Том 23, № 3 (2023)
Статьи
Рисковые инвестиции и вероятность неразорения в модели страхования с двусторонними скачками: задачи для интегродифференциальных уравнений и обыкновенного дифференциального уравнения и их эквивалентность
Аннотация
Рассматривается модель страхового портфеля, включающего рисковое страхование и пожизненные аннуитеты в предположении, что резерв (или некоторая его доля) инвестируется в рисковый актив, динамика цены которого моделируется геометрическим броуновским движением. Резерв портфеля (в отсутствие инвестиций) описывается стохастическим процессом, включающим двусторонние скачки и непрерывный снос, при этом скачки вниз соответствуют размерам требований, а скачки вверх интерпретируются как случайные доходы, возникающие в финальные моменты реализации аннуитетов (т.е. в моменты окончания жизни страхователей). Снос определяется разностью между премиями по рисковому страхованию и выплатами по аннуитетам. Проблема разорения в модели с инвестициями изучается с помощью подхода, основанного на интегродифференциальных уравнениях (ИДУ) для вероятности неразорения как функции начального резерва. Основная трудность при вычислении вероятности неразорения как решения ИДУ состоит в том, что начальные значения самой вероятности или ее производной (т.е. при нулевом начальном резерве) априорно в общем случае неизвестны. Для случая экспоненциального распределения скачков предлагается решение данной проблемы, основанное на утверждении об эквивалентности задачи для ИДУ задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) при добавлении некоторого нелокального условия. В результате применения такого подхода может быть получено решение исходной задачи как решение задачи для ОДУ с неизвестным параметром, который в конечном итоге определяется при использовании указанного нелокального условия и условия нормировки.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(3):278-285
278-285
Об одном итерационном методе решения прямых и обратных задач для параболических уравнений
Аннотация
Статья посвящена приближенным методам решения прямых и обратных задач для параболических уравнений. Предложен приближенный метод решения начальной задачи для многомерного нелинейного параболического уравнения. Метод основан на приведении начальной задачи к нелинейному многомерному интегральному уравнению Фредгольма второго рода, которое аппроксимируется системой нелинейных алгебраических уравнений по технологии метода механических квадратур. При построении вычислительной схемы использованы узлы локальных сплайнов, реализующих оптимальную по порядку аппроксимацию класса функций, к которому принадлежат решения параболических уравнений. Для численной реализации вычислительной схемы используется приведенное в работе обобщение непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений. Исследуется обратная задача для параболического уравнения с дробной производной по временной переменной. Предложены приближенные методы определения порядка дробной производной по времени и коэффициента при производной по пространственной переменной.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(3):286-310
286-310
Классическое и обобщенное решения смешанной задачи для однородного волнового уравнения с суммируемым потенциалом. Часть I. Классическое решение смешанной задачи
Аннотация
Резольвентным подходом и использованием идеи А. Н. Крылова об ускорении сходимости рядов Фурье исследуются свойства формального решения смешанной задачи для однородного волнового уравнения с суммируемым потенциалом и нулевой начальной функцией. Такой метод позволяет получать глубокие результаты о сходимости формального ряда с произвольными граничными условиями и без завышения требований гладкости исходных данных. Рассматриваемые в статье разнопорядковые граничные условия таковы, что у оператора соответствующей спектральной задачи возможно наличие бесконечного множества кратных собственных значений и соответствующих им присоединенных функций. Получено классическое решение без завышения требований на начальную скорость $u'_t(x,0) =\psi(x)$. Показано, что при $\psi(x) \in L[0,1]$ формальное решение, являясь равномерным пределом классических, есть обобщенное решение, а когда $\psi(x) \in L_p[0,1]$, $1< p\leqslant 2$, формальное решение обладает значительно более гладкими свойствами по сравнению со случаем $\psi(x) \in L[0,1]$.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(3):311-319
311-319
Принцип унитарного расширения в нульмерных локально компактных группах
Аннотация
