About the First Integral in the Classical Problem of External Ballistics

Resumo

The transcendental first integral of the classical problem of external ballistics has been retrieved from oblivion. A change of variables was proposed that transformed the integral to a compact form. This allowed for reducing the solution of the problem to constructive quadratures.

Texto integral

1. Введение. Классическая задача внешней баллистики – задача о движении тяжелой материальной точки с учетом сопротивления, квадратично зависящего от скорости (рис. 1), сформулирована еще И. Ньютоном. Но уже Л. Эйлер, сообщая об установлении И. Бернулли в этой задаче первого интеграла, выразил удивление тому, что искусный математик Ньютон не заметил этого интеграла [1]. Однако оба они формулировали задачу в декартовых координатах, и соответствующий интеграл имел весьма громоздкий вид, не позволивший ни самому Эйлеру, ни его многочисленным последователям получить конструктивных следствий.

Рис. 1

Обсуждаемая задача редуцируется до системы двух дифференциальных уравнений

$\begin{array}{c}\frac{dV}{dt}=-g\sin \phi -k{V}^2\\ \frac{d\phi }{dt}=-\frac{g}{V}\cos \phi ,\end{array}$ (1.1)

где $V$ – скорость материальной точки, φ – угол наклона вектора ее скорости к горизонтали, g – ускорение свободного падения, k – размерный коэффициент сопротивления среды, отнесенный к массе; параметры g и k считаются постоянными.

Прежде всего, обратим внимание, что система (1.1) содержит лишь два параметра: g и k. За счет перехода к нормированным переменным можно избавиться и от этих параметров. Действительно, пусть

$V=\overline{V}v$, $t=\frac{\overline{V}}{g}\tau$, $\overline{V}=\sqrt{\frac{g}{k}}$ (1.2)

(Отметим, что значение $\overline{V}$ задает величину установившейся скорости вертикального спуска тела). Тогда уравнения (1.1) примут вид [2]

$\begin{array}{c}\frac{dv}{d\tau }=-\sin \phi -v^2\\ \frac{d\phi }{d\tau }=-\frac{1}{v}\cos \phi \end{array}$ (1.3)

Эти уравнения допускают вышеупомянутый трансцендентный первый интеграл в форме

$\frac{1}{v^2\cos {\phi }^2}+\frac{\sin \phi }{\cos {\phi }^2}+\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin \phi }{1-\sin \phi }=C$ (1.4)

Аналогичный вид, но содержащий параметры g и k, был получен уже к концу XIX века, что отражено в учебнике П. Аппеля [3].

Отметим также, что в [4] хотя бы упоминается об этом интеграле, но в некоторых учебниках (например, в [5]) о нем нет и речи.

2. Замена переменных. Введем в системе (1.3) естественную (на взгляд авторов) замену переменных [6], хотя до сих пор ее использование в известной литературе авторы не нашли:

$z=1/v^2$, $s=\text{sin}\phi$ (2.1)

Тогда уравнения (1.3) в области $\left|s\right|<1$ примут вид

$\begin{array}{c}\frac{dz}{d\tau }=2\sqrt{z}\left(1+sz\right)\\ \frac{ds}{d\tau }=-\sqrt{z}\left(1-s^2\right)\end{array}$ (2.2)

Эта система имеет одну неподвижную точку $s=-\mathrm{1,}z=1$, отвечающую аналогичной неподвижной точке в системе (1.3). Однако в ней существует дополнительное множество неподвижных точек $z=0$, которые не имеют физического смысла.

Обратим внимание на следствие из второго уравнения системы (2.2) – координата s монотонно уменьшается от своего начального значения до –1.

Дальнейший анализ будем проводить в фазовом пространстве переменных (s, z). Из системы (2.2) следует, казалось бы, уравнение фазовых траекторий

$\frac{dz}{ds}=-\frac{2\left(1+sz\right)}{1-s^2}$ (2.3)

Именно в этих переменных можно увидеть некоторые замечательные свойства фазовых траекторий. Прежде всего, выпишем общее решение уравнения (2.3) (первый интеграл системы (2.2) в неявном виде)

$z=\left(1-s^2\right)\left(C-\frac{1}{2}\ln \frac{1+s}{1-s}\right)-s$ (2.4)

Как и в (1.4), оно представляет собой семейство функций $z=z(s\text{,}{s}_{*},z_{*})$, зависящих от координат $(s_{*},z_{*})$ некоторой начальной точки. Строго говоря, (2.4) содержит лишь один параметр $C$, и интересно раскрыть его смысл. Видно, что если положить $s_{*}=0$, то $C=z_{*}$. Постоянная интеграла в (2.4) может иметь любой знак, а переменная z – только положительна. Оказывается, что в уравнении (2.3) был потерян множитель $\sqrt{z}$. Поэтому в его решении (2.4) исчезло множество равновесий $z=0$. Нижняя полуполоса области $\left|s\right|<1$ тоже заполнена интегральными кривыми, симметричными относительно начала координат, но эти кривые отражают, так сказать, “мнимую реальность”, поскольку вдоль этих кривых не определен физический смысл изменения координат!

