Spectral solutions for QS with distribution laws in the form of probabilistic mixtures

Full Text

Введение

В исследовании систем G/G/1 важную роль играет метод спектрального решения интегрального уравнения Линдли. Наиболее доступно этот метод на конкретных примерах изложен в классике теории массового обслуживания [1].

Настоящая статья посвящена анализу СМО H₂/HE₂/1, образованные двумя потоками, описываемыми обычными и сдвинутыми вправо от нулевой точки функциями плотностей гиперэкспоненциального и гиперэрланговского законов распределений второго порядка.

В ранних работах авторов доступно показано, что в системах, образованных сдвинутыми законами распределений, при одинаковом коэффициенте загрузки по сравнению с обычными системами среднее время ожидания становится меньше. Это достигается за счет того, что коэффициенты вариации времен поступления c_λ и обслуживания c_μ для сдвинутых законов распределений становятся меньше при вводе параметра сдвига t₀ > 0. Таким образом, операция сдвига закона распределения трансформирует обычные марковские системы массового обслуживания в немарковскую систему G/G/1.

Результаты работ [2–4] в области СМО со сдвинутыми распределениями совместно с [1] позволили развить метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли и на рассматриваемые системы H₂/HE₂/1.

В теории массового обслуживания исследования систем G/G/1 актуальны в связи с тем, что они активно используются в современной теории телетрафика, к тому же нельзя получить решения для таких систем в конечном виде для общего случая. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли в исследовании систем G/G/1 играет важную роль, и большинство результатов в теории массового обслуживания получены именно с помощью данного метода. Одна из форм интегрального уравнения Линдли выглядит так [1]:

$W\left(y\right)=\left\{\begin{array}{l}\underset{-\infty }{\overset{y}{\int }}W\left(y-u\right)dC\left(u\right)\text{,\hspace{1em}}y\ge \text{0};\\ \text{0,\hspace{1em}}y<\text{0},\end{array}\right.$

где $W\left(y\right)$ – функция распределения вероятностей (ФРВ) времени ожидания требования в очереди; $C\left(u\right)=P(\tilde{u}<u)$ – ФРВ случайной величины $\tilde{u}=\tilde{x}-\tilde{t},$ где, в свою очередь, $\tilde{x}$ – случайное время обслуживания требования; $\tilde{t}$ – случайная величина – интервал времени между поступлениями требований.

При кратком изложении метода решения уравнения Линдли будем придерживаться подхода и символики автора [1]. Для этого через $A^{\ast }\left(s\right)$ и $B^{\ast }\left(s\right)$ обозначим преобразования Лапласа функций плотности распределения интервалов между поступлениями и времени обслуживания соответственно. Суть решения интегрального уравнения Линдли методом спектрального разложения состоит в нахождении для выражения $A*(-s)\cdot B*\left(s\right)-1$ представления в виде произведения двух множителей, которое давало бы рациональную функцию от s. Следовательно, для нахождения закона распределения времени ожидания необходимо следующее спектральное разложение:

$A*\left(-s\right)\cdot B*\left(s\right)-1={\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)/{\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right),$

где ${\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)$ и ${\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right)$ – некоторые рациональные функции от s, которые можно разложить на множители. Функции ${\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)$ и ${\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right)$ должны удовлетворять специальным условиям согласно [1].

1. Постановка задачи

В работе ставится задача нахождения решения для среднего времени ожидания требований в очереди в СМО H₂/HE₂/1 и ${\text{H}}_2^{-}/{\text{HE}}_2^{-}/1$ со сдвинутыми гиперэкспоненциальным ${\text{(H}}_2^{-})$ и гиперэрланговским ${\text{(HE}}_2^{-})$ входными распределениями с использованием классического метода спектрального разложения. Для других систем применение этого метода рассмотрено в работах [2–4]. Вопросы аппроксимации законов распределений подробно освещены в [5; 6; 8–10].

