Stress intensity factors at the top of the central semi-infinite crack in an arbitraly loaded isotropic strip

1. Введение. Задачи о трещинах в полосе, расположенных параллельно ее границам, используются в многочисленных приложениях, в частности при интерпретации результатов стандартных испытаний на разрушение, таких как трех- и четырехточечный изгиб [1­–­6], при исследовании процессов разрушения в многослойных конструкциях [7, 8], моделировании адгезионного взаимодействия [9­–­11] и отслоения покрытий ­[12­–­22].

В простейших случаях, таких как нагружение изгибающими моментами или продольными силами, выражения для скорости высвобождения энергии (СВЭ) при приращении длины трещины получаются элементарно с применением элементарных балочных теорий [13, 14, 23, 24]. При наличии симметрии с помощью данного подхода можно также определить коэффициенты интенсивности напряжений (КИН).

Кроме элементарных решений, известно много других, полученных как аналитическими [25, 26], так и полуаналитическими, и численными методами [27, 29].

Весьма эффективным подходом к решению задач о полубесконечных трещинах является применение интегральных преобразований и метода Винера–Хопфа ­[30­–­36]. Обобщения на случай анизотропных полос получены в работах ­[37­–­42], полос, составленных из различных материалов, – в работе [43]. Если нагрузка прикладывается достаточно далеко от вершины трещины, так что ее можно рассматривать как приложенную на бесконечности, применение данного подхода приводит к однородной задаче, значения КИН при этом выражаются через однократные интегралы, которые в случае нагружения изгибающими моментами и продольными силами вычисляются в явном виде, и выражения для КИН совпадают с выражениями, полученными с помощью балочных теорий. В случае приложения нагрузки на конечном расстоянии от вершины трещины задача может быть решена путем сведения ее к неоднородной краевой задаче, решение которой представляется в виде двойных интегралов. В представленном исследовании используется другой подход, основанный на применении взаимных инвариантных интегралов (например, ­[44­–­46]) и использовании решения однородной задачи [35]. Использование данного подхода позволило получить выражения для КИН от действия произвольных, необязательно приложенных попарно к берегам трещины сил, в том числе для сил, приложенных во внутренних точках полосы, как на расслоившемся участке, так и в точках на продолжении линии трещины.

2. Формулировка задачи. Рассматривается полоса $-h<x_2<h$ с полубесконечной центральной трещиной $x<\mathrm{0,}y=0$ в декартовых координатах $x_1,x_2$ с началом в вершине трещины и осью $x_1$,направленной вдоль продолжения линии трещины (рис. 1). Задача решается в двумерной постановке в рамках теории малых деформаций. Упругие свойства определяются модулем Юнга $\overline{E}$ и коэффициентом Пуассона $\overline{\nu }$, либо истинными (для плоского напряженного состояния), либо модифицированными для условий плоской деформации:

 $\overline{E}=\left\{\begin{array}{c}E\text{plane}\text{stress}\\ E/\left(1-{\nu }_{}^2\right)\text{plane}\text{stain}\end{array}\right.,\overline{\nu }=\left\{\begin{array}{c}\nu \text{plane}\text{stress}\\ {\nu }^{}/\left(1-{\nu }^{}\right)\text{plane}\text{stain}\end{array}\right.$             (2.1)

Рис. 1. Геометрия и система прикладываемых нагрузок.

Система уравнений включает уравнения равновесия, совместности, закона Гука и соотношений, связывающих деформации со смещениями:

 ${\sigma }_{ij,i}^{}+Q_j=0$,                                          (2.2)

 ${\epsilon }_{\mathrm{11,22}}^{}+{\epsilon }_{\mathrm{22,11}}^{}-2{\epsilon }_{\mathrm{12,12}}^{}=0$,                 (2.3)

 ${\epsilon }_{11}^{}=\frac{1}{{\overline{E}}^{(k)}}{\sigma }_{11}^{}-\frac{\overline{\nu }}{\overline{E}}{\sigma }_{22}^{},{\epsilon }_{22}^{}=\frac{1}{\overline{E}}{\sigma }_{22}^{(k)}-\frac{\overline{\nu }}{\overline{E}}{\sigma }_{11}^{},{\epsilon }_{12}^{}=\frac{1+\overline{\nu }}{\overline{E}}{\sigma }_{12}^{}$,                 (2.4)

 ${\epsilon }_{ij}^{}=\frac{1}{2}\left(u_{i,j}^{}+u_{j,i}^{}\right)$.                                     

Здесь ${\sigma }_{ij}^{},{\epsilon }_{ij}^{},u_i^{},Q_i^{}$ – компоненты тензора напряжения, тензора деформаций, вектора смещения и приложенной сосредоточенной силы. Индекс после запятой означает производную по соответствующей координате, под повторяющимися индексами подразумевается суммирование.

