Influence of crosspolarization of dual-polarized antenna elements on the ergodic capacity of a multichannel system

全文:

Введение

Современные многоканальные радиосредства сверхвысокочастотного (СВЧ) диапазона в качестве приемо-передающих устройств все чаще используют антенные решетки. Для систем беспроводной связи с целью повышения пропускной способности без увеличения апертуры решетки в последнее время применяют двухполяризационные излучающие элементы (кросс-диполи, патчи и т. д.).

При этом зачастую уменьшают расстояние между антенными элементами, что приводит к проявлению эффекта взаимного влияния. В работе [1] выведены соотношения, показывающие, насколько диаграмма направленности (ДН) изолированного антенного элемента будет отличаться от ДН того же элемента в составе антенной решетки (парциальной диаграммы направленности). В [2] показано, что взаимное влияние может занижать уровень пропускной способности системы.

Однако кроме искажения диаграммы направленности из-за взаимного расположения элементов основным фактором, снижающим эффективность системы связи, является наличие пространственной корреляции и кросс-поляризации между элементами в составе решетки [3]. Уровень пространственной корреляции зависит в основном от канала распространения, в то время как кросс-поляризация является характеристикой антенной системы и зависит от ее конструкции.

Таким образом, целью работы стали разработка методики учета поляризационных свойств антенных элементов при расчете эргодической пропускной способности многоканальной системы и исследование влияния поляризационных параметров реальных элементов на пропускную способность различных каналов связи.

1. Эргодическая пропускная способность системы massive MIMO

Эргодическая пропускная способность системы massive MIMO определяется соотношением [4]:

$C=\frac{1}{K}E\left[{\log }_2\det \left(I+\frac{P}{N{\sigma }^2}H{H}^H\right)\right],$

где $\text{E}\left[\dots \right]$ – знак усреднения; P – суммарная передаваемая мощность; K – количество пользователей с одной антенной; N – количество элементов антенной решетки; ${\sigma }^2$ – дисперсия шума; H – канальная матрица.

Для расчета канальной матрицы при проведении аналитических исследований часто используют модель Кронекера. Канальная матрица, исходя из модели Кронекера, может быть представлена следующим образом:

$H=R_{rx}^{1/2}{H}_0{R}_{tx}^{1/2},$

где $R_{rx}$ и $R_{tx}$ – матрицы взаимных корреляций антенных элементов на приемной и передающей сторонах соответственно, а элементы матрицы $H_0$ – независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. В основе модели Кронекера лежит предположение о независимости коэффициентов корреляции для двух антенных элементов на передаче или на приеме соответственно. Корреляция между пользователями, снабженными одной антенной, пренебрежимо мала, поэтому далее предполагается, что $R_{rx}\equiv I,$ $R_{tx}\equiv R.$

Воспользовавшись известными допущениями о свойствах канала и некоторых параметрах системы, в частности предположением, что на решетку воздействуют плоские волны, выражения для элементов введенной матрицы можно записать как функцию геометрических параметров решетки, комплексных диаграмм направленности излучающих элементов и вероятностного распределения углов прихода сигнала. Так, для плоской решетки будем иметь:

$\begin{array}{l}{R}_{mn}=\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{}}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{}}{E}_m\left(\theta ,\phi \right)E_n^{*}\left(\theta ,\phi \right)\times \\ \times \rho \left(\theta ,\phi \right)cos\left(\theta \right)d\phi d\theta .\end{array}$