2. Решение поставленной задачи

Рассмотрим систему H₂/HE₂/1, образованную гиперэкспоненциальным и гиперэрланговским законами распределения с функциями плотности

$a\left(t\right)=p{\lambda }_1{e}^{-{\lambda }_{1}t}+\left(1-p\right){\lambda }_2{e}^{-{\lambda }_{2}t},$ (1)

$b\left(t\right)=4q{\mu }_1^{2}t{e}^{-2{\mu }_{1}t}+4\left(1-q\right){\mu }_2^{2}t{e}^{-2{\mu }_{2}t}.$ (2)

Законы распределения (1) и (2) являются наиболее общими распределениями неотрицательных непрерывных случайных величин, поскольку обеспечивают широкий диапазон изменения коэффициента вариации.

Преобразования Лапласа функций (1) и (2) имеет вид

$A^{*}\left(s\right)=p\frac{{\lambda }_1}{s+{\lambda }_1}+\left(1-p\right)\frac{{\lambda }_2}{s+{\lambda }_2},$

$B^{*}\left(s\right)=q{\left(\frac{2{\mu }_1}{s+2{\mu }_1}\right)}^2+\left(1-q\right){\left(\frac{2{\mu }_2}{s+2{\mu }_2}\right)}^2.$

Тогда спектральное разложение для системы H₂/HE₂/1 преобразуется как

$\frac{{\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)}{{\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right)}=\left[p\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1-s}+\left(1-p\right)\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_2-s}\right]\times$

$\times \left[\mathrm{q}{\left(\frac{2{\mathrm{\mu }}_1}{2{\mathrm{\mu }}_1+\mathrm{s}}\right)}^2+\left(1-\mathrm{q}\right){\left(\frac{2{\mathrm{\mu }}_2}{2{\mathrm{\mu }}_2+\mathrm{s}}\right)}^2\right]-1.$

Первый сомножитель в правой части в квадратных скобках равен

$\left[p\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1-s}+\left(1-p\right)\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_2-s}\right]=$

$=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2-\left[p{\lambda }_1+\left(1-p\right){\lambda }_2\right]s}{\left({\lambda }_1-s\right)\left({\lambda }_2-s\right)}=\frac{a_0-a_{1}s}{\left({\lambda }_1-s\right)\left({\lambda }_2-s\right)},$

где промежуточные параметры $a_0={\lambda }_1{\lambda }_2, a_1=p{\lambda }_1+(1-p){\lambda }_2.$ Аналогично представим второй сомножитель

$\left[q{\left(\frac{2{\mu }_1}{2{\mu }_1+s}\right)}^2+\left(1-q\right){\left(\frac{2{\mu }_2}{2{\mu }_2+s}\right)}^2\right]=$

$=\frac{\mathrm{q}\left(16{\mathrm{\mu }}_1^2{\mathrm{\mu }}_2^2+16{\mathrm{\mu }}_1^2{\mathrm{\mu }}_2\mathrm{s}+4{\mathrm{\mu }}_1^2{\mathrm{s}}^2\right)}{{\left(2{\mathrm{\mu }}_1+\mathrm{s}\right)}^2{\left(2{\mathrm{\mu }}_2+\mathrm{s}\right)}^2}+$

$\begin{array}{l}+\frac{\left(1-\mathrm{q}\right)\left(16{\mathrm{\mu }}_1^2{\mathrm{\mu }}_2^2+16{\mathrm{\mu }}_1{\mathrm{\mu }}_2^2\mathrm{s}+4{\mathrm{\mu }}_2^2{\mathrm{s}}^2\right)}{{\left(2{\mathrm{\mu }}_1+\mathrm{s}\right)}^2{\left(2{\mathrm{\mu }}_2+\mathrm{s}\right)}^2}=\\ =\frac{{\mathrm{b}}_0+{\mathrm{b}}_1\mathrm{s}+{\mathrm{b}}_2{\mathrm{s}}^2}{{\left(2{\mathrm{\mu }}_1+\mathrm{s}\right)}^2{\left(2{\mathrm{\mu }}_2+\mathrm{s}\right)}^2},\end{array}$

где промежуточные параметры $b_0=16{\mathrm{\mu }}_1^2{\mathrm{\mu }}_2^2,$ $b_1=16{\mathrm{\mu }}_1{\mathrm{\mu }}_2[{\mathrm{q\mu }}_1+(1-q\left){\mathrm{\mu }}_2\right],$ $b_2=4[q{\mathrm{\mu }}_1^2+(1-q\left){\mathrm{\mu }}_2^2\right].$ Тогда искомое выражение для спектрального разложения запишется как

