Features of the photophoretic motion of an evaporating droplet in a viscous non-isothermal binary gas medium

Full Text

1. Введение. В термодинамически неравновесных по температуре и концентрации бинарных газовых средах возникает упорядоченное движение взвешенных в них аэрозольных частиц, обусловленное силами молекулярной природы. В частности, фотофоретическое движение [1, 2]. При анализе этого явления следует различать три взаимосвязанные задачи: электродинамическую задачу (расчет характеристик поглощенного электромагнитного поля в объеме частицы), тепловую задачу (расчет температурных полей в объеме и на поверхности частицы) и газокинетическую задачу (описание тепло— и массопереноса в газовой фазе, вычисление полей сил, давлений, скоростей движения частиц и т.д.).

Традиционное понимание природы фотофореза сводится к следующему: находящаяся в поле направленного излучения твердая частица поглощает электромагнитную энергию, которая преобразуется в тепло и вызывает неоднородный нагрев ее поверхности. В свою очередь, на неоднородно нагретую частицу, помещенную в газ, действует фотофоретическая сила, приводящая ее в движение. Появление этой силы обусловлено тем, что молекулы газа, окружающие частицу после соударения с ее поверхностью, отражаются от нагретой стороны с большим импульсом, чем от холодной. Частица начинает двигаться за счет нескомпенсированного импульса.

Первые расчеты распределения плотности электромагнитного поля в объеме крупных твердых сферических частиц, рассчитанные по теории Ми [3], качественно объяснили природу положительного и отрицательного фотофореза (движение частиц по и против направления распространения излучения). Однако расчеты интенсивности внутреннего поля еще не дают однозначной информации о направлении и величине фотофоретической силы и скорости движения частиц. Стало понятно, что исследование явления фотофореза должно проводиться комплексно.

Дальнейшее развитие теории фотофореза пошло по нескольким направлениям, во-первых, построение теории фотофореза для несферических частиц (цилиндрических, сфероидальных и т.п.). В этом случае возникает момент сил, приводящий к сложному и далеко не всегда прямолинейному движению частиц в поле направленного излучения [4]; во-вторых, развитие численных методов, позволяющих более точно рассчитывать распределение тепловых источников внутри частицы, например, [2, 5–7] и, в-третьих, построение теории фотофореза для летучих частиц (капель жидкости), которые широко встречаются как в природе, так и применяются в промышленности.

Интерес к исследованию этого явления (несмотря на то, что оно было открыто в начале ХХ века) не ослабевает, а только растет. Открываются все новые области применения этого явления, например, [8–12]. Все это делает фотофорез привлекательным методом как для фундаментальных исследований, так и для практических приложений.

Фотофоретическая сила может оказывать значительное влияние на процесс осаждения частиц в каналах; на движение частиц в зонах просветления аэродисперсных систем; при проведении тонкой очистки небольших объемов газов; отборе аэрозольных проб; нанесении заданной толщины специальных покрытий и т.д.

В связи с расширением приложений фотофореза возрос интерес к исследованию этого явления для твердых частиц при значительных относительных перепадах температуры в их окрестности, т.е. при температурах, близких к температурам плавления частиц. Температурное поле в этом случае существенно влияет на распределения полей скорости, давления и т.д. в окрестности частицы и в конечном итоге на силу и скорость фотофореза. В частности, гравитационное движение нагретых твердых частиц и капель рассмотрено в [13, 14], фото- и термофорез нагретых крупных твердых частиц в [15, 16].

При построении теории фотофореза нагретых твердых частиц мы сталкиваемся с большими математическими трудностями. Уравнения гидродинамики и теплопереноса с учетом зависимости коэффициентов переноса (вязкости, теплопроводности) и плотности от температуры становятся нелинейными. Например, вязкость и теплопроводность для большинства газов степенным образом зависят от температуры. Эти трудности в конечном итоге были преодолены. Например, при решении уравнений гидродинамики использовался метод интегрирования дифференциальных уравнений в виде обобщенных степенных рядов, доказаны теоремы сходимости этих рядов [17]. Проведенные численные оценки показали нелинейный характер зависимости силы и скорости фотофореза от средней температуры поверхности частицы. Показано также, что использование формул для силы и скорости фотофореза при малых относительных перепадах температуры приводят к существенным погрешностям.

В данной работе ставится задача исследования фотофореза крупных испаряющихся капель при значительных относительных перепадах температуры в их окрестности.

2. Постановка задачи. Рассматривается испаряющаяся капля сферической формы радиусом $R$ с плотностью ${\rho }_i$, теплопроводностью ${\lambda }_i$, вязкостью ${\mu }_i$. Капля взвешена в вязкой бинарной газовой смеси с плотностью ${\rho }_e$, теплопроводностью ${\lambda }_e$, коэффициентом взаимной диффузии $D_{12}$ и вязкостью ${\mu }_e$.

На частицу падает электромагнитное излучение, которое неоднородно нагревает ее поверхность. Нагрев приводит к тому, что средняя температура поверхности частицы по величине существенно отличается от температуры газообразной среды вдали от нее. Газ начинает двигаться вдоль поверхности в направлении возрастания температуры. Это явление называется тепловым скольжением газа, и оно вызывает появление фотофоретической силы. Под действием фотофоретической силы частица начинает двигаться. Наряду с фотофоретической силой на частицу действует сила вязкого сопротивления среды. Когда обе эти силы уравновешиваются по величине, частица начинает двигаться равномерно с постоянной скоростью, которую называют фотофоретической.

Бинарная газовая среда описывается двумя относительными компонентами. Первый компонент $C_1$ по своему физико-химическому составу совпадает с веществом жидкой капли. Граничная поверхность для него непрерывна. Второй компонент $C_2$ считается основным (несущим), и граничная поверхность для него непроницаема. Граница сред предполагается геометрической. Здесь $C_1=n_1/n_e$, $C_2=n_2/n_e$, $n_e=n_1+n_2$ — полное количество молекул в единице объема смеси, ${\rho }_1=n_1{m}_1$, ${\rho }_2=n_2{m}_2$, ${\rho }_e={\rho }_1+{\rho }_2$, $m_1,n_1$ и $m_2,n_2$ — масса и численная концентрация молекул первого и второго компонентов смеси.