Сосредоточенная сила с компонентами $Q_1,Q_2$ приложена в некоторой точке слоя $-\infty <x_1^0<\infty ,-h\le x_2^0\le h$ либо внутри слоя, либо на внешней границе или на берегу трещины. Компенсирующие нагрузки в виде сил $-Q_1,-Q_2$ и момента $M_R=x_2^0{Q}_1+\left(l_R-x_1^0\right)Q_2$ приложены в точке $(l_R\to +\infty \mathrm{,0})$ для обеспечения глобального равновесия (рис. 1). Берега трещины и внешние границы полосы свободны от напряжений (за исключением случаев $x_2^0=\pm 0$ и $x_2^0=\pm h$ ):

 $\begin{array}{l}{\sigma }_{22}^{}\left(x,h\right)={\sigma }_{12}^{}\left(x,h\right)={\sigma }_{22}^{}\left(x,-h\right)={\sigma }_{12}^{}\left(x,-h\right)=\mathrm{0,}-\infty <x<+\infty \\ \\ {\sigma }_{22}^{(1)}\left(x\mathrm{,0}\right)={\sigma }_{12}^{(1)}\left(x\mathrm{,0}\right)={\sigma }_{22}^{(2)}\left(x\mathrm{,0}\right)={\sigma }_{12}^{(2)}\left(x\mathrm{,0}\right),-\infty <x<0.\end{array}$             (2.6)

Здесь верхние индексы 1, 2 относятся к верхнему и нижнему берегам трещины соответственно.

Задача состоит в определении коэффициентов интенсивности напряжений (КИН) для приложенных нагрузок.

3. Выражения для коэффициентов интенсивности напряжений через взаимные инвариантные интегралы. Если известно решение некоторой вспомогательной задачи для рассматриваемой конфигурации и иной системы внешних нагрузок, используя взаимные инвариантные интегралы (например ­[44­–­46]), можно получить решение рассматриваемой задачи или по крайней мере некоторые интересующие величины. Рассмотрим две такие вспомогательные задачи: нагружение парой изгибающих моментов $M$, приложенных к разделяемым участкам полосы достаточно далеко от вершины трещины (рис. 2a), и нагружение парой равных, но противоположно направленных сил $T$, приложенных также достаточно далеко от вершины трещины к ее берегам (рис. 2б). Далее величины, относящиеся к данным задачам, будут обозначаться верхними индексами $M$ и $T$ соответственно.

Рис. 2. Система прикладываемых нагрузок для вспомогательных задач: нагружение парой изгибающих моментов (a); нагружение парой сил с компенсирующими моментами (b).

Рассмотрим взаимные инвариантные интегралы (например, [44]) для двух состояний: состояние $f$, соответствующее исходной задаче о приложенной силе $Q_k$, и состояние $A$, соответствующее одной из вспомогательных задач $M$, или $T$:

 $M^{\left(A,f\right)}=J\left(u_i^A+u_i^f\right)-J\left(u_i^A\right)-J\left(u_i^f\right)$.                                                               (3.1)

Здесь $J\left(u_i^A\right),J\left(u_i^f\right),J\left(u_i^A+u_i^f\right)$ – J-интегралы, соответствующие состоя­ниям $A,f$ и их суперпозиции. С использованием определения J-интеграла ­[47­–­49] формула преобразуется к следующему виду (например, [46]):

 $M^{\left(A,f\right)}={\displaystyle \underset{\Gamma }{\int }\left[{\sigma }_{ik}^A{\epsilon }_{ik}^f{\delta }_{j1}-{\sigma }_{ij}^A{u}_{i\mathrm{,1}}^f-{\sigma }_{ij}^f{u}_{i\mathrm{,1}}^A\right]}{n}_{j}d\Gamma$.                                                   (3.2)

Здесь $\Gamma$ – контур, который может быть выбран одним из образов, либо ${\Gamma }_1$, окружающий вершину трещины, либо ${\Gamma }_2$, окружающий внутреннюю часть слоя с исключением точки приложения сосредоточенной силы; $n_j$ – внешняя нормаль к контуру (рис. 3). Взаимные интегралы, соответствующие контурам ${\Gamma }_1$ и ${\Gamma }_2$, будут означаться $M_1^{\left(A,f\right)}$ и $M_2^{\left(A,f\right)}$ соответственно.

Рис. 3. Контуры при вычислении инвариантных интегралов.

Рассмотрим сначала интеграл по контуру ${\Gamma }_1$. Его величина определяется с помощью формулы Ирвина [50] (см. также [51]):

 $M_{}^{\left(A,f\right)}\left({\Gamma }_1\right)=\frac{2}{\overline{E}}\left(K_1^A{K}_1^f+K_2^A{K}_2^f\right)$.  (3.3)

Здесь $K_1^A,K_2^A$ – нормальная и сдвиговая составляющие КИН для вспомогательных; $K_1^f,K_2^f$ – нормальная и сдвиговая составляющие КИН для исходной задачи.

