (1.5), (1.11) в цилиндрической пластине ${\Omega }^h=\omega \times \left(0,h\right)$ — сопутствующие вычисления используются и далее в статье. Подставим асимптотические разложения ее собственных пар (малые остатки обозначены многоточием)

${\Lambda }^h=h^{-2}{M}_{†}+\beta +\dots =h^{-2}\mu {\pi }^2+\beta +\dots$ (3.1)

$\begin{array}{c}{u}^h\left(x\right)=\frac{1}{h}{\sum }_{i=\mathrm{1,2}}\left(v_i\left(y\right)\text{sin}\left(\pi \zeta \right)e_{\left(i\right)}+h{V}_i^{\text{'}}\left(\zeta ,y\right)\right)+\\ +V_3\left(\zeta \right){\nabla }_{y}v\left(y\right)e_{\left(3\right)}+\dots \end{array}$ (3.2)

в систему уравнений (1.4) и соберем множители при одинаковых степенях малого параметра $h$. В результате при учете условия Дирихле на основаниях пластины получим скалярную задачу для функции $V_3$ из разложения (3.2)

$\begin{array}{c}-\left(\lambda +2\mu \right){\partial }_{\zeta }^2{V}_3\left(\zeta \right)-M_{†}{V}_3\left(\zeta \right)=\\ =\left(\lambda +\mu \right)\pi \text{cos}\left(\pi \zeta \right);\zeta \in \left(\mathrm{0,1}\right)\end{array}$ (3.3)

$V_3\left(0\right)=V_3\left(1\right)=0$

и явное выражение

$\begin{array}{c}{V}_3\left(\zeta \right)=\frac{1}{\pi }\left(\begin{array}{l}\text{cos}\left(\pi \zeta \right)-\text{cos}\left(\pi \alpha \zeta \right)+\\ +\frac{1+\text{cos}\left(\pi \alpha \right)}{\text{sin}\left(\pi \alpha \right)}\sin \in \left(\pi \alpha \zeta \right)\end{array}\right)\\ \alpha =\sqrt{\frac{\mu }{\lambda +2\mu }}\in \left(\mathrm{0,}\frac{1}{\sqrt{2}}\right]\end{array}$ (3.4)

При этом $s\in \left(\pi \alpha \zeta \right)>0.$

Условия разрешимости

${\int }_0^1\text{sin}\left(\pi \zeta \right)F^{\text{'}}\left(y,\zeta \right)d\zeta =0\in {ℝ}^2$

очередной задачи для вектора $V^{\text{'}}=\left(V_1^{\text{'}},V_2^{\text{'}}\right)$

$\begin{array}{c}-\mu {\Delta }_y{V}^{\text{'}}-M_{†}{V}^{\text{'}}=\\ =F^{\text{'}}:=\left(\beta v+\mu {\Delta }_{y}v+\left(\lambda +\mu \right){\nabla }_y{\nabla }_{y}v\right)\text{sin}\left(\pi \zeta \right)+\end{array}$

$+\left(\lambda +\mu \right){\partial }_{\zeta }{V}_3{\nabla }_y{\nabla }_{y}v\text{при }\zeta \in \left(\mathrm{0,1}\right)$

$V^{\text{'}}\left(0\right)=V^{\text{'}}\left(1\right)=0$

принимает вид двумерной системы дифференциальных уравнений Ламе для ингредиентов $v=\left(v_1,v_2\right)$ и $\beta$ разложений (3.2) и (3.1)

$-\mu {\Delta }_{y}v\left(y\right)-2\theta {\nabla }_y{\nabla }_{y}v\left(y\right)=\beta v\left(y\right);y\in \omega$ (3.5)