Здесь $R_{mn}$ – элемент матрицы R; $E_m(\theta ,\phi ),$$E_n^{*}(\theta ,\phi )$ – комплексные диаграммы направленности m-го и n-го излучателей с учетом их расположения относительного фазового центра; $\rho (\theta ,\phi )$ – совместная плотность вероятности углов прихода сигнала по азимуту и углу места. Если считать решетку эквидистантной с расстоянием между элементами $d_y,$ $d_z$ по горизонтали и вертикали соответственно, плотности вероятности углов прихода по азимуту и углу места независимыми $\left(\rho \right(\theta ,\phi )=$$p_{\theta }\left(\theta \right)p_{\varphi }\left(\phi \right)),$  а диаграммы направленности каждого независимого излучателя равными $\left|E_m(\theta ,\phi )\right|=$$\left|E_n(\theta ,\phi )\right|=\left|E(\theta ,\phi )\right|,$  то выражение для коэффициента корреляции между элементами с координатами $(m,n)$ и $(k,l)$ будет определяться соотношением

$R(m,n,k,l)=$ (1)

$\begin{array}{l}=\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{}}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{}}\exp \left(j2\pi \right((m-k)d_y\cos \theta )\sin \phi +\\ +(n-l)d_z\sin \theta \left)\right)p_{\theta }\left(\theta \right)p_{\varphi }\left(\phi \right)\times \\ \times \cos \theta \left|E\right(\theta ,\phi ){|}^{2}d\phi d\theta . \end{array}$

2. Пространственная корреляция двухполяризационных элементов при наличии кросс-поляризации

Если антенные элементы решетки двухполяризационные, то в таком случае корреляционная матрица будет иметь блочную структуру:

$R^{\text{'}}=\left[\begin{array}{cc}{R^{\text{'}}}_{vv}& {R^{\text{'}}}_{vh}\\ {R^{\text{'}}}_{hv}& {R^{\text{'}}}_{hh}\end{array}\right],$ (2)

где через нижние индексы обозначена поляризация соответствующих элементов. В отсутствие кросс-поляризации между элементами матрица будет иметь вид

$R=\left[\begin{array}{cc}{R}_{vv}& 0\\ 0& R_{hh}\end{array}\right],$

где значения элементов матриц-блоков $R_{vv},$ $R_{hh}$ определяются выражением (1). Найдем значения элементов матриц-блоков из (2) через поляризационные свойства излучающих элементов с учетом наличия кросс-поляризации.

Кросс-поляризация между двумя различными портами двухполяризационного излучающего элемента обычно описывается параметром $XPI,$ который определяется соотношением

$XP{I}_v=\frac{E_{vv}(\theta ,\phi )}{E_{vh}(\theta ,\phi )},XP{I}_h=\frac{E_{hh}(\theta ,\phi )}{E_{hv}(\theta ,\phi )},$

где $E_{vv},$ $E_{vh},$ $E_{hh},$ $E_{hv}$ – со-поляризационная и кросс-поляризационная диаграммы направленности каждого порта соответственно. Из определения видно, что в общем случае параметры $XP{I}_v,$ $XP{I}_h$ являются функциями азимута и угла места, но при дальнейшем выводе мы опустим эту зависимость. Тогда для расчета кросс-поляризационной компоненты диаграммы направленности элемента можно воспользоваться соотношениями:

$E_{vh}=\frac{E_{vv}}{XP{I}_v},E_{hv}=\frac{E_{hh}}{XP{I}_h}.$

Сначала найдем нормировочные множители для каждого порта, удовлетворяющие условию сохранения излучаемой мощности:

$\begin{array}{l}{E}_v^2=E_{vh}^2\left(1+XP{I}_v^2\right) \to \\ \to E_{vh}=\frac{E_v}{\sqrt{1+XP{I}_v^2}},E_{vv}=\frac{\left|XP{I}_v\right|E_v}{\sqrt{1+XP{I}_v^2}};\end{array}$

$\begin{array}{l}{E}_h^2=E_{hv}^2\left(1+XP{I}_h^2\right) \to \\ \to E_{hv}=\frac{E_h}{\sqrt{1+XP{I}_h^2}},E_{hh}=\frac{\left|XP{I}_h\right|E_h}{\sqrt{1+XP{I}_h^2}}.\end{array}$

Здесь $E_v,$ $E_h$ – диаграмма направленности однополяризационного элемента.