Рассмотрим интегрирование по контуру ${\Gamma }_2$. Его правый вертикальный сегмент может быть проведен достаточно далеко, так что напряжения, деформации и производные смещений для вспомогательных задач могут быть рассматриваемы как исчезающе малые. Аналогично напряжения и деформации вдоль левого вертикального сегмента, путем отнесения его на достаточное расстояние, становятся исчезающе малыми для основной задачи, при этом производная от смещения $u_{\mathrm{2,1}}^f$ остается постоянной. Этого достаточно для того, чтобы соответствующие интегралы, рассчитываемые вдоль данных сегментов, обращались в ноль. На горизонтальных границах нулевые нормальные и касательные напряжения в основной и вспомогательной задачах приводят к обнулению интегралов вдоль них. Таким образом, единственным участком контура ${\Gamma }_2$, дающим вклад в интеграл, является участок, окружающий точку приложения силы:

 $M_{}^{\left(A,f\right)}\left({\Gamma }_2\right)=-Q_1{u}_{\mathrm{1,1}}^A\left(x_1^0,x_2^0\right)-Q_2{u}_{\mathrm{2,1}}^A\left(x_1^0,x_2^0\right)$.                                                  (3.4)

Приравнивая величины, стоящие в правых частях (3.3) и (3.4), получаем:

 $\frac{2}{\overline{E}}\left(K_1^M{K}_1^f+K_2^M{K}_2^f\right)=-Q_k{u}_{k\mathrm{,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)$,                                                           (3.5)

 $\frac{2}{\overline{E}}\left(K_1^T{K}_1^f+K_2^T{K}_2^f\right)=-Q_k{u}_{k\mathrm{,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)$.                                                              (3.6)

Если известны остальные величины, входящие в выражения (3.5), (3.6), эту систему можно решить относительно величин $K_1^f,K_2^f$. С учетом того, что выражения для $K_1^M{K}_1^T,K_2^M{K}_2^T$ для рассматриваемого случая центральной трещины в однородной изотропной упругой полосе могут быть получены элементарно и известны (например, [35]):

 $K_1^M=\sqrt{12}M,K_2^M=\mathrm{0,}{K}_1^T=\mathrm{0,}{K}_2^T=2T$,                                                    (3.7)

данное решение может быть представлено в виде:

  $K_1^f=-\frac{\overline{E}{u}_{\mathrm{1,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)}{4\sqrt{3}}{Q}_1-\frac{\overline{E}{u}_{\mathrm{2,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)}{4\sqrt{3}}{Q}_2,K_2^f=-\frac{\overline{E}{u}_{\mathrm{1,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)}{4}{Q}_1-\frac{\overline{E}{u}_{\mathrm{2,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)}{4}{Q}_2$.                                                                    (3.8)

Выражения дают значения КИН, вызванные действием сосредоточенной силы, приложенной в произвольной точке полосы. В общем случае обе моды КИН зависят от обеих компонент прикладываемой силы. Однако в случае двух сил, прикладываемых в точках, зеркально расположенных от линии трещины и противоположных по направлению, благодаря симметрии нормальная и сдвиговая моды КИН становятся зависящими только от нормальной и тангенциальной составляющей прикладываемой пары соответственно.

Для вычисления КИН с использованием (3.8) необходимо вычислить величины производных от смещений $u_{\mathrm{1,1}}^M,u_{\mathrm{2,1}}^M,u_{\mathrm{1,1}}^T,u_{\mathrm{2,1}}^T$ для вспомогательных задач в точках приложения силы основной задачи.

4. Выражения для производных от компонент смещения для вспомогательных задач. 4.1. Общий случай; выражения через интегралы. Наиболее удобным для использования решением вспомогательных задач в нашем случае представляется решение [35], дающее не только значения КИН, но и, в частности, распределение напряжений вдоль линии продолжения трещины для нагружения парой сосредоточенных моментов и парой продольных сил, приложенных вдали от вершины трещины. В работе [52] на основе этого решения были получены выражения производных от компонент смещения на внешней границе полосы для случая нагружения парой моментов. Использованный в работе [52] подход, основанный на решении задачи о полосе с применением двустороннего преобразования Лапласа (соответствующей верхней части исходной полосы) с заданными нагрузками на границах, позволяет получить значения производных в произвольной точке.

Двустороннее преобразование Лапласа по переменной $x_1$ определяется как (например, [35])

 $\widehat{f}\left(p,x_2\right)={\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(x_1,x_2\right)}{e}^{-p{x}_1}d{x}_1$.         (4.1)

Обратное преобразование определяется при этом:

 $f\left(x_1,x_2\right)=-\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle \underset{L}{\int }\widehat{f}\left(p,x_2\right)e^{p{x}_1}dp}$,  (4.2)

где контур $L$ соответствует мнимой оси комплексной плоскости $p$, а направление контура – сверху вниз.