$\frac{{\mathrm{\psi }}_{+}\left(\mathrm{s}\right)}{{\mathrm{\psi }}_{-}\left(\mathrm{s}\right)}=\frac{\left({\mathrm{a}}_0-{\mathrm{a}}_1\mathrm{s}\right)\left({\mathrm{b}}_0+{\mathrm{b}}_1\mathrm{s}+{\mathrm{b}}_2{\mathrm{s}}^2\right)}{\left({\mathrm{\lambda }}_1-\mathrm{s}\right)\left({\mathrm{\lambda }}_2-\mathrm{s}\right){\left(2{\mathrm{\mu }}_1+\mathrm{s}\right)}^2{\left(2{\mathrm{\mu }}_2+\mathrm{s}\right)}^2}-$ (3)

$-\frac{\left({\mathrm{\lambda }}_1-\mathrm{s}\right)\left({\mathrm{\lambda }}_2-\mathrm{s}\right){\left(2{\mathrm{\mu }}_1+\mathrm{s}\right)}^2{\left(2{\mathrm{\mu }}_2+\mathrm{s}\right)}^2}{\left({\mathrm{\lambda }}_1-\mathrm{s}\right)\left({\mathrm{\lambda }}_2-\mathrm{s}\right){\left(2{\mathrm{\mu }}_1+\mathrm{s}\right)}^2{\left(2{\mathrm{\mu }}_2+\mathrm{s}\right)}^2}.$

Многочлен в числителе в правой части разложения (3), как правило, всегда имеет один нуль $s=0$ [1]. В данном случае свободный член разложения также равен 0: $a_0{b}_0-16{\mathrm{\lambda }}_1{\mathrm{\lambda }}_2{\mathrm{\mu }}_1^2{\mathrm{\mu }}_2^2\equiv 0.$

В числителе дроби в правой части разложения получили многочлен шестой степени $-s(s^5-c_4{s}^4-c_3{s}^3-c_2{s}^2-c_{1}s-c_0),$ коэффициенты которого равны:

$c_0=a_0{b}_1-a_1{b}_0+b_0({\lambda }_1+{\lambda }_2)-$ (4)

$-16a_0{\mathrm{\mu }}_1{\mathrm{\mu }}_2({\mathrm{\mu }}_1+{\mathrm{\mu }}_2),$

$\begin{array}{l}{\mathrm{c}}_1={\mathrm{a}}_0{\mathrm{b}}_2-{\mathrm{a}}_1{\mathrm{b}}_1-{\mathrm{b}}_0-4{\mathrm{a}}_0({\mathrm{\mu }}_1^2+{\mathrm{\mu }}_2^2)+\\ +16({\mathrm{\lambda }}_1+{\mathrm{\lambda }}_2)({\mathrm{\mu }}_1+{\mathrm{\mu }}_2){\mathrm{\mu }}_1{\mathrm{\mu }}_2-16{\mathrm{a}}_0{\mathrm{\mu }}_1{\mathrm{\mu }}_2,\end{array}$

$\begin{array}{l}{\mathrm{c}}_2=4({\mathrm{\lambda }}_1+{\mathrm{\lambda }}_2)[{\left({\mathrm{\mu }}_1+{\mathrm{\mu }}_2\right)}^2+2{\mathrm{\mu }}_1{\mathrm{\mu }}_2]-\\ -4({\mathrm{\mu }}_1+{\mathrm{\mu }}_2)({\mathrm{a}}_0+4{\mathrm{\mu }}_1{\mathrm{\mu }}_2)-{\mathrm{a}}_1{\mathrm{b}}_2,\end{array}$

${\mathrm{c}}_3=4({\mathrm{\lambda }}_1+{\mathrm{\lambda }}_2)({\mathrm{\mu }}_1+{\mathrm{\mu }}_2)-4[{({\mathrm{\mu }}_1+{\mathrm{\mu }}_2)}^2+2{\mathrm{\mu }}_1{\mathrm{\mu }}_2]-{\mathrm{a}}_0,$

${\mathrm{c}}_4={\mathrm{\lambda }}_1+{\mathrm{\lambda }}_2-4({\mathrm{\mu }}_1+{\mathrm{\mu }}_2).$

Коэффициенты (4) получены с помощью символьных операций Mathcad, поскольку числитель разложения (3) даже после введения промежуточных параметров содержит 42 слагаемых. Видимо и отсутствие результатов по рассматриваемой системе объясняется большой трудоемкостью выкладок.

