Dynamic analysis of the perturbed motion of the Earth’s pole

1. Введение. Уточнение моделей вращательного движения Земли относительно центра масс и движение ее полюса является важной задачей для навигации и геофизики [1, 2]. Так, например, движение земного полюса необходимо учитывать для достижения высокой точности навигации космических аппаратов [3].

Современные астрометрические методы измерений параметров ориентации Земли в космическом пространстве позволяют выявлять вариации во вращении Земли с весьма малыми амплитудами [1]. При этом ряд колебательных эффектов, которые обнаруживаются при анализе данных наблюдений, не имеют объяснений в теории вращения Земли.

В движении земного полюса, как известно ­[4–7], выделяются основные составляющие – чандлеровское и годичное колебания, долгопериодический тренд, а также нерегулярные колебания, в том числе стохастического характера [8].

Анализ данных о движении земного полюса позволяет установить, что параметры основных колебаний полюса подвержены значимым долгопериодическим вариациям с 18-летней периодичностью прецессии орбиты Луны, имею­щей достаточно стабильные частоту и фазу. При этом интенсивность (амплитуда) этих вариаций оказывается непостоянной. Это позволяет заключить о сложности динамических процессов, происходящих в системе Земля–Луна–Солнце, так как указывает на регулярную астрономическую природу возмущений этих колебаний и вовлеченность в процесс геофизических сред.

Данной теме посвящен ряд научных работ. Например, в исследованиях ­[9–13] устанавливается взаимосвязь вариаций амплитуды и фазы чандлеровской компоненты с геофизическими процессами в атмосфере и океанах, рассматриваются вопросы о связи пространственного движения лунной орбиты с чандлеровским колебанием, обсуждается синхронизация чандлеровского колебания с 18-летним приливным циклом. В работах ­[14–16] с помощью обработки и анализа данных наблюдений и измерений о движении земного полюса Международной службы вращения Земли (МСВЗ) [1] показано наличие колебательного процесса, синфазного с прецессионным движением орбиты Луны. Однако вопросы о синхронизации колебаний полюса с прецессией лунной орбиты и о влиянии Луны на его колебательный процесс в научной литературе описываются достаточно редко и объяснения пока не находят.

В данной работе рассматривается вращение Земли в гравитационном поле Луны и Солнца в рамках пространственного варианта задачи “деформируемая планета–спутник” в поле притягивающего центра. Для модели вязкоупругой Земли, состоящей из абсолютно твердой части (“ядра”) и вязкоупругой оболочки (“мантии”), подчиняющейся реологической модели Кельвина–Фойгта, найдены малые вариации центробежных моментов инерции с комбинационной структурой. Эти вариации обусловлены долгопериодическим возмущением от Луны с 18-летним периодом прецессии ее орбиты, а также квазипериодическим смещением оси вращения в теле Земли. С помощью численного интегрирования дифференциальных уравнений движения земного полюса показано, что найденная структура вариаций центробежных моментов инерции приводит к колебаниям амплитуд чандлеровской и годичной гармоник с периодом 18 лет.

2. Вариации амплитуды чандлеровской и годичной компонент. Ранее в работах [14, 15] с помощью численной обработки данных наблюдений и измерений МСВЗ колебаний земного полюса было показано, что основное движение полюса (сложение чандлеровской и годичной компонент) включает в себя колебательный процесс, согласованный с прецессионным движением плоскости лунной орбиты вокруг нормали к плоскости эклиптики. Более точно можно утверждать о наличии вариаций амплитуд чандлеровской и годичной гармоник, синфазных с колебаниями угла наклона плоскости лунной орбиты к плоскости земного экватора.

Так, из обработки данных C01 МСВЗ с помощью ряда несложных преобразований, основанных на фильтрации данных и преобразований типа “поворот” и “сдвиг” (согласно [14]), выделяются вариации амплитуд чандлеровской и годичной компонент. На рис. 1 приводятся вариации амплитуд $a_{ch}$, $a_h$, построенных согласно методике, предложенной в работе [15]. Эти вариации сравниваются с главной гармоникой, выделенной из колебаний угла наклона плоскости лунной орбиты к земному экватору.

Рис. 1. Вариации амплитуд $a_{ch}$, $a_h$ чандлеровской и годичной компонент соответственно, измеряемые в угловых миллисекундах. По оси абсцисс отложены годы.