В самом деле, согласно равенствам (2.13) и (3.3) имеем

$\begin{array}{c}\left(\lambda +\mu \right){\int }_0^1\text{sin}\left(\pi \zeta \right){\partial }_{\zeta }{V}_3\left(\zeta \right)d\zeta =\\ =-\left(\lambda +2\mu \right)\frac{1}{\pi }{\int }_0^1{\partial }_{\zeta }\text{cos}\left(\pi \zeta \right){\partial }_{\zeta }{V}_3\left(\zeta \right)d\zeta +\\ +\mu {\int }_0^1\text{sin}\left(\pi \zeta \right){\partial }_{\zeta }{V}_3\left(\zeta \right)d\zeta =\\ =\left(\lambda +2\mu \right)\frac{1}{\pi }{\int }_0^1\text{cos}\left(\pi \zeta \right){\partial }_{\zeta }^2{V}_3\left(\zeta \right)d\zeta +\theta +\\ +\mu \pi {\int }_0^1\text{cos}\left(\pi \zeta \right)V_3\left(\zeta \right)d\zeta =\\ -\frac{1}{\pi }{\int }_0^1\left(\lambda +\mu \right)\pi {\text{cos}}^2\left(\pi \zeta \right)d\zeta +\theta =\\ =\frac{1}{2}\left(\lambda +\mu \right)+b\end{array}$

$\begin{array}{c}\theta =\theta \left(\alpha \right):=\left(\lambda +2\mu \right)\frac{1}{\pi }\left(\frac{d{V}_3}{d\zeta }\left(1\right)+\frac{d{V}_3}{d\zeta }\left(0\right)\right)=\\ =\left(\lambda +2\mu \right)\frac{2\alpha }{\pi }\frac{1+\text{cos}\pi \alpha }{\text{sin}\pi \alpha }\end{array}$ (3.6)

Таким образом, при формировании системы (3.5) коэффициент (3.6) при ${\nabla }_y{\nabla }_{y}v$ умножается на два и уничтожается последнее слагаемое в следующей простой формуле для оставшейся части выражения $F\text{'}$:

$\begin{array}{c}{\int }_0^1\text{sin}\left(\pi \zeta \right)\left(\beta v+\mu {\Delta }_{y}v+\left(\lambda +\mu \right){\nabla }_y{\nabla }_{y}v\right)\times \\ \times \text{\hspace{0.33em}sin}\left(\pi \zeta \right)d\zeta =\frac{1}{2}\left(\beta v+\mu {\Delta }_{y}v\right)+\\ +\frac{1}{2}\left(\lambda +\mu \right){\nabla }_y{\nabla }_{y}v\end{array}$

Функция $(0,2^{-\frac{1}{2}}]\ni \alpha \mapsto {\lambda }_{*}\left(\alpha \right):=2\theta \left(\alpha \right)-\mu$ монотонно убывает от $+\infty$ до отрицательного значения, чуть меньшего $-\mu /9$. Таким образом, новые постоянная Ламе ${\lambda }_{*}\left(\alpha \right)$ и коэффициент Пуассона $v_{*}\left(\alpha \right)=\frac{{\lambda }_{*}\left(\alpha \right)}{2\left({\lambda }_{*}\left(\alpha \right)+\mu \right)}$ в системе (3.5) становятся отрицательными при малом коэффициенте Пуассона $v=\frac{\lambda }{2\left(\lambda +2\mu \right)}$ самого материала пластины, хотя сумма ${\lambda }_{*}\left(\alpha \right)+\mu$ всегда положительна.

Найденную систему (3.5) замыкаем краевыми условиями

$v_j\left(y\right)=0;y\in \partial \omega ,j=\mathrm{1,2}$ (3.7)

Гипотетически появление условий Дирихле (3.7) объясняется исходными краевыми условиями (1.11) на боковой поверхности пластины, но правильный их вывод [8], основанный на методе сращиваемых асимптотических разложений (см. монографии [17–19, гл. 2], а также разд. 8, 1°) учитывает одновременное отсутствие дискретного спектра и порогового резонанса в задачах об упругой полуполосе (1.12), плоской (2.9), (2.16), (2.20) и антиплоской (2.10), (2.15).

Поскольку ${\lambda }_{*}\left(\alpha \right)+\mu >0$, задача Дирихле (3.5), (3.7) имеет дискретный спектр, образующий положительную монотонную неограниченную последовательность собственных чисел, составленную при учете их кратностей

$0<{\beta }_1\le {\beta }_2\le {\beta }_3\le \dots \le {\beta }_m\le \dots \to +\infty$ (3.8)

Проверено [8], что для любого натурального $m$ найдутся положительные величины $h_m$ и $c_m$, при которых собственные числа (1.10) и (3.8) соответственно задач (1.4), (1.5), (1.11) и (3.5), (3.7) находятся в отношении

