Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области

  • Авторы: Макаова Р.Х.1
  • Учреждения:
    1. Институт прикладной математики и автоматизации - филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук»
  • Выпуск: Том 21, № 4 (2017)
  • Страницы: 651-664
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://bakhtiniada.ru/1991-8615/article/view/20566
  • DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1574
  • ID: 20566

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Исследуется краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением типа внутри смешанной области. Рассматриваемое уравнение в положительной части области совпадет с уравнением Аллера, которое является уравнением псевдопараболического типа. А в отрицательной части области - с вырождающимся гиперболическим уравнением первого рода, частным случаем которого является уравнение Бицадзе-Лыкова. Доказана теорема существования и единственности решения. Единственность решения задачи доказана с помощью метода Трикоми. Из функциональных соотношений, принесенных на линию вырождения порядка из положительной и отрицательной частей области, приходим к уравнению Вольтерра второго рода типа свертки относительно следа производной искомого решения. Путем применения метода интегрального преобразования Лапласа решение интегрального уравнения находится в явном виде. Далее решение исследуемой задачи выписывается в явном виде как решение второй краевой задачи для уравнения Аллера в положительной части области и как решение задачи Коши для вырождающегося гиперболического уравнения первого рода в отрицательной части области.

Об авторах

Рузанна Хасанбиевна Макаова

Институт прикладной математики и автоматизации - филиал Федерального государственного бюджетного научного учреждения «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук»

Email: makaova.ruzanna@mail.ru
http://orcid.org/0000-0003-4095-2332 младший научный сотрудник; отд. уравнений смешанного типа Россия, 360000, Нальчик, ул. Шортанова, 89 а

Список литературы

  1. Hallaire M. Potential efficace de l’eau dans le sol en régime de dessèchement / Assemblée générale de Berkeley=General Assembly of Berkeley, Publ. no. 62 (August 1963). Gentbrugge, 1963. pp. 114-122, http://hydrologie.org/redbooks/a062/iahs_062_0114.pdf.
  2. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977. 158 с.
  3. Showalter R.E., Ting T.W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal., 1970. vol. 1, no. 1. pp. 1-26. doi: 10.1137/0501001.
  4. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. 352 с.
  5. Нахушев А. М. Об одном классе нагруженных уравнений в частных производных дробного порядка // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2012. Т. 14, № 1. С. 51-57.
  6. Баренблатт Г. И., Желтов И. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // ПММ, 1960. Т. 24, № 5. С. 852-864.
  7. Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. IInstability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation $u_t = u_{xx} - u_{xtx}$ on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal., 1965. vol. 19, no. 2. pp. 100-116. doi: 10.1007/BF00282277.
  8. Colton D. Pseudoparabolic equations in one space variable // J. Differ. Equations, 1972. vol. 12, no. 3. pp. 559-565. doi: 10.1016/0022-0396(72)90025-3.
  9. Янгарбер В. А. О смешанной задаче для модифицированного уравнения влагопереноса // ПМТФ, 1967. № 1. С. 91-96.
  10. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 4. С. 689-699.
  11. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием А. М. Нахушева для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 2. С. 280-285.
  12. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера // Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 6. С. 763-774.
  13. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995. 301 с.
  14. Репин О. А. Аналог задачи Нахушева для уравнения Бицадзе-Лыкова // Дифференц. уравнения, 2002. Т. 38, № 10. С. 1412-1417.
  15. Репин О. А., Кумыкова С. К. Нелокальная задача для уравнения Бицадзе-Лыкова // Изв. вузов. Матем., 2010. № 3. С. 28-35.
  16. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
  17. Кальменов Т. Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 1971. Т. 7, № 1. С. 178-181.
  18. Кальменов Т. Ш. О задаче Дарбу для одного вырождающегося уравнения // Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10, № 1. С. 59-68.
  19. Пулькина Л. С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения // Матем. заметки, 1992. Т. 51, № 3. С. 91-96.
  20. Репин О. А., Кумыкова С. К. Задача со смещением для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1(34). С. 37-47. doi: 10.14498/vsgtu1280.
  21. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Владикавк. матем. журн., 2016. Т. 18, № 2. С. 19-30.
  22. Балкизов Ж. А. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки, 2016. № 1. С. 5-10. doi: 10.18522/0321-3005-2016-1-5-10.
  23. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Физматлит, 2003. 680 с.
  24. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа третьего порядка с вырождением типа и порядка в области гиперболичности // Уфимск. матем. журн., 2017. Т. 9, № 2. С. 25-39.
  25. Макаова Р.Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля // Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2015. Т. 17, № 3. С. 35-38.
  26. Wright E. M. The generalized Bessel function of order greater than one // Quart. J. Math. Oxford Ser., 1940. vol. os-11, no. 1. pp. 36-48. doi: 10.1093/qmath/os-11.1.36.
  27. Псху А. В. Начальная задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения дробного порядка // Матем. сб., 2011. Т. 202, № 4. С. 111-122. doi: 10.4213/sm7645.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Самарский государственный технический университет, 2017

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».