T-stress in an orthotropic strip with a central semi-infinite crack loaded far from the crack tip

全文:

1. Введение. Напряженное состояние вблизи вершины трещины определяется в первую очередь главным сингулярным членом, имеющим порядок r ^-1/2, где r – расстояние до вершины трещины. Коэффициенты при этой сингулярности для нормальных и касательных напряжений, носящих название коэффициентов интенсивности напряжений [1], являются главными параметрами, с помощью которых описываются процессы развития трещин, в том числе направление их роста (см., напр., обзор [2]). Следующий член разложения поля напряжения вблизи вершины трещины имеет порядок r ⁰ (т.е. константы) и носит название Т-напряжения. Для трещин со свободными берегами единственной ненулевой компонентой данного члена разложения тензора напряжений, очевидно, может быть компонента нормальных напряжений, действующих на площадках перпендикулярных линии трещины. Роль Т-напряжений важна, в частности, в задачах об устойчивости прямолинейного пути распространения трещины при растяжении [3]. Концепция Т-напряжений использовалась также для объяснения других явлений, связанных с распространением трещин [4–7], в том числе в критериях, определяющих направление роста трещин [2]. Вычислению Т-напряжений посвящен большой ряд работ, авторы которых используют аналитические [8], полуаналитические [9] и численные, прежде всего МКЭ, методы [10, 11]. Обзор по Т-напряжениям, их экспериментальному определению, методам расчета и использованию в механике разрушения был дан в работе [12].

Задачи, связанные с распространением трещин в полосе, привлекают внимание как из-за их важности для различных приложений: расчета напряжений, вычисления коэффициентов интенсивности напряжений для стандартных испытаний на разрушение, таких как трех- и четырехточечный изгиб; изучение процессов разрушения в многослойных конструкциях; исследования адгезионных взаимодействий и отслоений покрытий, так и благодаря ее относительной простоте, позволяющей анализировать и выделять особенности процесса распространения трещин в подобных и более сложных системах [13–26].

Среди аналитических подходов к решению задач о полубесконечных трещинах следует отметить применение интегральных преобразований (преобразования Фурье либо двустороннего преобразования Лапласа) с последующим применением метода Винера–Хопфа [27–32]. Достоинством данного подхода является применимость полученных решений для всего диапазона упругих параметров. Данный подход позволяет получить аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений в виде интегралов от алгебраических функций. Аналитическое решение задачи для анизотропной полосы было получено с помощью данного подхода в работе [33] для частного вида нагрузки. В работе [34] было получено удобное для использования численное решение аналогичной задачи, пригодное для диапазона наиболее часто встречающихся упругих свойств, однако не охватывающего всего диапазона. Решение для системы симметрично приложенных на бесконечности нагрузок было получено в работе [35] и обобщено в [36] на случай произвольной системы нагрузок, приложенной на бесконечности. Достоинством решения [35, 36] является его пригодность для всего диапазона термодинамически допустимых значений упругих констант ортотропного тела. Обобщение решения [36] на случай полосы, составленной из двух полуполос равной толщины из одинакового линейно упругого ортотропного материала с главными осями тензора упругости, симметрично наклоненными к границе раздела, было сделано в работе [37]; обобщение на случай полосы, составленной из двух анизотропных полуполос различной толщины и различных свойств для некоторой комбинации параметров путем применения масштабирования, было сделано в работе [38].

Однако в работах [35–38] исследования ограничивались вычислением КИН. В работе [39] для трещины в изотропной полосе данный подход был применен для вычисления Т-напряжений. В настоящей работе этот подход применяется для вычисления Т-напряжений в ортотропной полосе.

В реальных задачах внешние нагрузки действуют на некоторых конечных расстояниях от вершины трещины. Однако если эти расстояния много больше толщины слоя, то согласно принципу Сен-Венана данные нагрузки можно считать приложенными на бесконечности. Относительная погрешность, вызванная использованием данного допущения, экспоненциально убывает с увеличением расстояния между точкой приложения нагрузки и вершиной трещины по сравнению с толщиной слоя. Данное обстоятельство оправдывает использованное ранее [35–39] и в настоящей работе отнесение системы приложенных усилий на бесконечность.

