Scattering of Acoustic Waves by an Inhomogeneous Elastic Cylindrical Shell of Finite Length in a Half-Space

Abstract

An analytical solution to the problem of diffraction of a plane acoustic wave on a radially inhomogeneous thick-walled elastic cylindrical shell of finite length is obtained. The cylindrical shell is located in an acoustic half-space filled with an ideal liquid. The boundary of the half-space is an acoustically rigid or acoustically soft surface. The results of calculations of the acoustic field in the far zone are presented.

Full Text

1. Введение. Создание покрытий, обеспечивающих требуемые звукоотражающие свойства тел, является актуальной проблемой. С помощью непрерывно-неоднородного упругого покрытия можно эффективно изменять характеристики рассеяния тел в определенных направлениях, если подобрать соответствующие законы неоднородности для механических параметров покрытия. Рассеиватели, имеющие форму кругового цилиндра, представляют значительный практический интерес, так как хорошо аппроксимируют многие реальные объекты и элементы конструкций.

Задачи дифракции на сплошном упругом цилиндре бесконечной длины с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, расположенном в безграничном пространстве, исследовались в [1-3], при этом в качестве источников первичного волнового возмущения полагались плоская акустическая волна [1], бесконечно длинный линейный [2] и сферический [3] источники первичного акустического возмущения. При дифракции акустических волн на цилиндрическом рассеивателе в последнем возникают как стационарные (установившиеся) моды, так и распространяющиеся волновые моды, определяемые уравнениями Похгаммера-Кри. Возникающие при этом эффекты описаны в работах [4, 5].

Однако в реальности тела находятся в присутствии ограничивающих поверхностей, влияние которых на рассеянное акустическое поле является значительным. В [6] было рассмотрено рассеяние наклонно падающей плоской акустической волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием, расположенным вблизи идеальной поверхности. В [7] решалась задача дифракции сферических и цилиндрических акустических волн абсолютно жестким цилиндром, находящимся вблизи импедансной границы. В [8, 9] с использованием интегрального уравнения Гельмгольца-Кирхгофа решалась задача дифракции звука однородным упругим цилиндром, находящимся вблизи границы упругого полупространства. При этом в [9] полагалось, что цилиндр имеет непрерывно-неоднородное покрытие.

В упомянутых выше работах полагалось, что цилиндрический рассеиватель имеет бесконечную длину. Дифракция акустических волн на телах цилиндрической формы конечной длины исследовалась гораздо в меньшей степени. Приближенное решение задачи дифракции плоской гармонической акустической волны на жестком цилиндре конечной длины было предложено в [10]. В [11, 12] получена формула для акустического давления поля, рассеянного абсолютно жестким конечным цилиндром, в дальней зоне. Дифракция акустических волн на тонкостенной цилиндрической оболочке исследовалась в [13], а акустическое рассеяние сплошным тонким упругим ограниченным стержнем изучено в [14]. В [15] в качестве рассеивателя рассматривался цилиндр с полусферическими законцовками, а решение задачи было получено с использованием метода Т-матриц. Работы [16–19] посвящены решению задачи рассеяния наклонно падающей плоской акустической волны упругой тонкостенной цилиндрической оболочкой, ограниченной двумя абсолютно твердыми полусферами. В [16] получено приближенное аналитическое выражение для амплитуды рассеяния в дальней зоне поля с помощью интеграла Кирхгофа. В [17] исследованы особенности рассеяния в случае низких частот. В [18] для определения амплитуды обратного рассеяния применяется импеданс излучения ограниченной цилиндрической области. В [19] рассматривается итерационный метод решения задачи. В [20] изучено рассеяние плоской акустической волны конечным упругим сплошным цилиндром с неоднородным упругим покрытием. В каждой из перечисленных работ о дифракции звука на цилиндрическом теле конечной длины полагалось, что рассеиватель расположен в свободном безграничном пространстве.

В настоящей работе рассматривается задача установившихся колебаний при рассеянии наклонно падающей плоской акустической волны радиально-неоднородной толстостенной упругой цилиндрической оболочкой конечной длины в присутствии идеальной (абсолютно жесткой или акустически мягкой) плоской поверхности.

2. Постановка задачи. Рассмотрим неоднородную изотропную упругую цилиндрическую оболочку конечной длины L. Оболочка имеет произвольную толщину. Ее внешний радиус – $r_1$ $\left(r_1<L\right)$, а внутренний – $r_0$. Тело находится в полупространстве, заполненном идеальной однородной жидкостью с плотностью ${\rho }_1$ и скоростью звука c. Плоская подстилающая поверхность $\Gamma$ является абсолютно жесткой или акустически мягкой. Ось оболочки параллельна плоскости $\Gamma$ и отстоит от нее на расстоянии d.

