On the Optimal Choice of Young's Modulus for a Functionally Graded Material

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The problem of maximizing the value of the first natural frequency for a functionally graded material depending on the variation law of Young's modulus is considered. It is assumed that there is a limitation on the average integral value of Young's modulus. The effect of variable material properties on the value of the first natural frequency is shown using the finite element method for the numerical solution of a two-dimensional axisymmetric problem of free oscillations of a cylinder. The optimality condition is obtained using the methods of variational calculus based on the general formulation of the problem for an inhomogeneous elastic isotropic body. It is noted that the left-hand side of this condition has a quadratic form. The problem of finding the optimal variation law of Young's modulus is essentially nonlinear in the general case and special numerical methods must be used to solve it. Three special cases are considered using the obtained optimality condition: bending vibrations of a circular solid plate, longitudinal vibrations of a rod and radial vibrations of a solid thin disk, taking into account the corresponding hypotheses. The optimal variation laws of Young's modulus and the displacement function are obtained in analytical form for all problems. Particularly, in the problem for the disk, a representation is proposed for the radial component of the displacement field, which is described by a linear law. It is shown that in this case the corresponding radial and tangential components of the stress tensor are equal. The sought-for function of the change in Young's modulus along the radial coordinate is found in analytical form from the equation of motion and the boundary condition on the outer boundary. An analytical expression is obtained for determining the value of the natural frequency, corresponding to the found solution. The accuracy of this formula is estimated by comparing it with the numerical solution obtained using the finite element method in the FlexPDE package. A comparison of the values of the natural frequency for homogeneous and inhomogeneous disks is made.

About the authors

A. O. Vatulyan

Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University

Author for correspondence.
Email: aovatulyan@sfedu.ru
Russian Federation, Rostov-on-Don

