Temperature Distribution Inside the Liquid Inclusion in the Field of the External Temperature Gradient

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Изучение эволюции жидких включений в поле градиента температуры имеет важное значение для обоснования долгосрочной безопасной изоляции радиоактивных отходов в геологической породе галитов.

Задача о распределении температуры внутри жидкого включения представляет большой интерес для описания движения этих включений в неоднородно нагретых кристаллах соли. Движение включений в таких кристаллах обусловлено потоком массы через раствор от более нагретой к более холодной стенке, что, в свою очередь, является следствием роста растворимости соли в воде с температурой. В результате включение движется в сторону больших температур.

РАСЧЕТ ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ

Важной характеристикой, определяющей скорость миграции включения, является градиент температуры внутри включения (больше градиент – выше скорость миграции включения). Так, в работе [1] утверждается, что если значения теплопроводности в кристалле соли и в растворе внутри включения различаются значительно, то градиент внутри включения растет монотонно с ростом аспектного отношения b/a:

$\nabla T_i~b/a\nabla T_e$, (1)

где a – размер включения в направлении, перпендикулярном градиенту температуры, а b – размер вдоль градиента. В работе [3] для описания движения включений в кристаллах KCl была предложена следующая формула, связывающая градиент температуры в объеме включения ∇T_i и средний градиент температуры в матрице ∇T_ev:

$\nabla T_i\simeq (1+\phi \frac{b}{a})\nabla T_e$, (2)

где j – константа, зависящая от вещества кристалла и включения, выбранная для системы KCl-H₂O равной j ≈ 1/2.

Согласно [3], градиент температуры во включении не может быть постоянным и в формуле (2) в качестве ∇T_i подразумевается градиент в самом центре включения (максимальное значение градиента в объеме), поэтому далее авторами [3] была введена поправка, основанная на том, что градиент в объеме принимает промежуточное значение между ∇T_i и ∇T_e:

$\nabla T_{iv}\simeq (1+\phi \frac{b}{2a})\nabla T_e$. (3)

В работе [4] подробно рассматривается теория и механизм миграции жидких включений в соли под действием градиента температуры. Для нахождения скорости миграции включений необходимо знать градиент температуры в объеме включения. Так как теплопроводность в рассоле меньше, чем в матрице, градиент температуры внутри включения будет выше. Максимальный градиент температуры находится в центре включения:

$\nabla T_i=\xi \nabla T_e$, (4)

где x – поправочный коэффициент, зависящий от среды вблизи включения:

$\xi =\frac{3}{2+\frac{{\kappa }_i}{{\kappa }_e}}$,

где k_i, k_e – коэффициенты теплопроводности внутри включения и снаружи соответственно.

Для плоского включения с большим соотношением сторон:

$\xi =\frac{{\kappa }_e}{{\kappa }_i}$.

В формуле (4) учитывается зависимость градиента температуры в объеме включения от теплофизических свойств среды, но не учитывается зависимость от размеров включения: при заданных теплофизических свойствах исследуемой области форма и размер включений не влияет на градиент температуры.

Таким образом, в приведенных приближенных формулах предпринята попытка учесть различные факторы, влияющие на определение градиента температуры во включении. С учетом важности данного параметра для построения общей модели миграции ансамбля включений, в настоящей работе предлагается вывод общей формулы, устраняющей ограничения формул (1)–(4).

Рассматривается жидкое включение в форме эллипсоида (рис. 1) c осями a < b = c, где a направлена вдоль OX, b вдоль OY, а c, соответственно, вдоль OZ. Эллипсоид помещен в однородное внешнее температурное поле с постоянным градиентом ∇T₀, направленным вдоль оси OX. Считается, что скорость термомиграции постоянна. Оценки влияния скорости термомиграции на теплоперенос вне жидкого включения показывают его незначительность из-за малых значений скорости тепломиграции.

Рис. 1. Сечение ¼ эллипсоида в плоскости OZ

Учитывая отсутствие конвекционного переноса тепла внутри включения (число Рэлея Ra ~ 10^–4), в системе координат, связанной с центром масс включения (рис. 1), уравнение теплопроводности запишем в виде:

$div\left(\kappa gradT\right)=0$, (5)

где k = k_i внутри включения и k = k_e вне его.

Решение уравнения (5) для градиента температуры внутри включения получено с использованием подходов изложенных в [5] и [6].

$\nabla T_i=\frac{\nabla T_{0x}}{1+\left(\frac{{\kappa }_i}{{\kappa }_e}-1\right)n_x}$, (6)

где $n_x=\frac{1+ex{c}^2}{ex{c}^3}(exc-arctgexc),exc=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-1},(a<b=c)$.