$\left|{\Lambda }_m^h-h^{-2}{M}_{{}_{†}}-{\beta }_m\right|\le c_m{h}^{\frac{1}{2}}\text{ при }h\in \left(\mathrm{0,}{h}_m\right]$ (3.9)

Оценка погрешности (3.9) показывает, что двумерная модель тонкой прокладки с полностью закрепленной поверхностью построена корректно. На первый взгляд кажется, что в случае прокладки с боковой поверхностью, свободной от внешнего воздействия, краевые условия Неймана (1.6) дают в качестве предельной задачи систему двумерных уравнений (3.5) с обычными краевыми условиями в напряжениях. Этот вывод скоропалителен по двум причинам. Во-первых, в очередных разделах установлено, что низкочастотный диапазон спектра задачи (1.4) — (1.6) о цилиндрической пластине ${\Omega }^h=\omega \times \left(\mathrm{0,}h\right)$ определяется одномерными (а вовсе не двумерной) задачами на контуре $\partial \omega$ или на целой оси $\mathrm{ℝ}$. Во-вторых, в разд. 8, 1° пояснено, что тип краевых условий для системы (3.5), которая в некотором смысле служит для описания среднечастотного диапазона спектра трехмерной задачи, определен не исходными краевыми условиями на боковой поверхности ${\Gamma }^h$, а явлением порогового резонанса в задачах (2.9), (2.16), (2.17) и (2.10) — (2.12) о пограничных слоях.

4. О затухании собственных мод вне окрестности кромки прокладки. Для цилиндрической пластины ${\Omega }^h=\omega \times \left(o,h\right)$ с боковой поверхностью, свободной от внешних воздействий, доказано [8], что при ограничении

${\Lambda }_m^h\le \frac{M_{{}_{†}}}{h^2}-\frac{\epsilon }{h^2}$ (4.1)

с некоторыми $m\in N$ и $\epsilon >0$ найдется такая положительная величина $h_m\left(\epsilon \right)$ что для $h\in (0,h_m\left(\epsilon \right)]$ и $p=1,...,m$ собственные моды $u_{\left(p\right)}^h$ затухают при удалении от боковой поверхности (1.3) с экспоненциальной скоростью $e^{-{\delta }_p\text{dist}\left(y,\partial \omega \right)/h}$ при положительных показателях ${\delta }_p$.

У задачи Дирихле (1.4), (1.6), (1.11) собственных чисел (4.1) нет по причине одномерного неравенства Фридрихса

$\begin{array}{c}{\int }_0^1{\left|{\partial }_{\zeta }W\left(\zeta \right)\right|}^{2}d\zeta \ge \\ \ge {\pi }^2{\int }_0^1{\left|W\left(\zeta \right)\right|}^{2}d\zeta ;W\in H^1\left(\mathrm{0,1}\right)\\ W\left(0\right)=W\left(1\right)=0\end{array}$ (4.2)

проинтегрированного по переменным $y\in \omega$, и совпадения функционалов упругой энергии (1.9) и так называемой квазиэнергии [2]

${\int }_{{\Omega }^h}\left(\mu {\left|{\nabla }_x{u}^h\left(x\right)\right|}^2+\left(\lambda +\mu \right){\left|{\nabla }_x{u}^h\left(x\right)\right|}^2\right)dx$

Убедимся в том, что начальные члены последовательности (1.10) собственных чисел задачи (1.4) — (1.6) в самом деле удовлетворяют неравенству (4.1).

Поскольку билинейная форма (1.9) из левой части интегрального тождества (1.8) симметрична, положительно определена и замкнута в пространстве Соболева $H_0^1{\left({\Omega }^h;{\Sigma }^0\cup {\Sigma }^h\right)}^3$, задаче (1.4) — (1.6) ставится в соответствие [20, гл. 10, § 1] неограниченный самосопряженный положительно определенный оператор $A^h$ в гильбертовом пространстве $L^2{\left({\Omega }^h\right)}^3$. Дискретный спектр (1.10) этого оператора вычисляется при помощи максиминимального принципа [20, теорема 10.2.2]

${\Lambda }_m^h=\underset{L_m^h}{\text{max}}\underset{{\psi }^h\in L_m^h\setminus \left\{0\right\}}{\text{inf}}\frac{\mathcal{E}\left({\psi }^h,{\psi }^h;{\Omega }^h\right)}{\parallel {\psi }^h;L^2\left({\Omega }^h\right){\parallel }^2};m\in \mathbb{N},$ (4.3)

в котором $L_m^h$ — любое подпространство в пространстве $H_0^1{\left({\Omega }^h;{\Sigma }^0\cup {\Sigma }^h\right)}^3$ с коразмерностью $m-1$, в частности, $L_1^h=H_0^1{\left({\Omega }^h;{\Sigma }^0\cup {\Sigma }^h\right)}^3$.

