Исследование кирального метаматериала СВЧ-диапазона на основе равномерной совокупности С-образных проводящих элементов

Полный текст

Введение

Интерес к метаматериалам с каждым годом все более возрастает, что связано в первую очередь с получением все новых свойств взаимодействия электромагнитного поля с искусственным веществом. Известно большое количество научных публикаций по электродинамике метаматериалов [1–5], в которых рассмотрены различные структуры и их электромагнитные свойства. Любой метаматериал состоит из электромагнитных резонансных частиц (включений), которые размещаются различным образом в веществе другого типа (среды-контейнера). Включения образуют некоторую двух- или трехмерную матрицу, которая изменяет значения диэлектрической и (или) магнитной проницаемости метаматериала в целом. В результате появляется возможность на этапе разработки
метаматериала для получения заданных электромагнитных свойств широкого варьирования геометрических и материальных параметров включений и среды-контейнера. В научных работах большое внимание уделяется разработке метаматериалов для получения свойств отрицательного преломления (среды Веселаго) [6–8]; частотно селективной «невидимости» объектов, покрытых метаматериалом [9]; частотно селективной концентрации энергии СВЧ [10–12]; преобразованию поляризации и т. п. В настоящее время синтезированы метаматериалы в диапазоне от 1 до 100 ГГц. Применение метаматериалов в СВЧ-технике также весьма разнообразно: СВЧ-фильтры, фазовращатели, поляризационные устройства, ответвители, линии передачи и т. п. [13–15]. Значительное число работ посвящено исследованию метаматериалов в антенной технике, в т. ч. в MIMO-устройствах [16–18].

Особым типом метаматериалов являются киральные среды [19–23], особенность которых заключается в том, что используемые в них проводящие композиты обладают зеркально асимметричной формой. Примерами киральных (зеркально асимметричных) включений являются элементы Телледжена, тонкопроволочные трехмерные и плоские спирали, S-элементы, гаммадионы, многозаходные спиральные элементы, одиночные и двойные разомкнутые кольца и т. п. В таких структурах нормальными волнами являются волны с право- и левокруговыми поляризациями, обладающими различными фазовыми скоростями. Другим свойством киральных метаматериалом стала кросс-поляризация отраженного и прошедшего полей.

Для описания электромагнитных свойств киральных метаматериалов и учета свойств киральности вводится третий материальный параметр, называемый параметром киральности, который имеет смысл некоторого коэффициента связи между электрическими и магнитными процессами в искусственной среде. Это связано с тем, что любой зеркально асимметричный элемент в силу его своеобразной формы представляется неразрывной композицией элементарного электрического (тонкопроволочный и полосковый проводник с током) и магнитного (разомкнутый виток с током) диполей.

В связи с вышесказанным для описания КММ в большинстве случаев применяются материальные уравнения следующего вида (формализм Линделла – Сиволы) [19]:

$\overrightarrow{\mathbf{D}}=\epsilon \overrightarrow{\mathbf{E}}\mp i\chi \overrightarrow{\mathbf{H}},\overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu \overrightarrow{\mathbf{H}}\pm i\chi \overrightarrow{\mathbf{E}},$ (1)

где $\overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{,}\mathbf{ }\overrightarrow{\mathbf{H}}\mathbf{,}\mathbf{ }\overrightarrow{\mathbf{D}}\mathbf{,}\mathbf{ }\overrightarrow{\mathbf{B}}$    – комплексные амплитуды векторов напряженностей и индукций электрического и магнитного полей; i – мнимая единица. В соотношениях (1) верхние знаки соответствуют КММ на основе зеркально асимметричных компонентов с правой закруткой (правых форм компонентов), а нижние знаки – КММ на основе зеркально асимметричных компонентов с левой закруткой (левых форм компонентов). Соотношения (1) записаны в Гауссовой системе единиц. Уравнения (1) – в предположении гармонической зависимости векторов электромагнитного поля от времени.

Заметим, что для описания взаимодействия электромагнитного поля с киральной средой наряду с относительной диэлектрической $\epsilon$ и магнитной $\mu$ проницаемостями вводится безразмерный параметр киральности $\chi$. Для реальных случаев все функции являются частотно зависимыми, то есть $\epsilon =\epsilon \left(\omega \right); \mu =\mu \left(\omega \right); \chi =\chi \left(\omega \right)$.  

В работах [12; 24] показана возможность использования киральных метаматериалов на основе тонкопроволочных проводящих одиночных и многозаходных спиралей для частотно-селективной концентрации СВЧ-энергии. В [10; 11] аналогичные эффекты были теоретически предсказаны для планарного слоя киральной среды на основе составных тонкопроволочных спиральных элементов и гаммадионов. Некоторые математические модели КММ описаны в [32–34].

В данной работе предлагается вариант построения математической модели кирального метаматериала на основе C-элементов, которые размещены в объемном контейнере из вспененного диэлектрика. При построении математической модели исследуемого КММ будут учтены основные свойства материала – киральность, дисперсия материальных параметров и гетерогенность. В качестве примера использования построенной математической модели рассмотрено решение задачи об отражении плоской электромагнитной модели линейной поляризации от планарного слоя КММ на основе проводящих С-образных включений, равномерно размещенных и произвольно ориентированных в диэлектрическом контейнере.