2. Формулировка задачи. Рассмотрим линейно упругую ортотропную пластину -h < y < h с центральной полубесконечной трещиной y = 0, x < 0 в декартовой системе координат с началом, совпадающим с вершиной трещины (рис. 1). Без потери общности можно положить h = 1.

Рис. 1. Геометрия и система приложенных нагрузок

Предполагаются выполненными условия плоской деформации или плоского напряженного состояния, так что закон Гука может быть записан в виде [40]:

$\begin{array}{l}{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{xx}}={\overline{\mathrm{\beta }}}_{11}{\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{xx}}+{\overline{\mathrm{\beta }}}_{12}{\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{yy}},\\ {\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{yy}}={\overline{\mathrm{\beta }}}_{12}{\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{xx}}+{\overline{\mathrm{\beta }}}_{22}{\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{yy}},\\ 2{\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{xy}}={\overline{\mathrm{\beta }}}_{66}{\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{xy}}.\end{array}$  (2.1)

Здесь ${\mathrm{\sigma }}_{xx},{\mathrm{\sigma }}_{yy},{\mathrm{\sigma }}_{xy}$ — компоненты тензора напряжения; ${\mathrm{\epsilon }}_{xx},{\mathrm{\epsilon }}_{yy},{\mathrm{\epsilon }}_{xy}$ – компоненты тензора малых деформаций; ${\overline{\mathrm{\beta }}}_{jk}$ – компоненты матрицы податливости, либо исходные, либо модифицированные для условий плоской деформации:

${\overline{\mathrm{\beta }}}_{jk}=\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\beta }}_{jk}\text{\hspace{0.17em}плоское напряженное состояние,}\\ {\mathrm{\beta }}_{jk}^{}-\frac{{\mathrm{\beta }}_{j3}^{}{\mathrm{\beta }}_{k3}^{}}{{\mathrm{\beta }}_{33}^{}} \text{плоская деформация.}\end{array}\right.$ (2.2)

 Полный набор уравнений включает также уравнения равновесия:

$\frac{\partial {\sigma }_{xx}^{}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{xy}^{}}{\partial y}=\mathrm{0,} \frac{\partial {\sigma }_{xy}^{}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yy}^{}}{\partial y}=\mathrm{0,}$ (2.3)

и уравнение совместности:

$\left(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\right)\left({\sigma }_{xx}^{}+{\sigma }_{yy}^{}\right)=0.$ (2.4)

Граничные условия включают:

• отсутствие напряжений на внешней границе полосы и берегах трещины:

$\begin{array}{l}{\sigma }_{yy}\left(x,h\right)={\sigma }_{xy}\left(x,h\right)={\sigma }_{yy}\left(x,-h\right)={\sigma }_{zy}\left(x,-h\right)=\mathrm{0,} \left|x\right|<\infty ,\\ {\sigma }_{yy}^{\left(u\right)}\left(x\mathrm{,0}\right)={\sigma }_{xy}^{\left(u\right)}\left(x\mathrm{,0}\right)={\sigma }_{yy}^{\left(d\right)}\left(x\mathrm{,0}\right)={\sigma }_{zy}^{\left(d\right)}\left(x\mathrm{,0}\right),x<\mathrm{0,}\end{array}$ (2.5)

где индексы u, d соответствуют верхнему и нижнему берегу трещины.

Нагрузки приложены достаточно далеко от вершины трещины так, что их можно рассматривать как приложенные на бесконечности, в виде трех изгибающих моментов, M₁, M₂, M₃, трех продольных сил, P₁, P₂, P₃, и трех поперечных сил, V₁, V₂, V₃p, с компенсирующими моментами, V₁l₁, V₂l₁, V₃l₂, $l_1\to \infty$, $l_2\to \infty$(рис. 1) [41, 42].