Зафиксируем натуральное число $m\in \mathrm{\mathbb{N}}$ и выделим на контуре $\partial \omega$ непустые попарно непересекающиеся открытые дуги ${\gamma }_1,...,{\gamma }_m$. Для нетривиальных функций ${\varphi }_p\in C_c^{\infty }\left({\gamma }_p\right); p=1,...,m$, обращающихся в нуль около концевых точек дуг, определим проекции вектор-функций ${\Phi }_{\left(p\right)}^h$ на оси $n,z$ и $s$ равенствами

${\Phi }_{\left(p\right)n}^h\left(x\right)={\chi }_{\omega }\left(y\right){\varphi }_p\left(s\right)U_{\left(1\right)n}\left(h^{-1}n,h^{-1}z\right)$

${\Phi }_{\left(p\right)z}^h\left(x\right)={\chi }_{\omega \left(y\right){\varphi }_p\left(s\right)}{U}_{\left(1\right)z}\left(h^{-1}n,h^{-1}z\right),{\Phi }_{\left(p\right)s}^h\left(x\right)=0$

При этом ${\chi }_{\omega }$ — гладкая срезающая функция, равная единице при $y\in N_{d/2}$ и нулю вне окрестности $N_d$ контура $\partial \omega$, а $U_{\left(1\right)}^{\text{'}}\in H_0^1{\left(\Pi ;\partial \Pi \setminus \varpi .\right)}^2$ — собственная вектор-функция задачи (2.9), (2.16), (2.17), отвечающая собственному числу $M_1<M_{{}_{†}}$ и нормированная в пространстве Лебега $L^2{\left(\Pi \right)}^2$. В силу равенства (2.18) при $\Psi =U_{\left(1\right)}^{\text{'}}$ и $M=M_1$ имеем

$\begin{array}{c}\parallel {\Phi }_{\left(p\right)}^h;L^2\left({\Omega }^h\right)\parallel ={\int }_{\partial \omega }{\int }_{-d}^0{\int }_0^h{\left|{\chi }_{\omega \left(y\right)}\right|}^2{\left|{\varphi }_p\left(s\right)\right|}^2\times \\ \times {\left|U_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\frac{n}{h},\frac{z}{h}\right)\right|}^{2}J\left(n,s\right)dndzds=\\ =h^2\parallel {\varphi }_p;L^2\left({\gamma }_p\right){\parallel }^2\left(\parallel U_{\left(1\right)}^{\text{'}};L^2\left(\Pi \right){\parallel }^2+O\left(h\right)\right)=\\ =h^2\parallel {\varphi }_p;L^2\left({\gamma }_p\right){\parallel }^2\left(1+O\left(h\right)\right)\end{array}$ (4.4)

$\begin{array}{c}\epsilon \left({\Phi }_{\left(p\right)}^h,{\Phi }_{\left(p\right)}^h;{\Omega }^h\right)=\parallel {\varphi }_p;L^2\left({\gamma }_p\right){\parallel }^2\times \\ \times \left(E\left(U_{\left(1\right)}^{\text{'}},U_{\left(1\right)}^{\text{'}};\Pi \right)+O\left(h\right)\right)=\\ =\parallel {\varphi }_p;L^2\left({\gamma }_p\right){\parallel }^2\left(M_1\parallel U_{\left(1\right)}^{\text{'}};L^2\left(\Pi \right){\parallel }^2+O\left(h\right)\right)=\\ =\parallel {\varphi }_p;L^2\left({\gamma }_p\right){\parallel }^2\left(M_1+O\left(h\right)\right)\end{array}$

Здесь были учтены представление для якобиана $J\left(n,s\right)=1+O\left(\left|n\right|\right)$ и экспоненциальное затухание моды $u_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\xi \right)$ при $h^{-1}n={\xi }_1\to -\infty$.