Выделим многочлен в числителе разложения (3):

$s^5-c_4{s}^4-c_3{s}^3-c_2{s}^2-c_{1}s-c_0,$ (5)

т. к. определение его корней составляет основную часть метода спектрального разложения.

Исследование многочлена (5) с коэффициентами (4) с использованием формул Виета подтверждает наличие четырех отрицательных действительных корней и одного положительного корня, либо вместо первых – двух отрицательных действительных корней и двух комплексно сопряженных корней с отрицательными вещественными частями. Исследование знака младшего коэффициента многочлена (5) показывает, что $c_0>0$ всегда в случае стабильной системы, когда $0<\mathrm{\rho }<1.$ С учетом знака минус в многочлене перед коэффициентом $c_0,$ формулы Виета не противоречат факту наличия четырех отрицательных корней у многочлена (5).

Обозначив отрицательные корни многочлена (5) либо их отрицательные вещественные части для удобства через $-s_1, -s_2, -s_3, -s_4,$ а положительный корень через $s_5,$ отношение ${\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)/{\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right)$ окончательно можно разложить на следующие множители:

$\frac{{\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)}{{\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right)}=\frac{-s(s+s_1)(s+s_2)(s+s_3)(s+s_4)(s-s_5)}{\left({\lambda }_1-s\right)\left({\lambda }_2-s\right){(2{\mu }_1+s)}^2{(2{\mu }_2+s)}^2}.$ (6)

С учетом специальных условий [1] за функцию ${\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)$ примем

${\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)=\frac{s(s+s_1)(s+s_2)(s+s_3)(s+s_4)}{{(2{\mathrm{\mu }}_1+s)}^2{(2{\mathrm{\mu }}_2+s)}^2},$

т. к. нули многочлена (5): $s=\mathrm{0,} -s_1, -s_2, -s_3, -s_4,$ и двукратные полюсы $s=-2{\text{\hspace{0.17em}μ}}_1, s=-2{\text{μ}}_2$ лежат в области $\text{Re}\left(s\right)\le \mathrm{0,}$ а за функцию ${\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right)$ –

${\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right)=-\frac{\left({\lambda }_1-s\right)\left({\lambda }_2-s\right)}{(s-s_5)},$

т. к. ее нули и полюс лежат в области $\text{Re}\left(\text{s}\right)<D.$

Далее по методике спектрального разложения определим постоянную

$K=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)}{s}=\frac{s_1{s}_2{s}_3{s}_4}{16{\mathrm{\mu }}_1^2{\mathrm{\mu }}_2^2}.$

Постоянная K определяет вероятность того, что поступающее в систему требование застает ее свободной. Через функцию ${\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)$ и постоянную K определим преобразование Лапласа ФРВ времени ожидания $W\left(y\right)\text{:}$

${\mathrm{\Phi }}_{+}\left(s\right)=\frac{K}{{\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)}=$

$=\frac{s_1{s}_2{s}_3{s}_4{\left(s+2{\mathrm{\mu }}_1\right)}^2{\left(s+2{\mathrm{\mu }}_2\right)}^2}{16s{\mathrm{\mu }}_1^2{\mathrm{\mu }}_2^2\left(s+s_1\right)\left(s+s_2\right)\left(s+s_3\right)\left(s+s_4\right)}.$

Тогда преобразованием Лапласа для функции плотности времени ожидания будет функция $s\cdot {\mathrm{\Phi }}_{+}\left(s\right),$ т. е.