Напряженность поля каждой компоненты с учетом эффекта кросс-поляризации:

${E^{\text{'}}}_v=E_{vv}+E_{hv}=\frac{E_v\left|XP{I}_v\right|}{\sqrt{1+XP{I}_v^2}}+\frac{E_h}{\sqrt{1+XP{I}_h^2}},$ (3)

${E^{\text{'}}}_h=E_{hh}+E_{vh}=\frac{E_h\left|XP{I}_h\right|}{\sqrt{1+XP{I}_h^2}}+\frac{E_v}{\sqrt{1+XP{I}_v^2}},$

$\begin{array}{l}{E^{\text{'}}}_v{E^{\text{'}}}_h^{*}=\left(\frac{E_v\left|XP{I}_v\right|}{\sqrt{1+XP{I}_v^2}}+\frac{E_h}{\sqrt{1+XP{I}_h^2}}\right)\times \\ \times \left(\frac{E_h^{*}\left|XP{I}_h\right|}{\sqrt{1+XP{I}_h^2}}+\frac{E_v^{*}}{\sqrt{1+XP{I}_v^2}}\right)=\\ =\frac{E_v^2\left|XP{I}_v\right|}{1+XP{I}_v^2}+\frac{E_h^2\left|XP{I}_h\right|}{1+XP{I}_h^2},\end{array}$

${E^{\text{'}}}_v{E^{\text{'}}}_v^{*}={\left(\frac{E_v\left|XP{I}_v\right|}{\sqrt{1+XP{I}_v^2}}+\frac{E_h}{\sqrt{1+XP{I}_h^2}}\right)}^2 =$ (4)

$=\frac{E_v^{2}XP{I}_v^2}{1+XP{I}_v^2}+\frac{E_h^2}{1+XP{I}_h^2},$

${E^{\text{'}}}_h{E^{\text{'}}}_h^{*}={\left(\frac{E_h\left|XP{I}_h\right|}{\sqrt{1+XP{I}_h^2}}+\frac{E_v}{\sqrt{1+XP{I}_v^2}}\right)}^2=$ (5)

$=\frac{E_h^{2}XP{I}_h^2}{1+XP{I}_h^2}+\frac{E_v^2}{1+XP{I}_v^2}.$

При выводе мы воспользовались условием

$E_v{E}_h^{*}=E_h{E}_v^{*}=0.$

Тогда коэффициенты корреляционных матриц-подблоков (2) будут иметь вид

${R^{\text{'}}}_{vv}(m,n,k,l)=$ (6)

$\begin{array}{l}=\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{}}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{}}\exp \left(j2\pi \right((m-k)d_y\cos \theta )\sin \phi +\\ +(n-l)d_z\sin \theta \left)\right)p_{\theta }\left(\theta \right)p_{\varphi }\left(\phi \right)\cos \theta \times \\ \times \left|{E^{\text{'}}}_v\right(\theta ,\phi ){|}^{2}d\phi d\theta =\\ =\frac{XP{I}_v^2}{1+XP{I}_v^2}{R}_{vv}+\frac{1}{1+XP{I}_h^2}{R}_{hh};\end{array}$

${R^{\text{'}}}_{hh}(m,n,k,l)=$ (7)

$\begin{array}{l}=\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{}}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{}}\exp \left(j2\pi \right((m-k)d_y\cos \theta )\sin \phi +\\ +(n-l)d_z\sin \theta \left)\right)p_{\theta }\left(\theta \right)p_{\varphi }\left(\phi \right)\cos \theta \times \\ \times \left|{E^{\text{'}}}_h\right(\theta ,\phi ){|}^{2}d\phi d\theta =\\ =\frac{XP{I}_h^2}{1+XP{I}_h^2}{R}_{hh}+\frac{1}{1+XP{I}_v^2}{R}_{vv};\end{array}$

${R^{\text{'}}}_{vh}(m,n,k,l)={R^{\text{'}}}_{hv}(m,n,k,l)=$ (8)