Рис. 1. Геометрия и система приложенных нагрузок

Вследствие глобального равновесия только шесть из девяти силовых параметра независимы:

$P_3=P_1-P_2, M_3=M_1-M_2+\frac{P_1+P_2}{2},V_3=V_1-V_2.$ (2.6)

Таким образом, шесть величин P₁, P₂, M₁, M₂, V₁, V₂ могут быть выбраны в качестве параметров, описывающих внешнюю нагрузку. Ввиду существования двух независимых комбинаций внешних усилий, не приводящих к относительному смещению берегов трещин [14, 15, 20, 42], так называемых “пассивных нагрузок”, можно выделить четыре независимые активные моды нагружения, вызывающие относительные смещения берегов трещины. Следуя работе [41], выберем четыре моды, соответствующие ненулевым значениям соответствующих параметров:

$\begin{array}{l}M=-\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}x{\sigma }_{yy}\left(x\mathrm{,0}\right)dx, V=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\sigma }_{yy}\left(x\mathrm{,0}\right)dx, P_K=\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{\sigma }_{xy}\left(x\mathrm{,0}\right)dx,\\ {\tau }_{\infty }= \underset{x\to \infty }{\lim }{\sigma }_{xy}\left(x\mathrm{,0}\right).\end{array}$ (2.7)

Введенные таким образом силовые параметры могут быть выражены через приложенные усилия следующим образом [41]:

$\begin{array}{l}M=\frac{M_1+M_2}{2},\\ P_K=\frac{3}{4h}\left(M_2-M_1\right)+\frac{P_1+P_2}{8},\\ V=\frac{V_1+V_2}{2},\\ {\tau }_{\infty }=\frac{3}{4h}\left(V_2-V_1\right).\end{array}$ (2.8)

Задача состоит в нахождении T-напряжений, т.е. предела компоненты тензора напряжения ${\mathrm{\sigma }}_{xx}$ при приближении к вершине трещины двигаясь вдоль ее берегов для четырех мод активного нагружения.

3. Решение для слоя; вычисление Т-напряжений. Распределение нормальных и касательных напряжений вдоль линии продолжения трещины было получено в работе [36] для всех четырех указанных мод нагружения (2.7) . Задача была решена путем применения двустороннего преобразования Лапласа к системе уравнений и граничным условиям и использованием метода Винера–Хопфа [43–45]. Выражения для Лаплас-образов нормальных напряжений, действующих вдоль линии продолжения центральной полубесконечной трещины в ортотропной полосе, полученные в работе [36], могут быть записаны следующим образом ${\widehat{\sigma }}_{yy}^{+}=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^3\left(1/2+ph{\lambda }^{-1/4}{\pi }^{-1}\right)}{{\mathrm{\Gamma }}^3\left(1+ph{\lambda }^{-1/4}{\pi }^{-1}\right)}{J}_{+}^{-1}\left(p\right)\mathrm{\Pi }\left(p\right), \mathrm{Re}\left(p\right)>\mathrm{0,}$ (3.1)

$\begin{array}{l}{J}_{+}\left(p\right)=\exp \left\{\frac{1}{2\pi }\right.\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\ln \left[\sqrt{\mathrm{\rho }-1}{\mathrm{th}}^3\left(\text{sh\hspace{0.17em}}{\lambda }^{-1/4}\text{}\right)\text{\hspace{0.17em}}\times \right.\\ \left.\left.\times \frac{\sqrt{\mathrm{\rho }+1}\mathrm{sh}\left(\text{sh\hspace{0.17em}}{\lambda }^{-1/4}\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }-1\right)}\text{}\right)+\sqrt{\mathrm{\rho }-1}\mathrm{sh}\left(\text{sh\hspace{0.17em}}{\lambda }^{-1/4}\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }+1\right)}\text{}\right)}{\left(\mathrm{\rho }-1\right)\mathrm{ch}\left(\text{sh\hspace{0.17em}}{\lambda }^{-1/4}\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }+1\right)}\text{}\right)-\left(\mathrm{\rho }+1\right)\mathrm{ch}\left(\text{sh\hspace{0.17em}}{\lambda }^{-1/4}\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }-1\right)}\text{}\right)+2}\right]\frac{ds}{is-p}\right\},\end{array}$ (3.2)

