Equations for covariance functions of the state vector of a linear system of stochastic differential equations with finite concentrated and distributed delays

I. E. Poloskov; Полосков Игорь Егорович

doi:10.36535/2782-4438-2024-233-46-55

Уравнения для ковариационных функций вектора состояния линейной системы стохастических дифференциальных уравнений с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями

Авторы: Полосков И.Е.¹
Учреждения:
1. Пермский государственный национальный исследовательский университет
Выпуск: Том 233 (2024)
Страницы: 46-55
Раздел: Статьи
URL: https://bakhtiniada.ru/2782-4438/article/view/256989
DOI: https://doi.org/10.36535/2782-4438-2024-233-46-55
ID: 256989

Цитировать

Полный текст

Аннотация
Полный текст
Об авторах
Список литературы
Дополнительные файлы
Статистика

Аннотация

В работе представлен пошаговый метод приближенного аналитического расчета матрицы ковариационных функций системы линейных стохастических обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений с конечными сосредоточенным и распределенным запаздываниями, возмущаемой аддитивными флуктуациями в форме векторного стандартного винеровского процесса с независимыми компонентами. Предлагаемый метод представляет собой сочетание классического метода шагов и расширения пространства состояний и состоит из нескольких этапов, позволяющих перейти сначала от немарковской системы стохастических уравнений к цепочке марковских систем без запаздывания. На основе систем строятся соответствующие последовательности систем вспомогательных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для элементов векторов математических ожиданий и матриц ковариаций расширенных векторов состояния, а затем искомые уравнения для ковариационных функций.

Ключевые слова

вектор состояния, ковариационная функция, стохастическое интегро-дифференциальное уравнение, сосредоточенное запаздывание, распределенное запаздывание, пошаговый метод

Полный текст

1. Введение

Динамические системы с наличием запаздывания (или последействия) используются для описания поведения широкого круга объектов и явлений в технике, природе и обществе. Одним из основных математических инструментов описания поведения таких объектов и явлений являются системы дифференциальных уравнений, которые в зависимости от типов уравнений, форм последействия и наличия возмущений могут быть линейными или нелинейными, детерминированными или стохастическими, обыкновенными или в частных производных, дифференциальными (сосредоточенные запаздывания) или интегро-дифференциальными (распределенные запаздывания) уравнениями, в том числе нейтрального типа, или смешанными.

Можно заметить, что в последние десятилетия интерес к изучению поведения и созданию удобных инструментов количественного анализа таких систем неуклонно растет. Современный этап развития теории дифференциальных уравнений с запаздыванием — учет влияния случайных возмущений, а как следствие, более широкое обращение к соответствующим моделям (см. [9, 14, 15]). К их числу относится семейство стохастических обыкновенных (интегро-)дифференциальных уравнений (СОИДУ, СОДУ) с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями и случайными возмущениями.

Методы приближенного решения детерминированных аналогов систем уравнений рассматриваемого типа включают:

$θ$ -метод (см. [12]) для модели

$\frac{d x}{d t} = λ x (t) + μ x (t - τ) + \int_{t - τ}^{t} x (s) d s;$

метод спектральных элементов [13] для

$\frac{d x}{d t} = f (t, x (t),_{0}^{τ} K (t, s) x (t - s) d s);$

метод Рунге – Кутты [18] для системы уравнений

$x_{1'} (t) = x_{1} (t) [ϵ_{1} - γ_{1} x_{2} (t) - {\int_{}}_{t - τ}^{t} F_{1} (t - s) x_{2} (s) d s],$

$x_{2'} (t) = x_{2} (t) [- ϵ_{2} + γ_{1} x_{1} (t) + {\int_{}}_{t - τ}^{t} F_{2} (t - s) x_{1} (s) d s];$

метод Рунге – Кутты – Пуазе (см. [19]) для уравнения

$\frac{d}{d t} [x (t) - {\int_{}}_{t - τ}^{t} g (t, s, x (s)) d s] = f (t, x (t), x (t - τ));$

метод коллокаций со сплайнами [8] для модели

$\frac{d x}{d t} = f (t, x (t), x (t - τ), {\int_{}}_{t - τ}^{t} g (t, s x (s)) d s)$

и др.

Для анализа систем уравнений рассматриваемого типа применяются стохастические аналоги перечисленных методов, а также методы Эйлера – Маруямы [11], $θ$ -Маруямы [5], Мильштейна [4], полунеявный метод Эйлера [7] и др., причем, как правило, эти схемы предназначены для расчета отдельных приближенных траекторий соответствующих случайных процессов.

