Numerical Study of the Influence of Boundary Conditions on Calculations of the Dynamics of Polydisperse Gas Suspension

Full Text

1. Введение. Динамика неоднородных сред является развивающимся разделом механики жидкости и газа. Отличием от классической гидродинамики однородных сред [1] является то, что в динамике неоднородных сред движение смеси определяется эффектами, связанными с межфазным взаимодействием. В монографии [2] изложены теоретические основы динамики различных неоднородных сред – как гомогенных, так и многофазных смесей, описаны монодисперсные модели динамики газовзвесей. В работе [3] разработаны различные математические модели течений газодисперсных сред с моно и полидисперсным составом частиц, представлены результаты расчетов полидисперсных потоков. В монографии [4] исследованы проблемы движения двухфазных сред – газожидкостных потоков с большими скоростями. Разработаны теоретические основы и методики расчета, также описаны прикладные задачи течений газожидкостных сред. В работе [5] в одномерном приближении, без учета вязкости среды разработаны математические модели динамики запыленных, газокапельных и порошковых сред приведены результаты численных расчетов. В монографии [6] разработаны математические модели и численные алгоритмы моделирования ударно-волновых и детонационных процессов в газовзвесях металлических частиц, приводятся результаты расчетов.

В статье [7] проведен обзор расчетно-теоретических и экспериментальных работ, посвященных изучению различных видов двухфазных потоков. Описаны и проанализированы результаты исследований двухфазных потоков с твердыми частицами, каплями и пузырями. Рассмотрены прикладные и фундаментальные исследования динамики газодисперсных сред в трубах, каналах и соплах. В работе [8] численно исследован теплообмен в газокапельном потоке движущемся в канале. Для моделирование дисперсного потока применялся подход Эйлера. Выявлено, что добавление капель приводит к существенному росту теплообмена между стенками канала и движущейся средой в сравнении с движением однофазной среды. В исследовании [9] изучаются волновые и релаксационные эффекты при импульсном истечении смеси газа с большим содержанием твердых частиц из цилиндрического канала. Задача сформулирована в двухскоростной двухтемпературной постановке и решалась численно. Публикация [10] посвящена численному исследованию распространения гетерогенной детонационной волны в смеси частиц алюминия и кислорода в плоском канале с линейным расширением. В серии расчетов изменялся угол наклона стенки. В работе [11] исследовано движение частицы в круглом канале с проницаемыми стенками с учетом действия на нее массовых сил. Определены траектории движения частицы при изменении характерных параметров задачи в широких диапазонах чисел Стокса. В статье [12] разработана методика и алгоритм моделирования динамических характеристик течения газа в цилиндрическом канале при дозвуковой скорости и при наличии дисперсной примеси в газе. Расчеты проводились с целью определения динамических характеристик процессов подачи в конвертеры инертных газов, содержащих дисперсные примеси. В работе [13] изучены характеристики осаждения микронных частиц на стенках круглой или сужающейся–расширяющейся трубок. В рамках подхода Эйлера разработан метод моделирования динамики частиц в трубках. Механизм осаждения частиц модели включал в себя диффузионное осаждение, термофоретическое и гравитационное осаждение. В публикации [14] в рамках подхода Эйлера–Лагранжа проведено численное моделирование движения дисперсных частиц. Моделируются два случая с разными диаметрами частиц. Исследуется накопление частиц вблизи стенок канала и вблизи оси канала. Результаты численных расчетов демонстрируют, что частицы скапливаются в низкоскоростных областях вблизи стенки канала.