Положив ${\Psi }_{\left(p\right)}^h={||{\Phi }_{\left(p\right)}^h; L^2\left({\Omega }^h\right)||}^{-1}{\Phi }_{\left(p\right)}^h$, получим набор ортонормированных в пространстве $L^2{\left({\Omega }^h\right)}^3$ пробных вектор-функций ${\Psi }_{\left(1\right)}^h,...,{\Psi }_{\left(m\right)}^h\in H_0^1{\left({\Omega }^h;{\Sigma }^0\cup {\Sigma }^h\right)}^3$, причем согласно соотношениям (4.4) для любой линейной комбинации ${\Psi }^h=a_1^h{\Psi }_{\left(1\right)}^h+...+a_m^h{\Psi }_{\left(m\right)}^h$ с нормированным столбцом коэффициентов $\left(a_1^h,\dots ,a_m^h\right)\in {ℝ}^m$ выполнена оценка

${\rm E}\left({\Psi }^h,{\Psi }^h;{\Omega }^h\right)\le \left(M_1{h}^{-2}+C_m{h}^{-1}\right)\parallel {\Psi }^h;L^2\left({\Omega }^h\right){\parallel }^2$ (4.5)

с некоторым общим множителем $C_m$. Итак, любое подпространство $L_m^h\subset H_0^1{\left({\Omega }^h;{\Sigma }^0\cup {\Sigma }^h\right)}^3$ с коразмерностью $m-1$ содержит свою нетривиальную линейную комбинацию ${\Psi }^h\left(L_m^h\right)$ построенных вектор-функций. В результате выводим из формул (4.3) и (4.5) соотношение

${\Lambda }_m^h\le \underset{L_m^h}{\text{max}}\frac{\epsilon \left({\Psi }^h\left(L_m^h\right),{\Psi }^h\left(L_m^h\right);{\Omega }^h\right)}{\parallel {\Psi }^h\left(L_m^h\right);L^2\left({\Omega }^h\right){\parallel }^2}\le \frac{M_1}{h^2}+\frac{C_m}{h}$.

Отсюда вытекает неравенство (4.1) при любом $\epsilon \in \left(0,\frac{M_{{}_{{}_{†}}}-M_1}{2}\right)$ и достаточно малом $h>0$.

5. Прокладка в форме кругового цилиндра. В ситуации (ii) сечение $\omega$ — единичный круг ${\mathbb{B}}_1$,а $\left(r,\phi ,z\right)=\left(1+n,s,z\right)$ — система цилиндрических координат. Кроме того, кривизна $\kappa$ постоянная, но ее значение $\kappa \left(s\right)={\kappa }_0=1$ часто не конкретизируем для использования формул в очередном разделе.

Собственные пары задачи (1.4) — (1.6) ищем в виде

${\Lambda }^h=h^{-2}{M}_1+h^{-1}A+\beta +\dots$ (5.1)

$\begin{array}{c}{u}^h\left(x\right)=U_{\left(1\right)}\left(\eta ,\zeta \right)v\left(s\right)+\\ +hW\left(\eta ,\zeta ,s;v\right)+h^{2}Z\left(\eta ,\zeta ,s;v\right)+\dots \end{array}$ (5.2)

Как и ранее, многоточие замещает младшие асимптотические члены, $\left\{M_1;U_{\left(1\right)}^{\text{'}}\right\}$ — первая собственная пара задачи (2.9), (2.16), (2.17), экспоненциально затухающая вектор-функция $U_{\left(1\right)}^{\text{'}}=\left(U_{\left(1\right)1},U_{\left(1\right)2}\right):=\left(U_{\left(1\right)n},U_{\left(1\right)z}\right)$ нормирована в пространстве $L^2{\left(\Pi \right)}^2$, а компонента $U_{\left(1\right)s}$ вектора $U_{\left(1\right)}$ взята нулевой в формуле (5.2). Остальные ингредиенты введенных разложений подлежат определению.