Решение для верхней полуполосы дается в виде образа функции напряжений Эри:

  $\widehat{F}\left(p,x_2\right)=A_1\cos \left(p{x}_2\right)+A_2\sin \left(p{x}_2\right)+A_{3}y\sin \left(p{x}_2\right)+A_{4}y\cos \left(p{x}_2\right)$,      (4.3)

где

 $\begin{array}{c}{A}_1=\frac{{\widehat{q}}_2}{p^2},A_4=\frac{\cos 2p-1}{2p\left({\sin }^{2}p-p^2\right)}{\widehat{q}}_1+\frac{\sin 2p+2p}{2p\left({\sin }^{2}p-p^2\right)}{\widehat{q}}_2,\\ A_2=\frac{{\widehat{q}}_1}{{\sin }^{2}p-p^2}-\frac{\sin 2p+2p}{2p^2\left({\sin }^{2}p-p^2\right)}{\widehat{q}}_2,\\ A_3=-\frac{\cos 2p-1}{2p\left({\sin }^{2}p-p^2\right)}{\widehat{q}}_2-\frac{\sin 2p-2p}{2p\left({\sin }^{2}p-p^2\right)}{\widehat{q}}_1,\end{array}$                           (4.4)

а величины образов нормальных и касательных напряжений ${\widehat{q}}_2,{\widehat{q}}_1$, действую­щих на линии продолжения трещины, найдены в работе [35] и имеют вид:

  ${\widehat{q}}_1=\frac{1}{h_1^{+}{H}_1^{+}}\frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{1/2}}T=-2\frac{{\sin }^{2}p-p^2}{\sin 2p-2p}\frac{1}{h_1^{-}{H}_1^{-}}\frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{1/2}}T$,                                         (4.5)

${\widehat{q}}_2=\frac{1}{h_2^{+}{H}_2^{+}}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}Mp=2\frac{{\sin }^{2}p-p^2}{\sin 2p+2p}\frac{1}{h_2^{-}{H}_2^{-}}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}Mp$,                                      (4.6)

 $h_1^{+}\left(p\right)=\frac{\Gamma \left(1+p/\pi \right)}{\Gamma \left(1/2+p/\pi \right)}$,                    (4.7)

 $h_1^{-}\left(p\right)=\frac{\Gamma \left(1/2-p/\pi \right)}{\Gamma \left(-p/\pi \right)}$,                    (4.8)

 $H_1^{\pm }\left(p\right)=\exp \left[-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}ln\left(\frac{1}{2}\mathrm{th}t\frac{\mathrm{sh}2t-2t}{{\mathrm{sh}}^{2}t-t^2}\right)\frac{dt}{it-p}}\right]$,                                           (4.9)

 $h_2^{+}\left(p\right)={\left[\frac{\Gamma \left(1+p/\pi \right)}{\Gamma \left(1/2+p/\pi \right)}\right]}^3$,             (4.10)

 $h_2^{-}\left(p\right)={\left[\frac{\Gamma \left(1/2-p/\pi \right)}{\Gamma \left(-p/\pi \right)}\right]}^3$,             (4.11)

 $H_2^{\pm }\left(p\right)=\exp \left[-\frac{1}{2\pi }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}ln\left(\frac{1}{2}{\mathrm{th}}^{3}t\frac{\mathrm{sh}2t+2t}{{\mathrm{sh}}^{2}t-t^2}\right)\frac{dt}{it-p}}\right]$,                                       (4.12)

где $\Gamma$ – гамма-функция Эйлера; индекс $\pm$ для $H_1^{\pm },H_2^{\pm }$ в (4.12) определяется положением точки $p$ относительно мнимой оси. В формулах (4.5), (4.6) вторые равенства получены исходя из связей между величинами $h_k^{+}{H}_k^{+}$ и $h_k^{-}{H}_k^{-}\left(k=\mathrm{1,2}\right)$ [35], которые в используемых обозначениях записываются как

 $\frac{h_1^{+}{H}_1^{+}}{h_1^{-}{H}_1^{-}}=-2\frac{\sin 2p-2p}{{\sin }^{2}p-p^2};\frac{h_2^{+}{H}_2^{+}}{h_2^{-}{H}_2^{-}}=2\frac{\sin 2p+2p}{{\sin }^{2}p-p^2}$.                                            (4.13)

Образы производных смещений (например, [35]):

   $\overline{E}{\widehat{u}}_1\text{'}\left(p,x_2\right)=\frac{{\partial }^2\widehat{F}}{\partial x_2^2}-\overline{\nu }{p}^2\widehat{F},\overline{E}{\widehat{u}}_2\text{'}\left(p,x_2\right)=-\left(2+\overline{\nu }\right)p\frac{\partial \widehat{F}}{\partial x_2}-\frac{1}{p}\frac{{\partial }^3\widehat{F}}{\partial x_2^3}$.     (4.14)

Подстановка (4.4) в (4.3), а затем в (4.14) дает

 $\begin{array}{l}\overline{E}{\widehat{u}}_1\text{'}\left(p,x_2\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}p-p^2}\left(B_{11}{\widehat{q}}_1+B_{12}{\widehat{q}}_2\right)\\ \overline{E}{\widehat{u}}_2\text{'}\left(p,x_2\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}p-p^2}\left(B_{21}{\widehat{q}}_1+B_{22}{\widehat{q}}_2\right).\end{array}$                                                      (4.15)