Введем прямоугольную декартову $x,y,z$ и цилиндрическую $r,\phi ,z$ системы координат, связанные с телом, таким образом, что их координатные оси  совпадают с осью вращения цилиндра, а торцы цилиндра отстоят от центра координатной системы на расстоянии $L/2$. В системе координат $x,y,z$ граница полупространства $\Gamma$ определяется уравнением $y=-d$ (рис. 1). Полагаем, что модули упругости $\lambda$ и $\mu$ материала неоднородного цилиндрического слоя являются дифференцируемыми функциями радиальной координаты r, а плотность $\rho$ – непрерывной функцией координаты r. Будем считать, что в полости цилиндрической оболочки – вакуум.

Рис. 1. Геометрия задачи.

Пусть из внешнего пространства на оболочку падает плоская гармоническая акустическая волна, распространяющаяся в направлении волнового вектора k.

Потенциал скорости падающей волны в системе координат $x,y,z$ равен

${\Psi }_0={\tilde{A}}_0\exp \left[i\left(\cdot \right)-i\omega t\right],$

где ${\tilde{A}}_0$ – амплитуда волны, $\omega$ – круговая частота; $R=\left(x,y,z\right)$ – радиус-вектор,  $k=\left(k_x,k_y,k_z\right)$– волновой вектор; $k_x=k\cos {\phi }_0\sin {\theta }_0$, $k_y=k\sin {\phi }_0\sin {\theta }_0$, $k_z=k\cos {\theta }_0$; $k=\omega /c$ – волновое число жидкости; ${\theta }_0,{\phi }_0$ – полярный и азимутальный углы падения плоской акустической волны; $k=\left|k\right|$, t – время. В дальнейшем временной множитель $\exp \left(-i\omega t\right)$ будем опускать.

Определим акустическое поле, рассеянное конечной цилиндрической оболочкой в присутствии идеальной плоскости.

3. Аналитическое решение задачи. Распространение малых возмущений в идеальной жидкости в случае установившихся колебаний описывается уравнением Гельмгольца [21]

$\Delta \Psi +k^2\Psi =\mathrm{0,}$ (3.1)

где $\Psi$ – потенциал скорости полного акустического поля.

При этом скорость частиц  и акустическое давление  в жидкости определяется по формулам:

$v=grad\Psi ,p=i{\rho }_1\omega \Psi$

Уравнения движения упругого неоднородного цилиндрического слоя в случае установившихся колебаний описываются общими уравнениями движения сплошной среды, которые в цилиндрической системе координат имеют вид [22]

$\begin{array}{c}\frac{\partial {\sigma }_{rr}}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial {\sigma }_{r\phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial {\sigma }_{rz}}{\partial z}+\frac{{\sigma }_{rr}-{\sigma }_{\phi \phi }}{r}=-{\omega }^2\rho u_r\\ \frac{\partial {\sigma }_{r\phi }}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial {\sigma }_{\phi \phi }}{\partial \phi }+\frac{\partial {\sigma }_{\phi z}}{\partial z}+\frac{2}{r}{\sigma }_{r\phi }=-{\omega }^2\rho u_{\phi }\\ \frac{\partial {\sigma }_{rz}}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial {\sigma }_{\phi z}}{\partial \phi }+\frac{\partial {\sigma }_{zz}}{\partial z}+\frac{1}{r}{\sigma }_{rz}=-{\omega }^2\rho u_z,\end{array}$ (3.2)

где $u_r$, $u_{\phi }$, $u_z$ – компоненты вектора смещения u частиц неоднородного слоя; ${\sigma }_{ij}$ – компоненты тензора напряжений в неоднородном слое.

Используя обобщенный закон Гука [22], соотношения между компонентами тензора напряжений ${\sigma }_{ij}$ и вектора смещения u в неоднородном упругом слое запишем в виде

$\begin{array}{c}{\sigma }_{rr}=\lambda \text{div }+2\mu \frac{\partial u_r}{\partial r}{,}^{}{\sigma }_{\phi \phi }=\lambda \text{div }+2\mu \left(\frac{1}{r}\frac{\partial u_{\phi }}{\partial \phi }+\frac{u_r}{r}\right)\\ {\sigma }_{zz}=\lambda \text{div }+2\mu \frac{\partial u_z}{\partial z}{,}^{}{\sigma }_{r\phi }=\mu \left(\frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \phi }+\frac{\partial u_{\phi }}{\partial r}-\frac{u_{\phi }}{r}\right)\\ {\sigma }_{rz}=\mu \left(\frac{\partial u_z}{\partial r}+\frac{\partial u_r}{\partial z}\right){,}^{}{\sigma }_{\phi z}=\mu \left(\frac{\partial u_{\phi }}{\partial z}+\frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial \phi }\right),\end{array}$ (3.3)

где $\text{div }=\frac{\partial u_r}{\partial r}+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial u_{\phi }}{\partial \phi }+u_r\right)+\frac{\partial u_z}{\partial z}$.