1. Разработка частной математической модели КММ

Используемые в настоящее время математические модели КММ в большинстве случаев являются недостаточно общими, так как не учитывают всех основных свойств метаматериалов. В частности, известно достаточно мало публикаций, в которых учитывается гетерогенность метаматериала в целом. Здесь речь идет о том, что в большинстве случаев метаматериал описывается некоторой частотно-зависимой эффективной диэлектрической проницаемостью $\epsilon \left(\omega \right)$.

Рассмотрим обобщенную структуру произвольного метаматериала, показанную на рис. 1. КММ состоит из диэлектрического контейнера (А) с относительными проницаемости ${\epsilon }_c, {\epsilon }_c$, в котором размещены киральные металлические включения (Б). Области, в которых расположены зеркально асимметричные элементы, обладают относительными проницаемостями ${\epsilon }_s, {\epsilon }_s$. Линейные размеры областей – d, расстояние между соседними элементами – l.

 

Рис. 1. Обобщенная структура произвольного КММ

 

Очевидно, что эффективные диэлектрическая и магнитная проницаемости КММ в общем случае будут зависеть от соответствующих параметров контейнера и областей, в которых размещены проводящие зеркально асимметричные микроэлементы, то есть $\epsilon =\epsilon ({\epsilon }_c, {\epsilon }_s); \mu =\mu ({\mu }_c, {\mu }_s)$  В дальнейшем в работе в качестве среды-контейнера будет использоваться вспененный диэлектрик, у которого $\mu =1$.

Для описания гетерогенных свойств в физике используется достаточно много различных моделей (модель Максвелла Гарнетта, модель Бруггемана, модель Одоевского и т. п.) [25–27]. В данной работе рассмотрим модель Максвелла Гарнетта, которая приводит к следующему соотношению для эффективной диэлектрической проницаемости КММ:

$\epsilon ={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}};{\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\epsilon }_{\text{s}}-{\epsilon }_{\text{c}}}{{\epsilon }_{\text{s}}+2{\epsilon }_{\text{c}}},$ (2)

где $\epsilon$ – относительная эффективная диэлектрическая проницаемость КММ; ${\epsilon }_c$ – относительная диэлектрическая проницаемость контейнера А; ${\epsilon }_s$ – относительная диэлектрическая проницаемость областей, занятых киральными включениями (Б); $\alpha$ – их объемная концентрация.

Как показали исследования других авторов [28], использование моделей Максвелла Гарнетта и Бруггемана эквивалентно при малых концентрациях включений.

Для учета дисперсии диэлектрической проницаемости областей Б воспользуемся моделью Друде – Лоренца:

${\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)={\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2\text{i\hspace{0.17em}}{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2},$ (3)

где ${\epsilon }_{\infty }$ – асимптотическое значение диэлектрической проницаемости при $\omega \to \infty$; ${\delta }_e$ – коэффициент демпфирования;  – резонансная частота поглощения; ${\omega }_0^2$ – резонансная частота микроэлемента, которая затем вычисляется для конкретного кирального микроэлемента в квазистационарном приближении.

Для описания частотной зависимости параметра киральности в работе используется модель Кондона, которая изначально нашла применение в теории оптически активных сред [29; 30]:

$\chi \left(\omega \right)=\frac{{\omega }_{\text{0}}^2{\beta }_0\omega }{{\omega }_0^2+2\text{i\hspace{0.17em}}{\delta }_{\text{x}}{\omega }_0\omega -{\omega }^2},$ (4)

где ${\beta }_0$ – постоянная, имеющая обратную времени размерность и описывающая степень зеркальной асимметрии микроэлемента; ${\delta }_x$ – коэффициент демпфирования параметра киральности.

Подставляя соотношение (3) в формулу (2), находим выражение для частотно зависимой эффективной диэлектрической проницаемости в модели Максвелла Гарнетта:

$\epsilon \left(\omega \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)};$ (5)

${\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2\text{i\hspace{0.17em}}{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2}-{\epsilon }_{\text{c}}}{{\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2\text{i\hspace{0.17em}}{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2}+2{\epsilon }_{\text{c}}},$

При записи (5) учтено, что относительная диэлектрическая проницаемость среды-контейнера является частотно-независимой.

Таким образом, обобщенная математическая модель кирального метаматериала в рассматриваемом формализме с учетом (1), (5) и (6) имеет следующий вид:

$\overrightarrow{\mathbf{D}}=\epsilon \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{E}}\mp i\chi \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{H}},\overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu \overrightarrow{\mathbf{H}}\pm i\chi \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{E}};$ (6)

$\epsilon \left(\omega \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)};\chi \left(\omega \right)=\frac{{\omega }_{\text{0}}^2{\beta }_0\omega }{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{x}}{\omega }_0\omega -{\omega }^2};$

${\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)-{\epsilon }_{\text{c}}}{{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)+2{\epsilon }_{\text{c}}};{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)={\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2}.$

Математическая модель (6) справедлива для случая, когда все киральные микроэлементы имеют тождественную форму и линейные размеры; расположены эквидистантно и хаотически ориентированы; магнитная проницаемость КММ является частотно-независимой.

На базе соотношений (6) строится частная математическая модель для КММ на основе конкретного типа зеркально асимметричного элемента.

Рассмотрим расчет резонансной частоты С-образного элемента в квазистационарном приближении.

Структура ячейки КММ на основе С-образного элемента показана на рис. 2. С-элемент описывается внешним радиусом $R$ и внутренним радиусом $r$ проводящей полоски. Все элементы расположены на одинаковых расстояниях $l$ друг от друга. При этом С-элементы могут быть повернуты относительно своих геометрических центров как в вертикальной, так и в горизонтальной плоскостях.

