Optimization of enterprise production programs taken into account of uncertainty

Введение. Одной из задач производственного планирования является выбор оптимальной производственной программы предприятия. В условиях динамически изменяющейся внешней среды такой выбор – непростая задача, требующая для решения использования математико-статистических методов и моделей [1, 2].

Статические методы и модели выбора таких программ, в том числе методы оценки риска доходности этих программ и риска упущенной выгоды, рассмотрены в [3, 4]. Динамические модели выбора оптимальной производственной программы, методы оптимизации загрузки оборудования при выпуске продукции, заданной производственной программой, оценки устойчивости расписаний при изменении параметров задачи представлены в [5–7]. Динамические и статические модели и методы управления ограниченными ресурсами на транспорте излагаются в [8–10]. В [11–13] приведены точные и приближенные алгоритмы построения оптимальных расписаний для планирования работы многопроцессорной вычислительной техники. Модели и методы управления ограниченными ресурсами, которые сводятся к решению минимаксных задач, описаны в [14–20].

В настоящей статье для выбора оптимальной производственной программы предприятия предлагается использование метода ветвей и границ, основанного на вычислении верхней, нижней и текущих верхних оценок при анализе различных вариантов производственных программ, дана верхняя оценка количества допустимых решений рассматриваемой задачи. Также представлены модели выбора оптимальной производственной программы в условиях расширения производства, вопросы анализа устойчивости этих программ при изменении исходных данных модели и при изменении критерия оптимальности модели.

Предложенные методы и модели могут использоваться в том числе в рамках проектного управления на предприятиях, обеспечивая возможность выбора оптимального метода управления проектом, эффективное выполнение мероприятий на этапах планирования и реализации проектов [21, 22].

1. Постановка задачи и метод решения. Рассмотрим следующую модель выбора оптимальной производственной программы:

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i-{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{b}_i{x}_i-Z_{пост}\to \max ,$ (1.1)

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{l}_{ij}{x}_i\le L_j, j= \overline{\mathrm{1,} M,}$ (1.2)

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{t}_{il}{x}_i\le K_l{\tau }_l, l= \overline{\mathrm{1,}K} ,$ (1.3)

 $x_i\le P{t}_i, i= \overline{\mathrm{1,}n},$ (1.4)

$x_i\in Z^{+}, i= \overline{\mathrm{1,}n}.$ (1.5)

Здесь использовались следующие обозначения: $a_i$ – цена продукции i -го вида; $b_i$ – переменные издержки на единицу продукции i -го вида; $x_i$ – объем выпуска продукции i –го вида; Z_пост – постоянные издержки; $l_{ij}$ – норма потребления материальных ресурсов j-го вида при выпуске единицы продукции i -го вида; $L_j$ – запасы материальных ресурсов j-го вида; $t_{il}$ – норма времени загрузки оборудования l-го вида при выпуске единицы продукции  i -го вида; $K_l$ – число единиц оборудования l-го вида, участвующих в процессе производства; ${\tau }_l$ – эффективное время работы оборудования l-го вида на периоде планирования (0, Т); $P{t}_i$ – объем спроса на продукцию i -го вида; $Z^{+}$ – множество целых неотрицательных чисел.

1.1. Метод ветвей и границ для задачи выбора оптимальной производственной программы. Задача (1.1) – (1.5) является задачей линейной целочисленной оптимизации и для ее решения может быть использован метод ветвей и границ.

Шаг 1. Верхняя оценка задачи (1.1) – (1.5) F_в может быть получена путем замены ограничения (1.5) на ограничение (1.6) следующего вида:

$x_i\ge \mathrm{0,} i= \overline{\mathrm{1,}n}$ , (1.6)

Значение целевой функции на оптимальном решении задачи (1.1) – (1.4), (1.6) будем считать F_в.

Шаг 2. Нижняя оценка задачи (1.1) – (1.5) F_н может находиться путем выбора допустимого решения задачи (1.1) – (1.5) и вычисления значения целевой функции (1.1) на этом решении.

Шаг 3. Вычисление верхних текущих оценок. Если F_в = F_н, то решение задачи (1.1) – (1.5) получено. Если F_в > F_н, то начинаем формировать очередное допустимое решение с вычислением $F_{в}^{тек}(\tilde{x})$. Здесь $\tilde{x}$ = ( $\widetilde{x_1},\dots , \widetilde{x_n}$ ) – вектор, задающий объемы выпуска продукции, которые уже вошли в производственную программу.

Верхняя текущая оценка выполняется по следующей формуле:

$F_{в}^{тек}({\tilde{x}}_1\mathrm{,...,}{\tilde{x}}_n)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{a}_i{\tilde{x}}_i-{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{b}_i{\tilde{x}}_i-Z_{пост}+F_{в}({\tilde{L}}_j,{\tau }_l,{\widetilde{Pt}}_i),$ $$ (1.7)

$\widetilde{L_j}=L_j-{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\tilde{x}}_i{l}_{ij}, j=\overline{\mathrm{1,} M},$

$K_l\widetilde{{\tau }_i}= K_l{\tau }_l-{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\tilde{x}}_i{t}_{il}, l=\overline{\mathrm{1,} K},$