где

     $\begin{array}{c}{B}_{11}\left(p\right)=\sin p\left(2-x_2\right)+\left(1-p^2\left(1+\overline{\nu }\right)\left(1-x_2\right)\right)\sin p{x}_2-\\ \frac{1+\overline{\nu }}{2}p{x}_2\cos p\left(2-x_2\right)-p\left(2-\frac{1+\overline{\nu }}{2}{x}_2\right)\cos p{x}_2,\\ B_{12}\left(p\right)=-\frac{1-\overline{\nu }}{2}\cos p\left(2-x_2\right)+\left(\frac{1-\overline{\nu }}{2}+p^2\left(1+\overline{\nu }\right)\left(1-x_2\right)\right)\cos p{x}_2+\\ \frac{1+\overline{\nu }}{2}p{x}_2\sin p\left(2-x_2\right)-p\left((1-\overline{\nu })+\frac{1+\overline{\nu }}{2}{x}_2\right)\sin p{x}_2,\\ B_{21}\left(p\right)=\frac{1-\overline{\nu }}{2}\cos p\left(2-x_2\right)-\left(\frac{1-\overline{\nu }}{2}+p^2\left(1+\overline{\nu }\right)\left(1-x_2\right)\right)\cos p{x}_2-\\ p{x}_2\frac{1+\overline{\nu }}{2}\sin p\left(2-x_2\right)-p\left(1-\overline{\nu }+x_2\frac{1+\overline{\nu }}{2}\right)\sin p{x}_2,\\ B_{22}\left(p\right)=\sin p\left(2-x_2\right)+\left(1-p^2\left(1+\overline{\nu }\right)\left(1-x_2\right)\right)\sin p{x}_2+\\ p{x}_2\frac{1+\overline{\nu }}{2}\cos p\left(2-x_2\right)+p\left(2-x_2\frac{1+\overline{\nu }}{2}\right)\cos p{x}_2.\end{array}$  (4.16)

Данные формулы существенно упрощаются для берегов трещины $x_2=0$:

 $\begin{array}{l}{B}_{11}=\sin 2p-2p,B_{12}=\left(1-\overline{\nu }\right)\left({\sin }^{2}p-p^2\right)+2p^2,\\ B_{21}=-\left(1-\overline{\nu }\right)\left({\sin }^{2}p-p^2\right)-2p^2,B_{22}=\sin 2p+2p\end{array}$                                 (4.17)

и для внешней границы $x_2=1$:

 $\begin{array}{l}{B}_{11}=2\left(\sin p-p\cos p\right),B_{12}=-2p\sin p,\\ B_{21}=-2p\sin p,B_{22}=2\left(\sin p+p\cos p\right).\end{array}$                                                      (4.18)

Выражения (4.17) с точностью до обозначений совпадают с выражениями, полученными в работе [35], выражения $B_{12},B_{22}$ из (4.18) – с выражениями, полученными в работе [52].

Подстановка первых равенств (4.5), (4.6) в (4.15) дает выражения искомых образов производных смещений:

     $\begin{array}{l}\overline{E}{\widehat{u}}_1\text{'}\left(p,x_2\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}p-p^2}\left(B_{11}\frac{1}{h_1^{+}{H}_1^{+}}\frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{1/2}}T+B_{12}\frac{1}{h_2^{+}{H}_2^{+}}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}Mp\right)\\ \overline{E}{\widehat{u}}_2\text{'}\left(p,x_2\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}p-p^2}\left(B_{21}\frac{1}{h_1^{+}{H}_1^{+}}\frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{1/2}}T+B_{22}\frac{1}{h_2^{+}{H}_2^{+}}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}Mp\right).\end{array}$   (4.19)

Подстановка вторых равенств (4.5), (4.6) в (4.15) дает альтернативные выражения искомых образов производных смещений:

$\begin{array}{l}\overline{E}{\widehat{u}}_1\text{'}\left(p,x_2\right)=\frac{2}{\sin 2p-2p}{B}_{11}\frac{1}{h_1^{-}{H}_1^{-}}\frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{1/2}}T+\frac{2}{\sin 2p+2p}{B}_{12}\frac{1}{h_2^{-}{H}_2^{-}}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}Mp\\ \overline{E}{\widehat{u}}_2\text{'}\left(p,x_2\right)=\frac{2}{\sin 2p-2p}{B}_{21}\frac{1}{h_1^{-}{H}_1^{-}}\frac{\sqrt{2}}{{\pi }^{1/2}}T+\frac{2}{\sin 2p+2p}{B}_{22}\frac{1}{h_2^{-}{H}_2^{-}}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}Mp.\end{array}$   (4.20)

Оригиналы производных смещений находятся с помощью обратного преобразования Лапласа (4.2), подынтегральные выражения для которых содержат коэффициент $e^{px}$. Для обеспечения сходимости удобно рассматривать область $\mathrm{Re}p<0$ и, следовательно, представление (4.20), при вычислении значений, соответствующих $x_1>0$, и область $\mathrm{Re}p>0$, и представление (4.19) при вычислении значений, соответствующих $x_1<0$. Вычисление оригиналов можно осуществлять непосредственно, используя интегральное представление (пункт 4.2), с помощью вычетов (пункт 4.3) либо с помощью исследования асимптотических представлений окрестности вершины трещины (пункт 4.4).