$\begin{array}{l}=\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{}}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{}}\exp \left(j2\pi \right((m-k)d_y\cos \theta )\sin \phi +\\ +(n-l)d_z\sin \theta \left)\right)p_{\theta }\left(\theta \right)p_{\varphi }\left(\phi \right)\cos \theta \times \\ \times {E^{\text{'}}}_v(\theta ,\phi ){E^{\text{'}}}_h^{*}(\theta ,\phi )d\phi d\theta =\\ =\frac{\left|XP{I}_v\right|}{1+XP{I}_v^2}{R}_{vv}+\frac{\left|XP{I}_h\right|}{1+XP{I}_h^2}{R}_{hh}.\end{array}$

Если допустить, что $XP{I}_v=XP{I}_h=$$XPI=\text{const},$ $R_{vv}=R_{hh},$ то для выражения (2) получим:

$R^{\text{'}}=\left[\begin{array}{cc}{R}_{vv}& \frac{2XPI}{1+XP{I}^2}{R}_{vv}\\ \frac{2XPI}{1+XP{I}^2}{R}_{vv}& R_{vv}\end{array}\right].$ (9)

Итак, для расчета матрицы пространственной корреляции двухполяризационной антенной решетки с учетом кросс-поляризации необходимо иметь со-поляризационные диаграммы направленности и значения $XP{I}_v,$ $XP{I}_h.$ Если эти значения являются функциями углов, то при расчетах необходимо использовать соотношения (3)–(5). Если эти значения – постоянные величины, то можно воспользоваться соотношениями (6)–(8). И наконец, при равенстве со- и кросс-поляризационных свойств портов различной поляризации для расчетов применяется соотношение (9).

Из соотношения (9) видно, что если кросс-поляризация у двухполяризационного элемента незначительная $(XPI\to \infty ),$ то пространственная корреляция между элементами разной поляризации стремится к нулю. При наличии кросс-поляризации из-за увеличения пространственной корреляции уменьшается число степеней свободы системы, что приведет к уменьшению ее разрешающей способности.

Воспользовавшись выведенными соотношениями и моделью Кронекера, методом Монте-Карло были рассчитаны зависимость пропускной способности для плоской антенной решетки размером 4 × 8 с расстояниями между элементами $d_y=\mathrm{0,5}\lambda ,$ $d_z=2\lambda$ от величины кросс-поляризации $XPI.$ В качестве антенного элемента использовался идеальный двухполяризационный патч с поворотом плоскости поляризации $\pm 45°.$ Вероятностное распределение углов прихода по углу места описывалось законом Лапласа, по азимуту – законом фон Мизеса. При расчете использовались допущения для выражения (9). На рис. 1 представлена полученная зависимость. Видно, что уменьшение XPI менее 10 дБ приводит к снижению пропускной способности системы.

 

Рис. 1. Зависимость эргодической пропускной способности от уровня кросс-поляризации

Fig. 1. Dependence of ergodic capacity on the level of cross-polarization

 

3. Моделирование с реальными излучающими элементами

Для оценки величины кросс-поляризационного параметра XPI реальных антенных элементов и его влияния на пропускную способность в среде CST Studio Suite были синтезированы модели двухполяризационного двухпортового stacked патч-элемента [2] и кросс-дипольного элемента с поляризациями $\pm 45°.$

Полученные с помощью электродинамического моделирования путем решения системы уравнений Максвелла (метод моментов) диаграммы направленности со-поляризационная и кросс-поляризационная для каждого порта представлены на рис. 2.