При математическом описании фотофореза предполагается: первая компонента удовлетворяет условию $C_1\ll C_2$, что означает диффузионный режим испарения, т.е. когда основное влияние на процесс тепло- и массопереноса в окрестности капли определяется молекулярной диффузией [18, 19]. Молекулы конденсированной фазы испаряются или конденсируются при числах Маха, много меньших единицы, и учитывается влияние циркуляции вещества внутри капли. Испарение предполагается медленным. Радиус капли считается неизменным (время заметного изменения радиуса капли значительно больше времени релаксации диффузионных и тепловых неоднородностей вблизи нее). При движении капля сохраняет свою сферическую форму, т.е. силы поверхностного натяжения значительно больше силы вязкого сопротивления. Учитывается реактивный эффект, обусловленный испарением. В силу малости времени тепловой и диффузионной релаксации процесс тепло- и массопереноса в системе частица–газ протекает квазистационарно и свободной конвекцией пренебрегаем (число Грасгофа мало). Задача решается гидродинамическим методом, т.е. решаются уравнения гидродинамики и тепло- и массопереноса с соответствующими граничными условиями.

При описании свойств бинарной газовой смеси учитывается степенной вид зависимости коэффициентов молекулярного переноса от температуры [19, 20]:

${\mu }_e\left(t_e\right)={\mu }_{\infty }{t}_e^{\beta }$, ${\lambda }_e\left(t_e\right)={\lambda }_{\infty }{t}_e^{\alpha }$, $D_{12}\left(t_e\right)=D_{\infty }{t}_e^{1+\omega }$

${\lambda }_i\left(t_i\right)={\lambda }_{i0}{t}_i^{\gamma }$, ${\rho }_e={\rho }_{\infty }/t_e$, $t_e=T_e/T_{\infty }$, $t_i=T_i/T_{\infty }$, (2.1)

где ${\mu }_{\infty }={\mu }_e\left(T_{\infty }\right), {\rho }_{\infty }={\rho }_e\left(T_{\infty }\right), {\lambda }_{\infty }={\lambda }_e\left(T_{\infty }\right), D_{\infty }=D_{12}\left(T_{\infty }\right), {\lambda }_{i0}={\lambda }_i\left(T_{\infty }\right)$, $0.5\le \alpha ,\beta ,\omega \le 1$, $-1\le \gamma \le +1$. Индексы “e” и “i” здесь и далее относятся к бинарной газовой смеси и частице соответственно; индексом “s” обозначены значения физических величин, взятых при средней температуре поверхности частицы, и индексом “$\infty$” — физические величины, характеризующие газовую среду вдали от капли.

Фотофорез будем описывать в сферической системе координат ($r,\theta ,\phi$), связанной с центром масс испаряющейся капли. Ось $Oz$ направим в направлении вектора интенсивности электромагнитного поля. Таким образом, наша задача сводится к анализу обтекания испаряющейся капли бесконечным плоскопараллельным потоком газа, скорость которого $U_{\infty }$ подлежит определению ($U_{\infty }\parallel Oz$).

Распределения скоростей, давлений, относительных концентраций и температур обладают аксиальной симметрией относительно оси $Oz$. При указанном выборе начала системы координат каплю можно считать неподвижной, а внешнюю среду (газ) — движущейся в сторону, противоположную направлению ее фактического движения со скоростью $U_{ph}=U_{\infty }$ ($U_{ph}$ — скорость фотофореза).

В рамках сформулированных допущений решается следующая система газодинамических уравнений [18], описывающая распределение полей массовой скорости $U_e$ и давления $P_e$ в бинарной газовой смеси (2.2) и внутри испаряющейся капли (2.3), полей температур $T_e, T_i$ и относительной концентрации первого компонента C₁ (2.4):

$\frac{\partial }{\partial x_k}{P}_e=\frac{\partial }{\partial x_j}\left\{{\mu }_e\left[\frac{\partial U_k^e}{\partial x_j}+\frac{\partial U_j^e}{\partial x_k}-\frac{2}{3}{\delta }_k^j\frac{\partial U_n^e}{\partial x_n}\right]\right\},$ $\text{div}\left({\rho }_e{U}_e\right)=\mathrm{0,}$ $P_e=n_e{k}_B{T}_e$ (2.2)

${\mu }_i\Delta U_i=\nabla P_i,$ $\text{div}{U}_i=0$ (2.3)

$\mathrm{div}({\lambda }_e\nabla T_e)=\mathrm{0,}$ $\mathrm{div}({\lambda }_i\nabla T_i)=-q_i,$ $\mathrm{div}\left(\frac{n_e^2{m}_1{m}_2}{{\rho }_e}{D}_{12}\nabla C_1\right)=0$ (2.4)

Система уравнений (2.2) — (2.4) решалась с краевыми условиями (2.5) — (2.12). На бесконечности ($y\to \infty$), граничной поверхности ($y=1$) и при $y\to 0$ справедливы условия:

$y=1:n_2{U}_r^e+D_{12}\frac{n_e^2{m}_1}{{\rho }_{e}R}\frac{\partial C_1}{\partial y}=\mathrm{0,}$ $n_1{U}_r^e-D_{12}\frac{n_e^2{m}_2}{{\rho }_{e}R}\frac{\partial C_1}{\partial y}=n_{1i}{U}_r^i$ (2.5)

$U_{\theta }^e-U_{\theta }^i=K_{TS}^{\left(o\right)}\frac{{\nu }_e}{R{T}_e}\frac{\partial T_e}{\partial \theta }+K_{DS}^{\left(o\right)}\frac{D_{12}}{R}\frac{\partial C_1}{\partial \theta };$ $T_e=T_i$ (2.6)

$\begin{array}{c}-{\lambda }_e\frac{\partial T_e}{\partial y}+{\lambda }_i\frac{\partial T_i}{\partial y}=\\ =L\frac{n_e^2{m}_1{m}_2}{{\rho }_e}{D}_{12}\frac{\partial C_1}{\partial y}-{\sigma }_0{\sigma }_{1}R\left(T_i^4-T_{\infty }^4\right)\end{array}$ (2.7)