4.2. Представление производных смещений через интегралы. Оригиналы производных смещений находятся подстановкой (4.19) либо (4.20) в (4.20) для $x_1<0$ и $x_1>0$ соответственно. Контур интегрирования при этом может деформироваться согласно правилам вычисления интегралов на комплексной плоскости. В качестве контура можно выбрать

 $p=is\pm \sqrt[\alpha ]{\gamma +\beta s^2}$,                               (4.21)

где $\alpha \text{,}\beta \text{,}\gamma$ – некоторые константы, выбираемые так, чтобы контуры (4.21) охватывали все полюса подынтегральной функции. Здесь знаки плюс/минус соответствуют представлениям (4.19) либо (4.20) соответственно. При β = 0 контуры превращаются в прямые линии, параллельные мнимой оси. Для функции ${\left({\sin }^{2}p-p^2\right)}^{-1}$ ближайший к мнимой оси полюс, $p_1\approx 4.21239\pm 2.2507i$***TRANSLATION ERROR***, следовательно, $0<\sqrt[\alpha ]{\gamma }<\mathrm{Re}{p}_1$.

Выражения для производных смещений приобретают вид для $x_1<0$:

$\begin{array}{c}\frac{\overline{E}}{M}{u}_{\mathrm{1,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)=-12\left(x_2^0-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2\pi i}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}p-p^2}\frac{B_{12}\left(p\right)p}{h_2^{+}\left(p\right)H_2^{+}\left(p\right)}\frac{dp}{ds}{e}^{p{x}_1}ds},\\ \frac{\overline{E}}{M}{u}_{\mathrm{2,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)=12\left(x_1^0-\delta \right)+\frac{1}{2\pi i}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}p-p^2}\frac{B_{22}\left(p\right)p}{h_2^{+}\left(p\right)H_2^{+}\left(p\right)}\frac{dp}{ds}{e}^{p{x}_1}ds},\\ \frac{\overline{E}}{T}{u}_{\mathrm{1,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)=-\left(4-6x_2^0\right)+\frac{1}{2\pi i}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}p-p^2}\frac{B_{11}\left(p\right)}{h_1^{+}\left(p\right)H_1^{+}\left(p\right)}\frac{dp}{ds}{e}^{p{x}_1}ds},\\ \frac{\overline{E}}{T}{u}_{\mathrm{2,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)=-6\left(x_1^0-{\delta }_m\right)+\frac{1}{2\pi i}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}p-p^2}\frac{B_{21}\left(p\right)}{h_1^{+}\left(p\right)H_1^{+}\left(p\right)}\frac{dp}{ds}{e}^{p{x}_1}ds},\end{array}$ (4.22)

и для и $x_1>0$

 $\begin{array}{l}\frac{\overline{E}}{M}{u}_{\mathrm{1,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)=\frac{1}{2\pi i}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{2}{\sin 2p+2p}\frac{B_{12}\left(p\right)p}{h_2^{-}\left(p\right)H_2^{-}\left(p\right)}\frac{dp}{ds}{e}^{p{x}_1}ds},\\ \frac{\overline{E}}{M}{u}_{\mathrm{2,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)=\frac{1}{2\pi i}\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{2}{\sin 2p+2p}\frac{B_{22}\left(p\right)p}{h_2^{-}\left(p\right)H_2^{-}\left(p\right)}\frac{dp}{ds}{e}^{p{x}_1}ds},\\ \frac{\overline{E}}{T}{u}_{\mathrm{1,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)=-\frac{1}{2\pi i}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{2}{\sin 2p-2p}\frac{B_{11}\left(p\right)}{h_1^{-}\left(p\right)H_1^{-}\left(p\right)}\frac{dp}{ds}{e}^{p{x}_1}ds},\\ \frac{\overline{E}}{T}{u}_{\mathrm{2,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)=-\frac{1}{2\pi i}\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}\frac{2}{\sin 2p-2p}\frac{B_{21}\left(p\right)p}{h_1^{-}\left(p\right)H_1^{-}\left(p\right)}\frac{dp}{ds}{e}^{p{x}_1}ds}.\end{array}$              (4.23)

Внеинтегральные члены в (4.22) соответствуют вычетам исходных подынтегральных функций в нуле, величины $\delta \approx \mathrm{0.6738,}{\delta }_m\approx 0.20943$  были посчитаны в работе [53] с использованием результатов [43]. При вычислении интегралов для улучшения сходимости можно воспользоваться свойством голоморфности функций $h_2^{\pm }\left(p\right),H_2^{\pm }\left(p\right)$ в левой и правой полуплоскостях соответственно и вычесть из величин $\frac{B_{ij}\left(p\right)p}{{\sin }^{2}p-p^2},\frac{2p{B}_{12}\left(p\right)}{\sin 2p\pm 2p}$ произвольные голоморфные члены.