Наличие колебаний с частотой прецессии орбиты Луны в амплитудах $a_{ch}$, $a_h$, как было показано в работе [14], обуславливают наличие этой гармоники в движении полюса в системе ( ${\xi }_p$, ${\eta }_p$ ), переход к которой задается преобразованием:

 $\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{\xi }_p\\ {\eta }_p\end{array}\right)=\Pi (w_2-w_1)\left[\Pi (w_1)\left(\begin{array}{c}x-c_x\\ y-c_y\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ 0\end{array}\right)\right]\\ w_2=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{w}_h,& \begin{array}{cc}åñëè& a_h<a_{ch}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{w}_{ch},& \begin{array}{cc}åñëè& a_{ch}<a_h\end{array}\end{array}\end{array}\right.\\ w_1=\left\{\begin{array}{c}\begin{array}{cc}{w}_{ch},& \begin{array}{cc}åñëè& a_h<a_{ch}\end{array}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{w}_h,& \begin{array}{cc}åñëè& a_{ch}<a_h\end{array}\end{array}\end{array}\right.\\ \begin{array}{cc}{\dot{w}}_h=\nu {\omega }_{*},& {\dot{w}}_{ch}=N{\omega }_{*}\end{array}.\end{array}$ (2.1)

Здесь $\Pi (\alpha )$ – матрица плоского поворота на угол $\alpha$; $a_0$ – среднее значение амплитуды колебаний полюса при его движении вокруг “средней точки” за 6-летний цикл (без трендовой составляющей); $c_x$, $c_y$ задают положение “средней точки” полюса и содержат константы, вековые слагаемые и вариации с периодами более шести лет; $a_{ch}$, $a_h$ – амплитуды чандлеровской и годичной гармоник с фазами $w_{ch}$, $w_h$, соответственно; $N\cong 0.843$, $\nu =1$ – чандлеровская и годичная частоты, измеряемые в циклах/год; ${\omega }_{*}$ – среднее движение барицентра системы Земля–Луна по орбите вокруг Солнца; ${\dot{w}}_2-{\dot{w}}_1=\pm {\nu }_T{\omega }_{*}$ – частота шестилетней цикличности движения полюса.

Преобразование (2.1) координат полюса показывает наличие возмущений в амплитудной модуляции чандлеровской и годичной компонент, среди которых выделяется и гармоника с периодом прецессии лунной орбиты. Если выполнить обратное к (2.1) преобразование движения полюса к исходной земной системе координат ( $x$, $y$ ), то указанная гармоника с частотой $\dot{\Omega }=0.05373$ циклов в год перейдет в более высокочастотную спектральную область (в интервале 0.79–1.055 цикл/год) и произойдет ее расщепление на комбинационные гармоники с частотами $\nu \pm \dot{\Omega }$, $N\pm \dot{\Omega }$. Это соответствует умножению вариаций амплитуд на гармоники с основными частотами. На рис. 2 построен амплитудный спектр координат $x$, $y$ полюса (пунктирная линия – для x, сплошная – для y), где вертикальными пунктирами отмечены соответствующие гармоники. Следует заметить, что спектральные “пики” на этих частотах достаточно расширены. Как отмечалось в работе [15], это обстоятельство обусловлено в первую очередь нестационарным характером их амплитуд, в то время как частоты и фазы достаточно стабильны. Последнее указывает на регулярную природу возмущений этих колебаний, а размытость пиков в спектре – на вовлеченность геофизических процессов в формирование колебаний амплитуд основных компонент колебаний полюса.

Рис. 2. Амплитудный спектр координат $x$, $y$ полюса, измеряемый в угловых миллисекундах (пунктирная линия – для x, сплошная – для y), где вертикальными пунктирами отмечены основные гармоники. По оси абсцисс отложено время, измеряемое в циклах за год.

3. Приливные деформации в системе Земля–Луна. Для исследования динамики колебательного движения полюса под действием гравитационно-приливного возмущающего момента рассматривается следующая модельная задача. Деформируемая планета (Земля) и точечный спутник (Луна) совершают взаимное поступательно-вращательное движение вокруг общего центра масс (барицентра), который перемещается по эллиптической орбите вокруг Солнца. Введем Кенигову систему координат $C{\xi }_1{\xi }_2{\xi }_3$ с началом в центре масс Земли, а ось $C{\xi }_3$ ортогональна плоскости эклиптики (плоскости орбиты барицентра системы Земля–Луна) ­[17–19].