 

Рис. 2. Диаграммы направленности кросс-дипольного (а – со-поляризационная, б – кросс-поляризационная компоненты) и stacked-патч элементов (в – со-поляризационная, г – кросс-поляризационная компоненты) для первого (черная линия) и второго (серая линия) порта. Пунктирной линией обозначены срезы вдоль направления поляризации порта, сплошной – перпендикулярно)

Fig. 2. Antenna patterns of cross-dipole (a – co-polarization, b – cross-polarization components) and stacked-patch elements (c – co-polarization, d – cross-polarization components) for the first (black line) and the second (grey line) port. Dotted line indicates slices along the direction of port polarization, solid line – perpendicular)

 

Видно, что со-поляризационные диаграммы каждого элемента совпадают между собой в направлении основного излучения. Поэтому можно считать

На основе полученных диаграмм направленности порта каждой поляризации были рассчитаны угловые зависимости   для кросс-дипольной и патч-антенны (рис. 3).

 

Рис. 3. Диаграммы XPI кросс-дипольного (а) и stacked патч-элементов (б) для первого (черная линия (XPI_h) и второго (серая линия (XPI_v)) порта. Пунктирной линией обозначены срезы вдоль направления поляризации порта, сплошной – перпендикулярно)

Fig. 3. XPI patterns of cross-dipole (a) and stacked patch elements (b) for the first (black line (XPI_h) and the second (grey line (XPI_v)) port. Dotted line indicates slices along the direction of port polarization, solid line – perpendicular).

 

Из рис. 3 видно, что зависимости для $XP{I}_v$ и $XP{I}_h$ с графической точностью совпадают как для патч-элемента, так и для кросс-дипольного элемента. Незначительно отличие в видах $XP{I}_v$ и $XP{I}_h$ для кросс-дипольного элемента можно объяснить несимметричностью его системы запитки.

Таким образом, можно считать, $XP{I}_v=XP{I}_h=XPI(\theta ,\phi ).$ И наконец, $XPI$ сложным образом зависят от $\theta ,$ $\phi .$ Исходя из этого, соотношения для расчета элементов матрицы пространственной корреляции будут иметь вид

${R^{\text{'}}}_{vv}={R^{\text{'}}}_{hh}=R_{vv},$

$\begin{array}{l}{R^{\text{'}}}_{vh}(m,n,k,l)={R^{\text{'}}}_{hv}(m,n,k,l)=\\ =\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{}}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{}}\exp \left(j2\pi \right((m-k)d_y\cos \theta )\sin \phi +\\ +(n-l)d_z\sin \theta \left)\right)p_{\theta }\left(\theta \right)p_{\varphi }\left(\phi \right)\cos \theta \times \\ \times E^2(\theta ,\phi )\frac{2\times \left|XPI(\theta ,\phi )\right|}{1+XP{I}^2(\theta ,\phi )}d\phi d\theta .\end{array}$

Используя данные соотношения и имеющиеся требуемые зависимости для реальных антенных элементов – кросс-диполя и патча, было рассчитано изменение пропускной способности рассмотренной выше антенной решетки при учете наличия кросс-поляризации. Результаты для обоих типов элементов представлены в таблице.

 

Таблица. Эргодическая пропускная способность антенной решетки с реальными антенными элементами

Table. Ergodic capacity of an antenna array with real antenna elements

Элементы	С без учета кросс-поляризации, Бит/c/Гц	С с учетом кросс-поляризации, Бит/c/Гц
Кросс-диполь	6,884	6,869	1
Патч	6,641	6,616	1

 

Полученные результаты показывают, что синтезированные излучающие элементы имеют хорошую развязку по поляризации, которая приведет лишь к незначительному уменьшению пропускной способности системы massive MIMO.

Как показано в работе [2], оптимальные параметры диаграммы направленности антенного элемента в составе решетки, обеспечивающие максимальную пропускную способность, невозможно достичь одиночным антенным элементом. Для уменьшения ширины диаграммы направленности по углу места часто сдваивают (или страивают) антенные элементы. В работе [2] приведены зависимости эргодической пропускной способности от расстояния между сдвоенными элементами.

Для оценки вклада в данные зависимости эффекта кросс-поляризации были синтезированы аналогичные сдвоенные патч- и кросс-дипольные элементы и рассчитан их коэффициент кросс-поляризации.