Получим приближенное решение задачи, пренебрегая отражением от плоскости $\Gamma$ волн, рассеянных телом, но учитывая рассеяние цилиндрической оболочкой волны, образующейся при отражении падающей плоской волны от плоскости. Чтобы отражением от плоскости $\Gamma$ волн, рассеянных телом, можно было пренебречь, следует полагать, что $d\gg r_1$. В силу линейной постановки задачи потенциал скорости полного акустического поля  представим в виде

$\Psi ={\Psi }_0+{\Psi }_1+{\Psi }_S,$ (3.4)

где ${\Psi }_1$ – потенциал скорости волны, возникающей при отражении падающей плоской волны от плоскости $\Gamma$; ${\Psi }_S$ – потенциал скорости волн, рассеяных цилиндрической оболочкой при воздействии на нее волн с потенциалами ${\Psi }_0$ и ${\Psi }_1$.

Потенциал ${\Psi }_1$ описывает плоскую волну, отраженную от плоскости. Он удовлетворяет уравнению (3.1) и граничному условию на поверхности $\Gamma$, которое заключаются в равенстве нулю нормальной скорости частиц жидкости

$\frac{\partial }{\partial y}({\Psi }_0+{\Psi }_1){|}_{y=-d}=\mathrm{0,}$ (3.5)

если плоскость $\Gamma$ является абсолютно жесткой, и в равенстве нулю акустического давления

$({\Psi }_0+{\Psi }_1){|}_{y=-d}=\mathrm{0,}$ (3.6)

если плоскость $\Gamma$ является акустически мягкой.

Потенциал ${\Psi }_1$ имеет вид

${\Psi }_1={\tilde{A}}_1\exp \left[i\left(k_1\cdot R\right)\right],$ (3.7)

где ${\tilde{A}}_1$ – амплитуда волны; ${}_{\mathbf{1}}\left(k_{1x},k_{1y},k_{1z}\right)$ – волновой вектор отраженной от плоскости волны; $k_{1x}=kcos{\phi }_1\sin {\theta }_0$; $k_{1y}=ksin{\phi }_1\sin {\theta }_0$; ${\phi }_1$ – угол, образованный вектором $k_1$ с положительным направлением оси x. Согласно закону Снеллиуса [23], $k_{1x}=k_x$, $k_{1z}=k_z$ и ${\phi }_1=2\pi -{\phi }_0$.

Подставляя (3.7) в граничные условия (3.5) и (3.6), находим

${\tilde{A}}_1\pm {\tilde{A}}_0\exp \left(i2k_{y}d\right),$

где знаки «+» и» «–» относятся к случаям жесткой и мягкой подстилающих поверхностей соответственно.

В цилиндрической системе координат падающая и отраженная плоские волны представляются разложением [24]

${\Psi }_j={\tilde{A}}_j\exp \left(i\alpha z\right)\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i}^n{J}_n\left(\beta r\right)\exp \left[in\left(\phi -{\phi }_j\right)\right];$ $j=\mathrm{0,1,}$ (3.8)

где $J_n\left(x\right)$ – цилиндрическая функция Бесселя порядка n; $\alpha =k\cos {\theta }_0$, $\beta =k\sin {\theta }_0$.

Рассеянное оболочкой поле с учетом условий излучения на бесконечности будем искать в виде комбинации всевозможных цилиндрических волн, бегущих вдоль оси z с волновым числом h

${\Psi }_S=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(ihz\right)\sum _{n=-\infty }^{\infty }{A}_n\left(h\right)H_n\left(k_{h}r\right)\exp \left(in\phi \right)dh,$ (3.9)

где $H_n\left(x\right)$ – цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка n; $k_h=\sqrt{k^2-h^2}$. При $\left|h\right|>k$ величина $k_h$ становится мнимой. Выбор знака корня $\sqrt{k^2-h^2}$ из условия $\mathrm{Im}{k}_h\ge 0$ обеспечивает условие излучения на бесконечности [19] для потенциала ${\Psi }_S$ при $r\to \infty$. Таким образом, $k_h=\sqrt{k^2-h^2}$ при $-k\le h\le k$ и $k_h=i\sqrt{h^2-k^2}$ при $\left|h\right|>k$.