 

Рис. 2. Структура ячейки КММ на основе С-образного элемента

 

В квазистатическом приближении киральный элемент заменяется индуктивно-емкостной схемой. Для расчета резонансной частоты воспользуемся в этом случае формулой Томсона:

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},$ (7)

где $L$ – общая индуктивность кирального компонента; $C$ – емкость кирального компонента.

Емкость С-образного элемента с учетом его связи с четырьмя соседними включениями определяется следующим образом:

$C=C_{\text{э}}+{С}_{\text{мэ}},$ (8)

то есть в виде суперпозиции емкостей самого элемента $C_{\text{э}}$ и межэлементной емкости ${С}_{\text{мэ}}$.

Собственная емкость С-элемента определяется как

$C_{\text{э}}={\epsilon }_{\text{c}}\frac{\pi \left(R^2-r^2\right)}{2h},$ (9)

где $h$ – толщина контейнера метаматериала. При записи считалось, что базовой линией С-элемента является средняя линия с радиусом полуокружности $R^{\text{'}}=\left(R+r\right)/2$ и ширина полоски $h=R-r$

Межэлементная емкость определяется по формуле

$C_{\text{мэ}}={\epsilon }_{\text{c}}\frac{\pi \left(R^2-r^2\right)}{8l},$ (10)

где $l$ – расстояние между центрами соседних областей, в которые вписаны С-образные элементы.

В результате выражение для общей емкости N-заходного гаммадиона имеет вид

$C=\frac{{\epsilon }_{\text{c}}\pi \left(R^2-r^2\right)}{2h}\left[1+\frac{h}{4l}\right].$ (11)

Индуктивность C-образного элемента определяется следующим соотношением:

$L={\mu }_{\text{c}}\frac{\sqrt{2}{\left(\frac{R+r}{2}\right)}^2}{R-r}={\mu }_{\text{c}}\frac{\sqrt{2}{\left(R+r\right)}^2}{4\left(R-r\right)}.$ (12)

Выражение с использованием формулы Томсона (7) для резонансной частоты C-образного элемента находится с учетом соотношений (11) и (12):

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}\pi }{8h}\left[1+\frac{h}{4l}\right]{\left(R+r\right)}^3}}.$ (13)

Формула (13) получена в квазистатическом приближении, и ее использование возможно только в диапазоне $\omega \in \left(0;{\omega }_{\max }\right),$ где ${\omega }_{\max }$ – максимальная частота, при которой элементы можно считать квазистационарными: $cT\gg 1$ (где $c$ – скорость света; $T$ – период колебаний электромагнитного поля).

Таким образом, частная математическая модель кирального метаматериала на основе равномерной совокупности С-образных элементов с учетом (1), (6) и (13) имеет следующий вид:

$\overrightarrow{\mathbf{D}}=\epsilon \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{E}}\mp i\chi \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{H}},\overrightarrow{\mathbf{B}}=\mu \overrightarrow{\mathbf{H}}\pm i\chi \left(\omega \right)\overrightarrow{\mathbf{E}};$ (14)

$\epsilon \left(\omega \right)={\epsilon }_{\text{c}}\frac{1+2\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)}{1-\alpha {\epsilon }_{\text{x}}\left(\omega \right)};\chi \left(\omega \right)=\frac{{\omega }_{\text{0}}^2{\beta }_0\omega }{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{x}}{\omega }_0\omega -{\omega }^2};$

${\epsilon }_{\text{x}}=\frac{{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)-{\epsilon }_{\text{c}}}{{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)+2{\epsilon }_{\text{c}}};{\epsilon }_{\text{s}}\left(\omega \right)={\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2i{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2};$

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_{\text{c}}{\mu }_{\text{c}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}\pi }{8h}\left[1+\frac{h}{4l}\right]{\left(R+r\right)}^3}}.$

2. Задача о падении плоской электромагнитной волны на планарный слой КММ на основе равномерной совокупности С-образных элементов

Рассмотрим задачу о падении плоской электромагнитной волны линейной (E- или H-поляризации) на планарный слой из КММ на основе равномерной совокупности С-образных элементов. Геометрия задачи показана на рис. 3.

 

Рис. 3. Геометрия задачи

 

Плоская электромагнитная волна падает на слой метаматериала под углом $\theta$. Область 1 является диэлектриком с диэлектрической и магнитной проницаемостями ${\epsilon }_1$ и ${\mu }_1$. Киральный слой (область 2) описывается материальными параметрами: ${\epsilon }_2$, ${\mu }_2$ и ${\chi }_2$ в рамках предложенной математической модели (14). Концентрация киральных включений в области 2 равна ${\alpha }_2$ Толщина слоя метаматериала h. Область 3 является диэлектриком с диэлектрической и магнитной проницаемостями ${\epsilon }_3$ и ${\mu }_3$ При решении будем полагать, что планарный слой является неограниченно протяженным вдоль оси $Oz$. При решении задачи будем учитывать явление кросс-поляризации, возникающее при отражении (прохождении) электромагнитной волны от слоя из кирального метаматериала, а именно при падении волны с E-поляризацией будут возникать компоненты отраженного и прошедшего электромагнитного поля с H-поляризацией и обратно.