Цель статьи – разработка алгоритмов построения ступенчатых жестких фреймов в произвольной локально компактной нульмерной группе. Вначале указываем способ построения ступенчатой масштабирующей функции. Для построения масштабирующей функции используем ориентированное дерево и указываем условия на дерево, при котором оно порождает маску $m_0$ масштабирующей функции. Затем находим условия на маски $m_0, m_1,\ldots , m_q$, при которых соответствующие вейвлет функции $\psi_1, \psi_2,\ldots ,\psi_q$ порождают жесткий фрейм. Для этого используем принцип унитарного расширения. Используя найденные условия, указываем конструктивный способ построения таких масок. В заключение приводим примеры построения жестких фреймов.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(3):320-338
320-338
О функциях типа ван дер Вардена
Аннотация
Пусть $\omega(t)$ — произвольная функция типа модуля непрерывности, у которой $\omega(t)/t\to+\infty$ при $t\to+0$. Для $\omega(t)$ на отрезке $[0;1]$ построена непрерывная нигде не дифференцирумая функция $V_\omega(x)$ типа ван дер Вардена, для которой выполнены следующие условия: 1) модуль непрерывности функции $V_\omega(x)$ удовлетворяет оценке $O(\omega(t))$ при $t\to+0$; 2) найдется число $c>0$, для которого в каждой точке $x_0$ при ${x\to x_0}$ выполнено $\limsup{|V_\omega(x){-}V_\omega(x_0)|}\big/{\omega(|x{-}x_0|)}>c$; 3) в каждой точке $x_0$ при ${x\to x_0}$ выполнено $\liminf{|V_\omega(x){-}V_\omega(x_0)|}\big/{\omega(|x{-}x_0|)}=0$.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(3):339-347
339-347
К вопросу об остаточности сильных показателей колеблемости на множестве решений дифференциальных уравнений третьего порядка
Аннотация
В работе исследуются различные разновидности показателей колеблемости (верхние или нижние, сильные или слабые) нестрогих знаков, нулей и корней ненулевых решений линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка с непрерывными и ограниченными на положительной полуоси коэффициентами. Ненулевое решение линейного однородного уравнения не может обнуляться в силу теоремы существования и единственности. Поэтому спектры всех перечисленных показателей колеблемости (т.е. их множества значений на ненулевых решениях) состоят из одного нулевого значения. Известно, что спектры показателей колеблемости линейных однородных уравнений второго порядка также состоят из одного значения. Следовательно, на множестве решений уравнений до второго порядка наблюдается остаточность всех характеристик колеблемости. На множестве решений уравнений третьего порядка сильные показатели колеблемости гиперкорней не являются остаточными, т.е. не являются инвариантными относительно изменения решения на любом конечном участке полуоси времени. Доказано, что на множестве решений уравнений третьего порядка сильные показатели колеблемости нестрогих знаков, нулей и корней не являются остаточными. Параллельно доказано существование функции из указанного множества, обладающей следующими свойствами: все перечисленные показатели колеблемости являются точными, но не абсолютными. При этом все сильные показатели, как и все слабые, равны между собой.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(3):348-356
348-356
Устойчивость трехслойных дифференциально-разностных схем с весами в пространстве суммируемых функций с носителями в сетеподобной области
Аннотация
Работа является естественным продолжением ранних исследований авторов при анализе условий слабой разрешимости одномерных начально-краевых задач с изменяющейся на графе (сети) пространственной переменной в направлении увеличения размерности $n$ ($n>1$) сетеподобной области изменения этой переменной. Первые результаты в указанном направлении (при $n=3$) были получены одним из авторов для линеаризованной системы Навье–Стокса, в дальнейшем — для существенно более сложной нелинейной системы Навье–Стокса. При этом анализ проводился классическим путем, используя априорные оценки норм слабых решений в соболевских пространствах функций. В данном исследовании (при произвольном $n>1$) предлагается другой подход получения условий слабой разрешимости линейных начально-краевых задач — редукция исходной задачи к дифференциально-разностной системе, идея которой восходит к методу Е. Роте полудискретизации начально-краевой задачи по временной переменной. Рассматриваются дифференциально-разностная система уравнений с весовыми параметрами и соответствующая ей трехслойная дифференциально-разностная схема (множество схем). Полученная система является аналогом начально-краевой задачи для уравнения параболического типа с пространственной переменной, изменяющейся в сетеподобной области $n$-мерного евклидового пространства. Основная цель — установление области изменения весовых параметров, гарантирующей устойчивость дифференциально-разностной схемы (непрерывность по исходным данным задачи), получение оценок операторных норм слабых решений схемы, построение последовательности решений дифференциально-разностной системы, слабо компактной в пространстве ее состояний. Последнее является важным элементом при использовании численных методов анализа широкого класса прикладных многомерных задач и построения вычислительных алгоритмов для отыскания приближений их решений. Результаты применимы в прикладных задачах оптимизации, возникающих при моделировании сетевых процессов переноса сплошных сред с помощью формализмов дифференциально-разностных систем.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(3):357-369