Если в качестве одного из начальных значений принять $z_{*}=z_0=0$ (что отвечает бесконечно большой скорости), то, обозначая соответствующее значение $s_{*}=s_{\infty }$, константа С будет зависеть только от параметра $s_{\infty }$:

$C=\frac{s_{\infty }}{1-s_{\infty }^2}+\frac{1}{2}\ln \frac{1+s_{\infty }}{1-s_{\infty }}$

На рис. 2 представлено это семейство (фазовый портрет), кривые которого образуют универсальную номограмму зависимости фазовых траекторий от $s_{\infty }$, не зависящую от параметров исходной задачи.

Рис. 2

3. Некоторые свойства фазового портрета. Прежде всего, отметим на этом портрете множества точек, в которых производные фазовых переменных обращаются в ноль. Первое множество, отвечающее равенству $\frac{ds}{d\tau }=0$, состоит из неподвижной точки ($s=-1$, $z=1$) и трех прямолинейных фазовых траекторий: ($s=1$, $z>0$), ($s=-1$, $z>1$), ($s=-1$, s = –1, $0<z<1$). Второе множество, отвечающее равенству $\frac{dz}{d\tau }=0$, состоит из множества точек (отмеченного частым пунктиром), отвечающих достижению максимального значения $z_m$ координаты  (минимальному значению скорости V в исходных переменных). Из первого уравнения системы (2.2) следует, что точки последнего множества удовлетворяют уравнению $s_m{z}_m=-1$.

Отметим, что указанные максимальные значения достигаются при отрицательных значениях s. Это означает, что минимальное значение скорости V достигается только после прохождения материальной точкой вершины своей траектории в вертикальной плоскости (на вершине, очевидно, $s=0$).

На рисунке хорошо видно, что изображающая точка, двигаясь по любой фазовой траектории, войдет в точку $s=-\mathrm{1,}z=1$, то есть все движения материальной точки завершаются на стационарном вертикальном спуске с постоянной скоростью.

Предположим, что $(s_{*},z_{*})$ – это начальные условия старта. Тогда, очевидно, что отрезок кривой от этой точки до (0, $s_{\infty }$) существует лишь виртуально, так сказать, на предыстории движения. На рис. 2 в качестве начальной точки принято значение $z_{*}=1/4$ ($v\left(0\right)=2$), соответствующая виртуальная часть выделена пунктиром. Точки с координатами $\left(\mathrm{0,}{s}_{\infty }\right)$ оказываются полезными для анализа. В частности, из рис. 2 следует, что каждому значению $s_m=-1/z_m$ отвечает единственная точка $s_{\infty }$, так что $s_m$ является некоторой монотонной функцией от $s_{\infty }$. Отметим, что эта функция не зависит от начальных условий и исходных параметров, она носит универсальный характер.

Еще одно удобство состоит в том, что при построении фазового портрета системы (1.3) возникает вопрос [2] определения предельных значений угла φ при $t\to -\infty$. В предложенном варианте можно задать значение $s_{\infty }$ и к нему “пристроить” фазовую траекторию, что облегчает проведение глобального параметрического анализа.

Из уравнения (2.3) видно, что наклон $\frac{dz}{ds}$ фазовых траекторий при $z=0$ не зависит от знака $s_{\infty }$. Этот факт легко наблюдается и на рис. 2. Нетрудно показать, что при $z=0$ вторая производная по s тождественно равна нулю. Это означает, что для достаточно малых значений z имеет место приближенное равенство

$z\approx -\frac{2(s-s_{\infty })}{1-s_{\infty }^2}$

Как можно использовать построенную номограмму? Пусть, например, нам нужна траектория системы (1.1), проходящая через точку $(V_1,{\phi }_1)$ (в частности, это могут быть начальные стартовые условия). Вычисляем по ним значения $z_1=\sqrt{\frac{g}{k}}\frac{1}{V_1},s_1\text{=}\arcsin {\phi }_1$, находим на номограмме эту точку, соответствующую ей кривую и соответствующее значение параметра $s_{\infty }$, после чего вычисляем значение $C\left(s_{\infty }\right)$, определяем искомую траекторию из (2.3) сначала в переменных s, z, а затем в исходных переменных $V,\phi$. Рассмотрим для иллюстрации числовой пример. Пусть параметры тела таковы, что k = 0.00011, и нас интересует фазовая траектория, проходящая через точку $V_1=\mathrm{210,}{\phi }_1\text{=0.411 (}\approx {\text{23}}^{\text{o}}-{24}^{\text{o}})$. Вычисляем значения

$z_1=\sqrt{\frac{g}{k}}\frac{1}{V_1}=\mathrm{2.04,}{s}_1=\arcsin {\phi }_1=0.4$

На номограмме находим эту точку, соответствующую ей кривую и значение $s_{\infty }=0.8$ на ней. Вычисляем $C\left(s_{\infty }\right)\approx 3.32$ и получаем аналитическое выражение $z=(1-s^2)\left(3.32-\frac{1}{2}\ln \frac{1+s}{1-s}\right)-s$ искомой фазовой траектории в новых переменных или, если это необходимо, в исходных переменных

$V^2=\frac{g}{k}\frac{1}{{\cos }^2\phi \left(3.32-\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin \phi }{1-\sin \phi }\right)-\sin \phi }$

Эту формулу можно было бы получить и непосредственно из (1.1), если воспользоваться первым интегралом в исходных переменных $V,\phi \text{,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}t$ [3]. Такой подход менее удобен для дальнейшего анализа.