Для идентификации структуры возмущающего момента, приводящего к вариациям параметров движения полюса, синфазных с прецессионным движением орбиты Луны, можно рассмотреть случай круговой орбиты. Тогда орт $R^0$ радиус-вектора $R$ Луны относительно центра масс Земли в системе координат $C{\xi }_1{\xi }_2{\xi }_3$ задается в виде:

 $\begin{array}{c}{R}^0={\Gamma }_3\left(h\right){\Gamma }_1\left(i\right){\left(\cos \vartheta ,\sin \vartheta \mathrm{,0}\right)}^T\\ \begin{array}{cc}{\Gamma }_1(i)=diag(\mathrm{1,}{\Pi }_2(i)),& {\Gamma }_3(h)=diag({\Pi }_2(h)\mathrm{,1})\end{array}.\end{array}$                                                  (3.1)

Матрицы ${\Gamma }_{\mathrm{1,3}}$ в (3) – блочно-диагональные, ${\Pi }_2$ – матрица плоского поворота. Угловые переменные $h$, i и $\vartheta$ суть долгота восходящего узла на плоскости $C{\xi }_1{\xi }_2$, наклонение плоскости лунной орбиты к эклиптике и истинная аномалия соответственно.

Следуя подходу, рассмотренному в работе [19], модель Земли в грубом приближении представим как вязкоупругое твердое тело, состоящее из абсолютно твердой внутренней части (ядра) и вязкоупругой мантии, подчиняющейся реологической модели Кельвина–Фойгта. Также будем предполагать отсутствие относительных перемещений точек подвижной среды на границе между ядром и мантией, а внешнюю границу положим свободной. Вследствие предположения о малости деформаций мантии Земли процесс деформирования рассматривается в квазистатическом приближении. Эти допущения позволяют с помощью методов теоретической механики и теории возмущений [17] достаточно просто получить аналитические выражения для упругих деформаций, а также для главного центрального тензора инерции $J$ деформируемой Земли.

Связанная с твердым ядром земная система координат представляет собой декартову систему $C{x}_1{x}_2{x}_3$, оси которой направим по главным центральным осям инерции “замороженной” Земли (в недеформированном состоянии), а точку $C$ совместим с ее центром масс.

В связанной системе координат орт $R^0$ определяется следующим образом:

 $\begin{array}{c}{S}^{-1}{R}^0={\left({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3\right)}^T\\ S^{-1}={\Gamma }_3^{-1}({\phi }_1){\Gamma }_1^{-1}({\delta }_2){\Gamma }_3^{-1}({\phi }_2){\Gamma }_1^{-1}({\delta }_1){\Gamma }_3^{-1}({\phi }_3).\end{array}$                                                  (3.2)

Здесь ортогональная матрица $S=S(t)$ ( $S^{-1}=S^T$ ) задает переход от связанных осей к осям Кениговой системы и выражается посредством канонических переменных Андуайе [19]: моментов импульсов $L,G,G_{{\xi }_3}$ и угловых переменных ${\phi }_1$, ${\phi }_2$, ${\phi }_3$. Углы ${\delta }_1$, ${\delta }_2$ определяются следующими соотношениями (рис. 3):

 $\begin{array}{cc}\cos {\delta }_1=\frac{G_{{\xi }_3}}{G},& \cos {\delta }_2=\frac{L}{G}\end{array}$,                  (3.3)

где $G$ – модуль кинетического момента Земли, L – проекция вектора G на ось $x_3$, $G_{{\xi }_3}$ – проекция вектора $G$ на ось ${\xi }_3$.

Рис. 3. Взаимная ориентация земной системы координат $C{x}_1{x}_2{x}_3$ и системы координат Кенига $C{\xi }_1{\xi }_2{\xi }_3$ и переменные Андуайе.

В полярных координатах траектория движения полюса может быть выражена через углы ${\phi }_1$, ${\delta }_2$. В декартовой системе координат эти углы можно выразить через координаты x, y, а также их средние значения $c_x$, $c_y$:

         $\begin{array}{l}x-c_x={\delta }_2\cos {\phi }_1\\ y-c_y=-{\delta }_2\sin {\phi }_1.\end{array}$                        (3.4)

Потенциальная энергия Земли в гравитационном поле Луны определяется выражением [19]:

 $\begin{array}{l}\Pi =-\frac{m_1{m}_{2}f}{R}+f{m}_1{R}^{-3}\left[\frac{1}{2}\left(A-C\right)\left(1-3{\gamma }_3^2\right)+U\right]\\ U={\displaystyle \underset{{\Omega }^{*}}{\int }\tilde{\rho }\left[\left(r,u\right)-3\left(O^{-1}{R}^0,r\right)\left(O^{-1}{R}^0,u\right)\right]}dx,\end{array}$                                               (3.5)