Целью представленного в данной работе метода является вычисление статистических характеристик решений линейных СОИДУ. Для построения необходимых для этого обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) без запаздывания, как и в ряде наших предыдущих работ [2, 16, 17], используется схема, сочетающая расширение пространства состояний и идеологию классического метода шагов. При этом для получения искомых характеристик в модификацию схемы определения последовательности пространств состояний увеличивающейся размерности и соответствующих векторов состояния, кроме распространения на новый класс моделей, включена процедура построения объединенной системы ОДУ без запаздывания для компонент последовательности векторов функций математического ожидания $m_{X} (\underline{t})$ , матриц функций ковариации $K_{X X} (\underline{t})$ и матриц ковариационных функций $C_{X X} (\underline{t}, \underline{s})$ расширенных векторов состояния.

2. Постановка задачи

Рассмотрим линейную систему СОИДУ с конечными сосредоточенными и распределенными запаздываниями и случайными возмущениями следующего вида:

$d X (t) = [A (t) X (t) + R (t) X (t - τ) +_{t - τ}^{t} Q (θ) X (θ) d θ + c (t)] d t + H (t) d W (t),$ (1)

$t_{1} < t \leq T < \infty,$

где t — время; $0 < τ < \infty$ — постоянное запаздывание; $X = {X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}}^{⊺} \in ℝ^{n}$ — вектор состояния; $W = {W_{1}, W_{2}, \dots, W_{m}}^{⊺} \in ℝ^{m}$ — вектор независимых случайных стандартных винеровских процессов; $n, m \in ℕ$ ; T — символ транспонирования векторов и матриц.

Предположим, что на полуинтервале $(t_{0}, t_{1}]$ случайный вектор состояния $X (t)$ удовлетворяет системе стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) Ито без запаздывания:

$d X (t) = [A_{0} (t) X (t) + c_{0} (t)] d t + H_{0} (t) d W (t), X (t_{0}) = X^{0},$ (2)

причем в системах уравнений (1) и (2) $A (t)$ , $R (t)$ , $Q (t)$ , $H (t)$ , $A_{0} (t)$ , $H_{0} (t)$ и $c (t)$ , $c_{0} (t)$ — известные непрерывные матричные и векторные функции. Кроме того, предположим, что известны все необходимые числовые характеристики случайного вектора $X^{0}$ . В частности, пусть в начальный момент времени $t_{0}$ для вектора $X (t)$ заданы вектор математических ожиданий $m_{X}^{0}$ и матрица ковариаций $K_{X X}^{0}$ .

Уравнения в форме (1) применяются при анализе динамики управляемых объектов (см. [1, 6]), плюрипотентных гемопоэтических стволовых клеток (см. [3]), рекламной деятельности (см. [10]) и др.

Основная задача состоит в построении системы ОДУ без запаздывания для компонент матрицы ковариационных функций $C_{X X} (\underline{t}, \underline{s})$ стохастического вектора состояния $X (t)$ при любом $t > t_{0}$ .

Отметим, что входящие в системы (1) и (2) шумы аддитивные, а следовательно, СОДУ Ито и Стратоновича имеют одну и ту же форму.

3. Построение расширенной системы СОДУ без запаздывания

Прежде, чем представить детали схемы, для компактности изложения перепишем уравнения (1) и (2) в менее строгой, но более удобной следующей форме:

$\dot{X} (t) = A (t) X (t) + R (t) X (t - τ) + {\int_{}}_{t - τ}^{t} Q (θ) X (θ) d θ + c (t) + H (t) V (t), t > t_{1},$ (3)

$\dot{X} (t) = A_{0} (t) X (t) + c_{0} (t) + H_{0} (t) V (t), t \in (t_{0}, t_{1}], X (t_{0}) = X^{0},$ (4)

где $V = {V_{1}, V_{2}, \dots, V_{m}}^{⊺} \in ℝ^{m}$ — вектор независимых стандартных белых шумов: $E [V_{k} (\underline{t})] = 0$ , $E [V_{k} (\underline{t}) V_{l} (\underline{s})] = 2 π δ_{k l} δ (\underline{t} - \underline{s})$ ; $E [\cdot]$ — оператор математического ожидания; $δ_{k l}$ — символ Кронекера; $δ (\cdot)$ — дельта-функция Дирака.

Введем равномерную временную сетку $t_{q} = t_{0} + q \cdot τ$ , q = 0, 1, 2,..., N, $N + 1$ ( $t_{N + 1} \geq T$ ); новую временную переменную $s \in [0, τ]$ . Введем также следующие обозначения:

$s_{q} = s + t_{q}, Δ_{q} = (t_{q}, t_{q + 1}], X_{q} (s) = X (s_{q}), X_{q} (0) = X_{q - 1} (τ),$

$V_{q} (s) = V (s_{q}), V_{q} (0) = V_{q - 1} (τ), U_{q} (s) = {\int_{}}_{0}^{s} Q (θ_{q}) X_{q} (θ) d θ,$

