О ядрах инвариантных операторов Шрёдингера с точечными взаимодействиями. Задача Гриневича–Новикова

Согласно Березину–Фаддееву под оператором Шрёдингера с точечными взаимодействиями $-△\text{+}\sum _{j=1}^m{\alpha }_{{}_j}\delta (x-x_j),X={\left\{x_j\right\}}_1^m\subset {ℝ}^3,{\left\{{\alpha }_j\right\}}_1^m\subset ℝ,$

понимают любое самосопряжённое расширение сужения $-{△}_x$ оператора Лапласа $-△$ на подмножество $\{f\in H^2(R^3):f(x_j)=\mathrm{0,1}\le j\le m\}$ соболевского пространства $H^2\left({ℝ}^3\right)$. В настоящей заметке изучаются расширения (реализации), инвариантные относительно группы симметрий множества $X={\left\{x_j\right\}}_1^m$ вершин правильного m-угольника. Такие реализации H_B параметризуются специальными циркулянтными матрицами $B\in {ℂ}^{m\times m}$. Мы описываем все такие реализации с нетривиальными ядрами. Решена задача Гриневича–Новикова о простоте нулевого собственного значения реализации H_B со скалярной матрицей $B=\alpha I$ и четным m. Показано, что при нечётном m нетривиальные ядра всех реализаций H_B со скалярными $B=\alpha I$ двумерны.

Кроме того, для произвольных реализаций $B\ne \alpha I$ доказана оценка $\dim \left({\ker }_B\right)\le m-1$ и описаны все инвариантные реализации с максимальной размерностью $\dim \left({\ker }_B\right)=m-1$. Одна из них – расширение Крейна – минимальное положительное расширение оператора $-{△}_x$.