Коэффициенты отражения от планарного слоя метаматериала можно записать в виде матрицы размерности 2 × 2:

$\hat{\mathbf{R}}=\left(\begin{array}{cc}{r}_{\text{hh}}& r_{\text{he}}\\ r_{\text{eh}}& r_{\text{ee}}\end{array}\right),$ (15)

где $r_{hh}$ – коэффициент отражения поля волны с H-поляризацией при падении волны с H-поляризацией; $r_{he}$ – коэффициент отражения поля волны с H-поляризацией при падении с E-поляризацией; $r_{ee}$ – коэффициент отражения поля волны с E-поляризацией при падении волны с E-поляризацией; $r_{eh}$ – коэффициент отражения поля волны с E-поляризацией при падении волны с H-поляризацией.

Аналогично коэффициенты прохождения в области 3 описываются следующей матрицей:

$\hat{\mathbf{T}}=\left(\begin{array}{cc}{t}_{\text{hh}}& t_{\text{he}}\\ t_{\text{eh}}& t_{\text{ee}}\end{array}\right),$ (16)

где $t_{hh}$ – коэффициент прохождения поля волны с H-поляризацией при падении волны с H-поляризацией; $t_{he}$ – коэффициент прохождения поля волны с H-поляризацией при падении с E-поляризацией; $t_{ee}$ – коэффициент прохождения поля волны с E-поляризацией при падении волны с E-поляризацией; $t_{eh}$ – коэффициент прохождения поля волны с E-поляризацией при падении волны с H-поляризацией.

Внутри области 2, согласно общим свойствам киральной среды, распространяются электромагнитные волны с право (ПКП) и левокруговыми (ЛКП) поляризациями – две преломленные из области 1 и 2, отраженные от границы раздела с областью 3.

Коэффициенты отражения и прохождения ПКП- и ЛКП-волн в области 2 описываются следующей матрицей:

$\hat{\mathbf{S}}=\left(\begin{array}{cc}{T}_{\text{R}}^{\left(-\right)}& T_{\text{L}}^{\left(-\right)}\\ T_{\text{R}}^{\left(+\right)}& T_{\text{L}}^{\left(+\right)}\end{array}\right).$ (17)

Таким образом, требуется определить матрицы коэффициентов отражения и прохождения основной и кросс-поляризованной компонент поля (15)–(17).

При решении задачи воспользуемся методом частичных областей.

Слой из кирального метаматериала на основе С-образных элементов описывается материальными уравнениями (1) [19]:

$\begin{array}{l}{\overrightarrow{\mathbf{D}}}^{\left(2\right)}={\mathrm{\epsilon }}_2\left(\mathrm{\omega }\right){\overrightarrow{\mathbf{E}}}^{\left(2\right)}\mp {\mathrm{i\chi }}_2\left(\mathrm{\omega }\right){\overrightarrow{\mathbf{H}}}^{\left(2\right)};\\ {\overrightarrow{\mathbf{B}}}^{\left(2\right)}={\mathrm{\mu }}_2{\overrightarrow{\mathbf{H}}}^{\left(2\right)}\pm {\mathrm{i\chi }}_2\left(\mathrm{\omega }\right){\overrightarrow{\mathbf{E}}}^{\left(2\right)}.\end{array}$ (18)

где верхние и нижние знаки определяют правую или левую форму зеркально асимметричных компонентов. Соотношения (18) записаны в Гауссовой системе единиц.

Для описания электромагнитных свойств исследуемого метаматериала используется частная математическая модель (14).

Векторы напряженностей электрического и магнитного полей в киральной среде определяются из системы дифференциальных уравнений 2-го порядка следующего вида [19]:

${\nabla }^2{\overrightarrow{\mathbf{E}}}^{\left(2\right)}+k_0^2\left[{\epsilon }_2\left(\omega \right){\mu }_2+{\chi }_2^2\left(\omega \right)\right]{\overrightarrow{\mathbf{E}}}^{\left(2\right)}-$ (19)

$-2\text{i\hspace{0.17em}}{k}_0^2{\mu }_2{\chi }_2\left(\omega \right){\overrightarrow{\mathbf{H}}}^{\left(2\right)}=0;$

${\nabla }^2{\overrightarrow{\mathbf{H}}}^{\left(2\right)}+k_0^2\left[{\epsilon }_2\left(\omega \right){\mu }_2+{\chi }_2^2\left(\omega \right)\right]{\overrightarrow{\mathbf{H}}}^{\left(2\right)}+$

$+2\text{i\hspace{0.17em}}{k}_0^2{\epsilon }_2\left(\omega \right){\chi }_2\left(\omega \right){\overrightarrow{\mathbf{E}}}^{\left(2\right)}=0,$

где $k_0$ – волновое число для плоской однородной волны в свободном пространстве.

Векторы напряженностей электрического и магнитного полей в киральной среде записываются в виде суперпозиции полей волн с круговыми поляризациями [19]:

${\overrightarrow{\mathbf{E}}}^{\left(2\right)}={\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\text{R}}+{\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\text{L}}; {\overrightarrow{\mathbf{H}}}^{\left(2\right)}=\text{i}\sqrt{\frac{{\epsilon }_2\left(\omega \right)}{{\mu }_2}}\left({\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\text{R}}-{\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\text{L}}\right),$ (20)

в результате чего относительно ${\overrightarrow{\mathbf{E}}}_R$, ${\overrightarrow{\mathbf{E}}}_L$ можно записать однородные уравнения Гельмгольца [19]:

${\nabla }^2{\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\text{R,L}}\pm k_{\text{R,L}}^2{\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\text{R,L}}=\mathrm{0,}$ (21)

где ${\overrightarrow{\mathbf{E}}}_R$ – напряженность электрического поля волны c правой круговой поляризацией; ${\overrightarrow{\mathbf{E}}}_L$ – напряженность электрического поля волны с левой круговой поляризацией; $k_{R,L}=k_0\left[\sqrt{{\epsilon }_2\left(\omega \right){\mu }_2}\pm {\chi }_2\left(\omega \right)\right]$

– волновые числа для волн ПКП и ЛКП в неограниченной киральной среде.