$θ_{q} = θ + t_{q}, Υ_{q} (s) \equiv Υ_{q} = U_{q - 1} (τ), q > 0, Y (s) \equiv Y = X^{0},$

$A_{0} (s_{0}) = A_{0} (s + t_{0}), H_{0} (s_{0}) = H_{0} (s + t_{0}), c_{0} (s_{0}) = c_{0} (s + t_{0}),$

$A (s_{q}) = A (s + t_{q}), R (s_{q}) = R (s + t_{q}), Q (s_{q}) = Q (s + t_{q}),$

$H (s_{q}) = H (s + t_{q}), c (s_{q}) = c (s + t_{q}),$

$c o l (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{k}) = {(b_{11}, \dots, b_{1 n}, b_{21}, \dots, b_{2 n}, \dots, b_{k 1}, \dots, b_{k n})}^{⊺},$

где $b_{l} \in ℝ^{n}$ , $l$ = 1, 2,..., $k$ , а равенства случайных векторов почти наверное на границах отрезков ${\bar{∆}}_{q}$ следуют из стохастической непрерывности рассматриваемых случайных процессов.

Рассмотрим последовательность полуинтервалов (сегментов) $Δ_{q}$ .

0◦. На сегменте $Δ_{0}$ систему СОДУ для векторного случайного процесса $Z_{0}^{+} (s) \equiv Z_{0} (s) = c o l (Y (s), X_{0} (s)$ , $U_{0} (s))$ и начальные условия представим так:

$\begin{array}{l} \dot{Y} (s) = O_{n}, & Y (0) = X^{0}, \\ {\dot{X}}_{0} (s) = A_{0} (s_{0}) X_{0} (s) + c_{0} (s_{0}) + H_{0} (s_{0}) V_{0} (s), & X_{0} (0) = X^{0}, \\ {\dot{U}}_{0} (s) = Q (s_{0}) X_{0} (s), & U_{0} (0) = O_{n}, \end{array}$

где $O_{n}$ — нулевой вектор размерности n.

1◦. Построим расширенный вектор $Z_{1}^{+} (s) = c o l (Z_{0} (s), Z_{1} (s))$ , где $Z_{1} (s) = c o l (Υ_{1} (s), X_{1} (s)$ , $U_{1} (s))$ . Этот вектор, определенный на полуинтервалах $Δ_{0}$ и $Δ_{1}$ , будет удовлетворять системе СОДУ (5), к которой добавлены уравнения

$\begin{array}{l} {\dot{Υ}}_{1} (s) = O_{n}, & Υ_{1} (0) = U_{0} (τ), \\ {\dot{X}}_{1} (s) = A (s_{1}) X_{1} (s) + R (s_{1}) X_{0} (s) + Υ_{1} (s) - U_{0} (s) + \\ + U_{1} (s) + c (s_{1}) + H (s_{1}) V_{1} (s), & X_{1} (0) = X_{0} (τ), \\ {\dot{U}}_{1} (s) = Q (s_{1}) X_{1} (s), & U_{1} (0) = O_{n} . \end{array}$ (5)

В этих уравнениях учтено, что для $t \in (t_{1}, t_{2}]$

${\int_{}}_{t - τ}^{t} Q (θ) X (θ) d θ = {\int_{}}_{t - τ}^{t_{1}} Q (θ) X (θ) d θ + {\int_{}}_{t_{1}}^{t} Q (θ) X (θ) d θ =$

$= {\int_{}}_{t_{0}}^{t_{1}} Q (θ) X (θ) d θ - {\int_{}}_{t_{0}}^{t - τ} Q (θ) X (θ) d θ + {\int_{}}_{t_{1}}^{t} Q (θ) X (θ) d θ =$

$= U_{0} (τ) - {\int_{}}_{0}^{s} Q (θ_{0}) X_{0} (θ) d θ + {\int_{}}_{0}^{s} Q (θ_{1}) X_{1} (θ) d θ = Υ_{1} (s) - U_{0} (s) + U_{1} (s) .$

N◦. Продолжая подобным образом, заключаем, что вектор $Z_{N}^{+} (s) = c o l (Z_{0} (s), Z_{1} (s), \dots, Z_{N} (s))$ , включающий вектор $Z_{N} (s) = c o l (Υ_{N} (s), X_{N} (s), U_{N} (s))$ и представляющий поведение вектора состояния $X (t)$ на сегментах $Δ_{0}$ , $Δ_{1}$ ,..., $Δ_{N}$ , будет единственным решением системы СОДУ, которую можно получить добавлением к уравнениям для вектора $Z_{N - 1}^{+} (s)$ уравнений следующего вида:

$\begin{array}{l} {\dot{Υ}}_{N} (s) = O_{n}, & Υ_{N} (0) = U_{N - 1} (τ), \\ {\dot{X}}_{N} (s) = A (s_{N}) X_{N} (s) + R (s_{N}) X_{N - 1} (s) + Υ_{N} (s) - \\ - U_{N - 1} (s) + U_{N} (s) + c (s_{N}) + H (s_{N}) V_{N} (s), & X_{N} (0) = X_{N - 1} (τ), \\ {\dot{U}}_{N} (s) = Q (s_{N}) X_{N} (s), & U_{N} (0) = O_{n} . \end{array}$ (6)

В результате первого этапа получена искомая цепочка систем линейных СОДУ (5)–(6) для расширенных векторов состояния $Z_{0}^{+}$ , $Z_{1}^{+}$ ,..., $Z_{N}^{+}$ увеличивающейся размерности и подобной структуры без запаздывания, которая используется на следующем этапе для построения моментных уравнений.

4. Построение систем ОДУ для функций математического ожидания и ковариации

Воспользуемся построенной последовательностью для получения ОДУ для первых моментов векторов $Z_{0}^{+}$ , $Z_{1}^{+}$ ,..., $Z_{N}^{+}$ . Рассмотрим k-й шаг ( $0 \leq k \leq N$ ) и введем расширенные матрицы $A_{k}^{+} (s)$ , $H_{k}^{+} (s)$ и векторы $c_{k}^{+} (s)$ , которые имеют блочную структуру и формируются следующим образом (l = 1, 2,..., k):

${\underline{A}}_{0} (s) = [\begin{array}{l} O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & A_{0} (s_{0}) & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & Q (s_{0}) & O_{n \times n} \end{array}] ; {\underline{A}}_{l} (s) = [\begin{array}{l} O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \\ I_{n} & A (s_{l}) & I_{n} \\ O_{n \times n} & Q (s_{l}) & O_{n \times n} \end{array}] ; {\underline{c}}_{0} (s) = [\begin{array}{l} O_{n} \\ c_{0} (s_{0}) \\ O_{n} \end{array}] ;$

${\underline{c}}_{l} (s) = [\begin{array}{l} O_{n} \\ c (s_{l}) \\ O_{n} \end{array}] ; {\underline{H}}_{0} (s) = [\begin{array}{l} O_{n \times m} \\ H_{0} (s_{0}) \\ O_{n \times m} \end{array}] ; {\underline{H}}_{l} (s) = [\begin{array}{l} O_{n \times m} \\ H (s_{l}) \\ O_{n \times m} \end{array}] ; {\underline{B}}_{l} (s) = [\begin{array}{l} O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & R (s_{l}) & - I_{n} \\ O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \end{array}] ;$

$A_{0}^{+} (s) = {\underline{A}}_{0} (s); A_{1}^{+} (s) = [\begin{array}{l} {\underline{A}}_{0} (s) & O_{3 n \times 3 n} \\ {\underline{B}}_{1} (s) & {\underline{A}}_{1} (s) \end{array}] ; A_{l}^{+} (s) = [\begin{array}{l} A_{l - 1}^{+} (s) & O_{3 n l \times 3 n} \\ B_{l}^{+} (s) & {\underline{A}}_{l} (s) \end{array}] ; c_{0}^{+} (s) = {\underline{c}}_{0} (s);$

$c_{1}^{+} (s) = [\begin{array}{l} {\underline{c}}_{0} (s) \\ {\underline{c}}_{1} (s) \end{array}] ; c_{l}^{+} (s) = [\begin{array}{l} c_{l - 1}^{+} (s) \\ {\underline{c}}_{l} (s \end{array}] ; B_{1}^{+} (s) = {\underline{B}}_{1} (s); B_{l}^{+} (s) = [\begin{array}{l} O_{3 n \times 3 n (l - 1)} & {\underline{B}}_{l} (s) \end{array}] ;$

$H_{0}^{+} (s) = {\underline{H}}_{0} (s); H_{1}^{+} (s) = [\begin{array}{l} {\underline{H}}_{0} (s) & O_{3 n \times m} \\ O_{3 n \times m} & {\underline{H}}_{1} (s) \end{array}] ; \dots H_{l}^{+} (s) = [\begin{array}{l} H_{l - 1}^{+} (s) & O_{3 n l \times m} \\ O_{3 n \times m l} & {\underline{H}}_{l} (s) \end{array}] ;$

$V_{0}^{+} (s) = V_{0} (s); V_{1}^{+} (s) = [\begin{array}{l} V_{0} (s) \\ V_{1} (s) \end{array}] ; \dots V_{l}^{+} (s) [\begin{array}{l} V_{l - 1}^{+} (s) \\ V_{l} (s) \end{array}] ,$

где $O_{n \times m}$ — нулевая $n \times m$ -матрица, $I_{n}$ — единичная матрица n-го порядка. Тогда система СОДУ для вектора $Z_{k}$ будет иметь вид:

${\dot{Z}}_{k}^{+} (s) = A_{k}^{+} (s) Z_{k}^{+} (s) + c_{k}^{+} (s) + H_{k}^{+} (s) V_{k}^{+} (s), Z_{k}^{+} (0) = Z_{k}^{+ 0} .$ (7)

Несложно увидеть, что вследствие линейности уравнений (7) для любого $Z_{k}^{+}$ , k = 0, 1,..., N, структуры ОДУ для последовательности векторов функций математического ожидания $m_{Z_{k}^{+}} (s)$ и матриц функций ковариации $K_{Z_{k}^{+} Z_{k}^{+}} (s)$ будут иметь вид:

${\dot{m}}_{Z_{k}^{+}} (s) = A_{k}^{+} (s) m_{Z_{k}^{+}} (s) + c_{k}^{+} (s),$ (8)

${\dot{K}}_{Z_{k}^{+} Z_{k}^{+}} (s) = A_{k}^{+} (s) K_{Z_{k}^{+} Z_{k}^{+}} (s) + {[A_{k}^{+} (s) K_{Z_{k}^{+} Z_{k}^{+}} (s)]}^{⊺} + 2 π H_{k}^{+} (s) H_{k}^{+ ⊺} (s),$ (9)

где

$m_{Z_{k}^{+}} (s) = E [Z_{k}^{+} (s)], K_{Z_{k}^{+} Z_{k}^{+}} (s) = E [\{Z_{k}^{+} (s) - m_{Z_{k}^{+}} (s)\} {Z_{k}^{+} (s) - m_{Z_{k}^{+}} (s)}^{⊺}] .$

Теперь определим вид начальных условий для построенных ОДУ:

$m_{Z_{0}} (0) = [\begin{array}{l} m_{X}^{0} \\ m_{X}^{0} \\ O_{n} \end{array}] , m_{Z_{1}} (0) = [\begin{array}{l} m_{U_{0}} (τ) \\ m_{X_{0}} (τ) \\ O_{n} \end{array}] , \dots m_{Z_{k}} (0) = [\begin{array}{l} m_{U_{k - 1}} (τ) \\ m_{X_{k - 1}} (τ) \\ O_{n} \end{array}] ;$

$K_{Z_{0} Z_{0}} (0) = [\begin{array}{l} K_{X X}^{0} & K_{X X}^{0} & O_{n \times n} \\ K_{X X}^{0} & K_{X X}^{0} & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \end{array}] ; K_{Z_{0} Z_{1}} (0) = K_{Z_{1} Z_{0}}^{⊺} (0) = [\begin{array}{l} K_{Y U_{0}} (τ) & K_{Y X_{0}} (τ) & O_{n \times n} \\ K_{Y U_{0}} (τ) & K_{Y X_{0}} (τ) & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \end{array}] ;$

$K_{Z_{1} Z_{1}} (0) = [\begin{array}{l} K_{U_{0} U_{0}} (τ) & K_{U_{0} X_{0}} (τ) & O_{n \times n} \\ K_{X_{0} U_{0}} (τ) & K_{X_{0} X_{0}} (τ) & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \end{array}] ;$

$K_{Z_{0} Z_{k}} (0) = K_{Z_{k} Z_{0}}^{⊺} (0) = [\begin{array}{l} K_{Y U_{k - 1}} (τ) & K_{Y X_{k - 1}} (τ) & O_{n \times n} \\ K_{Y U_{k - 1}} (τ) & K_{Y X_{k - 1}} (τ) & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \end{array}] ;$

$K_{Z_{l} Z_{k}} (0) = K_{Z_{k} Z_{l}}^{⊺} (0) = [\begin{array}{l} K_{U_{l - 1} U_{k - 1}} (τ) & K_{U_{l - 1} X_{k - 1}} (τ) & O_{n \times n} \\ K_{X_{l - 1} U_{k - 1}} (τ) & K_{X_{l - 1} X_{k - 1}} (τ) & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \end{array}] , 1 \leq l \leq k - 1;$

$K_{Z_{k} Z_{k}} (0) = [\begin{array}{l} K_{U_{k - 1} U_{k - 1}} (τ) & K_{U_{k - 1} X_{k - 1}} (τ) & O_{n \times n} \\ K_{X_{k - 1} U_{k - 1}} (τ) & K_{X_{k - 1} X_{k - 1}} (τ) & O_{n \times n} \\ O_{n \times n} & O_{n \times n} & O_{n \times n} \end{array}] .$

Вследствие того, что вектор функций математического ожидания $m_{X} (t)$ и матрицу функций ковариации $K_{X X} (t)$ на промежутке $t_{0} \leq t \leq t_{N + 1}$ можно собрать из соответствующих блоков векторной функции $m_{Z_{N}} (s)$ и матричной функции $K_{Z_{N} Z_{N}} (s)$ , достаточно вычислить последние, а затем выбрать из них необходимые элементы.