где f – постоянная тяготения, $\tilde{\rho }$ – плотность вязкоупругой части, ${\Omega }^{*}$ – область, занимаемая мантией Земли, масса Луны $m_1=\mathrm{7,36}\times {10}^{22}$ кг, масса Земли $m_2=\mathrm{5,98}\times {10}^{24}$ кг, A, C – осевые моменты инерции Земли в недеформированном состоянии, $u$ – вектор упругого смещения частицы среды, занимавшей положение $r$ относительно $C{x}_1{x}_2{x}_3$. Радиус-вектор $R$, соединяю­щий центры масс Земли и Луны имеет вид $R=R{R}^0$, где $R=\mathrm{384,4}\times {10}^6$ м.

Следуя [20], вектор перемещения $u$ представим в виде ряда по собственным формам упругих колебаний Земли:

 $u={\displaystyle \sum _{k,i=0}^{\infty }\left(q_{ki}\left(t\right)V_{ki}\left(r\right)+p_{ki}\left(t\right)W_{ki}\left(r\right)\right)}$, (3.6)

где величины $q_{ki},p_{ki}$ – нормальные координаты, а векторы $V_{ki}$, $W_{ki}$ – собственные формы:

$\begin{array}{c}{V}_{km}(\rho ,\phi ,z)=(U_{km}(\rho ,z\text{})\sin k\phi ,V_{km}(\rho ,z\text{})\cos k\phi ,W_{km}(\rho ,z\text{})\sin k\phi )\\ W_{km}(\rho ,\phi ,z)=(U_{km}(\rho ,z\text{})\cos k\phi ,-V_{km}(\rho ,z\text{})\sin k\phi ,W_{km}(\rho ,z\text{})\cos k\phi ).\end{array}$

Здесь через $U_{km}(\rho ,z\text{})$, $V_{km}(\rho ,z\text{})$, $W_{km}(\rho ,z\text{})$ обозначены коэффициенты в выражениях координат собственных форм. Тогда вариации центробежных моментов инерции выражаются через нормальные координаты следующим образом:

 $\begin{array}{c}{J}_{13}=J_{31}=p_{1m}{\displaystyle \underset{{\Omega }^{*}}{\int }\tilde{\rho }{r}^2{W}_{1m}drdz}\\ J_{23}=J_{32}=q_{1m}{\displaystyle \underset{{\Omega }^{*}}{\int }\tilde{\rho }{r}^2{W}_{1m}drdz}.\end{array}$          (3.7)

В (3.7) интегралы записаны в цилиндрической системе координат после интегрирования по угловой координате $\phi$.

Координаты $p_{1m}$, $q_{1m}$ определим из уравнений деформаций, которые, согласно [19, 20], можно представить в виде:

    $\begin{array}{c}\mathbf{D}(\mathbf{Q}+\chi b\dot{\mathbf{Q}})=\mathbf{P},\mathbf{Q}={(p_{0m}, q_{1m}, p_{1m}, q_{2m}, p_{2m})}^T\\ \mathbf{D}=\text{diag}({\nu }_{0m}^2,{\nu }_{1m}^2,{\nu }_{1m}^2,{\nu }_{2m}^2,{\nu }_{2m}^2)\\ \mathbf{P}=\left(\mu R^{-3}\right(1-{\gamma }_3^2)c_{0m11}-\mu R^{-3}(1-{\gamma }_3^2)c_{0m33}\mathrm{,3}\mu R^{-3}{\gamma }_2{\gamma }_3\left(b_{1m32}+b_{1m23}\right)\\ 3\mu R^{-3}{\gamma }_1{\gamma }_3\left(b_{1m32}+b_{1m23}\right)\mathrm{,6}\mu R^{-3}{\gamma }_1{\gamma }_2{b}_{2m12}\mathrm{,3}\mu R^{-3}({\gamma }_1^2-{\gamma }_2^2)b_{2m12}{)}^T\\ \begin{array}{cc}{c}_{0mii}=\underset{{\Omega }^{*}}{\int }{W}_{0mi}{x}_{i}dx,& b_{kmij}=\underset{{\Omega }^{*}}{\int }{W}_{kmi}{x}_{j}dx\end{array}.\end{array}$, (3.8)

Здесь $\mu =f{m}_1$ – гравитационный параметр Луны; ${\nu }_{im}^2$ – квадрат частоты собственных колебаний, которая соответствует формам $V_{im},W_{im}$; постоянные коэффициенты $c_{0m11}$, $c_{0m33}$, $b_{1m32}$, $b_{1m23}$, $b_{1m12}$ определяются фигурой Земли; $\chi$ – безразмерный диссипативный коэффициент $\chi <<1$; b – положительная константа, такая что $\chi b$ – время релаксации.

