Displacement norm in the presence of an inverse-square perturbing acceleration in the reference frame associated with the radius vector

Full Text

1. ВВЕДЕНИЕ

В статье [1] сформулирована задача о движении точки нулевой массы A под действием притяжения к центральному телу $\mathcal{S}$ (например, к Солнцу) и возмущающего ускорения P′, которое подчиняется закону обратных квадратов P′ = P/r ², где r = | r | — модуль радиуса-вектора $r=\mathcal{SA}$. Компоненты S, T, W вектора P постоянны в системе отсчета $\mathcal{O}$, орты которой направлены по радиусу-вектору, трансверсали (перпендикуляру к радиусу-вектору в плоскости оскулирующей орбиты в сторону движения) и бинормали (направленной по вектору площадей) соответственно.

Отношение модулей возмущающего ускорения | P′ | и вызванного притяжением к центральному телу основного ускорения κ²/r² считается малым порядка m:

$\max \frac{\left|P^{\text{'}}\right|}{{\kappa }^2{r}^{-2}}=\max \frac{\left|P\right|}{{\kappa }^2}=\mu \ll 1$,

где κ² — произведение постоянной тяготения на массу $\mathcal{S}$. Величинами порядка m² пренебрегаем.

В работе [1] к уравнениям движения описанной задачи применено осредняющее преобразование, найдены уравнения движения в средних элементах и формулы перехода от оскулирующих элементов к средним.

Если возмущающие силы малы, то средняя орбита слабо отклоняется от оскулирующей. Разность dr положений небесного тела на средней и оскулирующей орбитах является квазипериодической функцией времени. Данная статья посвящена определению евклидовой (среднеквадратичной по средней аномалии) нормы смещения ||dr||² оскулирующей орбиты относительно средней, что позволит оценить величину периодических возмущений, возникающих вследствие сил, обратно пропорциональных квадрату расстояния от Солнца (например, эффект Ярковского, давление солнечного света), и принять решение о необходимости их учета либо возможности ограничиться только вековыми дрейфами.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть элементы орбиты ω, e, i, Ω, σ, M — среднее движение, эксцентриситет, наклон, долгота восходящего узла, аргумент перицентра и средняя аномалия соответственно.

Переход от оскулирующих элементов к средним выполняется по формуле

${\in }_n={\overline{\in }}_n+u_n.$ (1)

Здесь ∈_n — шесть оскулирующих элементов, взятых в указанном выше порядке; ∈_n — шесть средних элементов. Величины u_n считаются функциями средних элементов ∈_k, но в первом приближении безразлично, считать ли аргументы u_n средними или оскулирующими.

Явные выражения u_n найдены в [1] и приведены в Приложении А (формулы (35)).

Далее в качестве основной системы элементов орбиты будем использовать a, e, i, Ω, σ, M, где a — большая полуось. Используя связь среднего движения и большой полуоси ω = κa^–3/2, dω = (–3/2)κa^-5/2da, заменим u₁ в системе уравнений (35) на выражение, относящееся к большой полуоси:

$u_1=-\frac{2a}{{\kappa }^2{\eta }^2}\left[e(\cos \theta +e)S-(e\sin \theta +\theta -M)T\right]$. (2)

Здесь и ниже $\eta =\sqrt{1-e^2}$, $\beta =e/(1+\eta )$, θ — истинная аномалия, E — эксцентрическая аномалия.

Запишем (2) и пять последних уравнений (35) как приращения элементов и выразим их через эксцентрическую аномалию, учитывая соотношения, приведенные в Приложении Б.

В результате

$\begin{array}{c}\delta a-\frac{2aeS}{{\eta }^2{\kappa }^2}\left(\frac{a}{r}\cos E-e+e\right)+\\ +\frac{2aT}{{\eta }^2{\kappa }^2}\left(e\sin E+\frac{a}{r}\eta +2A\beta \mathrm{,}E\right)\mathrm{,}\\ \delta e-\frac{S}{{\kappa }^2}\left(\frac{a}{r}\cos E-e+e\right)+\\ \begin{array}{c}+\frac{T}{e{\kappa }^2}\left(e\sin E-\eta +\frac{a}{r}\eta +2A\beta \mathrm{,}E\right)\mathrm{,}\\ \delta i\frac{W}{e\eta {\kappa }^2}\left(\cos \sigma \left[e\sin E\eta -+2\eta A\beta \mathrm{,}E\right]+\right.\\ +\left.\eta \sin \sigma \left[1-\eta -L\beta \mathrm{,}E\right]\right),\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{c}\delta \Omega \frac{W}{e\eta {\kappa }^2\sin i}\left(\sin \sigma \left[e\sin E\eta -+2\eta A\beta \mathrm{,}E\right]-\right.\\ \left.-\eta \cos \sigma \left[1-\eta -L\beta \mathrm{,}E\right]\right)\mathrm{,}\\ \delta \sigma -\frac{\eta S}{e{\kappa }^2}\frac{a}{r}\sin E-\frac{T}{e^2{\kappa }^2}\times \\ \times \left(e\frac{a}{r}\cos E-e+e^2+1-\eta -L\beta \mathrm{,}E\right)-\delta \Omega \cos i\mathrm{,}\end{array}$

$\delta M\frac{S}{{\kappa }^2}\left(e\sin E+\frac{{\eta }^2}{e}\frac{a}{r}\sin E\right)+$ (3)

$\begin{array}{c}+\frac{T}{{\eta }^2{\kappa }^2}\left[\frac{\eta +{\eta }^3}{\eta +1}+\frac{{\eta }^3}{e}\frac{a}{r}\cos E-e-\right.\\ -\frac{3}{4}{e}^2\cos 2E+3e\eta +\left(\frac{e}{2}+\cos E\right)-\\ -\frac{{\eta }^3}{e^2}L\beta \mathrm{,}E+\frac{3\beta +{\beta }^2}{1+{\beta }^2}\times \\ \times \left.\left(\frac{e}{2}+\cos E\right)-\frac{6}{1+{\beta }^2}S\beta \mathrm{,}E\right],\end{array}$

где введены обозначения

$\begin{array}{c}A\beta \mathrm{,}E\text{arctg}\frac{\beta \sin E}{1-\beta \cos E}\mathrm{,}\\ L\beta \mathrm{,}E\ln (1-2\beta \cos E+{\beta }^2)\mathrm{,}\\ S\beta \mathrm{,}E\sum _n^{\infty }\frac{n+1-n-{\beta }^2}{n^2{n}^2-}{\beta }^n\cos nE\mathrm{.}\end{array}$ (4)

Оценим вклад периодических возмущений (3).