На рис. 4 приведены усредненные (в диапазоне $\pm 40$ от направления главного излучения) значения $XP{I}_v$ и $XP{I}_h$ в зависимости от расстояния между элементами.

 

Рис. 4. Среднее значение XPI сдвоенного кросс-дипольного (а) и stacked патч-элементов (б) для первого (черная линия (XPI_h) и второго (серая линия (XPI_v) порта. Пунктирной линией обозначены срезы вдоль направления поляризации порта, сплошной – перпендикулярно)

Fig. 4. Average XPI value of dual cross-dipole (a) and stacked patch elеments (b) for the first (black line (XPI_h) and the second (grey line (XPI_v) port. The dotted line indicates slices along the polarization direction of the port, the solid line - perpendicularly)

 

Из рисунков видно, во-первых, что при сдваивании патч-элементов зависимости остаются одинаковыми до расстояния между элементам около $\mathrm{0,75}{\lambda }_0,$ далее проявляются незначительные отклонения, связанные с появлением боковых лепестков. При этом для кросс-дипольных элементов при расстоянии больше $\mathrm{0,75}{\lambda }_0,$ зависимости хотя и имеют схожий характер, но значительно отличаются по величине.

Несмотря на несимметричность $XP{I}_v$ и $XP{I}_h$ их значения как для сдвоенных кросс-диполей, так и для патч-антенн превышают 12 дБ, что, как было показано ранее, не вносит потерь в величину пропускной способности канала.

Заключение

Выведенные соотношения и разработанная методика дают возможность оценить изменение пропускной способности системы связи при учете кросс-поляризационных свойств двухполяризационных элементов антенной решетки. Это позволит оптимальным образом подобрать излучающие элементы для заданной системы. На основе анализа с помощью выведенных соотношений установлено, что влияние кросс-поляризационных свойств антенных элементов решетки на пропускную способность многоканальной системы связи становится значительным при уменьшении величины кросс-поляризационного параметры ниже 10 дБ. Показано, что синтезированные реальные антенные элементы различного типа обладают высокой развязкой по поляризации, что приведет к незначительному снижению пропускной способности системы. Это позволяет их использовать в качестве излучателей для многоканальных систем связи на основе антенных решеток.

Финансирование

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-19-00891, https://rscf.ru/project/24-19-00891/.

Благодарности

Для выполнения численных расчетов в работе использовалось оборудование учебно-научного дизайн-центра проектирования радиоэлектронных систем СВЧ-, терагерцового и оптического диапазонов на отечественной электронной компонентной базе ФГБОУ ВО «ВГУ» в рамках реализации федерального проекта «Подготовка кадров и научного фундамента для электронной промышленности».

作者简介

Ekaterina Averina

JSC «Concern “Sozvezdie”»

Email: fairy_asol@mail.ru
SPIN 代码: 3324-9686

senior designer 

俄罗斯联邦, 14, Plekhanovskaya Street, Voronezh, 394018

Ksenia Smuseva

Voronezh State University

编辑信件的主要联系方式.
Email: smusevaz@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-8515-2841
SPIN 代码: 6428-9273
Scopus 作者 ID: 1038558
Researcher ID: ABF-1963-2020

graduate student, teacher of the Department of Electronics

俄罗斯联邦, 1, Universitetskaya Square, Voronezh, 394018

Pavel Tokarev

Voronezh State University

Email: tokarevpavel1996@mail.ru
SPIN 代码: 2598-7927

graduate student of the Department of Electronics, Faculty of Physics

俄罗斯联邦, 1, Universitetskaya Square, Voronezh, 394018

Grigory Uskov

Voronezh State University

Email: uskov@phys.vsu.ru
ORCID iD: 0000-0001-8250-2511
SPIN 代码: 8126-6222
Scopus 作者 ID: 25929735200
Researcher ID: H-1344-2013

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of the Department of Electronics, Faculty of Physics

俄罗斯联邦, 1, Universitetskaya Square, Voronezh, 394018

参考

补充文件