Граничные условия на внешней поверхности оболочки заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательных напряжений:

при $r=r_1$

$-i\omega u_r=v_r,{\sigma }_{rr}=-p,{\sigma }_{r\phi }=\mathrm{0,}{\sigma }_{rz}=0$ (3.10)

На внутренней поверхности оболочки должны выполняться граничные условия, заключающиеся в отсутствии нормальных и тангенциальных составляющих тензора напряжений:

при $r=r_0$

${\sigma }_{rr}=\mathrm{0,}{\sigma }_{r\phi }=\mathrm{0,}{\sigma }_{rz}=0$ (3.11)

Полагаем, что конечная упругая неоднородная оболочка шарнирно закреплена по торцам в бесконечные цилиндрические абсолютно жесткие и неподвижные экраны. В этом случае при $z=\pm L/2$ должны выполняться краевые условия [25]

$u_r=\mathrm{0,}{u}_{\phi }=\mathrm{0,}{M}_z=\mathrm{0,}{N}_z=\mathrm{0,}$ (3.12)

что означает равенство нулю радиального смещения $u_r$, углового смещения $u_{\phi }$, изгибающего момента в продольном направлении $M_z$ и продольной силы $N_z$ оболочки. При этом

$M_z=\underset{r_0}{\overset{r_1}{\int }}{\sigma }_{zz}rdr,N_z=\underset{r_0}{\overset{r_1}{\int }}{\sigma }_{zz}dr$

Поэтому условия (3.12) сводятся к следующим краевым условиям при $z=\pm L/2$:

$u_r=\mathrm{0,}{u}_{\phi }=\mathrm{0,}{\sigma }_{zz}=0$ (3.13)

Компоненты вектора смещения  в неоднородном упругом слое будем искать в виде

$\begin{array}{c}{u}_r\left(r,\phi ,z\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{q=1}^{\infty }{U}_{1nq}\left(r\right)\sin \left[k_q\left(z+L/2\right)\right]\exp \left(in\phi \right)\\ u_{\phi }\left(r,\phi ,z\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{q=1}^{\infty }{U}_{2nq}\left(r\right)\sin \left[k_q\left(z+L/2\right)\right]\exp \left(in\phi \right)\\ u_z\left(r,\phi ,z\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{q=1}^{\infty }{U}_{3nq}\left(r\right)\cos \left[k_q\left(z+L/2\right)\right]\exp \left(in\phi \right),\end{array}$ (3.14)

где $k_q=\pi q/L$. Выбор функций $k_q=\pi q/L$ в виде (3.14) обеспечивает выполнение условий (3.13).

Подставляя разложения (3.14) в уравнения (3.2) с учетом (3.3), получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций $U_{1nq}\left(r\right)$, $U_{2nq}\left(r\right)$, $U_{3nq}\left(r\right)$ для каждого n и q

$A_{nq}{U^{\text{'}\text{'}}}_{nq}+B_{nq}{U^{\text{'}}}_{nq}+C_{nq}{U}_{nq}=\mathrm{0,}$ (3.15)

где $U_{nq}={\left(U_{1nq}\left(r\right),U_{2nq}\left(r\right),U_{3nq}\left(r\right)\right)}^T$; ${\widehat{A}}_{nq}={\left(a_{nqpm}\right)}_{3\times 3}$, ${\widehat{B}}_{nq}={\left(b_{nqpm}\right)}_{3\times 3}$, ${\widehat{C}}_{nq}={\left(c_{nqpm}\right)}_{3\times 3}$ – матрицы третьего порядка с элементами:

  $a_{nq11}=\left(\lambda +2\mu \right)r^2,$ $a_{nq22}=a_{nq33}=\mu r^2,$ $a_{nqpm}=0$ $\left(p\ne m\right)$

$b_{nq11}=\left({\lambda }^{\text{'}}+2{\mu }^{\text{'}}\right)r^2+\left(\lambda +2\mu \right)r,$ $b_{nq12}=b_{nq21}=in\left(\lambda +\mu \right)r$

$b_{nq13}=-k_q\left(\lambda +\mu \right)r^2,$ $b_{nq22}=b_{nq33}={\mu }^{\text{'}}{r}^2+\mu r,$ $b_{nq23}=b_{nq32}=0$

$b_{nq31}=k_q\left(\lambda +\mu \right)r^2,$ $c_{nq11}={\omega }^2\rho r^2-\mu \left(k_q^2{r}^2+n^2+2\right)+{\lambda }^{\text{'}}r-\lambda$