3. РАЗНОСТЬ ОСКУЛИРУЮЩЕГО И СРЕДНЕГО РАДИУСА-ВЕКТОРА

Согласно [2], разность оскулирующего и среднего радиуса-вектора может быть выражена через разности элементов орбиты:

$\begin{array}{c}{\left(dr\right)}^2=\delta r^2+r^2\left(\delta u+\cos i\delta \Omega \right)+\\ +r^2{\left(\sin u\delta i-\sin i\cos u\delta \Omega \right)}^2,\end{array}$ (5)

где u — аргумент широты,

$\begin{array}{c}\delta r=\frac{r}{a}\delta a+\frac{a^2}{r}(e-\cos E)\delta e+\frac{a^2}{r}e\sin E\delta M,\\ r(\delta u+\cos i\delta \Omega )=\frac{a^2}{\eta r}(2-e^2-e\cos E)\sin E\delta e+\\ +r\delta \sigma +r\cos i\delta \Omega +\frac{a^2\eta }{r}\delta M,\\ r(\sin u\delta i-\sin i\cos u\delta \Omega )=\\ =a\left[(\cos E-e)\sin \sigma +\eta \sin E\cos \sigma \right]\delta i-\\ -a\sin i\left[(\cos E-e)\cos \sigma -\eta \sin E\sin \sigma \right]\delta \Omega .\end{array}$ (6)

Подставляя (3) в (6), получим:

$\begin{array}{c}\delta r\frac{S{a}^3}{4{\kappa }^2{r}^2}{\Phi }_1+\frac{T{a}^3}{{\kappa }^2{r}^2}{\Phi }_2\mathrm{,}\\ r\delta u+\cos i\delta \Omega =\frac{T{a}^3}{{\kappa }^2{r}^2}{\Phi }_3\mathrm{,}\\ r(\sin u\delta i-\sin i\cos u\delta \Omega )=\frac{Wa}{{\kappa }^{2}e}{\Phi }_4.\end{array}$ (7)

Функции Ф_i приведены в Приложении В (формулы (37)).

С учетом (5) и (7)

$\begin{array}{c}{\left(dr\right)}^2=\frac{S^2{a}^6}{16{\kappa }^4{r}^4}{\Phi }_1^2+\frac{ST{a}^6}{2{\kappa }^4{r}^4}{\Phi }_1{\Phi }_2+\\ +\frac{T^2{a}^6}{{\kappa }^4{r}^4}({\Phi }_2^2+{\Phi }_3^2)+\frac{W^2{a}^2}{{\kappa }^4{e}^2}{\Phi }_4^2\end{array}$ (8)

В знаменателях первых трех слагаемых (8) содержится r ⁴, но после возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых результирующие выражения сократятся на r ³:

$\begin{array}{c}{\left(dr\right)}^2=\frac{S^2{a}^2}{16{\kappa }^4}\frac{a}{r}{\Psi }_1+\frac{T^2{a}^2}{{\kappa }^4}\frac{a}{r}{\Psi }_2+\\ +\frac{W^2{a}^2}{{\kappa }^4{e}^2}{\Psi }_3+\frac{ST{a}^2}{{\kappa }^4}\frac{a}{r}{\Psi }_4,\end{array}$ (9)

где

$\begin{array}{c}{\Psi }_1=8(2+3e^2)-12e(4+e^2)\cos E+\\ +24e^2\cos 2E-4e^3\cos 3E,\\ {\Psi }_2={\psi }_{21}+{\psi }_{22}+{\psi }_{23}+{\psi }_{24}+{\psi }_{25}+{\psi }_{26}+\\ +{\psi }_{27}+{\psi }_{28}+{\psi }_{29}+{\psi }_{\mathrm{2,10}},\\ {\Psi }_3={\psi }_{31}+{\psi }_{32}+{\psi }_{33}+{\psi }_{34}+{\psi }_{35}+{\psi }_{36},\\ {\Psi }_4={\psi }_{41}+{\psi }_{42}+{\psi }_{43}+{\psi }_{44}.\end{array}$ (10)

Выражения ψ_ij приведены в Приложении В (формулы (38)).

Оставшиеся в знаменателях (9) r сократятся при вычислении среднеквадратичной нормы по средней аномалии

$\begin{array}{c}{||f||}^2=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{f}^{2}dM=\\ =\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{f}^2(1-e\cos E)dE=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{f}^2\frac{r}{a}dE.\end{array}$ (11)

Подставив (9) в (11), получим:

$\begin{array}{c}{\rho }^2={||dr||}^2=\frac{S^2{a}^2}{16{\kappa }^4}\cdot \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\Psi }_{1}dE+\\ +\frac{T^2{a}^2}{{\kappa }^4}\cdot \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\Psi }_{2}dE+\frac{W^2{a}^2}{{\kappa }^4{e}^2}\cdot \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\Psi }_3\frac{r}{a}dE+\\ +\frac{ST{a}^2}{{\kappa }^4}\cdot \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\Psi }_{4}dE.\end{array}$ (12)

4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Согласно (12), вычисление ρ² сводится к нахождению интегралов функций, встречающихся в выражениях (10). Вычислим эти интегралы.