4.3. Представление производных от смещений для точек, не слишком близких к вершине трещины. Интегралы, определяющие производные от смещений, с помощью теории вычетов можно преобразовать в ряды:

$\begin{array}{c}\frac{\overline{E}}{M}{u}_{\mathrm{1,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)=-12\left(x_2^0-\frac{1}{2}\right)-\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}\mathrm{Re}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{R}_k^{(2)}}{B}_{12}\left(p_k^{(1)}\right)p_k^{(1)}\exp \left(p_k^{(1)}{x}_1\right),\\ \frac{\overline{E}}{M}{u}_{\mathrm{2,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)=12\left(x_1^0-\delta \right)-\frac{\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}\mathrm{Re}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{R}_k^{(2)}}{B}_{22}\left(p_k^{(1)}\right)p_k^{(1)}\exp \left(p_k^{(1)}{x}_1\right),\\ \frac{\overline{E}}{T}{u}_{\mathrm{1,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)=-\left(4-6x_2^0\right)-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\mathrm{Re}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{R}_k^{(1)}}{B}_{11}\left(p_k^{(1)}\right)\exp \left(p_k^{(1)}{x}_1\right),\\ \frac{\overline{E}}{T}{u}_{\mathrm{2,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)=-6\left(x_1^0-{\delta }_m\right)-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\mathrm{Re}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{R}_k^{(1)}}{B}_{21}\left(p_k^{(1)}\right)\exp \left(p_k^{(1)}{x}_1\right),\end{array}$  (4.24)

 $\begin{array}{l}\frac{\overline{E}}{M}{u}_{\mathrm{1,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)=\frac{2\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}\mathrm{Re}{R}_k^{(3)}{B}_{12}\left(p_k^{(3)}\right)p_k^{(3)}\exp \left(p_k^{(3)}{x}_1\right),\\ \frac{\overline{E}}{M}{u}_{\mathrm{2,1}}^M\left(x_1^0,x_2^0\right)=\frac{2\sqrt{6}}{{\pi }^{3/2}}\mathrm{Re}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{R}_k^{(3)}}{B}_{22}\left(p_k^{(3)}\right)p_k^{(3)}\exp \left(p_k^{(3)}{x}_1\right),\\ \frac{\overline{E}}{T}{u}_{\mathrm{1,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)=-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\mathrm{Re}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{R}_k^{(4)}}{B}_{11}\left(p_k^{(3)}\right)\exp \left(p_k^{(4)}{x}_1\right),\\ \frac{\overline{E}}{T}{u}_{\mathrm{2,1}}^T\left(x_1^0,x_2^0\right)=-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\mathrm{Re}{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{R}_k^{(4)}}{B}_{21}\left(p_k^{(3)}\right)\exp \left(p_k^{(4)}{x}_1\right),\end{array}$                         (4.25)

где

  $\begin{array}{c}{R}_k^{(1)}=\mathrm{res}\left(\frac{1}{\left({\sin }^2{p}_k^{(1)}-p_k^{(1)2}\right)h_1^{+}\left(p_k^{(1)}\right)H_1^{+}\left(p_k^{(1)}\right)}\right),\\ R_k^{(2)}=\mathrm{res}\left(\frac{1}{\left({\sin }^2{p}_k^{(1)}-p_k^{(1)2}\right)h_2^{+}\left(p_k^{(1)}\right)H_2^{+}\left(p_k^{(1)}\right)}\right),\\ R_k^{(3)}=\mathrm{res}\left(\frac{1}{\left(\sin 2p_k^{(3)}+2p_k^{(3)}\right)h_2^{-}\left(p_k^{(3)}\right)H_2^{-}\left(p_k^{(3)}\right)}\right),\\ R_k^{(4)}=\mathrm{res}\left(\frac{1}{\left(\sin 2p_k^{(4)}-2p_k\right)p_k^{(4)}{h}_1^{-}\left(p_k^{(4)}\right)H_1^{-}\left(p_k^{(4)}\right)}\right)\end{array}$                                      (4.26)

для $x_1<0$ и $x_1>0$ соответственно. Здесь $p_k^{(1)}$ – нули функции ${\sin }^{2}p-p_{}^2$ с положительными действительными частями; $p_k^{(3)}{p}_k^{(4)}$ – нули функций $\sin 2p+2p$ и $\sin 2p-2p$ с отрицательными действительными частями соответственно. При записи (4.24), (4.25) использовался тот факт, что корни $p_k^{(m)}$ и соответствующие им вычеты комплексно-сопряженные. Данные ряды весьма удобны для вычислений и сходятся тем быстрее, чем больше абсолютная величина $x_1$, поскольку представляют собой сумму убывающих экспонент. Однако для $\left|x_1\right|\sim 0.1$ уже требуется учет порядка десятка членов, а при $\left|x_1\right|\to 0$ ряды расходятся.

Корни $p_k$ величины $R_k^{(1)}$ не зависят от параметров и могут быть посчитаны заранее. Посчитанные значения для первых 20 нулей и вычетов приведены в табл. 1 и 2, где введены обозначения:

 ${\alpha }_k^{(m)}=\mathrm{Re}{p}_k^{(m)},{\beta }_k^{(m)}=\mathrm{Im}{p}_k^{(m)},{\gamma }_k^{(m)}=\mathrm{Re}{R}_k^{(m)},{\delta }_k^{(m)}=\mathrm{Im}{R}_k^{(m)}$        (4.27)

Таблица 1. Действительные и мнимые части корней и вычетов функций, используемых при вычислении величин, относящихся к левой части полосы

Таблица 2. Действительные и мнимые части корней и вычетов функций, используемых при вычислении величин, относящихся к правой части полосы