_{$\widetilde{Pt}$ i} $\le P{t}_i-\tilde{x}$ _i,

где $F_{â}\left(\widetilde{L_j}, K_l\widetilde{{\tau }_l}\right)$ – верхняя оценка задачи (1.1) – (1.5) с учетом того, что объем материальных ресурсов равен $\widetilde{L_j} , j=\overline{\mathrm{1,} M}$, а эффективное время по каждому виду оборудования равно $K_l\widetilde{{\tau }_i} , l=\overline{\mathrm{1,} K}$. Здесь $\widetilde{L_j}$ – остаток материальных ресурсов j-го вида после выпуска продукции в объеме $\widetilde{x }= \left(\widetilde{x_1}, \dots , \widetilde{x_n}\right); K_l\widetilde{{\tau }_l}$ $\widetilde{x }= \left(\widetilde{x_1}, \dots , \widetilde{x_n}\right); K_l\widetilde{{\tau }_l}$ – остаток эффективного времени для оборудования вида l после выпуска продукции в объеме $\widetilde{x }= \left(\widetilde{x_1}, \dots , \widetilde{x_n}\right).$ $\widetilde{x }= \left(\widetilde{x_1}, \dots , \widetilde{x_n}\right).$

Если $F_{â}^{òåê} \left(\widetilde{x_1}, \dots , \widetilde{x_n}\right)>F_H$, то формирование производственной программы продолжается путем включения в производственную программу еще одной единицы продукции и дальнейшей вычисленной текущей верхней оценки.

Если $F_{â}^{òåê} \left(\widetilde{x_1}, \dots , \widetilde{x_n}\right)\le F_{Í}$, то данная программа не будет оптимальной и исключается из дальнейшего рассмотрения.

Если $F_{â}^{òåê} \left(\widetilde{x_1}, \dots , \widetilde{x_n}\right)> F_{Í}$ остается до момента, когда ни одну единицу продукции невозможно включить в производственную программу, не нарушив одно из ограничений (1.2) – (1.5), то вычисляется значение целевой функции (1.1) на сформированной производственной программе. Обозначим это значение:

$F^{*}> F_{Í}$ – значение $F_{Í}$ сдвигается вправо и становится равным $F^{*}$;

$F^{*}= F_{â}$ – задача (1.1) – (1.5) решена;

$F^{*}< F_{â}$ – переходим к анализу очередного допустимого решения.

Решение задачи (1.1) – (1.5) будет получено, если:

а) при очередной корректировке F_н ее значение совпадает с F_в;

б) все варианты формирования производственных программ исследованы, тогда в качестве оптимального решения выбирается та программа, которая соответствует последнему (максимальному) значению F_н.

1.2. Верхняя оценка числа допустимых производственных программ. Верхняя оценка объема выпуска по каждому виду продукции определяется исходя из ограничений (1.2) – (1.5).

Так, если мы определяем максимальный объем выпуска продукции первого вида, исходя из ограничений на материальные ресурсы, то этот объем ${\theta }_{\text{max}}^1$ задается следующей формулой: ${\theta }_{\text{max}}^1=\underset{j= \overline{\mathrm{1,}M}}{\min }\left\{\frac{L_j}{l_{1j}}\right\} .$

Максимальный объем выпуска продукции первого вида $r_{\text{max}}^1$ при ограничениях на производственные мощности вычисляется как

$r_{\text{max}}^1=\underset{l=\overline{\mathrm{1,}k}}{\min }\left\{\frac{k_l{\tau }_l}{t_{1l}}\right\}$.

Таким образом, максимальный выпуск продукции первого вида $x_1^{\text{max}}$ рассчитывается следующим образом:

$x_1^{\text{max}}=\text{min}\left\{r_{\text{max}}^1, {\theta }_{\text{max}}^1, p{t}_1\right\}$.

Аналогично определяется максимальный объем выпуска по другим видам продукции:

 $x_i^{\text{max}}=\underset{i=\overline{\mathrm{1,} n}}{\min }\left\{r_{\text{max}}^i, {\theta }_{\text{max}}^i, p{t}_i\right\}$.

Таким образом, количество допустимых производственных программ задачи (1.1) – (1.5) не превысит числа N:

$N= {\displaystyle \prod }_{i=1}^n\left(x_i^{\text{max}}+1\right)$.

Наряду с критерием прибыли (целевая функция (1.1)) при выборе производственной программы может использоваться критерий рентабельности следующего вида:

$\left({\displaystyle \sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i-{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{b}_i{x}_i-Z_{пост}\right)/\left({\displaystyle \sum }_{i=1}^n{b}_i{x}_i+Z_{пост}\right)\to \max .$ (1.8)

Очевидно, критерий (1.8) есть отношение прибыли к затратам.

Как будет показано ниже, при определенных условиях оптимальные производственные программы по критериям (1.1) и (1.8) совпадают.

2. Устойчивость при нелинейном изменении доходности производственной программы от инфляции.

Пусть в задаче (1.1) – (1.5) маржинальный доход $c_i$ равен:

$c_i=a_i+b_i.$        

Здесь $a_i$ – цена продукции i -го вида; $b_i$ – переменные издержки при выпуске продукции i -го вида. Будем полагать, что $c_i$ зависит от уровня инфляции $\xi$ следующим образом:

$c_i\left(\xi \right)=c_i+{\phi }_i\left(\xi \right)$,

$\frac{d{\phi }_i\left(\xi \right)}{d\xi }\ge \mathrm{0,}$ 

${\phi }_i\left(0\right)=0$,

$\overline{\underset{\_}{X}}=\left\{x^1, \mathrm{...,}{x}^{\mathcal{l}}\mathrm{,...,}{x}^N\right\}$.