$c_{nq12}=in\left({\lambda }^{\text{'}}r-\lambda -3\mu \right),$ $c_{nq13}=-k_q{\lambda }^{\text{'}}{r}^2,$ $c_{nq21}=in\left({\mu }^{\text{'}}r+\lambda +3\mu \right)$

$c_{nq22}={\omega }^2\rho r^2-{\mu }^{\text{'}}r-n^2\lambda -\mu \left(2n^2+k_q^2{r}^2+1\right),$ $c_{nq23}=-in{k}_q\left(\lambda +\mu \right)r$

$c_{nq31}=k_q\left({\mu }^{\text{'}}r+\lambda +\mu \right)r,$ $c_{nq32}=in{k}_q\left(\lambda +\mu \right)r$

$c_{nq33}={\omega }^2\rho r^2-\mu \left(2k_q^2{r}^2+n^2\right)-k_q^2\lambda r^2$

Здесь и далее штрихами обозначено дифференцирование по аргументу.

Воспользуемся следующей парой преобразований Фурье

$\tilde{f}\left(h\right)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-ihz}f\left(z\right)dz,f\left(z\right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{ihz}\tilde{f}\left(h\right)dh$

Используя формулу [26]

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{ihz}dz=\delta \left(h\right)$

и принимая во внимание четность дельта-функции Дирака $\delta \left(x\right)$, найдем преобразования Фурье по z потенциала падающей акустической волны ${\Psi }_0$ и отраженной от поверхности акустической волны ${\Psi }_1$, определяемых (3.8)

$\begin{array}{c}{\tilde{\Psi }}_j\left(h\right)={\tilde{A}}_j\sum _{n=-\infty }^{\infty }{i}^n{J}_n\left(\beta r\right)\exp \left[in\left(\phi -{\phi }_j\right)\right]\delta \left(h-\alpha \right)\\ {\Psi }_j=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(ihz\right){\tilde{\Psi }}_j\left(h\right)dh;j=\mathrm{0,1}\end{array}$ (3.16)

Учитывая то, что $u_r=0$ при $\left|z\right|>L/2$, преобразование Фурье по z радиального смещения неоднородного упругого слоя будет иметь вид

$\begin{array}{c}{\tilde{u}}_r\left(h\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{q=1}^{\infty }{U}_{1nq}\left(r\right)g_q\left(h\right)\exp \left(in\phi \right)\\ u_r=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\exp \left(ihz\right){\tilde{u}}_r\left(h\right)dh,\end{array}$ (3.17)

где

$g_q\left(h\right)={\left(-i\right)}^{q-1}\frac{L}{4\pi }\left[\frac{\sin k_q^{\left(+\right)}}{k_q^{\left(+\right)}}-{\left(-1\right)}^q\frac{\sin k_q^{\left(-\right)}}{k_q^{\left(-\right)}}\right]$

$k_q^{\left(+\right)}=\left(hL+\pi q\right)/\mathrm{2,}{k}_q^{\left(-\right)}=\left(hL-\pi q\right)/2$

Из условия равенства нормальных скоростей при $r=r_1$ (первое условие (3.10)) с учетом (3.16), (3.17), принимая во внимание соотношение ${\phi }_1=2\pi -{\phi }_0$, находим коэффициенты $A_n\left(h\right)$, выраженные через $U_{1nq}\left(r_1\right)$

$\begin{array}{c}{A}_n\left(h\right)=-\frac{1}{k_h{H^{\text{'}}}_n\left(k_h{r}_1\right)}\times \\ \times \left[i^n\beta {J^{\text{'}}}_n\left(\beta r_1\right)\delta \left(h-\alpha \right)\times \left({\tilde{A}}_0{e}^{-in{\phi }_0}+{\tilde{A}}_1{e}^{in{\phi }_0}\right)+i\omega \sum _{q=1}^{\infty }{U}_{1nq}\left(r_1\right)g_q\left(h\right)\right]\end{array}$ (3.18)

Подставим во второе граничное условие (3.10) выражения (3.8), (3.9) и (3.14), домножим обе части равенства на $\sin \left[k_q\left(z+L/2\right)\right]$ и проинтегрируем по z в пределах от $-L/2$ до $L/2$. В результате получим