${\mathrm{W}}^{*}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{{\mathrm{s}}_1{\mathrm{s}}_2{\mathrm{s}}_3{\mathrm{s}}_4{\left(\mathrm{s}+2{\mathrm{\mu }}_1\right)}^2{\left(\mathrm{s}+2{\mathrm{\mu }}_2\right)}^2}{16{\mathrm{\mu }}_1^2{\mathrm{\mu }}_2^2\left(\mathrm{s}+{\mathrm{s}}_1\right)\left(\mathrm{s}+{\mathrm{s}}_2\right)\left(\mathrm{s}+{\mathrm{s}}_3\right)\left(\mathrm{s}+{\mathrm{s}}_4\right)}.$ (7)

Искомое среднее время ожидания в очереди равно значению производной от преобразования Лапласа (9) функции плотности со знаком минус в точке $s=0\text{:}$

${\left.-\frac{dW*\left(s\right)}{ds}\right|}_{s=0}=\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}+\frac{1}{s_4}-\frac{1}{{\mu }_1}-\frac{1}{{\mu }_2}.$

Окончательно, среднее время ожидания в очереди для СМО H₂/HE₂/1

$\overline{W}=\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}+\frac{1}{s_4}-\frac{1}{{\mu }_1}-\frac{1}{{\mu }_2}.$ (8)

Из выражения (7) при необходимости также можно определить моменты высших порядков для времени ожидания. Вторая производная от преобразования (7) в точке дает второй начальный момент времени ожидания, что позволяет определить дисперсию времени ожидания. Учитывая определение джиттера в телекоммуникациях как разброс времени ожидания вокруг его среднего значения [7], тем самым получим возможность определения джиттера через дисперсию. Это является важным результатом для анализа трафика, чувствительного к задержкам.

Теперь перейдем к исследованию системы H₂/HE₂/1 со сдвинутыми входными распределениями, т. е. к системе с запаздыванием во времени. Такую систему, в отличие от обычной системы, обозначим ${\text{H}}_2^{-}/{\text{HE}}_2^{-}/1.$ Для этого введем в рассмотрение функции плотности распределения интервалов входного потока и времени обслуживания:

$a\left(t\right)=p{\lambda }_1{e}^{-{\lambda }_1(t-t_0)}+\left(1-p\right){\lambda }_2{e}^{-{\lambda }_2(t-t_0)},$ (9)

$b\left(t\right)=4q{\mu }_1^2(t-t_0)e^{-2{\mu }_1(t-t_0)}+$ (10)

$+4\left(1-q\right){\mu }_2^2(t-t_0)e^{-2{\mu }_2(t-t_0)}.$

Функции плотности (9) и (10) являются сдвинутыми вправо от нулевой точки на величину $t_0>0$ гиперэкспоненциальным и гиперэрланговским распределениями второго порядка. Для нахождения среднего времени ожидания в очереди для этой системы докажем следующее утверждение.

Утверждение. Спектральные разложения $A*(-s)\cdot B*\left(s\right)-1={\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)/{\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right)$ для систем ${\text{H}}_2^{-}/{\text{HE}}_2^{-}/1$ и H₂/HE₂/1 полностью совпадают и имеют вид (6).

Доказательство. Для системы ${\text{H}}_2^{-}/{\text{HE}}_2^{-}/1$ спектральное разложение будет иметь вид

$\frac{{\mathrm{\psi }}_{+}\left(s\right)}{{\mathrm{\psi }}_{-}\left(s\right)}=[p\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1-s}+\left(1-p\right)\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_2-s}]e^{t_{0}s}\times$

$\times [q{\left(\frac{2{\mathrm{\mu }}_1}{2{\mathrm{\mu }}_1+s}\right)}^2+\left(1-q\right){\left(\frac{2{\mathrm{\mu }}_2}{2{\mathrm{\mu }}_2+s}\right)}^2]e^{-t_{0}s}-1=$

$\begin{array}{l}=[p\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1-s}+\left(1-p\right)\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_2-s}]\times \\ \times [q{\left(\frac{2{\mu }_1}{2{\mu }_1+s}\right)}^2+\left(1-q\right){\left(\frac{2{\mu }_2}{2{\mu }_2+s}\right)}^2]-1.\end{array}$

У экспонент показатели степени с противоположными знаками обнуляются, и операция сдвига тем самым нивелируется. Таким образом, спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для двух рассматриваемых систем совпадают. Утверждение доказано.