Функция Ψ₄ является нечетной, так как sinkE и A(β,E) — нечетные, а L(β,E) и S(β,E) — четные, поэтому

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\Psi }_{4}dE=0$. (13)

Перейдем к интегралам четных функций. Некоторые вспомогательные формулы, используемые далее в разделе 4, приведены в Приложениях Г и Д.

4.1. Функции, содержащие тригонометрический многочлен, A(β,E), L(β,E) или S(β,E)

С помощью формул (39) и (42) найдем:

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\Psi }_{1}dE=8\left(3e^2+2\right),\\ \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{21}dE=\frac{8+769{\beta }^2+2818{\beta }^4+3348{\beta }^6}{2{(1-{\beta }^2)}^4{(1+{\beta }^2)}^2}+\\ +\frac{2077{\beta }^8+587{\beta }^{10}+91{\beta }^{12}+2{\beta }^{14}}{2{(1-{\beta }^2)}^4{(1+{\beta }^2)}^2},\\ \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{22}dE=\frac{96+2406{\beta }^2+4684{\beta }^4+3665{\beta }^6}{24{(1-{\beta }^2)}^4(1+{\beta }^2)}+\\ +\frac{2240{\beta }^8+900{\beta }^{10}+348{\beta }^{12}+13{\beta }^{14}}{24{(1-{\beta }^2)}^4(1+{\beta }^2)},\\ \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{23}dE=\frac{96+534{\beta }^2+886{\beta }^4+397{\beta }^6+13{\beta }^8}{24(1-{\beta }^4)},\\ \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{31}\frac{r}{a}dE=\frac{1}{8}(4+29e^2){(1-\eta )}^2,\\ \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{32}\frac{r}{a}dE=-\frac{{\beta }^4(1-{\beta }^2)(30+16{\beta }^2-{\beta }^4)}{2{(1+{\beta }^2)}^4},\\ \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{33}\frac{r}{a}dE=-\frac{{\beta }^4(138+486{\beta }^2+89{\beta }^4-3{\beta }^6)}{6{(1+{\beta }^2)}^4}.\end{array}$ (14)

Перейдем к более сложной функции y₂₄, содержащей сумму S(b,E). Учитывая, что с помощью (43) произведение косинусов кратных аргументов сводится к сумме косинусов кратных аргументов, а также вторую формулу в (39), получим, что

$$\begin{gathered} \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}S(\beta ,E)\cos kEdE= \\ \begin{array}{c}=\frac{1}{2\pi }\sum _{n=2}^{\infty }\frac{n+1-(n-1){\beta }^2}{2n^2(n^2-1)}{\beta }^n\times \\ \times \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\left[\cos \right(n-k)E+\cos (n+k\left)E\right]dE=\\ =\frac{k+1-(k-1){\beta }^2}{2k^2(k^2-1)}{\beta }^k,\end{array} \end{gathered}$$ (15)

так как интеграл справа в (15) принимает ненулевое значение только при n = k и не зависит от количества учитываемых членов суммы по n. Таким образом,

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{24}dE=-\frac{{\beta }^4(45+77{\beta }^2-22{\beta }^4-3{\beta }^6)}{6{(1-{\beta }^2)}^4}$. (16)

4.2. Функции, содержащие A(β,E)²

Интегралы более сложных функций вычислены с использованием разложений в ряд, поэтому результаты приведены с точностью до такой степени β, которая позволяет получить как минимум 6 верных знаков в численном значении вплоть до β = 0.9, что было проверено путем сравнения со значением, полученным методом численного интегрирования средствами компьютерной алгебры.

Учитывая разложение в ряд [3, п. 1.448.1]:

$A(\beta ,E)=arctg\left(\frac{\beta \sin E}{1-\beta \cos E}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\beta }^n}{n}\sin nE$, (17)

а также формулу (44) получим

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{A}^2(\beta ,E)\cos kEdE=\\ =\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A(\beta ,E)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\beta }^n}{n}\sin nE\cos kEdE=\\ =\frac{1}{2\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\beta }^n}{2n}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A(\beta ,E)\left[\sin (n-k)E+\sin (n+k)E\right]dE.\end{array}$ (18)

Интеграл (18) приведем к сумме интегралов вида (42). В результате

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{25}dE=\frac{({\beta }^2+1)}{{(1-{\beta }^2)}^4}\times \\ \times \left(\frac{13}{8}+\frac{191}{16}{\beta }^2+\frac{4333}{288}{\beta }^4+\right.\\ +\frac{14701}{960}{\beta }^6+\frac{1711}{2880}{\beta }^8+\frac{3359}{3600}{\beta }^{10}-\frac{7573}{235200}{\beta }^{12}-\\ \left.-\frac{29473}{8467200}{\beta }^{14}-\frac{17491}{25401600}{\beta }^{16}+\mathcal{O}\left({\beta }^{18}\right)\right),\\ \begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{34}dE=\frac{{\beta }^2{(1-{\beta }^2)}^2}{{(1+{\beta }^2)}^3}\times \\ \times \left(\frac{3}{2}+\frac{5{\beta }^2}{12}-\frac{{\beta }^4}{72}-\frac{{\beta }^6}{720}-\frac{{\beta }^8}{3600}-\frac{{\beta }^{10}}{12600}+\mathcal{O}\left({\beta }^{12}\right)\right).\end{array}\end{array}$ (19)

4.3 Функции, содержащие L(β,E)²

Далее учтем следующее разложение в ряд [3, п. 1.448.2]:

$L(\beta ,E)=\ln \left(1-2\beta \cos E+{\beta }^2\right)=-2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\beta }^n}{n}\cos nE$, (20)