Множество $\overline{\underset{\_}{X}}$ задает перечень всех производственных программ. Допустим, что $x^{\mathcal{l}}$ – оптимальное решение при $\xi =0$, которое обозначили через

$f^j\left(\xi \right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{c}_i\left(\xi \right)x_i^j, j=\overline{\mathrm{1,}N}.$

Тогда переход на новую оптимальную производственную программу $x^k$ при каком-то значении $\xi$ возможен, если:

а) существует интервал $\left[{\xi }_1,{\xi }_2\right]$, на котором

$\frac{d{f}^k\left(\xi \right)}{d\xi }>\frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi };$

б) существует ${\xi }^{*}\in \left[{\xi }_1,{\xi }_2\right]$, для которого $f^k\left({\xi }^{*}\right)=f^l\left({\xi }^{*}\right)$;

в) $\frac{d{f}^k\left(\xi \right)}{d\xi }>\frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi }$  при $c_i=a_i+b_i.$.

Если условие в) не выполняется, то возможна следующая ситуация (рис. 1).

Рис. 1. Отсутствие перехода на новую производственную программу

Не соблюдается условие в) для перехода на новую оптимальную производственную программу. На рис. 1 существует ${\xi }^{*}$, для которого $f^l\left({\xi }^{*}\right)=f^k\left({\xi }^{*}\right)$, но $\frac{d{f}^k\left(\xi \right)}{d\xi }\le \frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi },$

поэтому переход на любую оптимальную производственную программу в точке ${\xi }^{*}$ не происходит.

В ситуации нелинейного роста $c_i\left(\xi \right)$ возможно несколько переходов от одной оптимальной производственной программы к другой (рис. 2).

Рис. 2. Несколько переходов от оптимальной производственной программы x^l к оптимальной производственной программе x^k и обратно

3. Анализ устойчивости модели к изменению критерия. Пусть есть множество допустимых значен $\overline{\underset{\_}{X}}=\left\{x^1, \mathrm{...,}{x}^{\mathcal{l}}\mathrm{,...,}{x}^N\right\}$ для оптимальных моделей (1.1) – (1.5) и (1.8), (1.2) – (1.5). Очевидно, в силу того, что системы ограничений в моделях (1.1) – (1.5) и (1.8), (1.2) – (1.5) совпадают, множество допустимых решений у этих моделей также будет одно и то же.

Допустим, что $x^{\mathcal{l}}$ является оптимальным решением для модели (1.1) – (1.5). Очевидно, что если переменные издержки $b_i=0$, то $x^{\mathcal{l}}$ будет оптимально и для модели (1.8), (1.2) – (1.5), так как в этом случае критерий (1.8) – это целевая функция (1.1), умноженная на константу.

В каком диапазоне можно менять значения показателей $b_i$, умножая их на $\lambda >0$ так, чтобы оптимальное решение для критериев (1.1) и (1.8) совпадали, иллюстрирует следующий численный эксперимент.

Пусть существует пекарня, которая выпускает четыре вида продукции (табл. 1).

Таблица 1. Виды продукции пекарни

Постоянные издержки составляют 5000 руб/мес.

Нормы потребления ресурсов для производства продукции пекарни, их запасы, нормы времени выработки, эффективное время работы оборудования и месячный спрос на продукцию представлены в табл. 2–6 соответственно.

Таблица 2. Нормы потребления ресурсов

Таблица 3. Запасы материальных ресурсов

Таблица 4. Нормы времени выработки

Таблица 5. Эффективное время работы оборудования

Таблица 6. Месячный спрос на продукцию, шт.

Тогда числовой пример выглядит следующим образом.

1. Прибыль и рентабельность:

 $100x_1+15x_2+50x_3+40x_4-5000 \to \text{max}$,

$\frac{100x_1+15x_2+50x_3+40x_4-5000}{\left(300x_1+35x_2+150x_3+110x_4\right)+5000}\to \text{max}.$

2. Ограничение на материальные ресурсы: $0.4x_1+0.05x_2+0.21x_3+0.17x_4\le \mathrm{200,}$

$0.1x_1+0.01x_2+0.12x_3+0.08x_4\le \mathrm{120,}$

 $150x_1+50x_2+90x_3+75x_4\le 70 \mathrm{000,}$

$2x_1+\mathrm{0,25}{x}_2+1x_3+\mathrm{0,75}{x}_4\le 850.$

3. Ограничение на производственную мощность (оборудование). Для расчетов берем 22 рабочих дня:

$\frac{25}{60}{x}_1+\frac{10}{60}{x}_2+\frac{15}{60}{x}_3+\frac{12}{60}{x}_4\le 9.09\cdot \mathrm{22,}$

$\frac{14}{60}{x}_1+\frac{6}{60}{x}_2+\frac{9}{60}{x}_3+\frac{11}{60}{x}_4\le 11.36\cdot \mathrm{22,}$

$\frac{7}{60}{x}_1+\frac{2}{60}{x}_2+\frac{3}{60}{x}_3+\frac{4}{60}{x}_4\le 7.6\cdot 22.$

4. Ограничение на спрос на продукцию:

$x_1\le \mathrm{200,}$ $x_2\le \mathrm{250,}$

$x_3\le \mathrm{400,}$

$x_4\le 350.$

5. Ограничение на решения (целочисленное, положительное):

$x_1\in Z^{+},$ 

$x_2\in Z^{+},$ 

$x_3\in Z^{+},$ 

$x_4\in Z^{+}.$

Вычислим значения прибыли и рентабельности переходов λ (рис. 3):

${\lambda }_{\text{min}}\in \text{[0;0}\text{.33]}\text{,}$

${\lambda }_{\text{1}}\in \text{[0}\text{.34;0}\text{.54)}\text{,}$

${\lambda }_{\text{2}}\in \text{[0}\text{.54;0}\text{.55)}\text{,}$

${\lambda }_{\text{3}}\in \text{[0}\text{.55;0}\text{.86]}\text{,}$

${\lambda }_{\text{4}}\in \text{(0}\text{.86;1}\text{.2)}\text{,}$

${\lambda }_{\text{5}}\in \text{[1}\text{.2;1}\text{.3)}\text{,}$

${\lambda }_{\text{6}}\in \text{[1}\text{.3;1}\text{.43)}\text{,}$

${\lambda }_{\text{7}}\in \text{[1}\text{.43;2}\text{.9)}\text{,}$

${\lambda }_{\text{8}}\in \text{[2}\text{.9;+}\infty \text{)}\text{.}$

Рис. 3. График расположения переходов λ

Результаты вычислений представлены в табл. 7:

Таблица 7. Результаты вычислений для переходов λ

4. Оптимизация производственной программы в условиях расширения производства. Рассмотрим ситуацию, когда наряду с традиционной продукцией предприятие будет выпускать еще и новые виды продукции: n+1, …, n₁. Для этого потребуются дополнительные материальные ресурсы: М+1, М+2, …, М₁ и дополнительное оборудование: К+1, …, К₁. Для приобретения дополнительного объема материальных ресурсов и дополнительных единиц оборудования вычисляются инвестиции в объемах V1 и V2 соответственно.

Задача выбора оптимальной производственной программы в этом случае формулируется следующим образом:

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i-{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{b}_i{x}_i-Z_{пост}\to \max ,$ (4.1)

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{l}_{ij}{\alpha }_i\le L_j+Z_j, j=\overline{\mathrm{1,}M},$ (4.2)

 ${\displaystyle \sum }_{i=n+1}^{n_1}{l}_{ij}{\alpha }_i\le Z_j, j=\overline{M+\mathrm{1,}{M}_1},$ (4.3)

 ${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{t}_{ie}{x}_i\le \left(K_e+y_e\right){\tau }_e, e=\overline{\mathrm{1,}K},$ (4.4)

${\displaystyle \sum }_{i=n+1}^{n_1}{t}_{ie}{x}_i\le y_e{\tau }_e, e=\overline{K+\mathrm{1,}{K}_1},$ (4.5)

${\displaystyle \sum }_{j=1}^{M_1}{Z}_j{\beta }_j\le V_1,$ (4.6)

${\displaystyle \sum }_{e=1}^{K_1}{y}_e{\gamma }_e\le V_2,$ (4.7)

$x_i\le P{t}_i, i=\overline{\mathrm{1,} n_1},$ (4.8)                 

$x_i\in Z^{+}, i=\overline{\mathrm{1,} n_1},$ (4.9)

 $y_e\in Z^{+}, e=\overline{\mathrm{1,} K_1}$,

$Z_j\ge \mathrm{0,} j=\overline{\mathrm{1,} M_1}$ .

5. Анализ устойчивости в условиях расширения производства. Рассмотрим ситуацию роста маржинального дохода $C_i\left(\xi \right)$ при росте инфляции $\xi$ в модели (4.1) – (4.9). Будем считать $C_i\left(\xi \right)= a_i\left(\xi \right)- b_{i }\left(\xi \right)$, а в общем случае:

 $C_i\left(\xi \right)= C_i\left(0\right)+ {\phi }_i\left(\xi \right), i=\overline{\mathrm{1,} n}$ .   (5.1)      

Здесь

 $\frac{d{\phi }_i\left(\xi \right)}{d\xi } \ge \mathrm{0,} {\phi }_i\left(0\right)=0 è {\phi }_i\left(\xi \right)>0$ ;

$C_i\left(0\right)$ – маржинальный доход в начальный момент времени $t= 0$.

Пусть $\overline{\underset{\_}{X}}= \left\{x^1, \dots , x^N\right\}$ – множество допустимых производственных программ в модели  (4.1) – (4.9), $x^{\mathcal{l}}$ – оптимальная производственная программа.

Изменение целевой функции (1.1) на решении $x^{\mathcal{l}}$, при росте инфляции можно описать следующей функцией:

$f^j\left(\xi \right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{С}_i\left(\xi \right)x_i^l+Z_{пост}.$ (5.2)          

Аналогичным образом можно задать значение целевой функции (4.1) на любой другой производственной программе $x^j \left( j=\overline{\mathrm{1,} N}; j\ne \mathcal{l}\right)$:

$f^j\left(\xi \right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{С}_i\left(\xi \right)x_i^j+Z_{пост}.$ (5.3)

Возникает вопрос: если $x^l$ было оптимально при $\xi =0$, останется ли оно оптимальным при изменении $\xi \in \left(\mathrm{0,}\theta \right)$?