Следствие. Расчетное выражение для среднего времени ожидания для системы со сдвинутыми распределениями будет иметь точно такой же вид, как у системы с обычными распределениями, но с измененными параметрами вследствие проведения операции сдвига во времени [2–4].

Теперь определим числовые характеристики, а через них – неизвестные параметры распределений (9) и (10) методом моментов. Для этого запишем их преобразования Лапласа:

$A^{*}\left(s\right)=[p\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+s}+\left(1-p\right)\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_2+s}]e^{-t_{0}s},$

$B^{*}\left(s\right)=[q{\left(\frac{2{\mu }_1}{2{\mu }_1+s}\right)}^2+\left(1-q\right){\left(\frac{2{\mu }_2}{2{\mu }_2+s}\right)}^2]e^{-t_{0}s}.$

Первая производная функции $A^{\ast }\left(s\right)$ со знаком минус в точке $s=0$ дает значения среднего интервала поступления требований

${\overline{\tau }}_{\lambda }=p{\lambda }_1^{-1}+(1-p){\lambda }_2^{-1}+t_0,$ (11)

а вторая производная дает второй начальный момент этого интервала

$\overline{{\tau }_{\lambda }^2}=t_0^2+2t_0[\frac{p}{{\lambda }_1}+\frac{(1-p)}{{\lambda }_2}]+2[\frac{p}{{\lambda }_1^2}+\frac{(1-p)}{{\lambda }_2^2}].$ (12)

Тогда квадрат коэффициента вариации интервала поступлений будет равен

$c_{\lambda }^2=\frac{\left[\right(1-p^2){\lambda }_1^2-2{\lambda }_1{\lambda }_{2}p(1-q)+p(2-p\left){\lambda }_2^2\right]}{{[t_0{\lambda }_1{\lambda }_2+(1-p){\lambda }_1+p{\lambda }_2]}^2}.$ (13)

Поступив аналогично с распределением (10), определим соответствующие характеристики для времени обслуживания.

${\overline{\tau }}_{\mu }=q{\mu }_1^{-1}+(1-q){\mu }_2^{-1}+t_0,$ (14)

$\overline{{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{\mu }}^2}={\mathrm{t}}_0^2+2{\mathrm{t}}_0[\frac{\mathrm{q}}{{\mathrm{\mu }}_1}+\frac{(1-\mathrm{q})}{{\mathrm{\mu }}_2}]+\frac{3}{2}[\frac{\mathrm{q}}{{\mathrm{\mu }}_1^2}+\frac{(1-\mathrm{q})}{{\mathrm{\mu }}_2^2}],$ (15)

${\mathrm{c}}_{\mathrm{\mu }}^2=\frac{{\mathrm{\mu }}_1^2-2{\mathrm{q\mu }}_2({\mathrm{\mu }}_1-{\mathrm{\mu }}_2)+\mathrm{q}(1-2\mathrm{q}){({\mathrm{\mu }}_1-{\mathrm{\mu }}_2)}^2}{2{[{\mathrm{t}}_0{\mathrm{\mu }}_1{\mathrm{\mu }}_2+(1-\mathrm{q}){\mathrm{\mu }}_1+{\mathrm{q\mu }}_2]}^2}.$ (16)

Механизм определения параметров распределений (1), (2), (9) и (10) как с использованием двух первых начальных моментов, так и с использованием трех начальных моментов подробно изложен в [3] и [4] соответственно. Здесь же приведем готовые выражения для этих параметров. Для распределения (9) неизвестные параметры находим по выражениям:

$p=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{{({\overline{\tau }}_{\lambda }-t_0)}^2}{2[{({\overline{\tau }}_{\lambda }-t_0)}^2+c_{\lambda }^2{\overline{\tau }}_{\lambda }^2]}},$

${\lambda }_1=2p/({\overline{\tau }}_{\lambda }-t_0), {\lambda }_2=2(1-p)/({\overline{\tau }}_{\lambda }-t_0),$