$\begin{array}{c}\left(\lambda \left(r_1\right)+2\mu \left(r_1\right)\right){U^{\text{'}}}_{1nq}\left(r_1\right)+\frac{\lambda \left(r_1\right)}{r_1}\times \left[U_{1nq}\left(r_1\right)+in{U}_{2nq}\left(r_1\right)-k_q{r}_1{U}_{3nq}\left(r_1\right)\right]=\\ ={\left(-1\right)}^{q+1}4\frac{\omega {\rho }_1}{L}\left[\frac{2i^n{g}_q\left(\alpha \right)\left({\tilde{A}}_0{e}^{-in{\phi }_0}+{\tilde{A}}_1{e}^{in{\phi }_0}\right)}{\beta r_1{H^{\text{'}}}_n\left(\beta r_1\right)}-\pi \omega \sum _{m=1}^{\infty }{U}_{1nm}\left(r_1\right)Z_{nmq}\right],\end{array}$ (3.19)

где

$Z_{nmq}=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{H_n\left(k_h{r}_1\right)}{k_h{H^{\text{'}}}_n\left(k_h{r}_1\right)}{g}_m\left(h\right)g_q\left(h\right)dh$

Подробный анализ последнего интеграла приведен в работе [20].

Из третьего и четвертого граничных условий (3.10) находим

$\begin{array}{c}in{U}_{1nq}\left(r_1\right)+r_1{U^{\text{'}}}_{2nq}\left(r_1\right)-U_{2nq}\left(r_1\right)=0\\ k_q{U}_{1nq}\left(r_1\right)+{U^{\text{'}}}_{3nq}\left(r_1\right)=0\end{array}$ (3.20)

Из граничных условий (3.11) получим следующие краевые условия для системы (3.15):

${\left(\frac{1}{r^2}{\widehat{A}}_{nq}{U^{\text{'}}}_{nq}+F_{nq}{U}_{nq}\right)}_{r=r_0}=\mathrm{0,}$ (3.21)

где $F_{nq}={\left(f_{nqpm}\right)}_{3\times 3}$ – матрица третьего порядка с элементами

$f_{nq11}=\lambda \left(r\right)/r,$ $f_{nq12}=in\lambda \left(r\right)/r,$ $f_{nq13}=-\lambda \left(r\right)k_q,$ $f_{nq21}=in\mu \left(r\right)/r$

$f_{nq22}=-\mu \left(r\right)/r,$ $f_{nq23}=f_{nq32}=f_{nq33}=\mathrm{0,}$ $f_{nq31}=k_q\mu \left(r\right)$

Построенная краевая задача (3.15), (3.19) – (3.21) может быть решена каким-либо аналитическим или численным методом.

Теперь представим рассеянное поле в виде интеграла Гельмгольца-Кирхгофа, позволяющего определить рассеянное акустическое поле в произвольной точке пространства по известным потенциалу поля и его нормальной производной на поверхности рассеивателя [27]

${\Psi }_S\left(R\right)=\underset{\Omega }{\iint }\left[\Psi \left(R_2\right)\frac{\partial G\left(R,R_2\right)}{\partial n}-\frac{\partial \Psi \left(R_2\right)}{\partial n}G\left(R,R_2\right)\right]d\Omega ,$ (3.22)

где $R_2$ – радиус-вектор точки, находящейся на внешней боковой поверхности цилиндрической оболочки; $G\left(R,R_2\right)$ – функция Грина для свободного пространства; $\Omega$ – боковая поверхность цилиндра; $d\Omega =r_{1}d{\phi }_{2}d{z}_2$; ${\phi }_2\in \left[\mathrm{0,2}\pi \right]$; $z_2\in \left[-L/\mathrm{2,}L/2\right]$.

Применение формулы (3.22) вызвано необходимостью устранения вклада в рассеянное поле цилиндрических абсолютно жестких экранов и учета только рассеяния звука цилиндрической оболочкой конечной длины.

Выберем функцию Грина в виде потенциала точечного источника и в цилиндрической системе координат имеет вид [24]

$G\left(R,R_2\right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\tilde{G}}_o\left(\xi \right)d\xi ,$ (3.23)

где

${\tilde{G}}_o\left(\xi \right)=\frac{i}{8\pi }{e}^{i\xi \left(z-z_2\right)}\times \sum _{m=-\infty }^{\infty }{e}^{im\left(\phi -{\phi }_2\right)}\left\{\begin{array}{l}{J}_m\left(\eta r\right)H_m\left(\eta r_2\right),r<r_2\\ J_m\left(\eta r_2\right)H_m\left(\eta r\right),r>r_2\end{array}\right.$

$\eta =\sqrt{k^2-{\xi }^2}$

Подставляя в (3.22) полное поле, определяемое выражением (3.4), с использованием (3.8), (3.9), (3.18), с учетом (3.23) и формулы [27]

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(h\right)\delta (h-\alpha )dh=f\left(\alpha \right)$,

если $\alpha$ лежит внутри $[a,b]$, а также осуществляя интегрирование по переменной ${\phi }_2$ с учетом свойства ортогональности экспоненциальных множителей, получим выражение для потенциала ${\Psi }_S$, рассеянного оболочкой