5. Формирование систем ОДУ для ковариационных функций

Обратимся к главной цели исследования — построению системы ОДУ для расчета компонент матрицы ковариационных функций

$C_{X X} (\bar{t}, \bar{s}) = E [\{X (\bar{t}) - m (\bar{t})\} {X (\bar{s}) - m (\bar{s})}^{⊺}]$

случайного вектора состояния $X (\cdot)$ ( $t_{0} \leq \bar{s} \leq \bar{t} \leq T$ ). В процессе этого построения будут использоваться те же системы СОДУ (5)–(6), (7)–(9).

0-0◦. Рассмотрим нижнюю правую часть области $D_{00}$ (рис. 1): $t_{0} \leq \bar{s} \leq \bar{t} \leq t_{1}$ ( $\bar{t} = \underline{t} + t_{0}$ , $\bar{s} = \underline{s} + t_{0}$ , $0 \leq \underline{s} \leq \underline{t} \leq τ$ ). В этой части $X (\bar{t})$ — подвектор вектора $Z_{0} (\bar{t})$ , а следовательно, с учетом уравнений (7), (8) будем иметь:

$\frac{\partial C_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s})}{\partial \underline{t}} \equiv \frac{\partial E [\{Z_{0} (\underline{t}) - m_{Z_{0}} (\underline{t})\} {Z_{0} (\underline{s}) - m_{Z_{0}} (\underline{s})}^{⊺}]}{\partial \underline{t}} =$

$= E [\frac{\partial \{Z_{0} (\underline{t}) - m_{Z_{0}} (\underline{t})\}}{\partial \underline{t}} {Z_{0} (\underline{s}) - m_{Z_{0}} (\underline{s})}^{⊺}] =$

$= E [\{{\underline{A}}_{0} (\underline{t}) [Z_{0} (\underline{t}) - m_{Z_{0}} (\underline{t})] + {\underline{H}}_{0} (\underline{t}) V_{0} (\underline{t})\} {Z_{0} (\underline{s}) - m_{Z_{0}} (\underline{s})}^{⊺}],$

или

с начальными условиями $C_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{s}, \underline{s}) = K_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{s})$ .

Рис. 1

1-0◦. Теперь рассмотрим область $D_{10}$ (рис. 1): $t_{1} < \bar{t} \leq t_{2}$ , $t_{0} \leq \bar{s} \leq t_{1}$ . В этой области получим следующие уравнения:

$\frac{\partial C_{Z_{1} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s})}{\partial \underline{t}} \equiv \frac{\partial E [\{Z_{1} (\underline{t}) - m_{Z_{1}} (\underline{t})\} {Z_{0} (\underline{s}) - m_{Z_{0}} (\underline{s})}^{⊺}]}{\partial \underline{t}} =$

$= E [\frac{\partial \{Z_{1} (\underline{t}) - m_{Z_{1}} (\underline{t})\}}{\partial \underline{t}} {Z_{0} (\underline{s}) - m_{Z_{0}} (\underline{s})}^{⊺}] =$

$= E [\{{\underline{B}}_{1} (\underline{t}) [Z_{0} (\underline{t}) - m_{Z_{0}} (\underline{t})] + {\underline{A}}_{1} (\underline{t}) [Z_{1} (\underline{t}) - m_{Z_{1}} (\underline{t})] + {\underline{H}}_{1} (\underline{t}) V_{1} (\underline{t})\} {Z_{0} (\underline{s}) - m_{Z_{0}} (\underline{s})}^{⊺}],$

или

$\frac{\partial C_{Z_{1} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s})}{\partial \underline{t}} = {\underline{B}}_{1} (\underline{t}) C_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s}) + {\underline{A}}_{1} (\underline{t}) C_{Z_{1} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s}), C_{Z_{1} Z_{0}} (0, \underline{s}) = C_{Z_{0} Z_{0}} (τ, \underline{s}) .$ (11)

Для полноты расчетных соотношений к этим уравнениям нужно добавить по очереди системы ОДУ

$\frac{\partial C_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s})}{\partial \underline{t}} = {\underline{A}}_{0} (\underline{t}) C_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s}), 0 < \underline{t} < \underline{s} \leq τ, C_{Z_{0} Z_{0}} (0, \underline{s}) = C_{Z_{0} Z_{0}}^{⊺} (\underline{s},0)$ (12)

(верхняя левая часть области $D_{00}$ ) и

$\frac{\partial C_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s})}{\partial \underline{t}} = {\underline{A}}_{0} (\underline{t}) C_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s}), 0 < \underline{s} < \underline{t} \leq τ, C_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{s}, \underline{s}) = K_{Z_{0} Z_{0}} (\underline{s})$ (13)