$\mathrm{\Pi }\left(p\right)=\frac{2^{3/4}{3}^{1/2}}{{\pi }^{3/2}{\left(\mathrm{\rho }+1\right)}^{1/4}}\left[V+\left(M+\frac{h}{{\lambda }^{1/4}}Y\left(\mathrm{\rho }\right)V\right)p\right],$ (3.3)

где

$Y\left(\mathrm{\rho }\right)=\frac{1}{\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{dL\left(s\right)}{ds}\frac{ds}{s}=\frac{1}{\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\left[L\left(s\right)-L\left(0\right)\right]\frac{ds}{s^2},$ (3.4)

$\begin{array}{l}L\left(s\right)=\ln \left[s^3\sqrt{\mathrm{\rho }-1}\text{\hspace{0.17em}}\frac{\sqrt{\mathrm{\rho }+1}\mathrm{sh}\left(s\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }-1\right)}\text{}\right)+\sqrt{\mathrm{\rho }-1}\mathrm{sh}\left(s\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }+1\right)}\text{}\right)}{\left(\mathrm{\rho }-1\right)\mathrm{ch}\left(s\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }+1\right)}\text{}\right)-\left(\mathrm{\rho }+1\right)\mathrm{ch}\left(s\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }-1\right)}\text{}\right)+2}\right],\mathrm{\rho }>\mathrm{1,}\\ L\left(s\right)=\ln \left[s^3\text{}\sqrt{1-\mathrm{\rho }}\frac{\sqrt{\mathrm{\rho }+1}\sin \left(s\sqrt{2\left(1-\mathrm{\rho }\right)}\text{}\right)+\sqrt{1-\mathrm{\rho }}\mathrm{sh}\left(s\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }+1\right)}\text{}\right)}{\left(\mathrm{\rho }-1\right)\mathrm{ch}\left(s\sqrt{2\left(\mathrm{\rho }+1\right)}\text{}\right)-\left(\mathrm{\rho }+1\right)\cos \left(s\sqrt{2\left(1-\mathrm{\rho }\right)}\text{}\right)+2}\right],-1<\mathrm{\rho }<1.\end{array}$ (3.5)

Здесь Г – гамма-функция Эйлера. Функция, определяемая (3.1), голоморфна при Re(p) > 0, следовательно ее оригинал ${\mathrm{\sigma }}_{yy}$(x, 0) тождественно равен нулю при x < 0, как и должно быть.

Функция Y($\mathrm{\rho }$) была вычислена в работе [36] и табулирована в [42].

Прямое и обратное преобразование Лапласа определены следующим образом [45, 46]:

$\widehat{f}\left(p,y\right)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(x,y\right)e^{-px}dx,$ (3.6)

$f\left(x,y\right)=-\frac{1}{2\pi i}\underset{L}{\int }\widehat{f}\left(p,y\right)e^{px}dp,$ (3.7)

где контур L соответствует мнимой оси комплексной плоскости p, а направление обхода – сверху вниз. Здесь и далее циркумфлекс над символом обозначает трансформанту от соответствующей функции.

Знание распределения нормальных и касательных напряжений, действующих на продолжении линии трещины, а следовательно, знание распределения напряжений на границе верхней и нижней полуполос, позволяет сформулировать первую основную задачу для данных областей для нахождения всех интересующих величин, включая Т-напряжение.

Отметим, что, подобно изотропному случаю [39], ненулевые Т-напряжения могут возникнуть только благодаря симметричным модам нагружения (М и Т в рассматриваемом случае). В этой связи распределения напряжений только благодаря этим модам выписаны в (3.1)–(3.5) и будут рассматриваться далее.