В статье [15] исследуются нестационарные течения и оседание дисперсных частиц в дыхательных путях в рамках разработки математической модели дыхательной системы человека. Получены параметры течения газа с твердыми частицами в каналах, приведены поля скоростей и траектории движения твердых частиц различных размеров. В публикации [16] представлены результаты численного моделирования начального этапа импульсного течения газодисперсной смеси в канале, в целях оптимизации технологии порошкового пожаротушения и нейтрализации загрязнений. Рассматривались равномерные и неравномерные начальные концентрации дисперсных частиц. Выявлены физические эффекты отличий струи дисперсной смеси по сравнению с потоком однородной среды. Исследование [17] посвящено моделированию процессов, происходящих при движении порошка в коническом канале системы подачи зернистого материала. Выявлено, что, изменяя давление газовой фазы, можно изменять режимы течения порошково-газовой среды в коническом канале, тем самым влиять на характеристики истекающей порошково-газовой смеси. В работе [18] разработаны газодинамические модели движения многоскоростных континуумов в соплах сложной формы, моделирующих форму двухступенчатого конфузорного воздухоочистителя. Исследовано влияние силового взаимодействия газовой и дисперсной фаз на структуру течения газопылевого потока. В публикации [19] теоретически и экспериментально исследовано удаление частиц в потоке газодисперсной смеси движущейся в трубе. Рассматривалась эффективность удаления дисперсных частиц для различных режимов расхода газодисперсной среды. В статье [20] разработана численная модель движения водной пены под воздействием сильной ударной волны в лагранжевых переменных с учетом межфазного теплообмена и вязкости. Рассчитывалось течение двухфазной среды в цилиндрической области. Исследовано снижение амплитуды и скорости распространения ударной волны в газожидкостной среде за счет межфазного взаимодействия.

В работе [21] с целью оптимизации пылеудаления в шахтах моделируются течение газодисперсного потока. Несущая среда газовзвеси описывалась нестационарной системой уравнений Навье–Стокса. Определены оптимальные скорости движения газа в технологии пылеудаления воздушным потоком. В статье [22] численно исследуются процессы очистки газа от твердых взвешенных в газе частиц в аппарате очистки аэрозолей. С целью оптимизации технологии пылеудаления рассматривались конструкции пылеудаляющего устройств с различными расстояниями между вогнутыми пластинами, составляющими основу сепарационного устройства.

В публикации [23] с помощью аналитических методов исследуются процессы очистки газодисперсных сред от тонкодисперсного от мелкодисперсных капель. Рассматривается осаждение аэрозоля на стенках трубок и каналов. Сформулированы закономерности, при которых существенно возрастает осаждение мелкодисперсного капельного аэрозоля на стенках трубок и щелевых каналах осадительного элемента. В статье [24] представлена численная модель электрохимического топливного элемента. Моделируется движение двухфазной газо-жидкостной среды в канале. Динамика жидкой фазы внутри канала численно анализируется при различных рабочих режимах. Количественно оценено содержание жидкой фазы на различных участках канала. В работе [25] исследуется течение двухфазной смеси в трубе с целью оптимизации производительности градирен. Рассматривался процесс предварительного охлаждения при высоких рабочих температурах, предлагается предварительное охлаждение воздуха распылением воды. Разработана трехмерная численная модель Эйлера-Лагранжа для описания распыления испаряющейся жидкости. В публикации [26] с целью моделирования аварийных ситуаций на ядерных реакторах разработана математическая модель газожидкостного течения. Исследованы физические процессы в канале, предназначенном для наблюдения раздела жидкой и газовой фазы. Рассматривались различные механизмы осаждения и уноса капель газовой фазой.

Анализ работ демонстрирует, что исследования по моделированию течений газовзвесей, имеющие как практический, так и теоретический характер, направлены как на изучение динамики дисперсных включений в каналах и трубах, так и на исследование процессов, связанных с межфазным взаимодействием в различных течениях газодисперсных сред.

В данной работе рассматривается влияние граничных условий, заданных для течения несущей среды газовзвеси на динамику фракций дисперсной фазы, отличающихся размером дисперсных включений. Численная модель реализует континуальную методику моделирования динамики газовзвеси, предполагающею учет взаимодействия между дисперсной средой и несущей фазой. Течение несущей среды описывалось двухмерной нестационарной системой уравнений Навье–Стокса [27].