${\Psi }_S\left(\right)=\frac{i{r}_1}{4}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[W_{1n}{I}_{1n}+W_{2n}{I}_{2n}+i\omega \sum _{q=1}^{\infty }\left[I_{4nq}-I_{3nq}\right]U_{1nq}\left(r_1\right)\right]\exp \left(in\phi \right),$ (3.24)

где

$\begin{array}{c}{W}_{1n}=-\frac{i^n{J^{\text{'}}}_n\left(\beta r_1\right)H_n\left(\beta r_1\right)\left({\tilde{A}}_0{e}^{-in{\phi }_0}+{\tilde{A}}_1{e}^{in{\phi }_0}\right)}{{H^{\text{'}}}_n\left(\beta r_1\right)}\\ W_{2n}=i^n\beta {J^{\text{'}}}_n\left(\beta r_1\right)\left({\tilde{A}}_0{e}^{-in{\phi }_0}+{\tilde{A}}_1{e}^{in{\phi }_0}\right)\end{array}$

$I_{1n}=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}{e}^{i\xi z}\exp \left[i\left(\alpha -\xi \right)z_2\right]\times \eta {J^{\text{'}}}_n\left(\eta r_1\right)H_n\left(\eta r\right)d{z}_{2}d\xi$

$I_{2n}=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}{e}^{i\xi z}\exp \left[i\left(\alpha -\xi \right)z_2\right]\times J_n\left(\eta r_1\right)H_n\left(\eta r\right)d{z}_{2}d\xi$

$I_{3nq}=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}\begin{array}{c}{e}^{i\xi z}\exp \left[i\left(h-\xi \right)z_2\right]{\frac{H_n\left(k_h{r}_1\right)}{k_h{H^{\text{'}}}_n\left(k_h{r}_1\right)}}^{}{\times }^{}{g}_q\left(h\right)\eta {J^{\text{'}}}_n\left(\eta r_1\right)H_n\left(\eta r\right)d{z}_{2}dhd\xi \\ \end{array}$

$I_{4nq}=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}{e}^{i\xi z}\exp \left[i\left(h-\xi \right)z_2\right]\times g_q\left(h\right)J_n\left(\eta r_1\right)H_n\left(\eta r\right)d{z}_{2}dhd\xi$

Важно отметить, что для того, чтобы выражение (3.24) удовлетворяло условиям излучения на бесконечности, аналогично выражению (3.9), в интегралах

$I_{1n},I_{2n},I_{3nq},I_{4nq}$ следует полагать $\eta =\sqrt{k^2-{\xi }^2}$ при $-k\le \xi \le k$ и $\eta =i\sqrt{{\xi }^2-k^2}$ при $\left|\xi \right|>k$.

Потенциал скорости полного рассеянного поля имеет вид

${\Psi }_{S1}={\Psi }_1+{\Psi }_S,$ (3.25)

где ${\Psi }_S$ определяется выражением (3.24).

4. Численные исследования. На основе полученного решения были проведены расчеты зависимости безразмерной амплитуды рассеянного поля $\left|{\Psi }_{S1}\left(\phi \right)/{\tilde{A}}_0\right|$ от угловой координаты $\phi$ и зависимости коэффициента обратного звукового рассеяния $\left|{\Psi }_{S1}\left(\pi +{\phi }_0\right)/{\tilde{A}}_0\right|$ от волнового размера тела $k{r}_1$ в плоскости $z=0$ при $r=r_{\ast }$. В этом случае интегралы из (3.24) принимают вид

$\begin{array}{c}{I}_{1n}=\underset{-W}{\overset{W}{\int }}\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}\exp \left[i\left(\alpha -\xi \right)z_2\right]\eta {J^{\text{'}}}_n\left(\eta r_1\right)H_n\left(\eta r_{\ast }\right)d{z}_{2}d\xi \\ I_{2n}=\underset{-W}{\overset{W}{\int }}\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}\exp \left[i\left(\alpha -\xi \right)z_2\right]J_n\left(\eta r_1\right)H_n\left(\eta r_{\ast }\right)d{z}_{2}d\xi \\ I_{3nq}=\underset{-W}{\overset{W}{\int }}\underset{-Q}{\overset{Q}{\int }}\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}\exp \left[i\left(h-\xi \right)z_2\right]\frac{H_n\left(k_h{r}_1\right)}{k_h{H^{\text{'}}}_n\left(k_h{r}_1\right)}\times g_q\left(h\right)\eta {J^{\text{'}}}_n\left(\eta r_1\right)H_n\left(\eta r_{\ast }\right)d{z}_{2}dhd\xi \\ I_{4nq}=\underset{-W}{\overset{W}{\int }}\underset{-Q}{\overset{Q}{\int }}\underset{-L/2}{\overset{L/2}{\int }}\exp \left[i\left(h-\xi \right)z_2\right]\times g_q\left(h\right)J_n\left(\eta r_1\right)H_n\left(\eta r_{\ast }\right)d{z}_{2}dhd\xi \end{array}$ (4.1)