Продифференцируем $f^l\left(\xi \right)$ и $f^j\left(\xi \right)$ по $\xi$ с учетом соотношения (5.1). Получаем

$\frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi }={\displaystyle \sum }_{i=1}^n\frac{d{\phi }_i\left(\xi \right)}{d\xi }{x}_i^l,$ (5.4)

$\frac{d{f}^j\left(\xi \right)}{d\xi }={\displaystyle \sum }_{i=1}^n\frac{d{\phi }_i\left(\xi \right)}{d\xi }{x}_i^j.$   

Если ${\phi }_i\left(\xi \right)$ линейные функции:

$\frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi }\ge \frac{d{f}^j\left(\xi \right)}{d\xi }, \forall \xi \in \left(\mathrm{0,}\theta \right),$ (5.5)

то легко понять, что производственная программа $x^l$ остается оптимальной для всех решений $\xi \in \left(\mathrm{0,}\theta \right)$. Если же существует $K, K=\overline{\mathrm{1,} N},$ такое, что

$\frac{d{f}^k\left(\xi \right)}{d\xi }>\frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi }, \forall \xi \in \left(\mathrm{0,}\theta \right),$ (5.6)

то при определенном значении ${\xi }^{*}$ оптимальной становится программа $x^k$.

Значение ${\xi }^{*}$ определяется из следующего уравнения:

$f^k\left(\xi \right)=f^l\left(\xi \right)$.                                            (5.7)

В силу линейности ${\phi }_i\left(\xi \right)$ уравнение (5.7) будет иметь единственное решение, которое мы обозначим ${\xi }^{*}$.

Таким образом, при $\xi \le {\xi }^{*}$ оптимальным будет решение $x^l$, при $\xi \ge {\xi }^{*}$ – решение $x^k$, при $\xi ={\xi }^{*}$ – решение $x^l$ и $x^k$. Область изменения ${\xi }^{*}\in \left[\mathrm{0,}{\xi }^{*}\right]$ [ ${\xi }^{*}\in \left[\mathrm{0,}{\xi }^{*}\right]$ ] – область устойчивости для решения $x^l$.

Если существует несколько производственных программ $x^{K_1},\dots , x^{K_M}$, для которых выполняется условие (5.6), то решается М уравнений, находятся решения ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_M$ и в качестве точки перехода на новую оптимальную производственную программу выбирается точка ${\xi }^{*}=\text{min}\left\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_M\right\}$.

В силу линейности $f^j\left(\xi \right)$ число переходов на новую оптимальную производственную программу будет конечно и не будет превышать числа $N-1$. Если же ${\phi }_i\left(\xi \right)$ нелинейны, то нелинейны и $f^j\left(\xi \right)$ $\left(i=\overline{\mathrm{1,} n}; j=\overline{\mathrm{1,} N}\right)$. Тогда количество переходов от одной оптимальной производственной программы к другой может быть бесконечным при $\xi \in \left(0;\infty \right)$ уже для $N=2$.

Приведем пример этой ситуации для случая, когда ${\phi }_i\left(\xi \right)$ кусочно-линейны (рис. 4).

Рис. 4. Несколько точек перехода от одной оптимальной производственной программы к другой в условиях расширения производства

Изменение оптимальной производственной программы может быть связано с ростом стоимости материальных ресурсов и стоимости оборудования при росте инфляции, а также  с падением спроса при росте инфляции. Рассмотрим ситуацию, когда цена материальных ресурсов зависит от инфляции следующим образом:

β_j (ξ) = β_j (0) + ψ_j (ξ),  $\left(5.8\right)$

где ψ_j (ξ) ≥ 0,"ξ и

$\frac{d{\psi }_j(\xi )}{d\xi }>0.$

Здесь β_j(0) – стоимость материального ресурса j в начальный момент времени t = 0. В этом случае неравенство (4.6) можно переписать в следующем виде:

С учетом того, что с ростом ξ правая часть неравенства (5.9) растет, а объем инвестиций V₁ не меняется, можно вычислить такое ξ_τ, при котором

Дальнейший рост инфляции приведет к тому, что объем затрат на материальные ресурсы (левая часть равенства (5.10)) станет больше, чем объем инвестиций $V_1$. Следовательно, невозможно обеспечить производственную программу $x^l$ (оптимальную в момент времени t) необходимым объемом материальных ресурсов и, следовательно, предприятие будет выпускать продукцию в меньших объемах, т. е. необходим переход при уровне инфляции ξ_τ от производственной программы $x^l$ к новой программе $x^{\tau }, \tau =\overline{\mathrm{1,} N}.$

Аналогичная ситуация при росте цен на оборудование. Если их изменение происходит по закону, описываемому следующей формулой:

 γ_l (ξ) = γ_l (0) + χ_l (ξ), (5.11)  

где χ_l (ξ) ≥ 0, χ_l (ξ) = 0 и

$\frac{d{\chi }_l(\xi )}{d\xi }>0.$

то существует ξ_j при котором неравенство (4.7) будет иметь вид

$\sum _{l=1}^{K_1}{Y}_l{\gamma }_l\left({\xi }_{\gamma }\right)=V_2$ (5.12)

Следовательно, при ξ = ξ_γ также будет переход на новую оптимальную производственную программу X^γ.