Подставим соотношения (5.1), (5.2) и (2.4) в систему (1.4) и соберем множители при $h^{-2}$ и $h^{-1}$. При учете формул (2.9) и (2.5), (2.6) видим, что старшие асимптотические члены взаимно уничтожаются. Первое поправочное слагаемое представим в виде

$\begin{array}{c}W\left(\eta ,\zeta ,s;v\right)=\\ =\left(v\left(s\right)W_n\left(\eta ,\zeta \right),v\left(s\right)W_z\left(\eta ,\zeta \right),{\partial }_{s}v\left(s\right)W_s\left(\eta ,\zeta \right)\right)\end{array}$ (5.3)

В итоге для двумерного вектора $W\text{'}=\left(W_1,W_2\right):=\left(W_n,W_z\right)$ получим систему уравнений

$\begin{array}{c}-\mu {\Delta }_{\xi }{W}^{\text{'}}\left(\xi \right)-\left(\lambda +\mu \right){\nabla }_{\xi }{\nabla }_{\xi }{W}^{\text{'}}\left(\xi \right)-M_1{W}^{\text{'}}\left(\xi \right)=\\ =A{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\xi \right)+\kappa \left(s\right)F^{\text{'}}\left(\xi \right);\xi \in \Pi \end{array}$ (5.4)

$\begin{array}{c}{F}^{\text{'}}=\left(F_1^{\text{'}},F_2^{\text{'}}\right),F_1^{\text{'}}=2\left(\lambda +\mu \right){\partial }_{\eta }{U}_{\left(1\right)1}\\ F_2^{\text{'}}=\left(\lambda +\mu \right){\partial }_{\zeta }{U}_{\left(1\right)2}+\mu {\partial }_{\eta }{U}_{\left(1\right)2}\end{array}$ (5.5)

Однородные условия Дирихле (2.16) для вектор-функции $W\text{'}$ на боковых сторонах полуполосы очевидны, а формулы (2.8), (2.17) и (5.3) обеспечивают следующие краевые условия на ее торце ${\varpi }_{\bullet }$:

${\sigma }_{1j}\left(W^{\text{'}};\mathrm{0,}{\xi }_2\right)=\kappa \left(s\right)G_j^{\text{'}}\left({\xi }_2\right);{\xi }_2\in \left(\mathrm{0,1}\right),j=\mathrm{1,2}$ (5.6)

$G^{\text{'}}=\left(G_1^{\text{'}},G_2^{\text{'}}\right),G_1\left({\xi }_2\right)=-\lambda U_{\left(1\right)1}\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right),G_2\left({\xi }_2\right)=0$ (5.7)

В случае простого собственного числа $M_1$ задача (2.16), (5.4), (5.6) имеет решение при выполнении соотношения

$\begin{array}{c}A{\int }_{\Pi }{\left|U_{\left(1\right)}\left(\xi \right)\right|}^{2}d\xi +{\kappa }_0\times \\ \times \left(\begin{array}{l}{\int }_{\Pi }{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\xi \right)F^{\text{'}}\left(\xi \right)d\xi -\\ -{\int }_0^1{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)G^{\text{'}}\left({\xi }_2\right)d{\xi }_2\end{array}\right)=\mathrm{0,}\end{array}$ (5.8)

которое при помощи формулы интегрирования по частям, а также соотношений (5.5), (5.7) и $||U_{\left(1\right)}^{\text{'}};L^2\left(\Pi \right)||=1$ превращаем в равенство

$A=-\frac{{\kappa }_0}{2}{\int }_{{\varpi }_{\bullet }}\left(2\mu {\left|U_{\left(1\right)1}\left(\xi \right)\right|}^2+\mu {\left|U_{\left(1\right)2}\left(\xi \right)\right|}^2\right)d{\xi }_2<0$ (5.9)

Интеграл по торцу ${\varpi }_{\bullet }$ положителен в силу теоремы о единственности продолжения [21, гл. 4], означающей, что вектор $U_{\left(1\right)}^{\text{'}}$ не может целиком обратиться в нуль всюду на и, кроме того, κ₀ = 1. Таким образом, равенство (5.9) определяет первый поправочный член в разложении (5.9) собственного числа, и он отрицательный.