V. V. Dudarev

Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University

Email: dudarev_vv@mail.ru
Russian Federation, Rostov-on-Don

R. M. Mnukhin

Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University

Email: romamnuhin@yandex.ru
Russian Federation, Rostov-on-Don

References

  1. Suresh S., Mortensen A. Fundamentals of Functionally Graded Materials. London: IOM Commun. Ltd., 1998. 165 p.
  2. Birman V., Byrd L. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures // Appl. Mech. Rev., 2007, vol. 60, no. 5, pp. 195–216. https://doi.org/10.1115/1.2777164.
  3. Kieback B., Neubrand A., Riedel H. Processing techniques for functionally graded materials // Mater. Sci. Eng. A, 2003, vol. 362, no. 1–2. https://doi.org/10.1016/S0921-5093(03)00578-1.
  4. Naebe M., Shirvanimoghaddam K. Functionally graded materials: A review of fabrication and properties // Appl. Mater. Today, 2016, vol. 5, pp. 223–245. https://doi.org/10.1016/j.apmt.2016.10.001.
  5. Selyaev V. P., Kartashov V. A., Klementyev V. D., Lazarev A. L. Functionally Graded Composite Building Materials and Structures. Saransk: Ogarev Mordovia State Univ., 2005. 160 p. (in Russian)
  6. Saleh B., Jiang J., Fathi R. et al. 30 years of functionally graded materials: An overview of manufacturing methods, applications and future challenges // Compos. B, 2020, vol. 201, art. no. 108376. https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2020.108376.
  7. Boggarapu V., Gujjala R., Ojha S. et al. State of the art in functionally graded materials // Compos. Struct., 2021, vol. 262, art. no. 113596. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2021.113596.
  8. Olhoff N. Optimal Design of Structures: Vibration and Stability Loss Issues. Mechanics. New in Foreign Science: Collection of Articles. Iss. 27. Moscow: Mir, 1981. 277 p. (in Russian)
  9. Banichuk N. V. Optimization of Elastic Body Shapes. Moscow: Nauka, 1980. 256 p. (in Russian)
  10. Banichuk N. V. Introduction to Structural Optimization. Moscow: Nauka, 1986. 304 p. (in Russian)
  11. Yang S. T., Liang Y. J. Stacking sequence optimization of composite laminates for maximum fundamental frequency using Bayesian optimization computational framework // Results Engng., 2024, vol. 23, art. no. 102586. https://doi.org/10.1016/j.rineng.2024.102586.
  12. Narita Y., Robinson P. Maximizing the fundamental frequency of laminated cylindrical panels using layerwise optimization // Int. J. Mech. Sci., 2006, vol. 48, no. 12, pp. 1516–1524. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2006.06.008.
  13. Trias D., Maimí P., Blanco N. Maximization of the fundamental frequency of plates and cylinders // Compos. Struct., 2016, vol. 156, pp. 375–384. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2015.08.034.
  14. Marzok A., Waisman H. Topology optimization of extruded beams modeled with the XFEM for maximizing their natural frequencies // Mech. Res. Commun., 2024, vol. 135, art. no. 104234. https://doi.org/10.1016/j.mechrescom.2023.104234.
  15. Kamgar R., Rahmani F., Rahgozar R. Geometrical and material optimization of the functionally graded doubly-curved shell by metaheuristic optimization algorithms // Structures, 2024, vol. 62, art. no. 106254. https://doi.org/10.1016/j.istruc.2024.106254.
  16. Jensen J. S., Pedersen N. L. On maximal eigenfrequency separation in two-material structures: The 1D and 2D scalar cases // J. Sound & Vibr., 2006, vol. 289, no. 4–5, pp. 967–986. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2005.03.028.
  17. Du J., Olhoff N. Topological design of freely vibrating continuum structures for maximum values of simple and multiple eigenfrequencies and frequency gaps // Struct. Multidisc. Optim., 2007, vol. 34, pp. 91–110. https://doi.org/10.1007/s00158-007-0101-y.
  18. Sun J., Tian Q., Hu H., Pedersen N. L. Topology optimization for eigenfrequencies of a rotating thin plate via moving morphable components // J. Sound & Vibr., 2019, vol. 448, pp. 83–107. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2019.01.054.
  19. Li Q., Wu Q., Dou S. et al. Nonlinear eigenvalue topology optimization for structures with frequency-dependent material properties // Mech. Syst. Signal Proc., 2022, vol. 170, art. no. 108835. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2022.108835.
  20. Meng Z., Yang G., Wu Q. et al. Reliability-based topology optimization for fundamental frequency maximization with frequency band constraints // Mech. Syst. Signal Proc., 2023, vol. 195, art. no. 110295. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2023.110295.
  21. Bachour R. S., Nicoletti R. Natural frequencies and band gaps of periodically corrugated beams // J. Vibr. Acoust., 2021, vol. 143, no. 4, art. no. 044502. https://doi.org/10.1115/1.4048889.
  22. Shi J., Wang W., Fan Y. et al. Creating absolute band gap based on frequency locking of three wave modes in a wavy plate // J. Sound & Vibr., 2024, vol. 592, art. no. 118623. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2024.118623.
  23. Zhou L., Han W., Wan S. Low frequency band gap for box girder attached IDVAs // Thin-Walled Struct., 2022, vol. 174, art. no. 109088. https://doi.org/10.1016/j.tws.2022.109088.
  24. Niordson F. Optimal disks in vibration // Int. J. Solids Struct., 1997, vol. 34, no. 23, pp. 2957–2968. https://doi.org/10.1016/S0020-7683(97)00186-8.
  25. Blom A. W., Setoodeh S., Hol J. M. A. M., Gurdal Z. Design of variable-stiffness conical shells for maximum fundamental eigenfrequency // Comput. Struct., 2008, vol. 86, no. 9, pp. 870–878. https://doi.org/10.1016/j.compstruc.2007.04.020.
  26. Blom A. W., Stickler P. B., Gürdal Z. Optimization of a composite cylinder under bending by tailoring stiffness properties in circumferential direction // Compos. B: Engng., 2010, vol. 41, no. 2, pp. 157–165. https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2009.10.004.
  27. Vatulyan A. O., Nedin R. D. On an optimization problem for a prestressed plate with variable stiffness // Problems Strength Plast., 2024, vol. 86, no. 2, pp. 202–214. (in Russian) https://doi.org/10.32326/1814-9146-2024-86-2-202-214.
  28. Lurie A. I., Belyaev A. Theory of Elasticity. Berlin; Heidelberg: Springer, 2005. 1050 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-26455-2.
  29. Lomakin V. A. Theory of Elasticity of Inhomogeneous Bodies. Moscow: Lenand, 2014. 376 p. (in Russian)
  30. Kalinchuk V. V., Belyankova T. I. Dynamics of the Surface of Inhomogeneous Media. Moscow: Fizmatlit, 2009. 316 p. (in Russian)
  31. Vatulyan A. O. Coefficient Inverse Problems of Mechanics. Moscow: Fizmatlit, 2019. 272 p. (in Russian)
  32. Vatulyan A. O., Dudarev V. V., Mnukhin R. M. Functionally graded cylinders: Vibration analysis // ZAMM. J. Appl. Math. Mech., 2023, vol. 103, no. 11, art. no. e202200430. https://doi.org/10.1002/zamm.202200430.
  33. Vatulyan A. O., Dudarev V. V., Mnukhin R. M. Identification of characteristics of a functionally graded isotropic cylinder // Int. J. Mech. Mater. Des., 2021, vol. 17, no. 2, pp. 321–332. https://doi.org/10.1007/s10999-020-09527-5.
  34. Abovskij N. P., Andreev N. P., Deruga A. P. Variational Principles of Elasticity Theory and Shell Theory. Moscow: Nauka, 1978. 288 p. (in Russian)
  35. Gupta V. K., Murthy P. N. Optimal design of uniform non-homogeneous vibrating beams // J. Sound & Vibr., 1978, vol. 59, no. 4, pp. 521–531. https://doi.org/10.1016/S0022-460X(78)80132-1.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».