$\begin{array}{c}{\mu }_e\left(\frac{\partial U_{\theta }^e}{\partial y}+\frac{1}{y}\frac{\partial U_r^e}{\partial \theta }-\frac{U_{\theta }^e}{y}\right)+\frac{\partial \sigma }{\partial T_i}\frac{\partial T_i}{\partial \theta }=\\ ={\mu }_i\left(\frac{\partial U_{\theta }^i}{\partial y}+\frac{1}{y}\frac{\partial U_r^i}{\partial \theta }-\frac{U_{\theta }^i}{y}\right)\end{array}$ (2.8)

$y\to \infty :U_r^e=U_{\infty }\cos \theta ,$ $U_{\theta }^e=-U_{\infty }\sin \theta ,$ $P_e=P_{\infty },$ $T_e=T_{\infty },$ $C_1=C_{1\infty }$ (2.9)

$y\to 0:T_i\ne \infty ,$ $P_i\ne \infty ,$ $\left|U_i\right|\ne \infty$ (2.10)

Здесь $x_k$ - декартовые координаты, $U_k^e$ - компоненты массовой скорости, $y=r/R, K_{TS}^{\left(0\right)}, K_{DS}^{\left(0\right)}$ коэффициенты теплового и диффузионного скольжений, которые определяются из решения в слое Кнудсена уравнения Больцмана. В общем случае их вид зависит как от модели межмолекулярного взаимодействия, так и от масс молекул и средней температуры поверхности частицы [21, 22]. При коэффициентах аккомодации по энергии и тангенциального импульса, равных единице, $K_{TS}^{\left(0\right)}=1.161, K_{DS}^{\left(0\right)}=0.03$ [21, 22], $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения, ${\sigma }_0$ - постоянная Стефана-Больцмана, ${\sigma }_1$ - интегральная степень черноты частицы, $L$ - удельная теплота фазового перехода, $U_{\infty }$ - величина скорости набегающего потока ($U_{\infty }=\left|U_{\infty }\right|$), $n_{1i}$ - число молекул в единице объема капли, $v_e$ - кинематическая вязкость, $k_B$ - постоянная Больцмана, $q_i=\frac{4\pi n_k{a}_k}{n_s{\lambda }_0}{I}_0{B}_k$ - объемная плотность внутренних источников тепла, $m_k=n_k+i{a}_k$ - комплексный показатель преломления капли, $n_s$ - показатель преломления среды, ${\lambda }_0,I_0$ - длина волны и интенсивность падающего излучения, $B_k$ - функция координат, рассчитываемая по теории Ми [2, 5, 6, 7]. Если капля поглощает излучение как черное тело, то поглощение излучения происходит в тонком слое с толщиной $\delta \ll R$, прилегающем к нагреваемой части поверхности капли. В этом случае объемная плотность тепловых источников внутри слоя толщиной $\delta$ равна

$q_i=\left\{\begin{array}{c}-\frac{I_0}{\delta }\cos \theta ,\frac{\pi }{2}\le \theta \le \pi ,R-\delta \le r\le R\\ \mathrm{0,}0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\end{array}\right.$

Численная относительная концентрация молекул первого (испытывающего фазовый переход) компонента внешней смеси $C_1=C_{1S}\left(T_{iS}\right)$ у поверхности капли в линейном приближении по возмущению температуры $\delta T_i\left(y,\theta \right)$ должна удовлетворять условию, $C_1=C_{1S}^{\left(H\right)}\left(T_{iS}\right)+C_{1S}^{*}\left(T_{iS}\right)\delta T_i$. Здесь $C_{1S}^{\left(H\right)}\left(T_{iS}\right)=n_{1S}^{\left(H\right)}/n_e$, $n_{1S}^{\left(H\right)}$ - насыщенная концентрация молекул первого (испытывающего фазовый переход) компонента бинарной смеси, зависящая от средней температуры поверхности капли $T_{iS}$, $C_{1S}^{*}=\frac{1}{n_e}\frac{\partial n_{1S}^{\left(H\right)}}{\partial T_i}$ - производная от насыщенной концентрации насыщенных паров капли, $\delta T_i\left(y,\theta \right)$ взятая при средней температуре поверхности капли, $\delta T_i\left(y,\theta \right)$ находится из граничных условий на поверхности капли.

Указанные выше краевые условия имеют следующий физический смысл. На поверхности капли ($y=1$): непроницаемость поверхности для второго и непрерывность радиального потока для первого компонентов бинарной газовой смеси (2.5). Здесь $n_1{U}_r^e, n_2{U}_r^e$ и $D_{12}\frac{n_e^2{m}_2\partial C_1}{{\rho }_{e}R\partial y}$, $D_{12}\frac{n_e^2{m}_1\partial C_1}{{\rho }_{e}R\partial y}$ - радиальные конвективные и диффузионные потоки первой и второй компоненты соответственно; разность касательных составляющих скоростей внутренней и внешней сред, равная сумме тепловой и диффузионной скоростей скольжений, и равенство температур учтены в (2.6); в (2.7) учтены непрерывность радиальных потоков тепла с учетом тепла, идущего на фазовый переход вещества капли в первый компонент бинарной газовой смеси и на излучение, и непрерывность касательных составляющих тензора вязких напряжений с учетом зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры учтено в (2.8).

На большом расстоянии от испаряющейся капли (при $y\to \infty$) справедливы граничные условия (2.9). На бесконечности осесимметричный поток внешней среды однороден в пространстве и имеет скорость $U_{\infty }$ в направлении положительных значений оси $O_z$, а поля температуры $T_e$, давления и относительной концентрации $C_1$ летучего компонента газовой смеси не возмущены. Конечность физических величин (при $y\to \infty$), характеризующих каплю, учтено в (2.10).

Определяющими параметрами в задаче являются материальные постоянные ${\mu }_{\infty }{\lambda }_{\infty }$ и сохраняющиеся в процессе движения частицы $R,T_{\infty }$ и $U_{\infty }$. Из этих параметров можно составить безразмерную комбинацию, которую в литературе называют числом Рейнольдса $R{e}_{\infty }=\left({\rho }_{\infty }R{U}_{\infty }\right)/{\mu }_{\infty }\ll 1$. В нашей задаче число Рейнольдса играет роль малого параметра ($\epsilon =R{e}_{\infty }$). При нахождении силы и скорости фотофореза ограничимся первой поправкой малости, что достаточно для практических приложений.

При $\epsilon \ll 1$ набегающий поток оказывает лишь возмущающее влияние, поэтому решение уравнений газовой динамики будем искать в виде разложения по малому параметру.