4. О траекториях в вертикальной плоскости. Рассмотрим теперь вопрос о траектории материальной точки в вертикальной плоскости. Известно, что эта траектория может быть найдена с помощью квадратур после решения основной задачи внешней баллистики. Соответствующие уравнения в исходных переменных имеют вид

$\begin{array}{c}\frac{dX}{dt}=V\cos \phi \\ \frac{dY}{dt}=V\sin \phi \end{array}$ (4.1)

Введем наряду с (1.2) еще нормированные переменные

$x=\frac{gX}{{\overline{V}}^2}=kX,$ $y=\frac{gY}{{\overline{V}}^2}=kY,$

и кинематические уравнения (4.1) представим в виде

$\begin{array}{l}\frac{dx}{d\tau }=v\cos \phi \\ \frac{dy}{d\tau }=v\sin \phi \end{array}$ (4.2)

Нетрудно преобразовать зависимость $z\left(s\right)$ в графики зависимостей $v_x\left(s\right)=v\cos \phi =\frac{\sqrt{1-s^2}}{\sqrt{z\left(s\right)}}$ и $v_y\left(s\right)=v\sin \phi =\frac{s}{\sqrt{z\left(s\right)}}$, но они непригодны для вычисления

квадратур в (4.2).

После замены (2.1) кинематические уравнения примут окончательную форму

$\begin{array}{l}\frac{dx}{ds}=-\frac{1}{z\left(s\right)\sqrt{1-s^2}}\\ \frac{dy}{ds}=-\frac{s}{z\left(s\right)\left(1-s^2\right)}\end{array}$ (4.3)

где $z\left(s\right)$ определяется выражением (2.4); функция $z\left(s\right)$ зависит не только от переменной s, но также и от параметра С.

На рис. 3, 4. приведены графики правых частей системы (4.2).

Рис. 3

Рис. 4

Эти графики позволяют в принципе осуществлять квадратуры (4.3), так сказать, даже вручную качественно и численно!

Отметим необычное распределение знаков соответствующих величин. Дело в том, что интегрирование этих функций будет осуществляться, так сказать, в обратном направлении, от большего предела к меньшему.

Соответствующие квадратуры вычисляются в любую сторону от любой выбранной начальной точки. Это свойство было использовано авторами настоящей статьи для аппроксимации траектории полета [6] тела даже с учетом переменности коэффициента сопротивления.

Наконец, построим “веер” траекторий движения точки с начальной скоростью $v=2$ и с различными начальными углами бросания (рис. 5). На левых участках траекторий в кружочках указаны соответствующие значения параметра $s_{\infty }$. Кроме того, на траекториях маленькими кружками отмечены точки, в которых скорость $v$ принимает значение 3 (слева) и 1 (справа). Если мы захотим построить такой же веер, но для другой начальной скорости, надо просто сдвинуть каждую траекторию так, чтобы все нужные кружочки собрались в начале координат! Для перевода нормированных значений x и y в натуральные X, Y необходимо использовать коэффициент k.

Рис. 5

На осях выделены две точки, на оси y точка $y\approx \mathrm{0.805,}$ соответствующая максимальной высоте подъема материальной точки при $s_0=1$, на оси x – точка $x\approx \mathrm{1.2,}$ обозначающая максимальную горизонтальную дальность, ей отвечает $s_{\infty }\approx \mathrm{0.7,}$ при этом $\phi \left(0\right)\approx 0.689(\approx {39}^{\text{o}})$.

Очевидно, что каждая траектория имеет две асимптоты, одна – “в прошлом”, слева – выше траекторий, вторая – в будущем, вертикальная справа. В [3] основное внимание уделялось именно обоснованию существования этой правой асимптоты. Самая правая из них имеет координату $x_{\infty }\approx 1.78$, и ей соответствует $s_{\infty }\approx 0.2$. Все левые асимптоты – прямые, по которым двигалась бы материальная точка при отсутствии тяжести. Они пересекают ось y, на этой оси полужирными точками выделен тот ее участок, который пересекается асимптотами построенных траекторий.

Выводы. Представленные в настоящей статье свойства классической задачи внешней баллистики позволяют использовать их для построения оценок траекторий движения объекта в различных практических задачах. В принципе все отмеченные вычислительные процедуры могли быть реализованы вручную уже во времена Эйлера.