Решения уравнений (21) имеют следующий вид и определяют поля 4 волн с ПКП и ЛКП, распространяющихся в области 2 [31]:

$E_z^{\left(2\right)}=T_{\text{R}}^{(-)}{e}^{-i{k}_{\text{R}}({\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{R}}^{-},\overrightarrow{\mathbf{r}})}+T_{\text{R}}^{(+)}{e}^{-i{k}_{\text{R}}({\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{R}}^{+},\overrightarrow{\mathbf{r}})}+$ (22)

$+T_{\text{L}}^{(-)}{e}^{-i{k}_{\text{L}}({\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{L}}^{-},\overrightarrow{\mathbf{r}})}+T_{\text{L}}^{(+)}{e}^{-i{k}_{\text{L}}({\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{L}}^{+},\overrightarrow{\mathbf{r}})};$

$H_z^{\left(2\right)}=\frac{i}{{\eta }_2}\left[T_{\text{R}}^{(-)}{e}^{-i{k}_{\text{R}}({\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{R}}^{-}\overrightarrow{\mathbf{r}},)}+T_{\text{R}}^{(+)}{e}^{-i{k}_{\text{R}}({\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{R}}^{+},\overrightarrow{\mathbf{r}})}-\right.$

$\left.-T_{\text{L}}^{(-)}{e}^{-i{k}_{\text{L}}({\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{L}}^{-},\overrightarrow{\mathbf{r}})}-T_{\text{L}}^{(+)}{e}^{-i{k}_{\text{L}}({\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{L}}^{+},\overrightarrow{\mathbf{r}})}\right],$

где ${\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{R,L}}^{-}=\left\{-\cos {\theta }_{\text{R,L}},\sin {\theta }_{\text{R,L}}\right\}$ – орты, вдоль которых распространяются волны, прошедшие в область 2 из области 1; ${\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\text{R,L}}^{+}=\left\{\cos {\theta }_{\text{R,L}},\sin {\theta }_{\text{R,L}}\right\}$ – орты, вдоль которых распространяются волны, отраженные от области 3 в область 2; ${\mathrm{\theta }}_{\mathrm{R},\mathrm{L}}$ – углы преломления волн ПКП и ЛКП соответственно; ${\eta }_2=\sqrt{{\mu }_2/{\epsilon }_2}$ – импеданс слоя КММ; $k_{\mathrm{R},\mathrm{L}}=k_0\left(n_2\pm {\chi }_2\right)$ – постоянные распространения волн ПКП и ЛКП в киральной области 2; $n_2=\sqrt{{\epsilon }_2{\mu }_2}$ – относительный показатель преломления для области 2.

В работе были рассмотрены случаи падения плоской электромагнитной волны с E-поляризацией [31]:

$E_z^{\left(1\right)}=e^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ind}},\overrightarrow{r}\right)}+r_{\text{ee}}{e}^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ref}},\overrightarrow{r}\right)};$ (23)

$H_y^{\left(1\right)}=\frac{\cos \theta }{{\eta }_1}{e}^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ind}},\overrightarrow{r}\right)}-r_{\text{ee}}\frac{\cos \theta }{{\eta }_1}{e}^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ref}},\overrightarrow{r}\right)};$

$H_z^{\left(\text{1}\right)}=r_{\text{eh}}{e}^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ref}},\overrightarrow{r}\right)};$

$E_y^{\left(\text{1}\right)}=r_{\text{eh}}{\eta }_1\cos \theta e^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ref}},\overrightarrow{r}\right)}$

и плоской электромагнитной волны с H-поляризацией:

$H_z^{\left(1\right)}=e^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ind}},\overrightarrow{r}\right)}+r_{\text{hh}}{e}^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ref}},\overrightarrow{r}\right)};$ (24)

$E_y^{\left(1\right)}=-{\eta }_1\cos \theta e^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ind}},\overrightarrow{r}\right)}+r_{\text{hh}}\cos \theta e^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ref}},\overrightarrow{r}\right)};$

$E_z^{\left(\text{1}\right)}=r_{\text{he}}{e}^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ref}},\overrightarrow{r}\right)};$

$H_y^{\left(\text{1}\right)}=-r_{\text{he}}\frac{\cos \theta }{{\eta }_1}{e}^{-i{k}_1\left({\overrightarrow{s}}_{\text{ref}},\overrightarrow{r}\right)}.$

В формулах (16) и (17) введены следующие обозначения: $k_1=k_0\sqrt{{\epsilon }_1{\mu }_1}$ – волновое число для плоской однородной волны в области 1; ${\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\mathbf{ref}}=\left\{\cos \theta ,\sin \theta \right\}$ – орт, определяющий направление распространения падающей волны; ${\eta }_1=\sqrt{{\mu }_1/{\epsilon }_1}$ – импеданс области 3; ${\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\mathbf{ind}}=\left\{-\cos \theta ,\sin \theta \right\}$ – орт, определяющий направление распространения падающей волны.