Наконец, естественно предположить, что спрос $P{t}_i$ будет падать с ростом инфляции. Пусть это падение описывается формулой

Pt_i (ξ) = Pt_i (0) – Q_i (ξ), (5.13)                                              

где Q_i (ξ) = 0 при ξ = 0; Q_i (ξ) ≥ 0 при ξ > 0;

$\frac{dQ(\xi )}{d\xi }>0.$

для $\forall$ξ ∈ (0, θ).

Рассмотрим (4.8) с учетом (5.13):

$x_i\le P{t}_i\left(\xi \right), i=\overline{1,n_1}$ ,                             (5.14)

Так как x^l оптимально, при ξ = 0 также должно выполняться

 $x_i^l\le P{t}_i\left(\xi \right), i=\overline{1,n_1}$ (5.15)

Так как правая часть в (5.15) уменьшается с ростом ξ, то существует ξ_p и существует γ , такие, что

$x_i^l=P{t}_{\gamma }\left({\xi }_p\right)$ (5.16)

Следовательно, при ξ > ξ_p производственная программа x^l перестает быть допустимой и, следовательно, предприятие вынуждено снижать объем выпуска, переходя к другой производственной программе $x^p, p=\overline{\mathrm{1,} N}$.

Таким образом, при изменении маржинального дохода С_i(ξ), $i=\overline{\mathrm{1,}{n}_1},$ на материальные ресурсы ${\beta }_j(\xi )$, $j = \overline{\mathrm{1,} M_1}$, цен на оборудование ${\gamma }_l(\xi )$ , $l = \overline{\mathrm{1,} K_1},$ и спроса $P{t}_i(\xi )$ , $i = \overline{\mathrm{1,} n_1},$ под влиянием инфляции ξ произойдет переход на новую оптимальную производственную программу. Константы $n_1, M_1, K_1$ определены нами в начале разд. 4. Уровень инфляции ξ, при котором произойдет этот переход вычисляется по формуле

ξ = min {ξ_c, ξ_β, ξ_γ, ξ_p}.

6. Динамическая модель выбора оптимальной производственной программы. Рассмотрим ситуацию, когда материальные ресурсы поступают динамически на вход производственной системы с интенсивностью $L_j\left(t\right)$, $j = \overline{\mathrm{1,} M}$. В этом случае интенсивность выпуска конечной продукции также будет задана динамически как $x_i\left(t\right)$, $\text{i} =\overline{\mathrm{1,} n},$ и задача выбора оптимальной производственной программы может быть сформулирована следующим образом

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n\underset{0}{\overset{T}{{\displaystyle \int }}}{C}_i\left(t\right)x_i\left(t\right)dt \to \text{max}.$ (6.1)

Здесь $C_i\left(t\right)=a_i\left(t\right)- b_i\left(t\right)$

= ${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{l}_{ij}\underset{0}{\overset{t}{{\displaystyle \int }}}{x}_i\left(t^{\prime }\right)d{t}^{\prime }\le \underset{0}{\overset{t}{{\displaystyle \int }}}{L}_j\left(t\right)dt, \text{j} = \overline{\mathrm{1,} M}, \forall t\in \left(\mathrm{0,}T\right),$ (6.2)

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{t}_{il}\underset{t_1}{\overset{t_2}{{\displaystyle \int }}}{x}_i\left(t^{\prime }\right)d{t}^{\prime }\le \frac{t_2-t_1}{T}{k}_l{\tau }_l, l = \overline{\mathrm{1,} K},$ (6.3)

$\forall t_1, t_2 \left(t_2>t_1\right), t_1\in \left(\mathrm{0,}T\right), t_2\in \left(\mathrm{0,}T\right),$

$\underset{0}{\overset{T}{{\displaystyle \int }}}{x}_i\left(t\right)dt\le P{t}_i, i = \overline{\mathrm{1,} n},$ (6.4)

$x_i\left(t\right)\ge \mathrm{0,} i = \overline{\mathrm{1,} n}.$ (6.5)

Неравенство (6.2) задает ограничения на потребление материальных ресурсов; неравенство (6.3) – ограничения на производственные мощности с учетом равномерной загрузки оборудования.

Задача (6.1) – (6.5) является задачей оптимального управления. Она может быть сведена к задаче линейной целочисленной оптимизации следующим образом. Разобьем интервал (0, T) на конечное число отрезков времени (дней) и будем полагать, что $x_{i\tau }$ – объем выпуска продукции в день с номером $\tau$, а $L_{j\tau }$ – объем поступления материальных ресурсов $j$ в день $\tau$. Тогда задача (6.2) – (6.5) может быть переписана следующим образом:     

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\displaystyle \sum }_{\tau =1}^T{c}_{i\tau }{x}_{i\tau }\to \text{max},$ (6.6)

где $c_{i\tau }$ – маржинальный доход от выпуска одной единицы продукции $i$ в день $\tau$:

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\displaystyle \sum }_{\tau =1}^{\theta }{l}_{ij}{x}_{i\tau }\le {\displaystyle \sum }_{\tau =1}^{\theta }{L}_{j\tau }, j= \overline{\mathrm{1,} M}, \theta = \overline{\mathrm{1,} T},$ (6.7)

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{t}_{il}{x}_{i\tau }\le \frac{1}{T}{k}_l{\tau }_l, l = \overline{\mathrm{1,} K}, \tau =\overline{\mathrm{1,} T},$ (6.8)

${\displaystyle \sum }_{\tau =1}^T{x}_{i\tau }\le P{t}_i,$ (6.9)

$x_{i\tau }\in Z^{+}, i = \overline{\mathrm{1,} n}, \tau =\overline{\mathrm{1,} T}$ . (6.10)

Таким образом, задача (6.6) – (6.10) является задачей целочисленной линейной оптимизации, в которой переменные $x_{i\tau }$ задают объем выпуска продукции $i$ в день с номером $\tau$.