357-369
Математические модели деформирования оболочечных конструкций и алгоритмы их исследования Часть I. Модели деформирования оболочечных конструкций
Аннотация
Приводятся сведения по истории развития теории тонких оболочек в хронологическом порядке с указанием конкретных ученых и их вклада в совершенствование теории. Обзор работ состоит из тех публикаций, которые касаются именно разработки теории оболочек. Излагаются математические модели деформирования тонких упругих оболочек, как наиболее точные, так и упрощенные. Изложение ведется на основе публикации российских авторов, вклад которых в совершенствование теории оболочек наиболее существенен (В. В. Новожилов, А. И. Лурье, А. Л. Гольденвейзер, Х. М. Муштари, В. З. Власов). Отмечены также ученые, внесшие существенный вклад в теорию, методы расчета, исследования прочности, устойчивости и колебаний оболочек. Отдельно показано применение этих моделей для исследования ребристых оболочек. Приводятся сведения по разработке нелинейной теории оболочек и показаны нелинейные соотношения для деформаций. Анализируются математические модели деформирования тонких оболочек, полученные разными авторами. Показано, что если срединная поверхность оболочки отнесена к ортогональной системе координат, то выражения деформаций, полученные разными авторами, практически совпадают (отличаются членами, которыми ввиду их малости можно пренебречь). А. Л. Гольденвейзером разработаны математические модели деформирования тонких оболочек, когда их срединная поверхность отнесена к произвольной косоугольной системе координат. Для задач статики записывается функционал полной потенциальной энергии деформации, представляющий собой разность потенциальной энергии и работы внешних сил. Из условия минимума этого функционала выводятся уравнения равновесия и естественные краевые условия. Для задач динамики составляется функционал полной энергии деформации оболочки, в котором кроме потенциальной энергии деформации оболочки и работы внешних сил участвует еще и кинетическая энергия деформации оболочки. Также из условия минимума этого функционала выводятся уравнение движения и естественные краевые и начальные условия. Приводятся некоторые сведения по результатам современных исследований в теории тонких оболочек.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(3):370-410
370-410
Облачный сервис для задачи оптимизации местоположения
Аннотация
В статье рассматривается система поддержки принятия решений по проблеме размещения производства. Описана математическая модель, в которой в качестве критерия потенциального размещения производства используется минимизация общей стоимости доставки сырья к месту производства. Задача относится к классу бинарных задач математического программирования с линейными ограничениями, но может быть сведена к набору задач линейного программирования, решаемых с помощью последовательных или параллельных вычислений. На основе математической модели и программного инструмента реализован облачный сервис на гетерогенной вычислительной архитектуре. Архитектура программного обеспечения включает модуль моделирования и модули управления и визуализации. Онтология и декларативная модель обмена информацией между модулями разработаны в формате JSON. Эта декларативная модель включает в себя объекты, рассматриваемые в математической модели: «продукты», «места размещения» и «коммуникации». Модуль моделирования реализован на высокопроизводительной серверной платформе. Модуль визуализации позволяет графически представить исходные и результирующие матричные данные, а также интерактивно изменять входные параметры модели. Модули управления и визуализации созданы на облачной платформе IACPaaS. Связь между модулями устанавливается посредством асинхронных http-запросов. В статье показано использование разработанного программного инструментария для моделирования размещения производства в регионах Дальнего Востока России на основе статистических данных из открытых источников.
Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2023;23(3):411-417
411-417