Электромагнитное поле в области 3 имеет следующий вид для случая падения волны с Е-поляризацией [31]:

$E_z^{\left(3\right)}=t_{\text{ee}}{e}^{-i{k}_3\left({\overrightarrow{s}}_{\text{tr}},\overrightarrow{r}\right)};$ (25)

$H_y^{\left(3\right)}=-t_{\text{ee}}\frac{\cos {\theta }_3}{{\eta }_3}{e}^{-i{k}_3\left({\overrightarrow{s}}_{\text{tr}},\overrightarrow{r}\right)};$

$H_z^{\left(\text{3}\right)}=t_{\text{eh}}{e}^{-i{k}_3\left({\overrightarrow{s}}_{\text{tr}},\overrightarrow{r}\right)};$

$E_y^{\left(3\right)}=t_{\text{eh}}{\eta }_3\cos {\theta }_3{e}^{-i{k}_2\left({\overrightarrow{s}}_{\text{tr}},\overrightarrow{r}\right)}$

и для случая падения плоской электромагнитной волны с H-поляризацией:

$H_z^{\left(3\right)}=r_{\text{hh}}{e}^{-i{k}_3\left({\overrightarrow{s}}_{\text{tr}},\overrightarrow{r}\right)};$ (26)

$E_y^{\left(3\right)}=r_{\text{hh}}\cos {\theta }_3{e}^{-i{k}_3\left({\overrightarrow{s}}_{\text{tr}},\overrightarrow{r}\right)};$

$E_z^{\left(3\right)}=r_{\text{he}}{e}^{-i{k}_3\left({\overrightarrow{s}}_{\text{tr}},\overrightarrow{r}\right)};$

$H_y^{\left(3\right)}=-r_{\text{he}}\frac{\cos {\theta }_3}{{\eta }_3}{e}^{-i{k}_3\left({\overrightarrow{s}}_{\text{tr}},\overrightarrow{r}\right)}.$

В формулах (18) и (19) введены следующие обозначения: $k_3=k_0\sqrt{{\epsilon }_3{\mu }_3}$ – волновое число для плоской однородной волны в области 3; ${\overrightarrow{\mathbf{s}}}_{\mathbf{tr}}=\left\{-\cos {\theta }_3,\sin {\theta }_3\right\}$ – орт, определяющий направление распространения прошедшей волны; ${\eta }_3=\sqrt{{\mu }_3/{\epsilon }_3}$ – импеданс области 3; ${\theta }_3$ – угол прохождения волны в область 3.

На границах раздела выполняются следующие граничные условия для тангенциальных составляющих векторов:

${\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\mathrm{\tau }}^{\left(1\right)}\mathit{(}\mathit{y}\mathit{=}\mathit{0}\mathit{)}\mathit{=}{\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\mathrm{\tau }}^{\left(2\right)}\mathit{(}\mathit{y}\mathit{=}\mathit{0}\mathit{)}\mathit{;}$ (27)

${\overrightarrow{\mathbf{H}}}_{\mathrm{\tau }}^{\left(1\right)}\mathit{(}\mathit{y}\mathit{=}\mathit{0}\mathit{)}\mathit{=}{\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\mathrm{\tau }}^{\left(2\right)}\mathit{(}\mathit{y}\mathit{=}\mathit{0}\mathit{)}\mathit{;}$

${\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\mathrm{\tau }}^{\left(2\right)}\mathit{(}\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{h}\mathit{)}\mathit{=}{\overrightarrow{\mathbf{E}}}_{\mathrm{\tau }}^{\left(2\right)}\mathit{(}\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{h}\mathit{)}\mathit{;}$

${\overrightarrow{\mathbf{H}}}_{\tau }^{\mathit{\left(}\mathit{2}\mathit{\right)}}\mathit{(}\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{h}\mathit{)}\mathit{=}{\overrightarrow{\mathbf{H}}}_{\tau }^{\mathit{\left(}\mathit{3}\mathit{\right)}}\mathit{(}\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{h}\mathit{)}\mathit{.}$

После подстановки формул (22)–(26) в граничные условия (27) решение задачи сводится к неоднородным системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для случаев E- и H-поляризаций падающей волны:

$\mathbf{B}{{}_{\mathrm{H},\mathrm{E}}\overrightarrow{\mathbf{R}}}_{\mathrm{H},\mathrm{E}}={\overrightarrow{\mathbf{A}}}_{\mathrm{H},\mathrm{E}}$; (28)

${\overrightarrow{\mathbf{R}}}_{\text{E}}={\left[T_{\text{R}}^{(-)},T_{\text{R}}^{(+)},T_{\text{L}}^{(-)},T_{\text{L}}^{(+)},r_{\text{ee}},r_{\text{eh}},t_{\text{ee}},t_{\text{eh}}\right]}^{\text{T}};$

${\overrightarrow{\mathbf{A}}}_{\text{E}}={\left[1,0,0,\frac{\mathrm{cos\theta }}{{\mathrm{\eta }}_1},0,0,0,0\right]}^{\text{T}};$

${\overrightarrow{\mathbf{R}}}_{\mathrm{H}}={\left[T_{\text{R}}^{(-)},T_{\text{R}}^{(+)},T_{\text{L}}^{(-)},T_{\text{L}}^{(+)},r_{\text{hh}},r_{\text{he}},t_{\text{hh}},t_{\text{he}}\right]}^{\text{T}};$

${\overrightarrow{\mathbf{A}}}_{\text{H}}={\left[0,1,-{\mathrm{\eta }}_1\mathrm{cos\theta },0,0,0,0,0\right]}^{\text{T}},$