2. Математическая модель. Движение несущей среды описывается системой уравнений Навье–Стокса для сжимаемого теплопроводного газа c учетом межфазного силового взаимодействия и теплообмена [5, 27–32]:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \left(\rho \right)=0$

$\frac{\partial \rho V_{}^k}{\partial t}+{\nabla }^i\left(\rho {V_{}}^k{V}_{}^i+{\delta }_{ik}p-{{\tau }_i}_k\right)=-\sum _{j=1}^n{F}_{kj}^{}+\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{\nabla }^{k}p$ (1.1)

$\begin{array}{l}\frac{\partial e}{\partial t}+{\nabla }^i\left(V_{}^i\left(e+p-{\tau }_{ii}\right)-V_{}^k{\tau }_{ki}-\lambda {\nabla }^{i}T\right)=\\ =\sum _{j=1}^n-Q_j-\sum _{j=1}^n\left|F_{kj}\right|\left(V_{}^k-V_j^k\right)+\sum _{j=1}^n{\alpha }_j{\nabla }^k\left(p{V}_{}^k\right)\end{array}$

Тензоры вязких напряжений записываются следующим образом:

${\tau }_{11}=\mu \left(2\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{2}{3}D\right),$ ${\tau }_{22}=\mu \left(2\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{2}{3}D\right)$

${\tau }_{12}=\mu \left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right),$ $D=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}$

Динамика каждой из фракций дисперсной фазы описывается системой уравнений:

$\frac{\partial {\rho }_j}{\partial t}+\nabla \left({{\rho }_j}_j\right)=0$

$\frac{\partial {\rho }_j{V}_j^k}{\partial t}+{\nabla }^i\left({\rho }_j{V}_j^i{V}_j^k\right)=F_{kj}^{}-{\alpha }_j{\nabla }^{k}p$ (1.2)

$\frac{\partial \left(e_j\right)}{\partial t}+{\nabla }^k\left(e_j{V}_j^k\right)=Q_j$

Здесь p, ${\rho }_1$, u₁, v₁ – давление, плотность, декартовы составляющие скорости несущей среды в направлении осей х и у соответственно; Т₁, е₁ – температура и полная энергия газа; ${\rho }_j$_, Т_j, е_j, u_j, v_j – средняя плотность, температура, внутренняя энергия, декартовы составляющие скорости j-ой фракции дисперсной фазы в направлении осей х, у. Для описания массопереноса фракций дисперсной фазы применялась функция средней плотности [5, 6] являющаяся произведением физической плотности, остающейся неизменной на объемное содержание, являющееся функцией временной и пространственных переменных. Температура несущей среды находится из уравнения $T_1=\left(\gamma -1\right)\left(e\text{}/\text{}{\rho }_1-\left(u_1^2+v_1^2\right)\text{}/\text{}2\right)\text{}/\text{}R$, где R – газовая постоянная несущей фазы, $\mu$ – вязкость газа, $\lambda$ – теплопроводность газа, $\gamma$ – постоянная адиабаты, c – скорость звука, $c=\sqrt{M^{-1}\gamma RT}$, М – молярная масса газа. Внутренняя энергия j-ой фракции дисперсной фазы определяется как e_j =${\rho }_j$ C_pjT_j, где С_рj – удельная теплоемкость единицы массы вещества j-ой фракции дисперсной фазы, средняя плотность дисперсной фазы вычисляется из выражения ${\rho }_j={\alpha }_j{\rho }_{j0}$, где ${\alpha }_j$ – объемное содержание j-ой фракции дисперсной фазы, ${\rho }_{j0}$ – физическая плотность материала j-ой фракции, F_kj – k-ая пространственные составляющие силы аэродинамического сопротивления:

$F_{{}_{1j}}=\frac{3}{4}\frac{{\alpha }_j}{d_j}{C}_d{\rho }_1\sqrt{{\left(u-u_j\right)}^2+{\left(v-v_j\right)}^2}\left(u-u_j\right)$

$F_{2j}=\frac{3}{4}\frac{{\alpha }_j}{d_j}{C}_{dj}{\rho }_1\sqrt{{\left(u-u_j\right)}^2+{\left(v-v_j\right)}^2}\left(v-v_j\right)$

$Q=6{\alpha }_j\lambda N{u}_j\left(T-T_j\right)\text{}/\text{}{d}_j^2$ – поток тепла между несущей средой и j-ой фракцией дисперсной фазы. Здесь Nu_j – относительное число Нуссельта [5] d_j – диаметр частицы. Число Нуссельта определяется с помощью известной аппроксимации в зависимости от относительное число Маха – M_j, относительное число Рейнольдса – Re_j, число Прандтля [5] – Pr:

$M_j=\left|\overline{V}-{\overline{V}}_j\right|\text{}/\text{}c$, ${\mathrm{Re}}_j=\rho \left|\overline{V}-{\overline{V}}_j\right|d_j{\mu }^{-1}$, $\mathrm{Pr}=C_p\mu {\lambda }^{-1}$

$N{u}_j=2\exp \left(-M_j\right)+0.459{\mathrm{Re}}_j^{0.55}{\mathrm{Pr}}^{0.33}$, $0\le M_j\le 2$, $0\le {\mathrm{Re}}_j<2\cdot {10}^5$

Коэффициент аэродинамического сопротивления вычислялся с использованием следующего выражения [5]:

$C_{dj}=\frac{24}{{\mathrm{Re}}_j}+\frac{4}{{{\mathrm{Re}}^{0.5}}_j}+0.4$

Система уравнений (1.1)–(1.2) интегрировалась явным конечно-разностным методом Мак-Кормака второго порядка точности [33]. Для подавления численных осцилляций применялась схема нелинейной коррекции сеточной функции [27, 34]. В конечно-разностной аппроксимации на границах расчетной области для газа и k-ой фракции дисперсной фазы задавались однородные граничные условия Неймана:

$u\left(t\mathrm{,1,}j\right)=u_0$, $u_k\left(t\mathrm{,1,}j\right)=u_0$

$v\left(t\mathrm{,1,}j\right)=0$, $v_k\left(t\mathrm{,1,}j\right)=0$

$u\left(t,N_x,j\right)=u\left(t,N_x-\mathrm{1,}j\right)$, $u_k\left(t,N_x,j\right)=u_k\left(t,N_x-\mathrm{1,}j\right)$

$v\left(t,N_x,j\right)=v\left(t,N_x-\mathrm{1,}j\right)$, $v_k\left(t,N_x,j\right)=v_k\left(t,N_x-\mathrm{1,}j\right)$

$u\left(t,i\mathrm{,1}\right)=0$, $u_k\left(t,i\mathrm{,1}\right)=u_k\left(t,i\mathrm{,2}\right)$

$v\left(t,i\mathrm{,1}\right)=0$, $v_k\left(t,i\mathrm{,1}\right)=v_k\left(t,i\mathrm{,2}\right)$

$u\left(t,i,N_y\right)=0$, $u_k\left(t,i,N_y\right)=u_k\left(t,i,N_y-1\right)$

$v\left(t,i,N_y\right)=0$, $v_k\left(t,i,N_y\right)=v_k\left(t,i,N_y-1\right)$

$\rho \left(t\mathrm{,1,}j\right)=\rho \left(t\mathrm{,2,}j\right)$, ${\rho }_k\left(t\mathrm{,1,}j\right)={\rho }_k\left(t\mathrm{,2,}j\right)$

$\rho \left(t,N_x,j\right)=\rho \left(t,N_x-\mathrm{1,}j\right)$, ${\rho }_k\left(t,N_x,j\right)={\rho }_k\left(t,N_x-\mathrm{1,}j\right)$

${\rho }_1\left(t,i\mathrm{,1}\right)={\rho }_1\left(t,i\mathrm{,2}\right)$, ${\rho }_k\left(t,i\mathrm{,1}\right)={\rho }_k\left(t,i\mathrm{,2}\right)$

${\rho }_1\left(t,i,N_y\right)={\rho }_1\left(t,i,N_y-1\right)$, ${\rho }_k\left(t,i,N_y\right)={\rho }_k\left(t,i,N_y-1\right)$

$e\left(t\mathrm{,1,}j\right)=e\left(t\mathrm{,2,}j\right)$, $e_k\left(t\mathrm{,1,}j\right)=e_k\left(t\mathrm{,2,}j\right)$

$e\left(t,N_x,j\right)=e\left(t,N_x-\mathrm{1,}j\right)$, $e_k\left(t,N_x,j\right)=e_k\left(t,N_x-\mathrm{1,}j\right)$

$e\left(t,i\mathrm{,1}\right)=e\left(t,i\mathrm{,2}\right)$, $e_k\left(t,i\mathrm{,1}\right)=e_k\left(t,i\mathrm{,2}\right)$