Рассмотрим верхний слой. Внутри области справедливы уравнения (2.1)–(2.4), вид граничных условий следует из (2.5) и (3.1)

${\sigma }_{yy}(x,h)={\sigma }_{xy}(x,h)=\mathrm{0,}{\sigma }_{yy}\left(x\mathrm{,0}\right)=qy\left(x\right),{\sigma }_{xy}\left(x\mathrm{,0}\right)=\mathrm{0,}\left|x\right|<\infty .$ (3.8)

Введение функции напряжений Эри F как

${\sigma }_{xx}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2},{\sigma }_{yy}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2},{\sigma }_{xy}=-\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x\partial y}$ (3.9)

позволяет тождественно удовлетворить уравнения рав новесия (2.3). Подстановка (3.9) в (2.1), а затем в сводит систему уравнений упругости для двумерного случая к одному уравнению относительно одного неизвестного (функции напряжений), например [40]:

${\mathrm{\beta }}_{22}\frac{{\partial }^{4}F}{\partial x^4}+\left({\mathrm{\beta }}_{66}+2{\mathrm{\beta }}_{12}\right)\frac{{\partial }^{4}F}{\partial x^2\partial y^2}+{\mathrm{\beta }}_{11}\frac{{\partial }^{4}F}{\partial y^4}=0.$(3.10)

Уравнение удобно записать, выразив коэффициенты податливости через безразмерные параметры $0<\mathrm{\lambda }<\infty , -1<\mathrm{\rho }<\infty$ [34]:

$\mathrm{\lambda }=\frac{{\mathrm{\beta }}_{11}}{{\mathrm{\beta }}_{22}}, \mathrm{\rho }=\frac{{\mathrm{\beta }}_{66}+2{\mathrm{\beta }}_{12}}{2\sqrt{{\mathrm{\beta }}_{11}{\mathrm{\beta }}_{22}}}.$ (3.11)

Применение двустороннего преобразования Лапласа (3.6) к уравнению (3.10) с использованием (3.11) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению для образа:

$p^4\widehat{F}\left(p,y\right)+2\sqrt{\mathrm{\lambda }}\mathrm{\rho }{p}^2\frac{{\partial }^2\widehat{F}\left(p,y\right)}{\partial y^2}+\lambda \frac{{\partial }^4\widehat{F}\left(p,y\right)}{\partial y^4}=0.$ (3.12)

Решение уравнения удовлетворяющее гр аничным условиям есть

$\widehat{F}\left(p,y\right)={\text{C}}_{\text{1}}\cos \left(k_{1}py\right)+{\text{C}}_{\text{2}}\cos \left(k_{2}py\right)+{\text{C}}_{\text{3}}\sin \left(k_{1}py\right)+{\text{C}}_{\text{4}}\sin \left(k_{2}py\right),$ (3.13)

где

$\begin{array}{l}{\text{C}}_{\text{1}}=\frac{k_2\left(k_2\sin \right(k_{1}p\left)\sin \right(k_{2}p)+k_1\cos (k_{1}p\left)\cos \right(k_{2}p)-k_1)}{p^2\left(\left({k_1}^2+{k_2}^2\right)\sin \left(k_{1}p\right)\sin \left(k_{2}p\right)+2k_1{k}_2\left(\cos \right(k_{1}p\left)\cos \right(k_{2}p)-1)\right)},\\ {\text{C}}_{\text{2}}=\frac{k_1\left(k_1\sin \right(k_{1}p\left)\sin \right(k_{2}p)+k_2\cos (k_{1}p\left)\cos \right(k_{2}p)-k_2)}{p^2\left(\left({k_1}^2+{k_2}^2\right)\sin \left(k_{1}p\right)\sin \left(k_{2}p\right)+2k_1{k}_2\left(\cos \right(k_{1}p\left)\cos \right(k_{2}p)-1)\right)},\\ {\text{C}}_{\text{3}}=\frac{k_2\left(k_1\sin \right(k_{1}p\left)\cos \right(k_{2}p)-k_2\cos (k_{1}p\left)\sin \right(k_{2}p\left)\right)}{p^2\left(\left({k_1}^2+{k_2}^2\right)\sin \left(k_{1}p\right)\sin \left(k_{2}p\right)+2k_1{k}_2\left(\cos \right(k_{1}p\left)\cos \right(k_{2}p)-1)\right)},\\ {\text{C}}_{\text{4}}=\frac{k_1\left(k_2\cos \right(k_{1}p\left)\sin \right(k_{2}p)-k_1\sin (k_{1}p\left)\cos \right(k_{2}p\left)\right)}{p^2\left(\left({k_1}^2+{k_2}^2\right)\sin \left(k_{1}p\right)\sin \left(k_{2}p\right)+2k_1{k}_2\left(\cos \right(k_{1}p\left)\cos \right(k_{2}p)-1)\right)},\end{array}$ (3.14)