а также формулу (43). Тогда

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{L}^2(\beta ,E)\cos kEdE=\\ =\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}L(\beta ,E)\left(-2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\beta }^n}{n}\cos nE\right)\cos kEdE=\\ =-\frac{1}{2\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\beta }^n}{n}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}L(\beta ,E)\left[\cos \right(n-k)E+\\ +\cos (n+k)E]dE.\end{array}$ (21)

Таким образом, интеграл (21) приходит к виду, приведенному в (42). В результате

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{26}dE=\frac{13}{8}+\frac{29}{16}{\beta }^2+\frac{85}{288}{\beta }^4+\frac{377}{2880}{\beta }^6+\\ +\frac{1}{32}{\beta }^8+\frac{11}{960}{\beta }^{10}+\frac{737}{141120}{\beta }^{12}+\\ +\frac{4619}{1693440}{\beta }^{14}+\frac{3977}{2540160}{\beta }^{16}+\mathcal{O}\left({\beta }^{18}\right),\\ \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{35}dE=\frac{{\beta }^2}{{\left({\beta }^2+1\right)}^3}\times \\ \times \left(\frac{3}{2}+\frac{229}{12}{\beta }^2+\frac{797}{72}{\beta }^4-\right.\\ -\frac{229}{720}{\beta }^6+\frac{59}{3600}{\beta }^8+\frac{37}{25200}{\beta }^{10}+\\ \left.+\frac{11}{44100}{\beta }^{12}+\frac{127}{2116800}{\beta }^{14}+\mathcal{O}\left({\beta }^{16}\right)\right).\end{array}$ (22)

4.4. Функции, содержащие S(β,E)²

С помощью (47) найдем

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{S}^2(\beta ,E)(1+e\cos E)dE=\\ =\frac{1}{2}\sum _{n=2}^{\infty }(a_n^2+e{a}_n{a}_{n+1}),\end{array}$ (23)

где

$a_n=\frac{n+1-(n-1){\beta }^2}{2n^2(n^2-1)}{\beta }^n$.

С учетом (23) получим

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{27}dE=\frac{{\beta }^4({\beta }^2+1)}{{(1-{\beta }^2)}^4}\times \\ \times \left(\frac{9}{8}+\frac{67}{72}{\beta }^2-\frac{127}{128}{\beta }^4+\frac{30857}{240000}{\beta }^6+\frac{8843}{720000}{\beta }^8+\right.\\ \left.+\frac{1210691}{576240000}{\beta }^{10}+\frac{1551849}{3073280000}{\beta }^{12}+\mathcal{O}\left({\beta }^{14}\right)\right).\end{array}$ (24)

4.5. Функции, содержащие A(β,E)L(β,E)

В функциях y₂₈ и y₃₆ встречаются три варианта интегралов:

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A(\beta ,E)L(\beta ,E)\sin kEdE при k=\mathrm{1,} \mathrm{2,} 3$.

С учетом (17) и (20) запишем:

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A(\beta ,E)L(\beta ,E)\sin k\text{}EdE=\frac{1}{2\pi }\times \\ \times \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\beta }^n}{n}\sin nE\left(-2\sum _{m=1}^{\infty }\frac{{\beta }^m}{m}\cos mE\right)\sin kEdE=\\ =-\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }\frac{{\beta }^n}{n}\frac{{\beta }^m}{m}\sin nE\cos mE\sin kEdE.\end{array}$ (25)

Для нахождения интеграла справа в (25) используем формулы (49) и (50) для s_k при a_n = βⁿ/n, a_m = β^m/m. Подставляя (50) в (25) и приводя подобные слагаемые, найдем

$\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A\beta \mathrm{,}EL\beta \mathrm{,}E\sin EdE-\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{s}_{1}dE$,

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A\beta \mathrm{,}EL\beta \mathrm{,}E\sin 2EdE\\ =-\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{s}_{2}dE-\frac{a_1^2}{2}-\frac{{\beta }^2}{2}\mathrm{,}\\ \begin{array}{l}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A\beta \mathrm{,}EL\beta \mathrm{,}E\sin 3EdE\\ =-\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{s}_{3}dE-a_1{a}_2-\frac{{\beta }^3}{2}\mathrm{.}\end{array}\end{array}$

В итоге

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{28}dE=\frac{3-4{\beta }^2-5{\beta }^4+2{\beta }^6}{4(1-{\beta }^2)},\\ \frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{36}dE=\frac{{\beta }^2+4{\beta }^4-5{\beta }^6}{{({\beta }^2+1)}^3}.\end{array}$ (26)

Выражения (26) точные. Значения, полученные с их помощью, отличаются от найденных путем численного интегрирования исходных выражений для ψ₂₈ и ψ₃₆ (38) не более чем на 7 · 10^–9 вплоть до e = 0.99.

4.6. Функции, содержащие A(β,E)S(β,E)

С учетом (4):

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A(\beta ,E)S(\beta ,E)\sin kEdE=\\ =\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A(\beta ,E)\sum _{n=2}^{\infty }\frac{n+1-(n-1){\beta }^2}{n^2(n^2-1)}\times \\ \times {\beta }^n\cos nE\sin kEdE.\end{array}$ (27)

Применение формулы (45) приводит интеграл (27) к виду, приведенному в (42):

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A(\beta ,E)S(\beta ,E)\sin kEdE=\\ =\frac{1}{2\pi }\sum _{n=2}^{\infty }\frac{n+1-(n-1){\beta }^2}{2n^2(n^2-1)}{\beta }^n\times \\ \times \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}A(\beta ,E)\left[\sin (n+k)E-\sin (n-k)E\right]dE.\end{array}$