Вид граничных условий указывает на то, что выражения для компонент массовых скоростей можно искать в виде разложений по полиномам Лежандра и Гегенбауэра [23]. Известно [23], что для определения общей силы, действующей на частицу, достаточно определить первые члены этих разложений. С учетом вышесказанного выражения для компонент массовой скорости в сферической системе координат будем искать в виде:

$U_r^e(y,\theta )=U_{\infty }G\left(y\right)\cos \theta$, $U_{\theta }^e(y,\theta )=-U_{\infty }g\left(y\right)\sin \theta$

Здесь $G\left(y\right)$ и $g\left(y\right)$ - функции, зависящие от координаты $y$.

3. Поля скоростей, давлений, температур и относительной концентрации первого компонента. Исследование линеаризованной по скорости системы уравнений Навье–Стокса (2) в сферической системе координат показало, что для большинства газов коэффициент теплопроводности капли по величине много больше коэффициента теплопроводности газа (слабая угловая асимметрия распределения температуры). Это допущение приводит к тому, что в коэффициенте вязкости можно пренебречь зависимостью от угла $\theta$ в системе “частица–газообразная среда” и считать, что вязкость бинарной смеси зависит только от температуры $t_{e0}\left(y\right)$, т.е. ${\mu }_e\left(t_e\left(y,\theta \right)\right)\approx {\mu }_e\left(t_{e0}\left(y\right)\right)$. При этом $t_e\left(y,\theta \right)\approx t_{e0}\left(y\right)+\delta t_{e0}\left(y,\theta \right)$, где $\delta t_{e0}\left(y,\theta \right)\ll t_{e0}\left(y\right)$, $\delta t_{e0}\left(y,\theta \right)$ и $t_{e0}\left(y\right)$ определяются из решения тепловой задачи.

При таком допущении можно рассматривать гидродинамическую часть отдельно от тепловой и диффузионной части, а связь между ними осуществляется с помощью граничных условий. После этого был применен метод, разработанный в работах [13–17]. В этих работах показано, что линеаризованную по скорости систему уравнений Навье–Стокса (2.2) в конечном итоге можно свести к неоднородному линейному дифференциальному уравнению третьего порядка с изолированной особой точкой. Решение полученного дифференциального уравнения ищется в виде обобщенных степенных рядов, и доказана теорема существования полученного решения [17]. Таким образом, имеем следующие выражения для компонент массовой скорости $U_e$ и давления $P_e$, удовлетворяющие краевым условиям (2.9):

$\begin{array}{c}{U}_r^e(y,\theta )=U_{\infty }\cos \theta G\left(y\right)\\ G\left(y\right)=A_1{G}_1\left(y\right)+A_2{G}_2\left(y\right)+G_3\left(y\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{U}_{\theta }^e(y,\theta )=-U_{\infty }\sin \theta g\left(y\right)\\ g\left(y\right)=A_1{G}_4\left(y\right)+A_2{G}_5\left(y\right)+G_6\left(y\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{P}_e(y,\theta )=P_{\infty }+\frac{{\mu }_{\infty }{U}_{\infty }}{R}{t}_{e0}^{\beta }\times \\ \times \left\{\begin{array}{c}\frac{y^2}{2}{G}^{\text{'}\text{'}\text{'}}+y\left[3+\frac{\beta -1}{2}yf\right]G^{\text{'}\text{'}}+\\ +\left[2-y^2{f}^{\text{'}}-\frac{\beta }{2}{y}^2{f}^2+\left(\beta -2\right)yf\right]G^{\text{'}}+\\ +\left[\frac{f}{3}-\frac{y^2{f}^{\text{'}\text{'}}}{2}-y{f}^{\text{'}}\left(2+\frac{y\beta f}{2}\right)\right]G\end{array}\right\},\end{array}$

где

$G_1\left(y\right)=\frac{1}{y^3}\sum _{n=0}^{\infty }{C}_n^{\left(1\right)}{\mathcal{l}}^n,$ $G_3\left(y\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{C}_n^{\left(3\right)}{\mathcal{l}}^n+{\omega }_3\ln \left(y\right)G_1\left(y\right)$

$f\left(y\right)=\frac{1}{t_{e0}\left(y\right)}\frac{d{t}_{e0}\left(y\right)}{dy},$ $G_2\left(y\right)=\frac{1}{y}\sum _{n=0}^{\infty }{C}_n^{\left(2\right)}{\mathcal{l}}^n+{\omega }_2\ln \left(y\right)G_1\left(y\right),$ $\mathcal{l}\left(y\right)=\frac{{\Gamma }_0}{y+{\Gamma }_0}$

$g\left(y\right)=G\left(y\right)+\frac{y}{2}\left(G^{\text{'}}\left(y\right)-f\left(y\right)G\left(y\right)\right)$

$G_k\left(y\right)=\left(1+\frac{\mathcal{l}}{2\left(1+\alpha \right)}\right)G_{k-3}\left(y\right)+\frac{1}{2}y{G^{\text{'}}}_{k-3}\left(y\right)$ $(k=\mathrm{4,5,6}),$ $f^{\text{'}}\left(y\right),f^{\text{'}\text{'}}\left(y\right),$

$G_1^{\text{'}}\left(y\right),G_2^{\text{'}}\left(y\right)$ и т.д. первая, вторая и третья производные от соответствующих функций.