$\begin{array}{l}{k}_{\mathrm{1,2}}={\lambda }^{-1/4}\sqrt{\mathrm{\rho }\pm \sqrt{{\mathrm{\rho }}^2-1}},k_1\pm k_2={\mathrm{\lambda }}^{-1/4}\sqrt{2}\sqrt{\mathrm{\rho }\pm 1},k_1{k}_2={\mathrm{\lambda }}^{-1/2},\\ k_1^2+k_2^2=2{\mathrm{\lambda }}^{-1/2}\mathrm{\rho },k_1^2-k_2^2=2{\mathrm{\lambda }}^{-1/2}\sqrt{{\mathrm{\rho }}^2-1}.\end{array}$ (3.15)

Применение первой из формул (3.9) к (3.16) дает выражение для трансформанты напряжения ${\mathrm{\sigma }}_{xx}$(x, y). В частности, для y = 0 имеем:

${\widehat{\sigma }}_{xx}^{}\left(p\mathrm{,0}\right)=\left(f\left(p\right)+1\right){\widehat{q}}_y^{}\left(p\right).$(3.16)

Здесь

$f\left(p\right)=\frac{-\mathrm{\rho cos}\left(k_{1}p\right)\cos \left(k_{2}p\right)-\sin \left(k_{1}p\right)\sin \left(k_{2}p\right)+\mathrm{\rho }}{\sqrt{\mathrm{\lambda }}\left(\mathrm{\rho sin}\left(k_{1}p\right)\sin \left(k_{2}p\right)+\cos \left(k_{1}p\right)\cos \left(k_{2}p\right)-1\right)}.$ (3.17)

Оригинал функции q_y(p) равен нулю при x < 0, следовательно, не имеет членов порядка x⁰ в степенном разложении возле нуля. Таким образом, для нахождения Т-напряжения, т.е. члена порядка x ⁰ в степенном разложении напряжения возле нуля, мы можем добавить в выражение (3.16) функцию ${\hat{q}}_y\left(p\right)$ с произвольным коэффициентом. При этом желательно выбрать данный коэффициент таким образом, чтобы интеграл обратного преобразования Лапласа сходился по возможности быстрее, что предполагает выбор его значения равным -1, так что

${\widehat{\sigma }}_{xx}\left(p\mathrm{,0}\right)=f\left(p\right){\widehat{q}}_y^{}\left(p\right).$ (3.18)

Применение обратного преобразования (3.7) к (3.18) дает распределение напряжений ${\mathrm{\sigma }}_{xx}$ вдоль линии трещины:

${\mathrm{\sigma }}_{xx}\left(x\mathrm{,0}\right)=-\frac{1}{2\pi i}\underset{L}{\overset{}{\int }}f\left(p\right){\widehat{q}}_y\left(p\right)e^{px}dp.$ (3.19)

Данное представление справедливо для отрицательных x. Здесь контур интегрирования – вертикальная линия в комплексной плоскости p, проходящая между нулем и ближайшем к нулю полюсом p₁ с положительной действи тельной частью функции (3.17). Для x = 0 формула (3.19) вместе с (3.17), (3.1)–(3.5), где ${\widehat{q}}_y\left(p\right)={\widehat{\sigma }}_{yy}^{+}\left(p\right),$ дает выражение для Т-напряжений. Однако наличие двух параметров $\mathrm{\lambda }, \mathrm{\rho }$ в подынтегральных выражениях приводит к тому, что использование данных формул становится неудобным. Подстановка $p={\mathrm{\lambda }}^{-1/4}p\text{'}$ позволяет вынести параметр $\lambda$ из-под интеграла, после чего выражение для Т-напряжений преобразуется к виду:

$T=T_{M}M+{\lambda }^{-1/4}{T}_{V}V,$(3.20)

здесь T_M, T_V – величины T-напряжений, вызванных действием единичного момента M и единичной пары сил V с компенсирующим моментом. Подстановка $p\text{'}=\mathrm{\gamma }+it, 0<\mathrm{\gamma }<\mathrm{Re}{p}_1$, приводит к следующим выражениям для T_M, T_V:

$T_M=6M-\frac{2^{3/4}{3}^{1/2}}{{\pi }^{3/2}{\left(\mathrm{\rho }+1\right)}^{1/4}}\frac{1}{2\pi }\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{f}^{\text{'}}\left(it+\gamma \right)\frac{{\mathrm{\Gamma }}^3\left(1/2+\left(it+\gamma \right){\pi }^{-1}\right)}{{\mathrm{\Gamma }}^3\left(1+\left(it+\gamma \right){\pi }^{-1}\right)}{J}_{+}^{-1}\left(it+\gamma \right)dt,$ (3.21)

$\begin{array}{c}{T}_V=-\frac{2^{3/4}{3}^{1/2}}{{\pi }^{3/2}{\left(\mathrm{\rho }+1\right)}^{1/4}}\frac{1}{2\mathrm{\pi }}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{f}^{\text{'}}\left(it+\gamma \right)\frac{{\mathrm{\Gamma }}^3\left(1/2+\left(it+\mathrm{\gamma }\right){\mathrm{\pi }}^{-1}\right)}{{\mathrm{\Gamma }}^3\left(1+\left(it+\mathrm{\gamma }\right){\mathrm{\pi }}^{-1}\right)}\times \\ \times J_{+}^{-1}\left(it+\gamma \right)\left[1+\left(it+\mathrm{\gamma }\right)Y\left(\mathrm{\rho }\right)\right]dt.\end{array}$(3.22)

В выражении (3.21) внеинтегральный член соответствует вычету подынтегральной функции в нуле, в выражении (3.22) внеинтегральный член отсутствует, поскольку вычет подынтегральной функции в нуле равен нулю.

Функции (3.17) и (3.2) для $\mathrm{\lambda }=1$ преобразуется следующим образом:

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(p\right)=\\ =\frac{\mathrm{\rho }\left(-\left(\cos \left(\sqrt{2}p\sqrt{\mathrm{\rho }-1}\right)+\cos \left(\sqrt{2}p\sqrt{\mathrm{\rho }+1}\right)\right)\right)-\cos \left(\sqrt{2}p\sqrt{\mathrm{\rho }-1}\right)+\cos \left(\sqrt{2}p\sqrt{\mathrm{\rho }+1}\right)+2\mathrm{\rho }}{\cos \left(\sqrt{2}p\sqrt{\mathrm{\rho }-1}\right)+\cos \left(\sqrt{2}p\sqrt{\mathrm{\rho }+1}\right)-\mathrm{\rho }\left(\cos \left(\sqrt{2}p\sqrt{\mathrm{\rho }+1}\right)-\cos \left(\sqrt{2}p\sqrt{\mathrm{\rho }-1}\right)\right)-2},\end{array}$ (3.23)

$\begin{array}{l}J{\text{'}}_{+}^{}\left(p\right)=\exp \left\{\frac{1}{2\pi }\right.\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\ln \left[\sqrt{\rho -1}{\mathrm{th}}^3\left(s\text{\hspace{0.17em}}\right)\text{\hspace{0.17em}}\times \right.\\ \times \left.\left.\frac{\sqrt{\rho +1}\mathrm{sh}\left(s\sqrt{2\left(\rho -1\right)}\text{}\right)+\sqrt{\rho -1}\mathrm{sh}\left(s\sqrt{2\left(\rho +1\right)}\text{}\right)}{\left(\rho -1\right)\mathrm{ch}\left(s\sqrt{2\left(\rho +1\right)}\text{}\right)-\left(\rho +1\right)\mathrm{ch}\left(s\sqrt{2\left(\rho -1\right)}\text{}\right)+2}\right]\frac{ds}{is-p}\right\}.\end{array}$ (3.24)

Функция Y($\mathrm{\rho }$) по- прежнему определяется формулами (3.4), (3.5).