4.3. Асимптотическое представление производных смещений для точек, близких к вершине трещины. Как известно, главные члены асимптотик напряжений, смещений и их производных вблизи вершины трещины определяются КИН. Однако, в отличие от весьма эффективного использования поля напряжений, определяемого КИН в качестве критерия роста трещин, распределение смещений и их производных, определяемых исключительно членом, пропорциональным КИН, оказывается достаточно точным только в весьма малой области, прилегающей к вершине трещины, а на расстояниях порядка 0.1 толщины слоя (для которых еще приемлемо использование формул (4.24), (4.25)) использование лишь членов, определяемых КИН, становится недостаточным. В общем случае распределение производных смещений вблизи вершины трещины может быть представлено как сумма ряда по полуцелым степеням $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, соответствующего собственным решениям для бесконечного тела с трещиной, и ряда по целым степеням $x_1,x_2$, соответствующего регулярной части поля напряжения.

 $\begin{array}{l}{\sigma }_{ij}^{tip}={\displaystyle \sum _{n=0}^N{\sigma }_{ij}^{(n-1/2)}}\left(\theta \right)r^{n-1/2}+{\sigma }_{ij}^{(0)}+{\sigma }_{ij.1}^{(0)}{x}_1+{\sigma }_{ij\mathrm{,2}}^{(0)}{x}_2+\\ +{\sigma }_{ij\mathrm{,11}}^{(0)}\frac{x_1^2}{2}+{\sigma }_{ij\mathrm{,12}}^{(0)}{x}_1{x}_2+{\sigma }_{ij\mathrm{,22}}^{(0)}\frac{x_2^2}{2}+\mathrm{...}\\ u_{i\mathrm{,1}}^{tip}={\displaystyle \sum _{n=0}^N{U}_i^{(n-1/2)}}\left(\theta \right)r^{n-1/2}+U_i^{(0)}+U_{i\mathrm{,1}}^{(0)}{x}_1+U_{i\mathrm{,2}}^{(0)}{x}_2+\\ +U_{i\mathrm{,11}}^{(0)}\frac{x_1^2}{2}+U_{i\mathrm{,12}}^{(0)}{x}_1{x}_2+U_{i\mathrm{,22}}^{(0)}\frac{x_2^2}{2}+\mathrm{...}\end{array}$                               (4.28)

Здесь θ – полярный угол; величина ${\sigma }_{ij}^{(0)}={\delta }_{\text{i1}}{\delta }_{\text{i1}}T$ – известна как Т-напряжение; величины ${\sigma }_{ij}^{(-1/2)},U_i^{(-1/2)}$ определяются коэффициентами интенсивности напряжений. Последние получаются из общеизвестных выражений для распределения напряжений вблизи вершины трещины (например, [51]) применением уравнений теории упругости (значения КИН для рассматриваемых случаев известны (3.7)):

 $\begin{array}{c}{U}_1^{(-1/2)}=\frac{K_1}{2\sqrt{2\pi }}\cos \frac{\theta }{2}\left[2\left(1-\overline{\nu }\right)-\left(1+\overline{\nu }\right)\left(\cos \theta -\cos 2\theta \right)\right]-\\ \frac{K_2}{2\sqrt{2\pi }}\sin \frac{\theta }{2}\left[4+\left(1+\overline{\nu }\right)\left(\cos \theta +\cos 2\theta \right)\right]\\ U_2^{(-1/2)}=\frac{K_1}{2\sqrt{2\pi }}\sin \frac{\theta }{2}\left[-4+\left(1+\overline{\nu }\right)\left(\cos \theta +\cos 2\theta \right)\right]-\\ \frac{K_2}{2\sqrt{2\pi }}\cos \frac{\theta }{2}\left[2\left(1-\overline{\nu }\right)+\left(1+\overline{\nu }\right)\left(\cos \theta -\cos 2\theta \right)\right].\end{array}$                          (4.29)

Выражения для остальных интересующих величин, входящих в (4.28), получены в п.7:

    $\begin{array}{l}{U}_1^{(0)}\approx 5.0196M,U_{\mathrm{1,1}}^{(0)}\approx -2.3606M,U_{\mathrm{1,11}}^{(0)}\approx -3.423M,\\ U_{\mathrm{1,2}}^{(0)}=-U_{\mathrm{2,1}}^{(0)},U_{\mathrm{1,12}}^{(0)}\approx -U_{\mathrm{2,11}}^{(0)},U_{\mathrm{1,22}}^{(0)}=-\left(1-2\overline{\nu }\right)U_1^{(11)},\\ U_2^{(0)}\approx 2.0837T,U_{\mathrm{2,1}}^{(0)}\approx 3.808T,U_{\mathrm{2,11}}^{(0)}\approx 4.0268T,\\ U_{\mathrm{2,2}}^{(0)}=-\overline{\nu }{U}_{\mathrm{1,1}}^{(0)},U_{\mathrm{2,12}}^{(0)}\approx -\overline{\nu }{U}_{\mathrm{1,11}}^{(0)},U_{\mathrm{2,22}}^{(0)}\approx \overline{\nu }{U}_{\mathrm{2,11}}^{(0)}\end{array}$    (4.30)