(нижняя правая часть области $D_{00}$ ).

k-0◦. Продолжая подобным образом, для области $D_{k 0}$ : $t_{k} \leq \bar{t} \leq t_{k + 1}$ ( $k > 1)$ , $t_{0} \leq \bar{s} \leq t_{1}$ можно построить уравнения вида

$\frac{\partial C_{Z_{k} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s})}{\partial \underline{t}} = {\underline{B}}_{k} (\underline{t}) C_{Z_{k - 1} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s}) + {\underline{A}}_{k} (\underline{t}) C_{Z_{k} Z_{0}} (\underline{t}, \underline{s})$ (14)

с начальными условиями $C_{Z_{k} Z_{0}} (0, \underline{s}) = C_{Z_{k - 1} Z_{0}} (τ, \underline{s})$ . Эта система уравнений должна быть пополнена системами ОДУ, построенными для областей $D_{00}$ , $D_{10}$ ,..., $D_{k - 1,0}$ .

1-1◦. Передвинемся на следующий временный слой и рассмотрим нижнюю правую нижнюю часть области $D_{11}$ : $t_{1} \leq \bar{s} \leq \bar{t} \leq t_{2}$ ( $\bar{t} = \underline{t} + t_{1}$ , $\bar{s} = \underline{s} + t_{1}$ , $0 \leq \underline{s} \leq \underline{t} \leq τ$ ). В этой части $X (\bar{t})$ — подвектор вектора $Z_{1} (\bar{t})$ , а следовательно, для матрицы ковариационных функций будем иметь:

$\frac{\partial C_{Z_{1} Z_{1}} (\underline{t}, \underline{s})}{\partial \underline{t}} \equiv \frac{\partial E [\{Z_{1} (\underline{t}) - m_{Z_{1}} (\underline{t})\} {Z_{1} (\underline{s}) - m_{Z_{1}} (\underline{s})}^{⊺}]}{\partial \underline{t}} =$

$= E [\frac{\partial \{Z_{1} (\underline{t}) - m_{Z_{1}} (\underline{t})\}}{\partial \underline{t}} {Z_{1} (\underline{s}) - m_{Z_{1}} (\underline{s})}^{⊺}] =$

$= E [\{{\underline{B}}_{1} (\underline{t}) [Z_{0} (\underline{t}) - m_{Z_{0}} (\underline{t})] + {\underline{A}}_{1} (\underline{t}) [Z_{1} (\underline{t}) - m_{Z_{1}} (\underline{t})] + {\underline{H}}_{1} (\underline{t}) V_{1} (\underline{t})\} {Z_{1} (\underline{s}) - m_{Z_{1}} (\underline{s})}^{⊺}],$

или

$\frac{\partial C_{Z_{1} Z_{1}} (\underline{t}, \underline{s})}{\partial \underline{t}} = {\underline{B}}_{1} (\underline{t}) C_{Z_{0} Z_{1}} (\underline{t}, \underline{s}) + {\underline{A}}_{1} (\underline{t}) C_{Z_{1} Z_{1}} (\underline{t}, \underline{s}), \underline{s} < \underline{t},$ (15)

с начальными условиями $C_{Z_{1} Z_{1}} (\underline{s}, \underline{s}) = K_{Z_{1} Z_{1}} (\underline{s})$ . К этим уравнениям и условиям нужно добавить необходимые инструменты расчета $C_{Z_{0} Z_{1}} (\underline{t}, \underline{s})$ в нижней правой части области $D_{10}$ с учетом свойств ковариационных функций.

Замечание Последовательное численное решение ОДУ для функций математического ожидания и ковариации не вызывает проблем, причем группы уравнений для этих функций являются независимыми. Расчет же поведения ковариационных функций более сложен. Алгоритм такого расчета включает следующие шаги: [(1)]

дробление запаздывания на целое число частей;
построение сетки на плоскости переменных $(\underline{t}, \underline{s})$ , в узлах которой и будут вычисляться значения ковариационных функций (это необходимо для их расчета на участках $[t_{0}, \bar{s})$ при различных $\bar{s}$ на основе формирования начальных условий в точках $\{t_{0}, \bar{s}\}$ с помощью уже найденных значений в точках $\{\bar{s}, t_{0}\}$ ;
движение через узлы по прямым, параллельным оси $\underline{t}$ .

На рис. 2 показаны промежутки интегрирования этих уравнений на отрезке $[\underline{s}, \underline{t}]$ для случаев $\underline{t} - τ \geq \underline{s}$ (рис. 2) и $\underline{t} - τ < \underline{s}$ (рис. 2).