Тогда уравнения для определения $p_{1m}$, $q_{1m}$ будут иметь вид:

 $\begin{array}{c}{\nu }_{1m}^2{q}_{1m}+\chi b{\nu }_1^2{\dot{q}}_{1m}=3\mu R^{-3}{\gamma }_2{\gamma }_3\left(b_{1m32}+b_{1m23}\right)\\ {\nu }_{1m}^2{p}_{1m}+\chi b{\nu }_1^2{\dot{p}}_{1m}=3\mu R^{-3}{\gamma }_1{\gamma }_3\left(b_{1m32}+b_{1m23}\right).\end{array}$                                                 (3.9)

Но поскольку:

$\pi {\displaystyle \underset{{\Omega }^{*}}{\int }\tilde{\rho }{r}^2{W}_{1m}drdz=b_{1m32}=c_{1m31}}$

$\frac{\pi }{2}{\displaystyle \underset{{\Omega }^{*}}{\int }\tilde{\rho }{r}^2(U_{2m}+V_{2m})drdz=b_{2m12}=b_{2m21}=c_{2m11}=c_{2m22}}$,

то центробежные моменты инерции (3.7) запишем в виде:

 $\begin{array}{c}{J}_{13}=J_{31}=\tilde{\rho }2b_{1m32}{p}_{1m}\\ J_{23}=J_{32}=\tilde{\rho }2b_{1m32}{q}_{1m}.\end{array}$                      (3.10)

Выражения (3.10) с учетом (3.9) определяют вариации центробежных моментов инерции.

4. Колебания земного полюса с учетом прецессионного движения лунной орбиты. Для того чтобы учесть выражения (3.10) центробежных моментов инерции в модели движения полюса, определим их долгопериодическую структуру. Для этого найдем из (3.2) направляющие косинусы вектора $R^0$ в проекциях на связанные оси. Они будут зависеть от угловых переменных ${\phi }_1$, ${\phi }_2$, ${\phi }_3$, ${\delta }_1$, ${\delta }_2$, $h$, i, $\vartheta$:

 $\left(\begin{array}{c}{\gamma }_1\\ {\gamma }_2\\ {\gamma }_3\end{array}\right)={\Gamma }_3^{-1}({\phi }_1){\Gamma }_1^{-1}({\delta }_2){\Gamma }_3^{-1}({\phi }_2){\Gamma }_1^{-1}({\delta }_1){\Gamma }_3^{-1}({\phi }_3){\Gamma }_3\left(h\right){\Gamma }_1\left(i\right)\left(\begin{array}{c}\cos \vartheta \\ \sin \vartheta \\ 0\end{array}\right)$.             (4.1)

После усреднения произведений направляющих косинусов ${\gamma }_1{\gamma }_3$, ${\gamma }_2{\gamma }_3$ по быстрой переменной ${\phi }_2$ и полумедленной переменной $\vartheta$ вариации центробежных моментов инерции $\delta J_{13}$, $\delta J_{23}$ примут вид (ввиду малого влияния вязкости на рассматриваемые колебания пренебрежем слагаемыми, содержащими коэффициент $\chi$ ):

 $\begin{array}{c}\delta J_{13}=\left[a_{\Omega }cos\Omega +a_{2\Omega }\left(\sin 2h\sin 2{\phi }_3+2{\cos }^{2}h{\cos }^2{\phi }_3\right)\right]sin{\delta }_2\sin {\phi }_1\\ \delta J_{23}=\left[a_{\Omega }cos\Omega +a_{2\Omega }\left(\sin 2h\sin 2{\phi }_3+2{\cos }^{2}h{\cos }^2{\phi }_3\right)\right]sin{\delta }_2\cos {\phi }_1\\ \begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_{\Omega }=a_{\Omega }({\delta }_1^0,i^0),& a_{2\Omega }=a_{2\Omega }({\delta }_1^0,i^0)\end{array},& \Omega ={\phi }_3-h\end{array}.\end{array}$       (4.2)