Полагалось, что толстостенная цилиндрическая оболочка из поливинилбутираля (r₁ = 1 м, (r₀ = 0.5 м) располагается в полупространстве, заполненном водой (${\rho }_1={10}^3$ кг/м³, $c=1485$ м/с). Расстояние от оси цилиндра до границы полупространства оценивалось величиной $d/r_1=20$. Рассматривалась как однородная цилиндрическая оболочка с характерными плотностью ${\rho }^0=1.07\cdot {10}^3$ кг/м³ и модулями упругости ${\lambda }^0=3.9\cdot {10}^9$ н/м², ${\mu }^0=9.8\cdot {10}^8$ н/м², так и неоднородная, физико-механические характеристики которой изменялись по закону

$\lambda ={\lambda }^0,\mu ={\mu }^0,\rho ={\rho }^{0}f\left(r\right)$

$f\left(r\right)=0.75\left[{\left(r_1-r\right)}^2/{\left(r_1-r_0\right)}^2+1\right];$ $r_0\le r\le r_1$

Полагалось, что плоская акустическая волна единичной амплитуды падает на цилиндрическую оболочку под углами падения $\left({\phi }_0,{\theta }_0\right)=\left(-\pi /\mathrm{3,}\pi /2\right)$ для значений $L/r_1=\mathrm{5,}100$ и $r_{\ast }=100$ м.

Решение краевой задачи (3.15), (3.19) – (3.21) получено методом сплайн-коллокации [28].

Суммирование в (3.25) проводилось в диапазоне от $-N$ до $N$ по индексу n и от 1 до N по индексу q, где $N=2\left[k{r}_1\right]+1$ [×] – целая часть числа.

Интегралы (4.1) вычислялись по квадратурным формулам, построенным на параллелепипедальных сетках Коробова [29, 30]. При этом к несобственным интегралам I-го рода применялся прием обрезания бесконечных пределов [31].

На рис. 2 представлены диаграммы направленности амплитуды рассеянного акустического поля в случае неоднородной цилиндрической оболочки для значений $k{r}_1=4$, $L/r_1=5$. На лучах диаграмм отложены значения безразмерной амплитуды рассеяния, вычисленной для соответствующих значений угла $\phi$, а стрелкой показано направление распространения падающей плоской волны. Сплошная линия соответствует случаю абсолютно жесткой поверхности, штриховая – акустически мягкой, пунктирная – оболочке, расположенной в свободном пространстве.

Рис. 2. Диаграммы направленности рассеянного поля, $k{\mathit{r}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{4}$, $\mathit{L}\mathbf{/}{\mathit{r}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{5}$.

На рис. 3, 4 представлены частотные зависимости коэффициента обратного рассеяния звука $\left|{\Psi }_{S1}\left(2\pi /3\right)/{\tilde{A}}_0\right|$ от волнового размера тела $k{r}_1$ в интервале $3\le k{r}_1\le 5$ для значений $L/r_1=\mathrm{5,}100$. Поверхность полагалась абсолютно жесткой. Пунктирные линии соответствуют однородной цилиндрической оболочке, сплошные линии – неоднородной оболочке.

Рис. 3. Частотная зависимость коэффициента обратного звукового рассеяния от волнового размера тела, $\mathit{L}\mathbf{/}{\mathit{r}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{5}$.

Рис. 4. Частотная зависимость коэффициента обратного звукового рассеяния от волнового размера тела, $\mathit{L}\mathbf{/}{\mathit{r}}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{100}$.

Заключение. На основе полученного аналитического решения задачи проведены численные расчеты, которые позволили выявить существенное влияние присутствия идеальной плоскости вблизи цилиндрического рассеивателя конечной длины на рассеянное поле. Показано, что неоднородность материала оболочки позволяет эффективно изменять характеристики рассеяния цилиндрического тела при соответствующем выборе законов неоднородности материала.

Автор выражает благодарность научному руководителю профессору Л. А. Толоконникову за постоянное внимание и полезные обсуждения.

Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства просвещения РФ, соглашение № 073-00033-24-01 от 09.02.2024, тема научного исследования “Теоретико-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике”.