где

${\epsilon }_2\left(\omega \right)={\epsilon }_{\text{c2}}\frac{1+2{\alpha }_2{\epsilon }_{\text{x2}}\left(\omega \right)}{1-{\alpha }_2{\epsilon }_{\text{x2}}\left(\omega \right)};$

${\chi }_2\left(\omega \right)=\frac{{\omega }_{\text{0}}^2{\beta }_0\omega }{{\omega }_0^2+2\text{i\hspace{0.17em}}{\delta }_{\text{x}}{\omega }_0\omega -{\omega }^2};$

${\epsilon }_{\text{x2}}=\frac{{\epsilon }_{\text{s2}}\left(\omega \right)-{\epsilon }_{\text{c2}}}{{\epsilon }_{\text{s2}}\left(\omega \right)+2{\epsilon }_{\text{c2}}};$

${\epsilon }_{\text{s2}}\left(\omega \right)={\epsilon }_{\infty }+\frac{\left({\epsilon }_{\text{c2}}-{\epsilon }_{\infty }\right){\omega }_{\text{p}}^2}{{\omega }_0^2+2\text{i\hspace{0.17em}}{\delta }_{\text{e}}\omega -{\omega }^2};$

${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_{\text{c2}}{\mu }_{\text{c2}}}}\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}\pi }{8h}\left[1+\frac{h}{4l}\right]{\left(R+r\right)}^3}};$

${\eta }_2\left(\omega \right)=\sqrt{{\epsilon }_{\text{2}}\left(\omega \right)/{\mu }_2};$

${\alpha }_{\text{R,L}}\left(\omega \right)=\sqrt{1-\frac{{\epsilon }_1{\mu }_1{\sin }^2\theta }{{\left(\sqrt{{\epsilon }_{\text{2}}\left(\omega \right){\mu }_2}\pm {\chi }_2\left(\omega \right)\right)}^2}};$

${\eta }_1=\sqrt{{\mu }_1/{\epsilon }_1};$

$k_{\text{R,L}}\left(\omega \right)=k_0\left(\sqrt{{\epsilon }_{\text{2}}\left(\omega \right){\mu }_2}\pm {\chi }_2\left(\omega \right)\right);$

$k_1=k_0\sqrt{{\epsilon }^{\left(1\right)}{\mu }^{\left(1\right)}};k_3=k_0\sqrt{{\epsilon }^{\left(3\right)}{\mu }^{\left(3\right)}};$

${\eta }_3=\sqrt{{\mu }_3/{\epsilon }_3};{\beta }_{\text{R,L}}\left(\omega \right)=k_{\text{R,L}}\left(\omega \right)h\cos {\theta }_{\text{R,L}};$

${\beta }_3=k_{3}h\cos {\theta }_3;$

${\epsilon }_{\text{s2}}\left(\omega \right)={\epsilon }_{\text{s2}}+\frac{{\beta }_{02}^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2};{\chi }_2\left(\omega \right)=\frac{A_2{k}_0{\beta }_{02}^2}{{\omega }_0^2-{\omega }^2}.$

Явный вид матриц ${\mathbf{B}}_{\mathbf{H}\mathbf{,}\mathbf{E}}$ не приводится в статье, в связи с их значительным объемом.

Из численного решения СЛАУ (28) находятся неизвестные элементы матриц коэффициентов отражения и прохождения (15)–(17).

3. Численные результаты

При численном моделировании путем решения СЛАУ (28) для случая падения плоской электромагнитной волны Е-поляризации были рассчитаны частотные зависимости модулей коэффициентов прохождения и отражения основной и кросс-поляризованной компонент поля.

В качестве примера была рассмотрена структура на основе совокупности полосковых С-образных элементов с шириной полоска 2 см. Все элементы были произвольно ориентированы и равномерно размещены на расстоянии 10 см. Толщина слоя метаматериала 10 см. Материал контейнера имеет относительную диэлектрическую проницаемость ${\epsilon }_{\text{c}2}=\mathrm{1,5};$ ${\mu }_{\text{c}2}=1$ (пенополистирол). Параметры элемента:  м,  м,  м. Области 1 и 3 представляли собой вакуум с ${\epsilon }_{1,3}={\mu }_{\mathrm{1,3}}=1.$ Падение волны на метаструктуру происходило по нормали: $\theta =0$.

На рис. 4–6 представлены частотные зависимости модулей коэффициентов отражения основной ($\left|r_{ee}\right|$ – пунктирная линия) и кросс-поляризованной компонент ($\left|r_{eh}\right|$ – штрихпунктирная линия), атакже коэффициентов прохождения основной (
$\left|t_{ee}\right|$ – сплошная линия) и кросс-поляризованной компонент ( $\left|t_{eh}\right|$ – штрихпунктирная линия с двумя точками) для метаматериала на основе С-образных элементов с указанными значениями геометрических размеров.

 

Рис. 4. Частотные зависимости модулей коэффициентов прохождения и отражения основной и кросс-поляризованной компонент поля

 

Рис. 5. Частотные зависимости модулей коэффициентов прохождения и отражения основной и кросс-поляризованной компонент поля

 

Рис. 6. Частотные зависимости модулей коэффициентов прохождения и отражения основной и кросс-поляризованной компонент поля

 

Как видно из рис. 4, структура проявляет ярко выраженные частотно-селективные свойства. В диапазоне частот от 3,6 до 4,2 ГГц наблюдается ряд резонансных минимумов модуля коэффициента прохождения. В этом же диапазоне частот модули коэффициента отражения основной и кросс-поляризованной компонент поля, а также модуль коэффициента прохождения кросс-поляризованной компоненты не превосходят 0,2. Самые глубокие резонансные минимумы наблюдаются на частотах 3,9 и 4,17 ГГц. Вблизи этих частот электромагнитное поле концентрируется в слое из КММ на основе совокупности С-образных элементов и структура выполняет роль частотно-селективного концентратора СВЧ-энергии. Как уже отмечалось, подобные эффекты были обнаружены в киральных метаматериалах на основе совокупностей одиночных, многозаходных, составных тонкопроволочных спиральных элементов и полосковых гаммадионов с произвольным числом заходов. Также следует заметить, что даже при нормальном падении плоской электромагнитной волны на слой КММ наблюдается достаточно сильная кросс-поляризация поля как в структуре отраженной, так и в структуре прошедшей волны.