Согласно формулам (2.6) и (2.8), для последней компоненты вектора (5.3) получим неоднородное уравнение Гельмгольца

$-\mu {\Delta }_{\xi }{W}_s\left(\xi \right)-M_1{W}_s\left(\xi \right)=\left(\lambda +\mu \right){\nabla }_{\xi }{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\xi \right);\xi \in \Pi$ (5.10)

вместе с краевыми условиями Дирихле (2.11) и Неймана

$\mu {\partial }_{\eta }{W}_s\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)=-\mu U_{\left(1\right)n}\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right);{\xi }_2\in \left(\mathrm{0,1}\right)$ (5.11)

Поскольку $M_1<M_{†}$, задача (5.10), (2.11), (5.11) имеет единственное решение, затухающее на бесконечности с экспоненциальной скоростью.

Скалярная задача для слагаемого $Z_s$, третьей компоненты вектор-функции $Z$ из разложения (5.2) однозначно разрешима — она не играет роли в вычислениях из данного раздела. В силу формул (5.1), (5.2) и (2.5) — (2.8) вектор $Z^{\text{'}}=\left({Z^{\text{'}}}_1^{},{Z^{\text{'}}}_2^{}\right):=\left({Z^{\text{'}}}_n^{},{Z^{\text{'}}}_z^{}\right)$, образованный первыми двумя компонентами, удовлетворяет задаче вида (5.4), (2.16), (2.17) с правыми частями $F^{\text{'}\text{'}}=\left({F^{\text{'}\text{'}}}_1^{},{F^{\text{'}\text{'}}}_2^{}\right)$ в системе уравнений на полуполосе $\Pi$ и $G^{\text{'}\text{'}}=\left(G_1^{\text{'}\text{'}},{G^{\text{'}}}_2^{}\right)$ в краевом условии на ее торце ${\varpi }_{\bullet }$

$\begin{array}{c}{F}^{\text{'}\text{'}}=\beta U_{\left(1\right)}^{\text{'}}-L^{\left(1\right)\text{'}}\left(W^{\text{'}}v\right)-\\ -L_{\left(s\right)}^{\left(1\right)}\left(W_s{\partial }_{s}v\right)-L^{\left(2\right)\text{'}}\left(U^{\text{'}}v\right)=\\ =\beta U_{\left(1\right)}^{\text{'}}v+\left(\mu U_{\left(1\right)}+\left(\lambda +\mu \right){\nabla }_{\xi }{W}_s\right){\partial }_s^{2}v+f^{\text{'}\text{'}}v\end{array}$ (5.12)

$\begin{array}{c}{G}_1^{\text{'}\text{'}}=-\lambda W_s{\partial }_s^{2}v+g_1^{\text{'}\text{'}}v,G_2^{\text{'}\text{'}}=\\ =0;g_1^{\text{'}\text{'}}=-\lambda \kappa W_1-\lambda {\kappa }^2\eta U_{\left(1\right)1}\end{array}$ (5.13)

Здесь $L^{\left(1\right)\text{'}}, L^{\left(2\right)\text{'}}$ и $L_{\left(s\right)}^{\left(1\right)}, L_{\left(s\right)}^{\left(2\right)}$ — верхние левые $\left(2\times 2\right)$-блоки и правые столбцы высотой два в матрицах (2.6), (2.7) соответственно. Условие разрешимости такой задачи

$\begin{array}{c}0=\beta {\int }_{\Pi }{\left|{U^{\text{'}}}_{\left(1\right)}^{}\left(\xi \right)\right|}^{2}d\xi v\left(s\right)-{\int }_{\Pi }{U^{\text{'}}}_{\left(1\right)}^{}\left(\xi \right)F^{\text{'}\text{'}}\left(\xi \right)d\xi -\\ -{\int }_{{\varpi }_{·}}{U^{\text{'}}}_{\left(1\right)}^{}\left(\mathrm{0,}\zeta \right)G^{\text{'}\text{'}}\left(\zeta \right)d\zeta \end{array}$ (5.14)

принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения на единичной окружности

$-B{\partial }_s^{2}v\left(s\right)+bv\left(s\right)=\beta v\left(s\right);s\in \partial \omega =\partial {\mathbb{B}}_1$ (5.15)