В результате получим

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{29}dE=\frac{{\beta }^2\left({\beta }^2+1\right)}{{\left(1-{\beta }^2\right)}^4}\times \\ \times \left(\frac{3}{2}+\frac{11}{3}{\beta }^2+\frac{17}{24}{\beta }^4+\frac{629}{600}{\beta }^6-\frac{17}{20}{\beta }^8+\frac{547}{14700}{\beta }^{10}+\right.\\ \left.+\frac{207}{39200}{\beta }^{12}+\frac{1}{864}{\beta }^{14}+\frac{1}{3024}{\beta }^{16}+\mathcal{O}\left({\beta }^{18}\right)\right).\end{array}$ (28)

4.7. Функции, содержащие L(β,E)S(β,E)

По аналогии с п. 4.6, учитывая (43):

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}L(\beta ,E)S(\beta ,E)\cos EdE=\\ =\frac{1}{2\pi }\sum _{n=2}^{\infty }\frac{n+1-(n-1){\beta }^2}{2n^2(n^2-1)}{\beta }^n\times \\ \times \underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}L(\beta ,E)\left[\cos (n-k)E+\cos (n+k)E\right]dE.\end{array}$ (29)

Интеграл (29) перепишем как сумму интегралов, приведенных в (42). Вычисления дают

$\begin{array}{c}\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\psi }_{\mathrm{2,10}}dE=-\frac{{\beta }^2({\beta }^2+1)}{1-{\beta }^2}\times \\ \times \left(\frac{3}{2}+\frac{1}{6}{\beta }^2-\frac{1}{8}{\beta }^4-\frac{2}{75}{\beta }^6-\frac{1}{120}{\beta }^8-\frac{4}{1225}{\beta }^{10}-\right.\\ \left.-\frac{1}{672}{\beta }^{12}-\frac{1}{1323}{\beta }^{14}-\frac{1}{2400}{\beta }^{16}-\mathcal{O}\left({\beta }^{18}\right)\right).\end{array}$ (30)

5. НОРМА РАЗНОСТИ ОСКУЛИРУЮЩИХ И СРЕДНИХ ЭЛЕМЕНТОВ

С учетом результатов раздела 4, подставляя (13), (14), (16), (19), (22), (24), (26), (28) и (30) в (12) и суммируя, в итоге получим норму разности оскулирующих и средних элементов:

${\varrho }^2=\frac{{\displaystyle a^2}}{{\displaystyle {\kappa }^4}}(V_1{S}^2+V_2{T}^2+V_3{W}^2)$, (31)

где

$\begin{array}{c}{V}_1=\frac{1+8{\beta }^2+{\beta }^4}{{({\beta }^2+1)}^2},\\ V_2=\frac{1}{{(1-{\beta }^2)}^4{({\beta }^2+1)}^2}\left(16+\frac{4133}{8}{\beta }^2+\right.\\ +\frac{125819}{72}{\beta }^4+\frac{598249}{288}{\beta }^6+\frac{8028469}{5760}{\beta }^8+\\ +\frac{190263323}{360000}{\beta }^{10}+\frac{1366999573}{11760000}{\beta }^{12}+\\ +\frac{2497264733}{345744000}{\beta }^{14}+\frac{2619693301}{49787136000}{\beta }^{16}+\\ +\frac{247809799}{224042112000}{\beta }^{18}+\frac{6893993549}{90363651840000}{\beta }^{20}+\\ \left.+\frac{25909767071}{2733500468160000}{\beta }^{22}+\mathcal{O}\left({\beta }^{24}\right)\right),\\ V_3=\frac{1}{{({\beta }^2+1)}^2}\left(1-\frac{23}{8}{\beta }^2+\frac{137}{36}{\beta }^4+\frac{181}{288}{\beta }^6+\right.\\ +\frac{13}{400}{\beta }^8+\frac{1}{720}{\beta }^{10}+\frac{29}{176400}{\beta }^{12}+\\ +\left.\frac{1}{31360}{\beta }^{14}+\frac{53}{6350400}{\beta }^{16}+\mathcal{O}\left({\beta }^{18}\right)\right).\end{array}$ (32)

В (32) выражение для V₁ — точное, в то время как V₂ и V₃ содержат ряды по степеням b с количеством членов, которое обеспечивает не менее 6 верных знаков вплоть до e = 0.9. Приведем также выражения V₁, V₂ и V₃ в виде разложений по степеням эксцентриситета e:

$V_1=\frac{1}{2}\left(2+3e^2\right)$,

$\begin{array}{c}{V}_2=\frac{1}{{(1-e^2)}^2}\left(16+\frac{3365e^2}{32}-\frac{12601e^4}{1152}-\right.\\ -\frac{13327e^6}{2048}-\frac{226339e^8}{163840}-\frac{62588263e^{10}}{92160000}-\\ -\frac{2858553277e^{12}}{7225344000}-\frac{481288874237e^{14}}{1888223232000}-\\ -\frac{81926146135181e^{16}}{466121392128000}-\frac{26706320975807e^{18}}{209754626457600}-\\ -\frac{54008796826067863e^{20}}{564006884474880000}-\\ -\frac{1012524795532113487e^{22}}{13648966604292096000}-\\ \left.-\frac{169277617999717931593e^{24}}{2875854989454999552000}-\mathcal{O}\left(e^{26}\right)\right),\end{array}$ (33)

$\begin{array}{c}{V}_3=1-\frac{39e^2}{32}+\frac{101e^4}{576}+\frac{599e^6}{6144}+\frac{19889e^8}{307200}+\\ +\frac{86891e^{10}}{1843200}+\frac{145911e^{12}}{4014080}+\frac{14979701e^{14}}{513802240}+\\ +\frac{286187473e^{16}}{11890851840}+\frac{402547717e^{18}}{19818086400}+\\ +\frac{3098641663e^{20}}{177628774400}+\mathcal{O}\left(e^{22}\right).\end{array}$

В отличие от (32), выражения (33) дают приемлемую точность только при e < 0.7.