Значения коэффициентов $C_n^{\left(1\right)}(n\ge 1)$, $C_n^{\left(2\right)}(n\ge 3)$ и $C_n^{\left(3\right)}(n\ge 4)$ определяются с помощью рекуррентных соотношений:

$\begin{array}{c}{C}_n^{\left(1\right)}=\frac{1}{n\left(n+3\right)\left(n+5\right)}\times \\ \times \left\{\begin{array}{c}\left[\left(n-1\right)\left(3n^2+13n+8\right)+{\gamma }_1\left(n+2\right)\left(n+3\right)\right.+\\ \left.+{\gamma }_2\left(n+2\right)\right]C_{n-1}^{\left(1\right)}-\left[\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(3n+5\right)+\right.\\ \left.+2{\gamma }_1\left(n^2-4\right)+{\gamma }_2\left(n-2\right)+{\gamma }_3\left(n+3\right)\right]C_{n-2}^{\left(1\right)}+\\ +\left(n-2\right)\left[\left(n-1\right)\left(n-3\right)+{\gamma }_1\left(n-3\right)+{\gamma }_3\right]C_{n-3}^{\left(1\right)}\end{array}\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{C}_n^{\left(2\right)}=\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n-2\right)}\times \\ \times \left\{\begin{array}{c}\left[\left(n-1\right)\left(3n^2+n-6\right)+{\gamma }_{1}n\left(n+1\right)+n{\gamma }_2\right]\times \\ \times C_{n-1}^{\left(2\right)}-\left[{\gamma }_3\left(n+1\right)+\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(3n-1\right)+\right.\\ \left.+2{\gamma }_{1}n\left(n-2\right)+{\gamma }_2\left(n-2\right)\right]C_{n-2}^{\left(2\right)}+\left(n-2\right)\times \\ \times \left[\left(n-1\right)\left(n-3\right)+{\gamma }_3+{\gamma }_1\left(n-3\right)\right]\times \\ \times C_{n-3}^{\left(2\right)}+\frac{{\omega }_2}{{\Gamma }_0^2}\sum _{k=0}^{n-2}\left(n-k-1\right)S_k^{\left(1\right)}\\ -6{\left(-1\right)}^n\frac{{\gamma }_4!}{({\gamma }_4-n)!n!}\end{array}\right\}\end{array}$

$\begin{array}{c}{C}_n^{\left(3\right)}=\frac{1}{n\left(n+2\right)\left(n-3\right)}\times \\ \times \left\{\begin{array}{c}\left(n-1\right)\left[3n^2-5n-4+{\gamma }_{1}n+{\gamma }_2\right]C_{n-1}^{\left(3\right)}-\\ -\left[\left(n-1\right)\left(n-2\right)\left(3n-4\right)+\right.\\ +\left.2{\gamma }_1\left(n-1\right)\left(n-2\right)+{\gamma }_2\left(n-2\right)+n{\gamma }_3\right]\times \\ \times C_{n-2}^{\left(3\right)}+\left(n-2\right)\left[\left(n-1\right)\left(n-3\right)+\right.\\ \left.+{\gamma }_1\left(n-3\right)+{\gamma }_3\right]C_{n-3}^{\left(3\right)}+\frac{{\omega }_3}{2{\Gamma }_0^3}\times \\ \times \sum _{k=0}^{n-3}\left(n-k-2\right)\left(n-k-1\right)S_k^{\left(1\right)}\end{array}\right\}\end{array}$

$\begin{array}{l}{S}_k^{\left(1\right)}=\left(3k^2+16k+15\right)C_k^{\left(1\right)}-\left(\left(k-1\right)\left(6k+13\right)+\right.\\ +\left.{\gamma }_1\left(2k+5\right)+{\gamma }_2\right)C_{kk-1}^{\left(1\right)}+\left(\begin{array}{l}3\left(k-1\right)\left(k-2\right)+\\ +2{\gamma }_1\left(k-2\right)+{\gamma }_3\end{array}\right)C_{k-2}^{\left(1\right)}\end{array}$

При вычислении коэффициентов $C_n^{\left(1\right)}$, $C_n^{\left(2\right)}$ и $C_n^{\left(3\right)}$ по рекуррентным формулам необходимо учитывать, что

$C_0^{\left(1\right)}=1, C_0^{\left(2\right)}=1, C_0^{\left(3\right)}=1, C_1^{\left(3\right)}=0, C_2^{\left(2\right)}=1, C_3^{\left(3\right)}=1$

$C_1^{\left(2\right)}=-\frac{1}{8}(2{\gamma }_1+{\gamma }_2+6{\gamma }_4),$ $\frac{{\omega }_3}{2{\Gamma }_0}=-\frac{{\gamma }_3}{60}(10+3{\gamma }_1+{\gamma }_2)$

${\gamma }_1=\frac{1-\beta }{1+\alpha }, {\gamma }_2=2\frac{1+\beta }{1+\alpha }, {\gamma }_3=\frac{2+2\alpha -\beta }{{\displaystyle {\left(1+\alpha \right)}^2}}, {\gamma }_4=\frac{\beta }{1+\alpha }$

$\frac{{\omega }_2}{{\Gamma }_0^2}=\frac{1}{15}\left[\begin{array}{c}3{\gamma }_3-(8+6{\gamma }_1+2{\gamma }_2)\times \\ \times C_1^{\left(2\right)}+3{\gamma }_4({\gamma }_4-1)\end{array}\right],$ $C_2^{\left(3\right)}=\frac{{\gamma }_3}{4},$

а коэффициенты $C_n^{\left(1\right)}, C_n^{\left(2\right)}$ и $C_n^{\left(3\right)}$ при $n<0$ равны нулю.

Общее решение системы уравнений (2.3), описывающей поле скорости и давления внутри испаряющейся капли, имеет вид [18, 23]

$U_r^i(y,\theta )=U_{\infty }\cos \theta \left(A_3+A_4{y}^2\right),$ $U_{\theta }^i(y,\theta )=-U_{\infty }\sin \theta \left(A_3+2A_4{y}^2\right)$

$P_i^{}(y,\theta )=P_0+10\frac{{\mu }_i}{R}{U}_{\infty }\cos \theta A_4{y}^2$

Постоянные интегрирования $A_1,A_2,A_3,A_4,{\Gamma }_0$ определяются из краевых условий задачи.