4. Численные результаты. Величины T_M, T_V как функции r рассчитывались для значений $\mathrm{\gamma }>0$, не превышающих действительной части ближайшего нуля знаменателя функции (3.23), уменьшающегося с ростом $\mathrm{\rho }$. Результаты вычислений приведены в табл. 1. Из представленных результатов видно, что обе функции T_M, T_V возрастают с увеличением $\mathrm{\rho }$, причем функция T_V меняет знак.

Таблица 1. Т-напряжения, вызванные действием изгибающего момента и пары поперечных сил (с компенсирующим моментом)

Величина для $\mathrm{\rho }=1$ взята соответствующей изотропному телу [39].

В настоящее время получил распространение другой набор независимых мод нагружения расслаиваемый полосы [14, , 20], а именно:

1. Симметричное нагружение изгибающими моментами (совпадает с одним из рассмотренных случаев):

 $\left(M_1=M_2=M, M_3=P_1=P_2=P_3=V_1=V_2=V_3=0\right).$(4.1)

2. Нагружение одинаковыми по величине и разнонаправленными продольными силами и компенсирующим моментом, приложенным к нижней отслаиваемой части полосы:

$\left(P_1=P_2=P_S,M_2=P_1,M_1=M_3=P_3=V_1=V_2=V_3=0\right).$ (4.2)

3. Нагружение парой поперечных сил с компенсирующими моментами, приложенными к обоим отслаиваемым частям полосы (совпадает с одним из рассмотренных случаев):

$(V_1=V_2=D,M_1=M_2=M_3=P_1=P_2=P_3=V_3=0).$ (4.3)

4. Нагружение двумя одинаковыми по абсолютной величине и разнонаправленными поперечными силами с компенсирующими моментами, одна из которых приложена к верхней отслаиваемой полуполосе, а другая – к цельной части:

$M_1=M_3=M_2=V_2=P_1=P_2=P_3=0).$ (4.4)

Сравнение данных мод с модами, рассмотренными выше, приводит к следующему представлению эквивалентному (3.20) :

$T=T_M\left(M+\frac{P_S}{2}\right)+T_V\left(D+\frac{S}{2}\right).$ (4.5)

Заключение. Рассмотрена задача о полосе из ортотропного материала с главными осями тензора упругости, направленными параллельно и перпендикулярно ее границам и центральной полубесконечной трещиной. Сбалансированная система нагрузок в виде четырех независимых активных мод нагружения предполагается приложенной достаточно далеко от вершины трещины. На основании точного аналитического решения данной задачи получены выражения для Т-напряжений, т.е. главного несингулярного члена в разложении в близи вершины трещины нормального напряжения, действующего по нормали к линии трещины.

Показано, что для двух (антисеммитричных) мод нагружения Т-напряжения равны нулю, а для двух других (симметричных) – определяются одним либо двумя безразмерными параметрами, составленными из компонент тензора упругости.

Зависимости Т-напряжений для симметричных мод нагружения получены в виде двукратных интегралов от комбинаций элементарных функций, зависящих от одного из безразмерных параметров, при этом второй безразмерный параметр входит в выражение для Т-напряжений только одной из мод в виде мультипликативного коэффициента.

Работа выполнена при финансовой поддержке госзадания (№ госрегистрации 124012500441-6).

作者简介

K. Ustinov

编辑信件的主要联系方式.
Email: ustinov@ipmnet.ru
俄罗斯联邦, Moscow

参考

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

2. Fig. 1. Geometry and system of applied loads

下载 (70KB)

索引源数据