Исследуем поведение функций V₁, V₂ и V₃ (32) на интервале $e\in \left[\mathrm{0,1}\right]$:

$\begin{array}{c}\min \left(V_1\right)=1 при e=\mathrm{0,} \max \left(V_1\right)=2.5 при e=\mathrm{1,}\\ V_1 монотонно возрастает;\end{array}$

$\begin{array}{c}\min \left(V_2\right)=16 при e=\mathrm{0,} V_2\to \infty при e\to \mathrm{1,}\\ V_2 монотонно возрастает;\end{array}$

$\begin{array}{c}\min \left(V_3\right)=0.253528 при e\approx \mathrm{0.91557,}\\ \max \left(V_3\right)=1 при e=0.\end{array}$

Таким образом, V_k > 0, следовательно норма r² в (31) всегда положительна, ρ — действительное число. Зависимость V₁, V₂ и V₃ от e показана на рис. 1.

Рис. 1. Значения V₁, V₂, V₃ в зависимости от эксцентриситета e на интервале от 0 до 1. Нижние графики представляют V₂ в разных масштабах, справа показаны значения V₂ до e = 0.9. На графиках отмечены точки максимумов (синие квадраты) и точки минимумов (красные кружки)

Как и в задаче с постоянным возмущающим ускорением P′, представленной в [2], ρ² зависит только от компонентов вектора возмущающего ускорения (S, T, W) (положительно определенная квадратичная форма), большой полуоси (пропорционально второй степени) и эксцентриситета оскулирующего эллипса. От ориентации орбиты и положения точки A на ней ρ² не зависит.

Согласно [2], наибольшее значение ρ для данного оскулирующего эллипса при фиксированном модуле вектора P:

$\max {\rho }^2=\frac{a^2}{{\kappa }^4}{P}^2\max \{V_1,V_2,V_3\}$,

где $P=\sqrt{S^2+T^2+W^2}=const$. Поскольку для всех $e\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ V₂ > V₁ ≥ V₃ (равенство достигается только при e = 0), то

$\max {\rho }^2=\frac{a^2}{{\kappa }^4}{P}^2{V}_2, \max \rho =\frac{a}{{\kappa }^2}P\sqrt{V_2}$. (34)

6. ПРИМЕРЫ

6.1. Норма смещения положения некоторых объектов

Рассмотрим несколько объектов, для которых в базе данных малых тел Лаборатории реактивного движения (Small Body Database of Jet Propulsion Laboratory (JPL)) [4] приведены значения негравитационных параметров A₁, A₂, A₃, и указано, что при моделировании негравитационных возмущений использовалась модель обратной зависимости от квадрата гелиоцентрического расстояния. Радиальный A₁, трансверсальный A₂ и нормальный A₃ параметры связаны с компонентами (S, T, W) соотношениями: A₁ = S/r₀², A₂ = = T/r₀² и A₃ = W/r₀², где r₀ = 1 а. е. Величины S, T, W имеют размерность м³/с² или а. е.³/сут², в то время как размерность параметров A₁, A₂, A₃ — а. е./сут².

В табл. 1 приведены исходные данные для выбранных малых тел. Вычислим для них смещение $\rho =\sqrt{{\rho }^2}$ (31) оскулирующей орбиты относительно средней и максимальное значение maxρ (34). При вычислениях использованы следующие константы: κ = 1.52 · 10¹⁰ м^3/2/с, 1 a. e. = 1.495978707 · 10¹¹ м, 1 сут = 86 400 с.

Таблица 1. Орбитальные элементы для различных объектов, а также норма смещения ρ и значение maxρ

Примечание. Приведены: большая полуось a и эксцентриситет e, а также негравитационные параметры A₁, A₂, A₃ а. е./сут² по данным [4]. Прочерк означает, что значение параметра не приведено в базе JPL [4], при вычислениях в этом случае принято нулевое значение соответствующего параметра. Эпоха элементов орбиты JD 246 0200.5 (2023–Sep–13.0) TDB (дата обращения к базе данных JPL 30.10.2023).

Анализ результатов вычислений (см. табл. 1) показал, что в большинстве случаев отклонение оскулирующей орбиты от средней вследствие периодических возмущений малó, однако выявлены случаи со смещением порядка нескольких сотен километров, что говорит о необходимости учета периодических возмущений при краткосрочном прогнозировании движения объекта. Так, расстояние между ближайшими точками оскулирующих орбит астероида 2005 VL1 и Земли по сведениям JPL [4] MOID = 3.98405 · 10^–5 а. е. На таком расстоянии для земного наблюдателя ($\varrho$ = 387.958 км) будет соответствовать угловому расстоянию 3.72°, то есть положение объекта на небесной сфере, определенное с учетом периодических возмущений, может существенно отличаться от положения, определенного без их учета.

6.2. Норма смещения вследствие эффекта Ярковского

Найдем норму смещения оскулирующей орбиты относительно средней, возникающего вследствие действия эффекта Ярковского на астероиды 1685 Toro (1948 OA) и 101955 Bennu.

В статье [5] выведены формулы для вычисления негравитационных параметров A₁, A₂, A₃ как средних значений за орбитальный период в рамках линейной теплофизической модели силы Ярковского для сферических астероидов [6] и найдены численные значения параметров для астероида 1685 Toro (1948 OA), с использованием его теплофизических характеристик, опубликованных в [7]. В работе [8] приведены значения компонентов S, T и W ускорения Ярковского, вычисленные по методике [5] на основе теплофизических характеристик и параметров вращения астероида 101955 Bennu. Используя данные [5, 8] и элементы орбиты указанных астероидов, приведенные в базе JPL [4], найдем $\varrho$ и max$\varrho$. Исходные данные и результаты приведены в табл. 2, из которой следует, что при малых возмущающих ускорениях, характерных для эффекта Ярковского, смещение оскулирующей орбиты относительно средней мало и им можно пренебречь, учитывая лишь вековые дрейфы элементов орбиты.