Здесь $\Omega$ – долгота восходящего узла лунной орбиты, отсчитываемая от направления на точку весеннего равноденствия [18]. Угловые переменные ${\delta }_1$, i– можно положить постоянными ( $i=i^0$, ${\delta }_1={\delta }_1^0$ ), тогда $i^0$ имеет смысл среднего значения угла наклонения плоскости лунной орбиты к плоскости эклиптики, а ${\delta }_1^0$ – среднего угла наклона оси вращения Земли, отсчитываемый от нормали к плоскости эклиптике. Кроме того, учтем, что $a_{2\Omega }\approx 0.03a_{\Omega }$ при постоянных значениях углов ${\delta }_1^0={23}^{\circ }$, $i^{}={5.14}^{\circ }$.

Тогда, записывая выражение (4.2) через координаты земного полюса, получим:

 $\begin{array}{l}\delta J_{13}\approx a_{\Omega }\left({\delta }_1^0,i^0\right)ycos\Omega \\ \delta J_{23}\approx -a_{\Omega }\left({\delta }_1^0,i^0\right)xcos\Omega .\end{array}$                   (4.3)

Используя модель движения земного полюса, рассмотренную в работах ­[4–7], дифференциальные уравнения колебаний полюса с учетом (4.3) примут вид:

 $\begin{array}{l}\dot{x}-Ny=j_{23}^0-\sigma x-b_{\Omega }xcos\Omega +{\mu }_x,x_p(t_0)=x_0\\ \dot{y}+Nx=j_{13}^0-\sigma y+b_{\Omega }ycos\Omega +{\mu }_y,y_p(t_0)=y_0\end{array}$      (4.4)

где $N\cong 0.843$ цикл/год – чандлеровская частота; $j_{13}^0$, $j_{23}^0$ определяются центробежными моментами инерции $J_{13}$, $J_{23}$ и им пропорциональны, а их вариа­ции приводят к слагаемым вида (4.3), неизвестная амплитуда $b_{\Omega }$ найденных слагаемых в дальнейшем подлежит определению на основе анализа данных наблюдений, ${\mu }_x$, ${\mu }_y$ – внешнее возмущение, приводящее к наблюдаемому движению полюса с годичной и чандлеровской частотами.

Решение (4.4) будет содержать основные гармоники движения земного полюса (чандлеровское и годичное колебания), модулированные гармоникой с частотой прецессии лунной орбиты. На рис. 4 приведено сравнение амплитудного спектра координаты $y$ решения уравнений (4.4) методом Рунге–Кутты 4-го порядка (на втором и третьем графиках в логарифмической и линейной шкалах соответственно) с амплитудным спектром наблюдений координаты $y$ (первый график). На графиках рис. 4 боковые пики чандлеровской составляющей имеют близкую амплитуду к наблюдаемым, а боковые пики годичной гармоники – в несколько раз меньшую (примерно в 2 раза). Данные амплитуды получены при $b_{\Omega }=0.1N$ в модели (4.3), что соответствует около 30% от общей амплитуды наблюдаемого полюсного прилива. Рассмотренная модель носит качественный характер, из которой следует наличие малых вариаций центробежных моментов инерции Земли с периодом около 18 лет. Для установления связи этих колебаний с геофизическими процессами требуются дальнейшие исследования.

Рис. 4. Амплитудный спектр наблюдений координаты $y$ (первый график) в сравнении с амплитудными спектрами координаты $y$ решения уравнений (4.4) (на втором и третьем графиках в логарифмической и линейной шкалах, соответственно).

5. Заключение. Уточнение модели движения полюса связано, с одной стороны. с учетом различных возмущающих факторов, а с другой стороны с построением обобщающей динамической модели, которая позволяет на качественном уровне проанализировать тонкие эффекты в колебательном процессе земного полюса.

В данной работе для модели вязкоупругой Земли, находящейся в гравитационном поле Луны и Солнца, определены вариации центробежных моментов инерции. Эти вариации обладают комбинационной структурой, необходимой для возбуждения рассматриваемого 18-летнего колебательного процесса земного полюса, связанного с долгопериодическим возмущением от Луны.

С помощью численного интегрирования дифференциальных уравнений движения земного полюса показано, что найденная структура вариаций центробежных моментов инерции приводит к 18-летним вариациям в амплитуде не только чандлеровской составляющей движения полюса, но и годичной. Такое объяснение является более простым и позволяет объяснить наличие в уравнениях движения годичного возмущения, модулированного долгопериодической гармоникой с периодом 18 лет.