7. Устойчивость решений динамической модели. Рассмотрим ситуацию, когда $c_{i\tau }$ могут меняться в зависимости от параметра $\xi$ следующим образом: $c_{i\tau }\left(\xi \right)=c_{i\tau }+ {\phi }_{i\tau }\left(\xi \right)$, где ${\phi }_{i\tau }\left(\xi \right)$ – возрастающая непрерывная функция и ${\phi }_{i\tau }\left(0\right)=0$. Рассмотрим ситуацию, когда ${\phi }_{i\tau }\left(\xi \right)$ линейна и ${\phi }_{i\tau }\left(\xi \right)=c_{i\tau }\ast a_{i\tau }\ast \xi$.

Пусть $\overline{\underset{\_}{x}}=\left\{x^1, \dots ,x^n \right\}$ – множество допустимых решений задачи (6.6) – (6.10) и решение $x^l=x_{i\tau }^l$ оптимально при $\xi =\mathrm{0,} l=\overline{\mathrm{1,} N},$ и обозначается через $f^l\left(\xi \right)$:

$f^l\left(\xi \right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{\displaystyle \sum }_{\tau =1}^T{c}_{i\tau }\left(\xi \right)x_{i\tau }^l.$

Тогда

$\frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi }={\displaystyle \sum }_{\tau =1}^T{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{c}_{i\tau }{\alpha }_{i\tau }{x}_{i\tau }^l.$

Для любого другого $j=\overline{\mathrm{1,} N}, j\ne l$;

$\frac{d{f}^j\left(\xi \right)}{d\xi }={\displaystyle \sum }_{\tau =1}^T{\displaystyle \sum }_{i=1}^n{c}_{i\tau }{\alpha }_{i\tau }{x}_{i\tau }^j.$

Очевидно, что если существует такое $k, k=\overline{\mathrm{1,} N}, k \ne l,$ такое, что

$\frac{d{f}^k\left(\xi \right)}{d\xi }>\frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi },$

то линейное уравнение $f^k\left(\xi \right)=f^l\left(\xi \right)$ имеет одно положительное решение. Пусть это решение равно ${\xi }^{*}$. Тогда очевидно, что при $\xi \in \left(\mathrm{0,}{\xi }^{*}\right)$ оптимальной будет производственная программа $x^l$,  а при $\xi >{\xi }^{*}$ оптимальной производственной программой будет $x^k$. При $\xi ={\xi }^{*}$ оптимальной станет и программа $x^k$, и программа $x^l$, отрезок $\left(\mathrm{0,}{\xi }^{*}\right)$ назовем областью устойчивости решения $x^l$.

Если ${\phi }_{i\tau }\left(\xi \right)$ нелинейны, то соответственно

$\frac{d{f}^j\left(\xi \right)}{d\xi }={\displaystyle \sum }_{i=1}^T{\displaystyle \sum }_{\tau =1}^n\frac{d{\phi }_{i\tau }\left(\xi \right)}{d\xi }{x}_{i\tau }^j, j = \overline{\mathrm{1,} N}.$

Если в этом случае $x^l$ оптимально при $\xi =0$, то для перехода на новое оптимальное решение $x^k$ необходимым условием является существование отрезка $\left[{\xi }_1,{\xi }_2\right]$, на котором

$\frac{d{f}^k\left(\xi \right)}{d\xi }>\frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi }, \forall \xi \in \left[{\xi }_1,{\xi }_2\right].$

Достаточным условием выступает выполнение приведенных далее требований: $a) \exists \left[{\xi }_1,{\xi }_2\right]; \frac{d{f}^k\left(\xi \right)}{d\xi }>\frac{d{f}^l\left(\xi \right)}{d\xi }, \forall \xi \in \left[{\xi }_1,{\xi }_2\right],$

$b) \exists {\xi }^{*}; f^k\left({\xi }^{*}\right)=f^l\left({\xi }^{*}\right), \forall {\xi }^{*}\in \left[{\xi }_1,{\xi }_2\right].$

8. Анализ устойчивости производственной программы, пример. Рассмотрим следующую задачу:

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{c}_{i\left(\xi \right)}{x}_i\to \text{max},$ (8.1)

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{l}_{ij}{x}_i\le L_j;j=\overline{\mathrm{1,} M},$ (8.2)

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{t}_{il}{x}_i\le k_l{\tau }_l ;l=\overline{\mathrm{1,} K},$ (8.3)

$x_i\le P{t}_i;i=\overline{\mathrm{1,} n}$  (8.4)

$x_i\in Z^{+}$ 

$c_{i\left(\xi \right)}=a_{i\left(\xi \right)}- b_{i\left(\xi \right)}.$ , (8.5)             

Пусть у задачи (8.1) – (8.5) есть два допустимых решения:

$x^1=\left(x_1^1, x_2^1\right)=\left(\mathrm{1,2}\right)$ и $x^2$ = $\left(x_1^2, x_1^2\right)=\left(\mathrm{2,1}\right)$,

 $C_1\left(0\right)= C_1=2; C_2\left(0\right)= C_2=1$.