Решения уравнений теплопроводности вне и внутри капли ищутся методом разделения переменных, а решение уравнения диффузии сводится к неоднородному линейному дифференциальному уравнению второго порядка с изолированной особой точкой. Решение полученного дифференциального уравнения ищется в виде обобщенных степенных рядов [24]. Таким образом, общие решения уравнений тепло— и массопереноса, удовлетворяющие краевым условиям (2.9) — (2.10), имеют вид:

$t_e\left(y,\theta \right)=t_{e0}\left(y\right)+\epsilon t_{el}\left(y,\theta \right),$ $t_i^{}\left(y,\theta \right)=t_{i0}^{}\left(y\right)+\epsilon t_{i1}^{}\left(y,\theta \right)$

$C_1^{}\left(y,\theta \right)=C_{10}^{}\left(y\right)+\epsilon C_{11}^{}\left(y,\theta \right)$

Здесь

$t_{e0}\left(y\right)={\left(1+\frac{{\Gamma }_0}{y}\right)}^{\frac{1}{1+\alpha }},$ $t_{e1}\left(y,\theta \right)=\frac{\cos \theta }{t_{e0}^{\alpha }}\frac{{\Gamma }_1}{y^2},$ $C_{10}\left(y\right)=C_{1\infty }+M_0\left(t_{e0}^{(1+\alpha -\omega )}-1\right)$

$t_{i0}\left(y\right)={\left(B_0+\frac{H_0}{y}-\frac{1}{y}\underset{y}{\overset{1}{\int }}{\psi }_{0}dy+\underset{y}{\overset{1}{\int }}\frac{{\psi }_0}{y}dy\right)}^{\frac{1}{1+\gamma }}$

$H_0=\frac{\left(1+\gamma \right)R^{2.}}{3{\lambda }_{i0}{T}_{\infty }}{J}_0,$ $H_1=\frac{R{J}_1}{3{\lambda }_{i0}{T}_{\infty }},$ ${\psi }_0\left(y\right)=-\frac{R^2(1+\gamma )}{2{\lambda }_{i0}{T}_{\infty }}{y}^2\underset{-1}{\overset{+1}{\int }}{q}_{1}dx$

$C_{11}(y,\theta )=\cos \theta \left(M_1{\Phi }_1\left(y\right)+\frac{1+\alpha -\omega }{t_{e0}^{\omega }}{M}_0\frac{{\Gamma }_1}{y^2}\right)$

$t_{i1}\left(y,\theta \right)=\frac{\cos \theta }{t_{i0}^{\gamma }}\left[\begin{array}{c}{B}_{1}y+\frac{H_1}{y^2}+\frac{1}{3}\times \\ \times \left(y\underset{1}{\overset{y}{\int }}\frac{{\psi }_1}{y^2}dy-\frac{1}{y{}^2}\underset{1}{\overset{y}{\int }}{\psi }_{1}ydy\right)\end{array}\right]$

$J_0=\frac{1}{V}\underset{V}{\int }{q}_{i}dV,$ $J_1=\frac{1}{V}\underset{V}{\int }{q}_{i}zdV,$ ${\psi }_1\left(y\right)=-\frac{3R^2}{2{\lambda }_{i0}{T}_{\infty }}{y}^2\underset{-1}{\overset{+1}{\int }}{q}_{1}xdx$

${\Delta }_0^{\left(1\right)}=1, V=\frac{4}{3}\pi R^3, x=\cos \theta , z=r\cos \theta , {\Phi }_1\left(y\right)=\frac{1}{y^2}\sum _{n=0}^{\infty }{\Delta }_n^{\left(1\right)}{\mathcal{l}}^n$

$\delta T_i(y,\theta )=t_{i1}(y,\theta )T_{\infty }, {\left.\delta T_i(y,\theta )\right|}_{y=1}=\frac{\cos \theta }{t_{is}^{\gamma }}{T}_{\infty }(B_1+H_1)$

$\underset{V}{\int }{q}_{i}zdV$ - дипольный момент плотности тепловых источников [2, 13–16], где $dV=r^2\sin \theta drd\theta d\phi$, интегрирование ведется по всему объему испаряющейся капли.

Коэффициенты ${∆}_n^{\left(1\right)}$ определяются из рекуррентных соотношений

${\Delta }_n^{\left(1\right)}=\frac{1}{n(n+3)}\left\{\begin{array}{c}(n+1)\left[2(n-1)-\frac{\omega }{1+\alpha }\right]{\Delta }_{n-1}^{\left(1\right)}-\\ -(n-2)\left[n-1-\frac{\omega }{1+\alpha }\right]{\Delta }_{n-2}^{\left(1\right)}\end{array}\right\},$

коэффициенты ${∆}_n^{\left(1\right)}$ при $n<0$ равны нулю.

Среднее значение температуры поверхности капли $T_{iS}$ находится из решения системы уравнений:

$\begin{array}{c}{t}_{iS}=t_{eS},{\Gamma }_0=t_{eS}^{1+\alpha }-\mathrm{1,}{M}_0=\frac{C_{1S}^{\left(H\right)}-C_{1\infty }}{t_{eS}^{(1+\alpha -\omega )}-1}\\ \frac{{\mathcal{l}}^{\left(S\right)}}{1+\alpha }{t}_{eS}=\frac{R^2}{3{\lambda }_{eS}{T}_{\infty }}{J}_0-L\frac{n_{\infty }^2{m}_1{m}_2{D}_{12}^{\left(S\right)}}{{\rho }_{\infty }{T}_{\infty }{\lambda }_{eS}}\times \\ \times \frac{1+\alpha -\omega }{1+\alpha }{M}_0{\mathcal{l}}^{\left(S\right)}{t}_{eS}^{\alpha -\omega }-{\sigma }_0{\sigma }_1\frac{R{T}_{\infty }^3}{{\lambda }_{eS}}\left(t_{eS}^4-1\right)\end{array}$

Здесь $T_{iS}=T_{\infty }{t}_{iS}$, $T_{eS}=T_{\infty }{t}_{eS}$, $T_{iS}=t_{i0}\left(y=1\right)$, $T_{eS}=t_{e0}\left(y=1\right)$, ${\lambda }_{eS}={\lambda }_{\infty }{t}_{eS}^{\alpha }$, ${\lambda }_{iS}={\lambda }_{i0}{t}_{iS}^{\gamma }$, $n_{\infty }=n_e\left(T_{\infty }\right)$, ${\rho }_{\infty }={\rho }_e\left(T_{\infty }\right)$, $D_{12}^{\left(S\right)}=D_{\infty }{t}_{eS}^{1+\omega }$, $l^{\left(S\right)}=l\left(y=1\right)$.

4. Фотофоретическая сила и скорость. Анализ полученных результатов. Результирующая сила, действующая на частицу, определяется интегрированием тензора напряжений по поверхности [18]:

$F_z=\underset{\left(S\right)}{\int }{\left.\left(\begin{array}{l}-P_e\cos \theta +{\sigma }_{rr}\times \\ \times \cos \theta -{\sigma }_{rq}\sin \theta \end{array}\right)r^2\sin \theta d\theta d\phi \right|}_{r=R}$ (4.1)

Здесь ${\sigma }_{rr}, {\sigma }_{r\theta }$ — компоненты тензора напряжений [18].