Далее в работе был рассмотрен метаматериал на основе равномерной совокупности хаотически ориентированных С-элементов с увеличенным в два раза радиусом по сравнению с предыдущим случаем. Параметры элемента: $R=0,04$ м, $R-r=0,02$ м, $H=0,1$ м.

Как видно из рис. 5, в исследуемом диапазоне частот наблюдается один резонансный минимум на частоте 4,3 ГГц, на которой модуль коэффициента прохождения основной компоненты поля стремится к нулю. Вблизи этой же частоты модули коэффициента отражения основной и кросс-поляризованной компонент поля, а также модуль коэффициента прохождения кросс-поляризованной компоненты не превосходят 0,2, что соответствует режиму концентрации СВЧ-энергии в слое КММ. Заметим, что по сравнению с предыдущим случаем резонансный минимум вблизи частоты 4,3 ГГц не является очень узким, поэтому концентрация энергии происходит в некотором диапазоне от 4,2 до 4,4 ГГц.

В качестве следующего примера была рассмотрена структура на основе совокупности полосковых С-образных элементов с шириной полоска 2 см. Все элементы были произвольно ориентированы и равномерно размещены на расстоянии 20 см. Толщина слоя метаматериала 10 см. Материал контейнера имеет относительную диэлектрическую проницаемость ${\epsilon }_{c2}=1,5; {\mu }_{c2}=1$  (пенополистирол). Параметры элемента: $R=0,02$ м, $R-r=0,02$ м, $H=0,1$ м. Как следует из приведенных значений, в этом метаматериале расстояние между соседними киральными включениями увеличено вдвое по сравнению с первым рассмотренным метаматериалом.

Как видно из рис. 6, структура проявляет ярко выраженные частотно-селективные свойства. В диапазоне частот от 3,45 до 4,15 ГГц наблюдается значительный ряд резонансных минимумов модуля коэффициента прохождения. В этом же диапазоне частот модули коэффициента отражения основной и кросс-поляризованной компонент поля, а также модуль коэффициента прохождения кросс-поляризованной компоненты не превосходят 0,2. Самые глубокие резонансные минимумы наблюдаются на частотах 3,78 и 3,9 ГГц. Вблизи этих частот электромагнитное поле концентрируется в слое из КММ на основе совокупности С-образных элементов и структура выполняет роль частотно селективного концентратора СВЧ-энергии.

Заключение

В работе рассмотрен пример построения частной математической модели кирального метаматериала на основе равномерной совокупности С-образных элементов, которая учитывает основные свойства: киральность, гетерогенность и дисперсию диэлектрической проницаемости и киральности. В качестве примера использования разработанной модели было проведено решение задачи о падении плоской электромагнитной волны линейной поляризации на планарный слой из исследуемого метаматериала. Показано, что киральный метаматериал на основе совокупности С-образных элементов обладает частотно-селективными свойствами. Доказано, что вблизи ряда дискретных частот метаструктура является непрозрачной и неотражающей для падающего СВЧ-излучения линейной поляризации. В этих частотных диапазонах в метаматериале возникает частотно-селективный эффект, заключающийся в том, что нормально (радиально) падающее СВЧ-поле концентрируется в планарном слое кирального метаматериала. Ранее подобные эффекты были обнаружены в киральных метаматериалах на основе совокупностей одиночных, многозаходных, составных тонкопроволочных спиральных элементов и полосковых гаммадионов с произвольным числом заходов. Также доказано, что эффект частотно-селективной концентрации более выразительно протекает в киральных метаматериалах на основе трехмерных микроэлементов по сравнению с использованием плоских двумерных киральных включений.

Подобный эффект может быть использован для создания частотно-селективных концентраторов (хабов) СВЧ-энергии.

Об авторах

И. Ю Бучнев

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: v.buchnev@psuti.ru

аспирант кафедры высшей математики Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия.

Область научных интересов: электродинамика метаматериалов.

Россия, 443010, Россия, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

Д. С Кушнир

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: d.kushnir@psuti.ru

ассистент кафедры информационных систем и технологий Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия.

Область научных интересов: электродинамика метаматериалов.

Россия, 443010, Россия, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

О. В Осипов

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Email: o.osipov@psuti.ru

доктор физико-математических наук, и.о. заведующего кафедрой высшей математики Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия.

Область научных интересов: электродинамика метаматериалов, устройства СВЧ и антенны, нелинейная оптика.

Россия, 443010, Россия, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

М. А Фролова

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Автор, ответственный за переписку.
Email: m.frolova@psuti.ru

пирант кафедры прикладной информатики Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, г. Самара, Россия.

Область научных интересов: электродинамика метаматериалов.

Россия, 443010, Россия, г. Самара, ул. Л. Толстого, 23

Список литературы

Дополнительные файлы