Допустим также, что ${Ñ}_1\left(\xi \right) \text{è} {Ñ}_2\left(\xi \right)-$ линейные функции:

С_i(ξ) = С_i + С_i * q_i * ξ; i = 1,2; q₁ = 1; q₂ = 5,

$f^j\left(\xi \right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{Ñ}_i\left(\xi \right)* x_i^j;j=\mathrm{1,2.}$

$f^j\left(0\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{Ñ}_i\left(x_i^j\right)=f^1\left(0\right)=1*2+2*1=4; f^2\left(0\right)=2*2+1*1=5.$  

Следовательно, при $\xi =0$ оптимальна программа $x^2.$

Рассчитаем $f^1\left(\xi \right)=1\left(2+2*1*\xi \right)+2 \left(1+1*5*\xi \right)=4+12\xi$, $f^2\left(\xi \right)=2\left(2+2*1*\xi \right)+1 \left(1+1*5*\xi \right)=5+9\xi ,$

$\frac{d{f}^1\left(\xi \right)}{d\xi }=12; \frac{d{f}^2\left(\xi \right)}{d\xi }=9.$, 

т.е.

$\frac{d{f}^1\left(\xi \right)}{d\xi }=12; \frac{d{f}^2\left(\xi \right)}{d\xi }=9.$

$\frac{d{f}^1\left(\xi \right)}{d\xi }\ge \frac{d{f}^2\left(\xi \right)}{d\xi }.$

Тогда есть ${\xi }^{*}\ge 0$, при котором $f^2\left( {\xi }^{*}\right)=f^1\left( {\xi }^{*}\right)$, начиная с которого $f^1\left(\xi \right)>f^2\left(\xi \right)$, $\xi >{\xi }^{*}$.  Следовательно, при $\xi \ge {\xi }^{*}$ оптимальной будет программа $x^1=\left(\mathrm{1,2}\right).$ Интервалом устойчивости в этом случае для $x^1$ станет (0, ${\xi }^{*}$ ). Для данного примера ${\xi }^{*}$ вычисляется путем решения уравнения:

$f^1\left(\xi \right)=f^2\left(\xi \right)$

 4 + 12 ξ = 5 + 9 ξ

ξ = 1/3, т.е. ξ^* = 1/3.

Пусть при $\xi =2$ промежуточное изменение коэффициентов $q_1$ и $q_2$ равно q₁ = 1 и q₂ = 5. Рассчитаем f¹(ξ) и f²(ξ) для $\xi =2:$

$f^1\left(\xi \right)=4+12*2=4+24=28$ ,

$f^2\left(\xi \right)=5+9*2=5+18=23$ .

При изменении $q_1$ и $q_2$ как $\xi =2$ получили следующее задание f¹(ξ) и f²(ξ) :

для f¹(ξ):

$28=9*2+b=>b=\mathrm{10,}$             

 f¹(ξ) = 9ξ + 10 для ξ > 2,

для f²(ξ):

 $23=12*2+b=>b=-\mathrm{1,}$          

$f^2\left(\xi \right)=12\xi -1$,

$\frac{d{f}^2\left(\xi \right)}{d\xi }>\frac{d{f}^1\left(\xi \right)}{d\xi },$           

а следовательно,возникает точка перехода. Решаем уравнение:

$12\xi -1=9\xi +\mathrm{10,}$

$\xi =11:3=3\frac{2}{3}$.

Начиная с $3\frac{2}{3}$ оптимальным будет снова решение $x^2.$

Таким образом, область устойчивости для решения $x^1$ – это интервал $\left[\frac{1}{3};3\frac{2}{3} \right]$, а область устойчивости для $x^2$ – интервал $\left[0;\frac{1}{3} \right]$ и $\left[3\frac{2}{3}; \infty \right]$ (рис. 5).

Рис. 5. Области устойчивости для решений задачи

Заключение. Предложено использование метода ветвей и границ, основанного на вычислении верхней, нижней и текущих верхних оценок при анализе различных вариантов производственных программ, который обеспечивает выбор оптимальной производственной программы предприятия. Представлена верхняя оценка числа допустимых производственных программ. Показано, что наряду с критерием прибыли при выборе производственной программы может использоваться критерий рентабельности. Показано, что при определенных условиях оптимальные производственные программы по критериям прибыли и рентабельности совпадают. Проведен анализ устойчивости производственных программ при изменениях исходных данных модели и критерия оптимальности модели, в том числе при нелинейном изменении доходности производственной программы от инфляции в условиях расширения производства.

Представлены различные модели выбора оптимальной производственной программы.  В рамках рассмотрения динамической модели выбора, описывающей ситуацию, при которой материальные ресурсы поступают динамически на вход производственной системы с интенсивностью выпуска конечной продукции, которая также задана динамически, сформулирована задача выбора оптимальной производственной программы.

Предлагаемые методы и модели можно использовать при реинжиниринге производственных и управленческих процессов, в рамках проектного управления на предприятиях для повышения эффективности производственных и управленческих процессов. Применение моделей позволит руководству предприятия более эффективно планировать реализацию проектов, оценивать объем необходимых для реализации проектов ресурсов, увидеть направления совершенствования процессов управления проектами, оптимизировать проектную деятельность.