$e\left(t,i,N_y\right)=e\left(t,i,N_y-1\right)$, $e_k\left(t,i,N_y\right)=e_k\left(t,i,N_y-1\right)$

$p\left(t\mathrm{,1,}j\right)=p\left(t\mathrm{,2,}j\right)$, $p\left(t,N_x,j\right)=p\left(t,N_x-\mathrm{1,}j\right)$

$p\left(t,i\mathrm{,1}\right)=p\left(t,i\mathrm{,2}\right)$, $p\left(t,i,N_y\right)=p\left(t,i,N_y-1\right)$

Здесь N_x N_y – количество узлов, i, j − нумерация узлов в х и у направлениях соответственно. В работе [28] проводилось сопоставление результатов численных расчетов, проведенных по описанной модели с результатами физического эксперимента и аналитическими расчетами.

3. Результаты расчетов. В расчетах задавались следующие параметры несущей фазы газовзвеси: М = 29 · 10^–3 кг/моль – молярная масса воздуха, теплопроводность несущей среды предполагалась равной – = 0.02553 Вт/(м · К), динамическая вязкость несущей среды – = 1.72 · 10^–5 Па · с,  = 1.4, R = 8.31 Дж/(моль · K). Начальная плотность несущей среды – ρ₀ = 1.29 кг/м³. В работе моделировалось течение полидисперсной газовзвеси. Моделируемая область течения представляет собой прямоугольный канал с длиной сторон – L = 0.4 м и шириной h = 0.1 м (рис. 1), на входе в канал задаются начальные значения продольной составляющей скорости несущей среды и фракций дисперсной фазы – u₀ = 17 м/c. Физическая плотность материала фракций дисперсной фазы ${\rho }_{i0}$ = 2500 кг/м³, начальное объемное содержание фракций дисперсной фазы – ${\alpha }_{i0}$ = 0.00008. Фракции дисперсной фазы имели диаметры частиц соответственно – d₁ = 2 мкм, d₂ = 4 мкм, d₃ = 8 мкм d₄ = 20 мкм, d₅ = 40 мкм.

Рис. 1. Общая схема моделируемого течения

В представленных численных расчетах предполагалось, что при описании движения несущей среды для составляющих скорости газа задавались однородные граничные условия Дирихле на боковых поверхностях канала. Для всех фракций дисперсной фазы на боковых поверхностях канала задавались однородные граничные условия Неймана.

На рис. 2 представлено пространственное распределение модуля скорости однородного газа и несущей среды полидисперсной газовзвеси. За счет межфазного взаимодействия несущей среды и фракций дисперсной фазы значение модуля скорости несущей среды имеет меньшее значение, чем в однородном газе.

Рис. 2. Пространственное распределение вдоль поперечного сечения модуля скорости однородного газа и несущей среды газовзвеси – y (x = L/2), момент времени t = 30 мс

На рис. 3 представлены пространственные распределения модуля скорости несущей среды – рис. 3, а и фракций дисперсной фазы с различными размерами дисперсных включений – рис. 3, б–г; в момент времени t = 30 мс. Пространственное распределение модуля скорости несущей среды имеет “параболический” профиль [1] течения вязкой среды в канале. Профиль модуля скорости фракций дисперсной фазы схож с профилем движения несущей среды. При этом течение фракций дисперсной фазы описывается уравнениями динамики невязкой среды с граничными условиями “проскальзывания” на боковых поверхностях. Увеличение размера дисперсных включений приводит к большим отличиям распределений модулей скорости фракций в сравнении с распределением модуля скорости несущей среды. Для мелкодисперсных частиц (d₁ = 2 мкм) распределение профиля модуля скорости газа имеет наибольшее сходство с профилем модуля скорости несущей среды.