Таблица 2. Элементы орбиты для астероидов Bennu и Toro, а также смещение ρ и значение maxρ

Примечание. Приведены: большая полуось a и эксцентриситет e, а также компоненты S, T, W а. е.³/сут². Эпоха элементов орбиты JD 246 0200.5 (2023–Sep–13.0) TDB (дата обращения к базе данных JPL 30.10.2023).

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрена задача движения точки нулевой массы под действием притяжения к центральному телу и малого возмущающего ускорения, обратно пропорционального квадрату расстояния до притягивающего центра в системе отсчета с осями, направленными по радиусу-вектору, трансверсали и вектору площадей. Получена евклидова (среднеквадратичная по средней аномалии) норма смещения ||dr||², где dr представляет разность векторов положения на оскулирующей и средней орбите, что позволяет оценить величину периодических возмущений. Оказалось, что ||dr||² зависит только от компонентов вектора P (положительно определенная квадратичная форма), большой полуоси (пропорционально второй степени) и эксцентриситета оскулирующего эллипса.

Результаты применены к задаче о движении астероидов под действием возмущающего ускорения, обратно пропорционального квадрату гелиоцентрического расстояния. Показано, что в некоторых случаях положение объекта на небесной сфере, определенное с учетом периодических возмущений, может существенно отличаться от положения, определенного без их учета. Однако при малых возмущающих ускорениях, характерных для эффекта Ярковского, смещение оскулирующей орбиты относительно средней малó и им можно пренебречь, учитывая лишь вековые дрейфы элементов орбиты.

В дальнейшем планируется оценить норму смещения для аналогичной задачи в системе отсчета, связанной с вектором скорости.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор благодарит анонимного рецензента за ценные предложения и комментарии, которые улучшили качество и ясность статьи.

ФИНАНСИРОВАНИЕ

Данная статья выполнена за средства государственного задания, тема Рег. № 22022400207-0.

Приложения

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Явные выражения функций u_n в формулах перехода от оскулирующих элементов к средним (1), найденные в [1]:

$u_1=\frac{3\omega }{{\kappa }^2{\eta }^2}\left[e(\cos \theta +e)S-(e\sin \theta +\theta -M)T\right],$

$\begin{array}{c}{u}_2-\frac{1}{{\kappa }^2}\cos \theta +eS+\\ +\frac{1}{{\kappa }^{2}e}\left[\theta -M-\eta E-M+e\sin \theta \right]T\mathrm{,}\end{array}$

$\begin{array}{l}{u}_3=\frac{1}{{\kappa }^2\eta e}\left\{\cos \sigma \left[\eta (\theta -M)-(E-M)\right]+\right.\\ \left.+\eta \sin \sigma \left[\ln (1+e\cos \theta )+1-\eta -\ln \frac{2{\eta }^2}{1+\eta }\right]\right\}W,\end{array}$ (35)

$\begin{array}{c}{u}_4=\frac{1}{{\kappa }^2\eta e\sin i}\left\{\sin \sigma \left[\eta (\theta -M)-(E-M)\right]\right.-\\ \left.-\eta \cos \sigma \left[\ln (1+e\cos \theta )+1-\eta -\ln \frac{2{\eta }^2}{1+\eta }\right]\right\}W,\end{array}$

$\begin{array}{c}{u}_5=-\frac{1}{{\kappa }^{2}e}\sin \theta S-\frac{1}{{\kappa }^2{e}^2}\left[e\cos \theta +e^2+\right.\\ \left.+\ln (1+e\cos \theta )+1-\eta -\ln \frac{2{\eta }^2}{1+\eta }\right]T-u_4\cos i,\end{array}$

$\begin{array}{c}{u}_6=\frac{1}{{\kappa }^2}\left[(E-M)+\frac{\eta }{e}\sin \theta \right]S+\frac{1}{{\kappa }^2{\eta }^2}\times \\ \times \left\{3e(1+\eta )\left(\cos E+\frac{e}{2}\right)-\frac{3e^2}{4}\cos 2E+\frac{{\eta }^3}{e}\cos \theta +\frac{{\eta }^3}{e^2}\times \right.\\ \times \left.\left[\ln (1+e\cos \theta )-\ln \frac{2{\eta }^2}{1+\eta }\right]+\frac{(2+\eta ){\eta }^3}{1+\eta }-3\mathcal{I}(\theta -E)\right\}T,\end{array}$

где

$\begin{array}{l}\mathcal{I}(\theta -E)=-\frac{\beta (2+{\beta }^2)}{1+{\beta }^2}\left(\frac{e}{2}+\cos E\right)+\\ +\frac{2}{1+{\beta }^2}\sum _{n=2}^{\infty }\frac{n+1-(n-1){\beta }^2}{n^2(n^2-1)}{\beta }^n\cos nE.\end{array}$

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Переход от истинной аномалии к эксцентрической осуществляется с помощью соотношений [9]:

$\begin{array}{c}\cos \theta =\frac{a}{r}(\cos E-e), \sin \theta =\frac{a}{r}\eta \sin E,\\ r=a(1-e\cos E), E-M=e\sin E,\\ \theta -E=2arctg\frac{\beta \sin E}{1-\beta \cos E},\\ \theta -M=\theta -E+E-M=e\sin E+2arctg\frac{\beta \sin E}{1-\beta \cos E},\\ \ln (1+e\cos \theta )-\ln \frac{2{\eta }^2}{1+\eta }=-\ln \left(1-2\beta \cos E+{\beta }^2\right).\end{array}$ (36)