После подстановки в (4.1) выше полученных выражений и интегрирования получаем, что результирующая сила складывается из силы вязкого сопротивления среды $F_{\mu }$ и фотофоретической силы $F_{ph}$, где $n_z$ — единичный вектор в направлении оси $Oz$,

$F_{\mu }=6\pi R{\mu }_{\infty }{f}_{\mu }{U}_{\infty }{n}_z$, $F_{ph}=-6\pi R{\mu }_{\infty }{f}_{ph}{J}_1{n}_z$ (4.2)

Значения коэффициентов $f_{\mu }$ и $f_{ph}$ могут быть оценены с помощью следующих формул:

$f_{\mu }=\frac{2}{3}\frac{N_2\left(1\right)+N_3\left(1\right)\frac{{\mu }_{eS}}{3{\mu }_{iS}}}{N_1\left(1\right)+N_4\left(1\right)\frac{{\mu }_{eS}}{3{\mu }_{iS}}},$ $N_1\left(1\right)=G_1\left(1\right)G_2^{\text{'}}\left(1\right)-G_2\left(1\right)G_1^{\text{'}}\left(1\right)$

$\begin{array}{c}{N}_3\left(1\right)=G_3\left(1\right)G_1^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)-G_1\left(1\right)G_3^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)+\\ +\left(2+\frac{{\mathcal{l}}^{\left(S\right)}}{1+\alpha }\right)\left(G_3\left(1\right)G_1^{\text{'}}\left(1\right)-G_1\left(1\right)G_3^{\text{'}}\left(1\right)\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}{N}_4\left(1\right)=G_2\left(1\right)G_1^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)-G_1\left(1\right)G_2^{\text{'}\text{'}}\left(1\right)+\\ +\left(2+\frac{{\mathcal{l}}^{\left(S\right)}}{1+\alpha }\right)\left(G_2\left(1\right)G_1^{\text{'}}\left(1\right)-G_1\left(1\right)G_2^{\text{'}}\left(1\right)\right)\end{array}$

$N_2\left(1\right)=G_1\left(1\right)G_3^{\text{'}}\left(1\right)-G_3\left(1\right)G_1^{\text{'}}\left(1\right),$ $a_0=1+4{\sigma }_0{\sigma }_1\frac{R{T}_{\infty }^3{t}_{iS}^3}{{\lambda }_{iS}},$ ${\nu }_{eS}={\nu }_e\left(T_{eS}\right)$

$\begin{array}{c}\delta =a_0+2\frac{{\lambda }_{eS}}{{\lambda }_{iS}}-L\frac{n_{\infty }^2{m}_1{m}_2}{{\rho }_{\infty }{T}_{\infty }{\lambda }_{iS}{t}_{eS}}{D}_{12}^{\left(S\right)}\frac{{\Phi }_1^{\text{'}}\left(1\right)}{{\Phi }_1\left(1\right)}\times \\ \times \left(C_{1S}^{*}{T}_{\infty }-(1+\alpha -\omega )(1+2\frac{{\Phi }_1\left(1\right)}{{\Phi }_1^{\text{'}}\left(1\right)})M_0{t}_{eS}^{\alpha -\omega }\right)\end{array}$

$a_1=\frac{m_1{G}_4\left(1\right)}{{\rho }_{\infty }{G}_1\left(1\right)}\left(1-\frac{{\mu }_{eS}}{3{\mu }_{iS}}\frac{G_4^{\text{'}}\left(1\right)+G_1\left(1\right)-G_4\left(1\right)}{G_4\left(1\right)}\right),$ ${\mu }_{eS}={\mu }_e\left(T_{iS}\right), {\mu }_{iS}={\mu }_i\left(T_{iS}\right)$

$\begin{array}{l}{f}_{ph}=\frac{4}{3}\frac{G_1\left(1\right)}{\delta {\lambda }_{iS}{T}_{\infty }\left(N_1\left(1\right)+N_4\left(1\right)\frac{{\mu }_{eS}}{3{\mu }_{iS}}\right)}\times \\ \left\{\begin{array}{c}\times K_{TS}^{\left(0\right)}\frac{{\nu }_{eS}}{t_{eS}}+K_{DS}^{\left(0\right)}{D}_{12}^{\left(S\right)}{C}_{1S}^{*}{T}_{\infty }+\frac{R}{3{\mu }_{iS}}\frac{\partial \sigma }{\partial t_i}-\\ -\frac{D_{12}^{\left(S\right)}{n}_{\infty }^2}{n_{2\infty }}\frac{{\Phi }_1^{\text{'}}\left(1\right)}{{\Phi }_1\left(1\right)}\left[C_{1S}^{*}{T}_{\infty }\left(\frac{1}{n_{1i}{t}_{eS}}-a_1\right)-\right.\\ -(1+\alpha -\omega )M_0{t}_{eS}^{1+\alpha -\omega }\left(\left(\frac{1}{n_{1i}{t}_{eS}}-a_1\right)\times \right.\\ \left.\left.\times \left(1+2\frac{{\Phi }_1\left(1\right)}{{\Phi }_1^{\text{'}}\left(1\right)}\right)-\frac{{\mathcal{l}}^{\left(S\right)}}{1+\alpha }\frac{{\Phi }_1\left(1\right)}{{\Phi }_1^{\text{'}}\left(1\right)}{a}_1\right)\right]\end{array}\right\}\end{array}$

Здесь через $G_1\left(1\right), G_2\left(1\right)$ и т.д. обозначены значения соответствующих функций, взятые при $y=1$, а через $G_1^{\text{'}}, G_1^{\text{'}\text{'}}$ и т.д. первые и вторые производные от соответствующих функций.

Приравнивая полную силу к нулю (капля движется прямолинейно и равномерно: силы вязкого сопротивления среды уравновешиваются фотофоретической силой), получаем выражение для фотофоретической скорости крупной испаряющейся капли сферической формы

$U_{ph}=-\frac{f_{ph}}{f_{\mu }}{J}_1{n}_z$ (4.3)

Из формул (4.2) — (4.3) видно, что величина и направление скорости фотофореза определяются величиной и направлением дипольного момента плотности тепловых источников ${\int }_V{q}_{1}zdV{n}_z$, т.е. может иметь место как положительный фотофорез, так и отрицательный. При постоянной величине дипольного момента увеличение радиуса $R$ приводит к уменьшению фотофоретической скорости, которое происходит обратно пропорционально $R^3$. Фотофоретическая сила и скорость существенно зависят от теплопроводности вещества частицы. При ${\lambda }_i$, стремящемся к бесконечности, сила и скорость фотофореза при фиксированной величине дипольного момента стремится к нулю.