Полагая, что b >> a, получим $exc=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-1}\to \frac{b}{a},arctgexc\to \frac{\pi }{2}$, тогда

$n_x=\frac{1+\frac{b^2}{a^2}}{\frac{b^3}{a^3}}(\frac{b}{a}-\frac{\pi }{2})\approx 1-\frac{a\pi }{2b}$. (7)

Далее с учетом (7) решение (6) примет вид:

$\nabla T_i\approx \frac{\nabla T_0}{1+\left(\frac{{\kappa }_i}{{\kappa }_e}-1\right)n_x}=\frac{{\kappa }_e\nabla T_0}{{\kappa }_e(1-n_x)+k_i{n}_x}$. (8)

Учитывая, что для галитов и рассола  Вт/мК, , из формулы (8) получим:

$\nabla T_i\approx \nabla T_0\frac{{\kappa }_e}{{\kappa }_e\frac{\pi }{2}\frac{a}{b}+{\kappa }_i}$. (9)

Для сравнения результатов, полученных по формулам (1), (2), (9), с численным решением уравнения (5) были выполнены расчеты, которые проводились методом установления. Решалась нестационарная задача теплопроводности с заданными начальными и граничными условиями в трехмерной постановке:

$\frac{\partial T}{\partial t}=div\left(\kappa gradT\right),{\left.\frac{\partial T}{\partial n}\right|}_{{Г}_2,{Г}_4}=\nabla T_0,{\left.\frac{\partial T}{\partial n}\right|}_{{Г}_1,{Г}_3}=\mathrm{0,}{\left.\frac{\partial T}{\partial n}\right|}_{{Г}_5,{Г}_6}=\mathrm{0,}{\left.\frac{\partial T}{\partial t}\right|}_{t=0}=\nabla T_0$, (10)

где G₂, G₄ – границы расчетной области перпендикулярные оси OX, а G₁, G₃ и G₅, G₆ – перпендикулярные OY, OZ соответственно.

Расчетная область представляет собой прямоугольный параллелепипед (среда), внутри которого находится эллипсоид (жидкое включение). Задача решалась с помощью метода конечных разностей. Также для экономии времени расчета использовались свойства симметрии задачи относительно осей OY и OZ и антисимметрией относительно OX, внешний градиент температуры направлен вдоль OX, средний градиент температуры внутри включения вычисляется при y = z = 0, x пробегает значения в пределах области, где значение коэффициента теплопроводности соответствует включению, т. е. от центральной точки включения до его правой границы.

Расчеты были проведены для включений с разным соотношением сторон  (a фиксируется, b варьируется).

На рис. 2 представлены результаты расчетов согласно формулам (1), (2), (9) и численный расчет. Вычисления проводились для включений эллипсоидальной формы с разным соотношением осей. Кривая 1 представляет результаты формулы (1), 2 – формулы (2), 4 – формулы (9), кривая 3 отображает численный расчет. Результаты, полученные с помощью аналитической формулы (9), лучше всего соответствуют численному расчету.

Рис. 2. Зависимости градиента температуры внутри включения от соотношения сторон для формул (1), (2), (9) и численного расчета (кривые 1, 2, 4 и 3 соответственно)

Также полученные результаты показывают, что вытянутые в изотермическом направлении включения имеют более высокий градиент температуры внутри, чем включения формой, ближе к квадратной. Значения градиента температуры, полученные по формуле (4), где градиент температуры внутри включения не зависит от соотношения сторон, на рис. 2. не представлены, т. к. они существенно далеки от приведенных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Была получена простая аналитическая зависимость (9) температурного градиента внутри жидкого включения в монокристалле галита от известного градиента температуры вне его.

Полученная формула (9) (черная кривая на рис. 2) учитывает теплофизические и геометрические свойства включений в отличие от ранее полученных.

Хорошее совпадение результатов численных и аналитических расчетов позволяет использовать полученное выражение (9) для дальнейшего построения теории термомиграции жидких включений в соляных формациях.

About the authors

O. O. Korchagina

Author for correspondence.
Email: ok@ibrae.ac.ru
Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. The section of the ¼ ellipsoid in the OZ plane

Download (36KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Dependences of the temperature gradient inside the inclusion on the aspect ratio for the formulas (1), (2), (9) and numerical calculation (curves 1, 2, 4 and 3, respectively)

Download (160KB)

Indexing metadata