Рис. 2

6. Модельный пример

Воспользуемся изложенной схемой для анализа переходного процесса, описываемого модельным уравнением вида

$\dot{X} (t) + α X (t) = β [X (t) - X (t - τ)] + {\int_{}}_{t - τ}^{t} q (θ) X (θ) d θ + σ_{0} V (t), t > 0,$

$\dot{X} (t) + α_{0} X (t) = σ_{0} V (t), - τ < t \leq 0, X (- τ) = X^{0} ~ N (m_{0}, D_{0}),$

где $X^{0}$ — неслучайная величина; $α > 0$ , $β$ , $σ_{0}$ , $α_{0} > 0$ , $m_{0}$ , $D^{0} > 0$ — постоянные; $q (θ) \geq 0$ .

Ниже на рисунках показаны графики функций математического ожидания и среднеквадратичного отклонения $σ_{X} (t) = \sqrt{D_{X} (t)}$ (рис. 3) и ковариационной функции в областях $D_{00}$ , $D_{10}$ ,..., $D_{10,0}$ (рис. 4), построенные на основе результатов расчетов при следующих значениях параметров задачи:

$τ = 1; α = \frac{1}{2}; β = \frac{1}{10}; σ_{0} = \frac{1}{10}; m_{0} = 1; D_{0} = \frac{1}{16}; q = \frac{1}{20 τ},$

где $D$ — дисперсия.

Рис. 3

Рис. 4

Об авторах

Игорь Егорович Полосков

Пермский государственный национальный исследовательский университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: poloskov@psu.ru
Россия, Пермь

Список литературы

Колмановский В. Б., Майзенберг Т. Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием// Автомат. телемех. - 1973. № 1. - С. 47–61.
Полосков И. Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом// Автомат. телемех. - 2002. - № 9. - С. 58–73.
Adimy M., Crauste F., Halanay A. et al. Stability of limit cycles in a pluripotent stem cell dynamics model// Chaos Solit. Fract. - 2006. - 27, № 4. - P. 1091–1107.
Buckwar E. Euler–Maruyama and Milstein approximations for stochastic functional differential equations with distributed memory term//in: Discussion Papers of Interdisciplinary Research Project 373: Quantification and Simulation of Economic Processes. - Berlin: Humboldt University, 2003.
Buckwar E. The θ-Maruyama scheme for stochastic functional differential equations with distributed memory term// Monte Carlo Meth. Appl. - 2004. - 10, № 3. - P. 235–244.
Chang M. H., Pang T., Pemy M. Optimal control of stochastic functional differential equations with a bounded memory// Int. J. Probab. Stochast. Processes. - 2008. - 80, № 1. - С. 69–96.
Ding X., Wu K., Liu M. Convergence and stability of the semi-implicit Euler method for linear stochastic delay integro-differential equations// Int. J. Comput. Math. - 2006. - 83, № 10. - С. 753–763.
El-Hawary H. M., El-Shami K. A. Numerical solution of Volterra delay-integro-differential equations via spline/spectral methods// Int. J. Differ. Equations Appl. - 2013. - 12, № 3. - P. 149–157.
Geffert P. M. Stochastic Non-Excitable Systems with Time Delay: Modulation of Noise Effects by Time-Delayed Feedback. - Wiesbaden: Springer, 2015.
Gozzi F., Marinelli C., Savin S. On controlled linear diffusions with delay in a model of optimal advertising under uncertainty with memory effects// J. Optim. Theory Appl. - 2009. - 142, № 2. - P. 291–321.
Hu P., Huang Ch. Stability of Euler–Maruyama method for linear stochastic delay integro-differential equations// Math. Num. Sinica. - 2010. - 32, № 1. - P. 105–112.
Koto T. Stability of θ-methods for delay integro-dfferential equations// J. Comput. Appl. Math. - 2003. - 161, № 2. - P. 393–404.
Khasawneh F. A., Mann B. P. Stability of delay integro-differential equations using a spectral element method// Math. Comput. Model. - 2011. - 54, № 9–10. - P. 2493–2503.
Kushner H. J. Numerical Methods for Controlled Stochastic Delay Systems. - Boston: Birkhäuser, 2008.
Mao X. Stochastic Differential Equations and Applications. - Cambridge, UK: Woodhead Publishing, 2011.
Poloskov I. E. Numerical and analytical methods of study of stochastic systems with delay// J. Math. Sci. - 2018. - 230, № 5. - P. 746–750.
Poloskov I. E. New scheme for estimation of the first and senior moment functions for the response of linear delay differential system excited by additive and multiplicative noises// J. Math. Sci. - 2020. - 246, № 4. - P. 525–539.
Shakourifar M., Enright W. H. Reliable approximate solution of systems of Volterra integro-differential equations with time-dependent delays// SIAM J. Sci. Comput. - 2011. - 33, № 3. - P. 1134–1158.
Zhang Ch. A class of new Pouzet–Runge–Kutta type methods for nonlinear functional integrodifferential equations// Abstr. Appl. Anal. - 2012. - P. 21.