Поясним проделанные вычисления. Первое слагаемое в правой части равенства (5.14) превращается в левую часть уравнения (5.15) по причине нормировки собственной вектор-функции $U_{\left(1\right)}^{\text{'}}$ в пространстве Лебега $L^2{\left(\Pi \right)}^2$. Согласно формулам (2.6), (2.7) и (5.3), первая производная ${\partial }_{s}v$ отсутствует в выражениях (5.12) и (5.13), где отделена вторая производная ${\partial }_s^{2}v$, появляющаяся только в слагаемых $L_s^{\left(1\right)\text{'}}{W}_s{\partial }_{s}v$, $L^{\left(2\right)\text{'}}U\text{'}v$ и $G_1^{\text{'}}$. Поэтому выполнены соотношения

$\begin{array}{c}B=\mu {\int }_{\Pi }{\left|U_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\xi \right)\right|}^{2}d\xi +\\ +\left(\lambda +\mu \right){\int }_{\Pi }{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\xi \right){\nabla }_{\xi }{W}_s\left(\xi \right)d\xi -\\ -\lambda {\int }_0^1{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)W_s\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)d{\xi }_2=\mu -D\end{array}$ (5.16)

$\begin{array}{c}D=\left(\lambda +\mu \right){\int }_{\Pi }{W}_s\left(\xi \right){\nabla }_{\xi }\cdot U_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\xi \right)d\xi -\\ -\mu {\int }_0^1{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)W_s\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)d{\xi }_2=\\ =-{\int }_{\Pi }{W}_s\left(\xi \right)\left(\mu {\Delta }_{\xi }{W}_s\left(\xi \right)+M{W}_s\left(\xi \right)\right)d\xi -\\ -\mu {\int }_0^1{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)W_s\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)d{\xi }_2=\\ ={\int }_{\Pi }\left(\mu {\left|{\nabla }_{\xi }{W}_s\left(\xi \right)\right|}^2-M_1{\left|W_s\left(\xi \right)\right|}^2\right)d\xi >0\end{array}$ (5.17)

В выкладке (5.17) помимо равенств (5.10) и (5.11) использованы формулы интегрирования по частям, включение $M_1\in \left(0,\mu {\pi }^2\right)$, а также неравенство Фридрихса (4.2).

Постоянный коэффициент

$\begin{array}{c}b={\int }_{\Pi }{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\xi \right)f^{\text{'}\text{'}}\left(\xi \right)d\xi -\\ -{\int }_0^1{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}}\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)g^{\text{'}\text{'}}\left(\mathrm{0,}{\xi }_2\right)d{\xi }_2,\end{array}$ (5.18)

вычисленный при учете равенств (2.6) — (2.8) и (5.12), (5.13), не играет существенной роли в формулах для собственных чисел и функций обыкновенного дифференциального уравнения (5.15)

$\begin{array}{c}{\beta }_k=B^{-1}{k}^2-b,v_k\left(s\right)=e^{iks}\\ k\in \mathbb{Z}\text{: = }\left\{\mathrm{0,}\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,}\dots \right\},i=\sqrt{-1}\end{array}$ (5.19)

Вместе с тем принципиально важен знак разности

$B=\mu -{\int }_{\Pi }\left(\mu {\left|{\nabla }_{\xi }{W}_s\left(\xi \right)\right|}^2-M_1{\left|W_s\left(\xi \right)\right|}^2\right)d\xi$ (5.20)

Именно, при $B>0$ собственные числа ${\beta }_j$ неограниченно возрастают при $j\to +\infty$ но при $B<0$ они убывают. Отметим, что равенство $B=0$ возможно лишь для изолированных значений постоянной Ламе $\lambda >0$ ввиду аналитической зависимости величины (5.20) от коэффициента Пуассона $v$.

К сожалению, из-за незнания собственного числа $M_1$ выяснение знака величины (5.20) остается открытым вопросом. Так, простые выкладки, доступные без какой-либо информации о собственной паре $\left\{M_1; U_{\left(1\right)}\right\}$ задачи (5.20) в полуполосе $\Pi$

$\begin{array}{c}\left(\lambda +\mu \right)\parallel {\nabla }_{\xi }{U}_{\left(1\right)}^{\text{'}};L^2\left(\Pi \right){\parallel }^2\le E\left(U_{\left(1\right)}^{\text{'}},U_{\left(1\right)}^{\text{'}};\Pi \right)=\\ =M_1\parallel U_{\left(1\right)}^{\text{'}};L^2\left(\Pi \right){\parallel }^2=M_1\end{array}$