а для распределения (10) –

$q=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}-\frac{3{({\overline{\tau }}_{\mu }-t_0)}^2}{8[{({\overline{\tau }}_{\mu }-t_0)}^2+c_{\mu }^2{\overline{\tau }}_{\mu }^2]}},$

${\mu }_1=2q/({\overline{\tau }}_{\mu }-t_0), {\mu }_2=2(1-q)/({\overline{\tau }}_{\mu }-t_0).$

Из этих выражений следует, что параметр сдвига ограничен условием $t_0<{\overline{\mathrm{\tau }}}_{\mathrm{\mu }}<{\overline{\mathrm{\tau }}}_{\mathrm{\lambda }}.$ Кроме того, область применимости системы ${\text{H}}_2^{-}/{\text{HE}}_2^{-}/1$ определяется не отрицательностью двух подкоренных выражений для p и q.

Алгоритм расчета среднего времени ожидания при заданных входных параметрах ${\overline{\mathrm{\tau }}}_{\mathrm{\lambda }}, {\overline{\mathrm{\tau }}}_{\mathrm{\mu }}, {\mathrm{c}}_{\mathrm{\lambda }}, {\mathrm{c}}_{\mathrm{\mu }}, {\mathrm{t}}_0$ сводится к последовательному определению неизвестных параметров распределений (9) и (10). Далее определяем коэффициенты многочлена (5) по приведенным выше выражениям (4) и находим нужные корни с отрицательными вещественными частями $-s_1, -s_2, -s_3, -s_4.$ Подставив абсолютные значения этих корней в выражение (8), определяем среднее время ожидания. Наличие таких корней обусловлено существованием и единственностью спектрального разложения. Проведенные многочисленные эксперименты только подтверждают данный факт.

3. Результаты вычислительных экспериментов

В табл. 1 и 2 приведены данные расчетов в пакете Mathcad для обычной системы H₂/HE₂/1 и системы с запаздыванием ${\text{H}}_2^{-}/{\text{HE}}_2^{-}/1$ для случаев малой, средней и высокой нагрузки $\mathrm{\rho }=\mathrm{0,1};$ 0,5; 0,9 для широкого диапазона изменения коэффициентов вариаций $c_{\lambda }, c_{\mu }$ и параметра сдвига $t_0.$ Результаты для обычной системы сравниваются с данными для близкой системы H₂/H₂/1. Прочерки в табл. 1 означают, что при таких значениях параметров система H₂/HE₂/1 неприменима. Результаты для системы с запаздыванием ${\text{H}}_2^{-}/{\text{HE}}_2^{-}/1$ сравниваются с результатами для обычной системы. Коэффициент загрузки в обеих таблицах определяется отношением средних интервалов $\mathrm{\rho }={\overline{\mathrm{\tau }}}_{\mathrm{\mu }}/{\overline{\mathrm{\tau }}}_{\mathrm{\lambda }}.$ В расчетах использовано нормированное время обслуживания ${\overline{\mathrm{\tau }}}_{\mathrm{\mu }}=1.$

 

Таблица 1. Результаты экспериментов для системы H₂/HE₂/1

Table 1. Experimental results for the H₂/HE₂/1 system

Входные параметры Input parameters		Среднее время ожидания Average waiting time
ρ	$(c_{\lambda },c_{\mu })$	СМО QS Н2/НE2/1	СМО QS H2/H2/1
0,1	(1; 0,71)	0,086	–
	(1;1)	0,111	0,111
	(2;2)	0,446	0,445
	(4;4)	1,791	1,779
	(8;8)	7,173	7,112
0,5	(1; 0,71)	0,755	–
	(1;1)	1,000	1,000
	(2;2)	4,043	4,044
	(4;4)	16,235	16,129
	(8;8)	64,844	64,178
0,9	(1; 0,71)	6,771	–
	(1;1)	9,075	9,000
	(2;2)	36,169	36,200
	(4;4)	144,773	144,833
	(8;8)	577,875	577,861

 

Таблица 2. Результаты экспериментов для системы ${\mathbf{\text{H}}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{-}}\mathbf{/}{\mathbf{\text{HE}}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{-}}\mathbf{/}\mathbf{1}$