Рис. 3. Пространственное распределение модуля скорости несущей среды и фракций дисперсной фазы: а) несущая среда; б) фракция d₁ = 2 мкм; в) фракция d₃ = 8 мкм; г) фракция d₅ = 40 мкм

Наибольшее значении модуля скорости фракций дисперсной фазы достигается на оси симметрии канала, наименьшее значение модуля скорости достигается на границах канала (рис 4). При увеличении размера частиц фракций происходит увеличение модуля скорости частиц на границах канала и уменьшение значения модуля скорости на оси симметрии канала. Для частиц с диаметром – d₁ = 2 мкм, d₂ = 4 мкм, d₃ = 8 мкм, d₄ = 20 мкм, d₅ = 40 мкм отношение минимального и максимального значений модуля скорости частиц составляют соответственно – $\left|V_{1\min }\right|/\left|V_{1\max }\right|=11.55\%$, $\left|V_{2\min }\right|/\left|V_{2\max }\right|=17.75\%$, $\left|V_{3\min }\right|/\left|V_{3\max }\right|=29.98\%$, $\left|V_{4\min }\right|/\left|V_{4\max }\right|=63.08\%$, $\left|V_{5\min }\right|/\left|V_{5\max }\right|=70.4\%$. Таким образом увеличение размера дисперсных включений приводит к более равномерному распределению скорости фракций в поперечном сечении канала.

Рис. 4. Пространственное распределение вдоль поперечного сечения – y (x = L/2) модуля скорости фракций дисперсной фазы газовзвеси, в момент времени t = 30 мс

Для всех фракций дисперсной фазы наибольшее значение величина модуля разности скоростей несущей среды и фракций дисперсной фазы − $\sqrt{|V-V_i|}$ наблюдается на границах канала (рис. 5). Увеличение размера частиц приводит к увеличению значения скоростного скольжения между несущей средой и соответствующей фракцией дисперсной фазы.

Рис. 5. Пространственное распределение вдоль поперечного сечения – y (x = L/2) модуля разности скоростей несущей среды и фракций дисперсной фазы– y (x = L/2), t = 30 мс

Закономерность можно объяснить тем, что за счет межфазного взаимодействия динамика фракций дисперсной фазы определяется несущей средой. Увеличение размера частиц увеличивает их инерционность, таким образом динамика крупнодисперсных фракций в меньшей степени определяется динамикой несущей среды и соответственно граничные условия, задаваемые для несущей среды в меньшей степени влияют на профиль скорости фракции крупнодисперсных частиц.

Заключение. В работе численно моделировалось движение полидисперсной газовзвеси в канале. Для несущей фазы газовзвеси были заданы однородные граничные условия Дирихле на боковых поверхностях канала. Для фракций дисперсной фазы задавались однородные граничные условия Неймана. Выявлено, что в процессе движения газовзвеси за счет межфазного взаимодействия с несущей средой в канале формируется «параболический» профиль модуля скорости фракций дисперсной фазы. Максимальное значение модуля скорости фракций достигается на оси симметрии канала, минимальные значения модулей скорости фракций дисперсной фазы на боковых поверхностях канала. На динамику мелкодисперсных фракций несущая среда оказывает более существенное влияние. При увеличении размера дисперсных включений происходит уменьшение перепада значений модуля скорости дисперсной фазы в поперечном сечении канала. Таким образом для фракций более крупных частиц поперечное распределение скорости более равномерное.

Работа выполнялась в рамках государственного задания Федерального исследовательского центра Казанского научного центра Российской академии наук.

About the authors

D. A. Tukmakov

Author for correspondence.
Email: tukmakovda@imm.knc.ru
Russian Federation, Kazan

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. General scheme of the modeled flow

Download (11KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Spatial distribution along the cross-section of the velocity modulus of homogeneous gas and gas-suspension carrier medium - y (x = L/2), moment of time t = 30 ms

Download (11KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Spatial distribution of the velocity modulus of the carrier medium and dispersed phase fractions: a) carrier medium; b) fraction d1 = 2 μm; c) fraction d3 = 8 μm; d) fraction d5 = 40 μm.

Download (52KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. Spatial distribution along the cross-section - y (x = L/2) of the velocity modulus of the dispersed phase fractions of the gas suspension, at the moment of time t = 30 ms

Download (14KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5. Spatial distribution along the cross-section - y (x = L/2) of the velocity difference modulus of the carrier medium and dispersed phase fractions - y (x = L/2), t = 30 ms

Download (14KB)

Indexing metadata