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Функции Ф_i, входящие в выражения (7):

$\begin{array}{c}{\Phi }_1=2(2+3e^2)-3e(4+e^2)\cos E+6e^2\cos 2E-\\ -e^3\cos 3E\end{array}$

$$\begin{gathered} {\Phi }_2=\frac{e\sin E}{4{\eta }^3{(1+\eta )}^2}\times \\ \begin{array}{c}\times \left(44(1+\eta )-e^2(26+6\eta )-3e^4(8+5\eta )+6e^6\right)-\\ -\frac{e^2\sin 2E}{8{\eta }^3{(1+\eta )}^2}\left(24(1+\eta )+6e^2\eta -e^4(30+17\eta )+6e^6\right)-\\ -\frac{e^3\sin 3E}{4{\eta }^3{(1+\eta )}^2}\left(4(1+\eta )-e^2(4+\eta )\right)-\frac{e^4\sin 4E}{16{\eta }^2}+\\ +\frac{A(\beta ,E)}{e{\eta }^2}\left(e\right(7+3e^2)-(2+12e^2+e^4)\cos E+\\ \begin{array}{c}+e(1+5e^2)\cos 2E-e^4\cos 3E)-\\ -\left(\frac{\eta }{e}\sin E-\frac{\eta }{2}\sin 2E\right)L(\beta ,E)-\frac{3e(1+\eta )}{2{\eta }^2}\times \\ \times (2\sin E-e\sin 2E)S(\beta ,E),\end{array}\end{array} \end{gathered}$$ (37)

$\begin{array}{c}{\Phi }_3=\frac{16(1+\eta )-4e^2(5+8\eta )+9e^4}{8\eta (1+\eta )}+\\ +\frac{e\cos E}{8\eta {(1+\eta )}^2}\left(128(1+\eta )-e^2(98+38\eta )-e^4\right)-\\ -\frac{e^2\cos 2E}{2\eta {(1+\eta )}^2}\left(28(1+\eta )-e^2(18+5\eta )\right)+\\ +\frac{e\cos 3E}{8\eta }\left(4(1-\eta )+e^2\left(3+4\eta \right)\right)-\\ -\frac{e^2\cos 4E}{8\eta }\left(1-\eta \right)+\frac{A(\beta ,E)}{2e\eta }(\left(8-3e^2\right)\sin E-\\ -2e\left(3-e^2\right)\sin 2E+e^2\sin 3E)+\\ +\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{4e}\left(8+7e^2\right)\cos E+\frac{3}{2}\cos 2E-\frac{e}{4}\cos 3E\right)\times \\ \times L(\beta ,E)-\frac{3(1+\eta )}{\eta }\left(1-e\cos E\right)S(\beta ,E),\end{array}$

$\begin{array}{c}{\Phi }_4=\frac{(1-\eta )}{2}(-3e+2\cos E+e\cos 2E)+\\ +2\eta A(\beta ,E)\sin E+(e-\cos E)L(\beta ,E).\end{array}$

Функции ψ_ij, входящие в выражения (10):

$\begin{array}{c}{\psi }_{21}=\frac{1}{512{\eta }^5{(\eta +1)}^4}\left(16384\right(\eta +1)+\\ +512e^2(689\eta +673)-256e^4(1527\eta +2224)+\\ +64e^6(711\eta +3058)+8e^8(2026\eta +2296)-\\ -64e^{10}(18\eta +89)+16e\left[11264\right(\eta +1)+\\ \begin{array}{c}+16e^2(743\eta +391)-8e^4(3538\eta +4457)+\\ +e^6(9210\eta +21128)-3e^8(245\eta +1044)+\\ +4e^{10}(6\eta +35)]\cos E+64e^2[3128(\eta +1)-\\ +4e^2(1281\eta +1672)+e^4(3069\eta +5240)-\\ \begin{array}{c}-e^6(845\eta +1944)+44e^8(\eta +6)]\cos 2E-\\ -8e^3\left[992(\eta +1)-16e^2(322\eta +353)+\right.\\ +12e^4(418\eta +623)-\\ -e^6(1281\eta +3196)+\left.8e^8(8\eta +47)\right]\cos 3E+\\ +16e^4\left[208(\eta +1)-8e^2(40\eta +53)+\right.\\ \left.+e^4(143\eta +276)-4e^6(4\eta +15)\right]\cos 4E+\\ +8e^7\left[4(\eta +1)-e^2(3\eta +4)\right]\cos 5E),\end{array}\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\psi }_{22}=\frac{A(\beta ,E)}{2e{\eta }^5{(\eta +1)}^2}\left(2\right[32(\eta +1)+8e^2(15\eta +13)-\\ -e^4(126\eta +197)+e^6(20\eta +66)-5e^8]\sin E+\\ +2e\left[66\right(\eta +1)-3e^2(49\eta +61)+e^4(63\eta +124)+\\ \begin{array}{c}+5e^6(\eta -1)-2e^8]\sin 2E-2e^2\left[8(\eta +1)-\right.\\ -e^2(6\eta +11)+\left.2e^4(2\eta +3)-3e^6\right]\sin 3E+\\ +e^3\left[1+\eta -e^2(3\eta +4)+e^4(\eta +3)\right]\sin 4E),\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\psi }_{23}=\frac{L(\beta ,E)}{4e\eta {(\eta +1)}^2}\left(-188e(\eta +1)+e^3(33\eta +125)\right.-\\ -2\left[32(\eta +1)+4e^2(\eta -3)+e^4(2\eta +7)\right]\cos E-\\ -4e\left[33(\eta +1)-e^2(4\eta +19)\right]\cos 2E+\\ +2e^2\left[8(\eta +1)-e^2(2\eta +5)\right]\cos 3E-\\ -\left.e^3[\eta +1]\cos 4E\right),\end{array}$ (38)