Table 2. Experimental results for the ${\mathbf{\text{H}}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{-}}\mathbf{/}{\mathbf{\text{HE}}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{-}}\mathbf{/}\mathbf{1}$ system

Входные параметры Input parameters		Среднее время ожидания Average waiting time
$(c_{\lambda },c_{\mu })$	$(c_{\lambda },c_{\mu })$	СМО QS ${\text{H}}_{\text{2}}^{-}/{\text{HE}}_{\text{2}}^{-}/1$			СМО QS H2/HE2/1
		t0 = 0,99	t0 = 0,5	t0 = 0,01
0,1	(1;0,71)	0,03	0,04	0,09	0,09
	(1;1)	0,06	0,07	0,11	0,11
	(2;2)	0,23	0,36	0,44	0,45
	(4;4)	0,93	1,56	1,79	1,79
	(8;8)	3,74	6,38	7,16	7,17
0,5	(1;0,71)	0,26	0,48	0,75	0,76
	(1;1)	0,51	0,75	0,99	1,00
	(2;2)	2,04	3,15	4,03	4,04
	(4;4)	8,15	12,73	16,17	16,24
	(8;8)	32,62	51,07	64,58	64,84
0,9	(1;0,71)	2,49	6,00	6,77	6,77
	(1;1)	4,73	8,29	9,06	9,08
	(2;2)	18,92	33,20	36,14	36,17
	(4;4)	75,69	123,39	144,63	144,77
	(8;8)	302,78	528,43	577,29	577,88

 

Результаты для систем H₂/HE₂/1 и H₂/H₂/1 совпадают до целых частей, но при этом диапазон параметров обслуживания для первой системы шире, чем для второй.

Система ${\text{H}}_2^{-}/{\text{HE}}_2^{-}/1$ применима и для малых значений коэффициентов вариаций, в частности, при $\mathrm{\rho }=\mathrm{0,9}$ $c_{\lambda }=c_{\mu }=\mathrm{0,2}$ и $t_0=\mathrm{0,99}$ среднее время ожидания составляет всего $\overline{W}=\mathrm{0,187}$ единицы времени. Таким образом, диапазон изменения параметров для системы ${\text{H}}_2^{-}/{\text{HE}}_2^{-}/1$ гораздо шире, чем у обычной системы H₂/HE₂/1.

Заключение

По результатам работы можно сделать следующие выводы.

Как и следовало ожидать, уменьшение коэффициентов вариации $c_{\text{λ}}$ и $c_{\text{μ}}$ за счет введения параметра сдвига $t_0>0$ в законы распределений входного потока и времени обслуживания, влечет за собой заметное уменьшение среднего времени ожидания в системах с запаздыванием. Тем самым, мы расширяем область применимости системы H₂/HE₂/1 в теории телетрафика.

Научная новизна полученных результатов заключается в том, что получено спектральное разложение решения интегрального уравнения Линдли для рассматриваемых систем и с его помощью выведена расчетная формула для среднего времени ожидания в очереди для этой системы в замкнутой форме. Данные численных экспериментов подтверждают полную адекватность полученных теоретических результатов.

Практическое значение работы заключается в том, что полученные результаты с успехом могут быть применены в современной теории телетрафика, где задержки пакетов входящего трафика играют первостепенную роль. Для этого необходимо знать числовые характеристики интервалов входящего трафика и времени обслуживания на уровне двух первых моментов, что не вызывает трудностей при использовании современных анализаторов трафика.

About the authors

Veniamin N. Tarasov

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Author for correspondence.
Email: v.tarasov@psuti.ru
ORCID iD: 0000-0002-9318-0797
SPIN-code: 5520-9394
ResearcherId: O-5949-2015

Doctor of Technical Sciences, professor, head of the Department of Management in Technical Systems

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

Nadezhda F. Bakhareva

Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics

Email: n.bakhareva@psuti.ru
ORCID iD: 0000-0002-9850-7752

Doctor of Technical Sciences, professor, head of the Department of Computer Science and Computer Engineering

Russian Federation, 23, L. Tolstoy Street, Samara, 443010

References

Supplementary files