Входящий в силу и скорость фотофореза коэффициент $f_{ph}$ состоит из суммы четырех слагаемых: первое слагаемое, которое пропорционально коэффициенту теплового скольжения $K_{TS}^{\left(0\right)}$ и за счет которого испаряющаяся капля стремится двигаться в сторону падения температуры во внешней среде, т.е. из области с более высокой температурой в область с более низкой температурой; четвертое слагаемое (описывающего реактивную часть импульса, действующего на каплю) связано с фазовым переходом и циркуляцией вещества внутри капли (внутреннее течение). Они входят в коэффициент $f_{ph}$ с разными знаками. Капля может двигаться как в сторону роста, так и в сторону падения температур; третье слагаемое обусловлено переменным межфазовым поверхностным натяжением на поверхности капли. В силу того, что для большинства жидкостей поверхностное натяжение уменьшается с ростом температуры $\left(\frac{\partial \sigma }{\partial t_i}<0\right)$, то третье слагаемое дает вклад в силу и скорость, направленный в сторону роста температуры во внешней к капле среде; за счет второго слагаемого (диффузионного скольжения, которое пропорционально коэффициенту $K_{DS}^{\left(0\right)}$) капля может двигаться как в сторону роста, так и в сторону падения температуры, в зависимости от масс компонентов бинарной газовой смеси. Если масса молекул компонента внешней смеси, испытывающей фазовый переход на поверхности капли $m_1<m_2$, то $K_{DS}^{\left(0\right)}>0$. В противном случае — $K_{DS}^{\left(0\right)}<0$. Рассмотренные выше качественно слагаемые показывают, что сила и скорость фотофореза могут меняться не только по величине, но и по направлению, в зависимости от конкретных значений физических величин. Кроме того, в выражение для коэффициента $f_{ph}$ входят функции $G_1,G_2,G_3,\Phi$ и их производные, которые зависят как от средней температуры поверхности капли, так и от показателей $\alpha ,\beta ,\omega ,\gamma$. Как показали конкретные численные оценки, они также влияют на величину силы и скорости фотофореза.

Полученные в работе формулы (4.2) — (4.3) для силы сопротивления, силы и скорости фотофореза можно использовать и при малых относительных перепадах температуры. Можно оценивать, например, силу и скорость фотофореза для капель воды. В этом случае средняя температура поверхности частицы незначительно отличается от температуры окружающей газообразной среды вдали от нее и при ${\Gamma }_0\to 0$ имеем:

$G_1=\mathrm{1,}{G}_1^{\text{'}}=-\mathrm{3,} G_1^{\text{'}\text{'}}=\mathrm{12,} G_2=\mathrm{1,}$$G_2^{\text{'}}=-\mathrm{1,} G_2^{\text{'}\text{'}}=\mathrm{2,} G_3=\mathrm{1,} G_3^{\text{'}}=\mathrm{0,}{G}_3^{\text{'}\text{'}}=\mathrm{0,} N_1=\mathrm{2,}$ $N_2=\mathrm{3,} N_3=\mathrm{6,}{N}_4=\mathrm{6,}{G}_4=-1/\mathrm{2,}{G}_4^{\text{'}}=3/\mathrm{2,} {\Phi }_1=-\mathrm{1,}{\Phi }_1^{\text{'}}=-2$.

В частности, в предельном случае (${\Gamma }_0\to 0$) формулы (4.2) — (4.3) переходят в соответствующие выражения при малых относительных перепадах температуры [1, 2, 25].

Для иллюстрации (в качестве примера) влияния нагрева поверхности испаряющейся капли на силу фотофореза на рис. 1. приведены графики зависимости функций $f_{ph}^{*}=f_{ph}/f_{ph}\overline{){}_{T_{iS}=800K}}$, $f_{phm}^{*}=f_{phm}/f_{phm}\overline{){}_{T_{iS}=800K}}$ от средней температуры поверхности частицы $T_{iS}$ ($800K\le T_{iS}\le 1300K$) крупной капли лития радиусом $R=30·{10}^{-6}$ м, взвешенной в воздухе ($T_{\infty }=288K$, $P_{\infty }={10}^5$ Па, $C_{1\infty }=0.01, \alpha =0.765, \beta =0.693, \omega =0.652$). Функция $f_{phm}^{*}$ (сплошная линия на рис. 1.) оценивалась по формулам при малых относительных перепадах температуры [25], но при этом коэффициенты молекулярного переноса брались при средней температуре поверхности капли. Это сделано для того, чтобы понять, можно ли пользоваться формулами при малых относительных перепадах температуры в нашем случае или нет. Из графиков видно, что формулы для силы и скорости фотофореза, полученные при малых относительных перепадах температуры, дают существенную погрешность в случае значительных относительных перепадов температуры.

 

Рис. 1. Графики зависимости функций $f_{ph}^{*}$ и $f_{phm}^{*}$ от средней температуры поверхности частицы $T_{iS}$.

 

Заключение. В статье получены формулы, позволяющие оценивать силу сопротивления и силу и скорость фотофореза крупных испаряющихся капель сферической формы в вязкой неизотермической бинарной газовой среде при произвольных относительных перепадах температуры в их окрестности, и они носят наиболее общий характер. При описании свойств газовой среды учитывался степенной вид зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вязкости, теплопроводности, диффузии) и плотности от температуры. Численные оценки показали нелинейный характер зависимости силы и скорости фотофореза от средней температуры поверхности частицы.

About the authors

N. V. Malai

Belgorod State National Research University

Author for correspondence.
Email: malay@bsu.edu.ru
Russian Federation, Belgorod

P. V. Sohan

Belgorod State National Research University

Email: sokhanp95@gmail.com
Russian Federation, Belgorod

Yu. I. Shostak

Belgorod State National Research University

Email: juliashostak@mail.ru
Russian Federation, Belgorod

References

Supplementary files