К определению двумерного закона изменения плотности в функционально-градиентной упругой пластине

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

В работе на основе общей постановки задачи об установившихся колебаниях неоднородного упругого изотропного тела сформулирована прямая задача о планарных колебаниях прямоугольной пластины в рамках плоского напряженного состояния. Левая грань пластины жестко закреплена, на правой приложена осциллирующая растягивающая нагрузка. Свойства функционально-градиентного материала пластины описываются двумерными законами изменения модуля Юнга, коэффициента Пуассона и плотности. Для общности рассмотрения приведена безразмерная постановка задачи. Решение прямой задачи об определении поля перемещений получено с помощью метода конечных элементов. Показано влияние каждой характеристики материала на поле перемещений и значения первой резонансной частоты. Проведен анализ полученных результатов. Рассмотрена обратная задача об определении закона изменения плотности по данным о значениях компонент поля перемещений при фиксированной частоте. Для снижения погрешности вычисления производных от таблично-заданных функций двух переменных предложен подход, основанный на сплайн-аппроксимации и алгоритме локально взвешенной регрессии. Представлены примеры реконструкции законов различного вида, демонстрирующие возможность использования этого подхода.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

В. В. Дударев

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: dudarev_vv@mail.ru
Россия, Ростов-на-Дону

Р. М. Мнухин

Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет

Email: romamnuhin@yandex.ru
Россия, Ростов-на-Дону

Список литературы

  1. Kieback B., Neubrand A., Riedel H. Processing techniques for functionally graded materials // Mater. Sci. Eng. A. 2003. V. 362. № 1–2. https://doi.org/10.1016/S0921-5093(03)00578-1
  2. Naebe M., Shirvanimoghaddam K. Functionally graded materials: A review of fabrication and properties // Applied materials today. 2016. V. 5. P. 223–245. https://doi.org/10.1016/j.apmt.2016.10.001
  3. Функционально-градиентные композиционные строительные материалы и конструкции. / Селяев В.П., Карташов В.А., Клементьев В.Д., Лазарев А.Л. Саранск: Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарева, 2005. 160 с.
  4. Suresh S., Mortensen A. Fundamentals of Functionally Graded Materials. London: IOM Communications Ltd, 1998. 165 p.
  5. Birman V., Byrd L. Modeling and analysis of functionally graded materials and struc tures // Appl. Mech. Rev. 2007. V. 60. № 5. P. 195–216. https://doi.org/10.1115/1.2777164
  6. Saleh B. et al. 30 Years of functionally graded materials: An overview of manufacturing methods, Applications and Future Challenges // Composites, Part B. 2020. V. 201. Article number 108376. https://doi.org/10.1016/j.compositesb.2020.108376
  7. Boggarapu V. et al. State of the art in functionally graded materials // Compos. Struct. 2021. V. 262. Article number 113596. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2021.113596
  8. Asemi K., Ashrafi H., Shariyat M. Three-dimensional stress and free vibration analyses of functionally graded plates with circular holes by the use of the graded finite element method // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2016. V. 57. № 4. P. 690–700. https://doi.org/10.1134/S0021894416040131
  9. Товстик П.Е., Товстик Т.П. Двухмерная модель пластины из анизотропного неоднородного материала // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 2. С. 32–45. https://doi.org/10.3103/S0025654417020042
  10. Папков С.О. Новые аналитические решения для задач колебания толстых пластин // Вестник ПНИПУ. Механика. 2019. № 4. С. 145–156. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2019.4.14
  11. Kumar S., Jana P. Accurate solution for free vibration behaviour of stepped FGM plates implementing the dynamic stiffness method // Structures. 2022. V. 45. P. 1971–1989. https://doi.org/10.1016/j.istruc.2022.10.035
  12. Ravindran A., Bhaskar K. Three-dimensional analysis of composite FGM rectangular plates with in-plane heterogeneity // Int. J. Mech. Sci. 2019. V. 160. P. 386–396. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2019.07.004
  13. Shen H.S. Functionally graded materials: nonlinear analysis of plates and shells. Boca Raton: CRC press, 2016. 280 p. https://doi.org/10.1201/9781420092578
  14. Xing Y., Li G., Yuan Y. A review of the analytical solution methods for the eigenvalue problems of rectangular plates // Int. J. Mech. Sci. 2022. V. 221. P. 107171. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2022.107171
  15. Xing Y.F., Liu B. Exact solutions for the free in-plane vibrations of rectangular plates // Int. J. Mech. Sci. 2009. V. 51. № 3. P. 246–255. https://doi.org/10.1016/j.ijmecsci.2008.12.009
  16. Du J. et al. An analytical method for the in-plane vibration analysis of rectangular plates with elastically restrained edges // J. Sound Vib. 2007. V. 306. № 3-5. P. 908–927. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2007.06.011
  17. Gorman D.J. Exact solutions for the free in-plane vibration of rectangular plates with two opposite edges simply supported // J. Sound Vib. 2006. V. 294. № 1–2. P. 131–161. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2005.10.023
  18. Gorman D.J. Free in-plane vibration analysis of rectangular plates by the method of superposition // J. Sound Vib. 2004. V. 272. № 3–5. P. 831–851. https://doi.org/10.1016/S0022-460X(03)00421-8
  19. Bardell N.S., Langley R.S., Dunsdon J.M. On the free in-plane vibration of isotropic rectangular plates // J. Sound Vib. 1996. V. 191. № 3. P. 459–467. https://doi.org/10.1006/jsvi.1996.0134
  20. Zhao T. et al. Free in-plane vibration of irregular laminated plate with curved edges based on boundary-type Chebyshev–Ritz method // Thin-Walled Structures. 2023. V. 190. P. 110977. https://doi.org/10.1016/j.tws.2023.110977
  21. Lyu P., Du J., Liu Z., Zhang P. Free in-plane vibration analysis of elastically restrained annular panels made of functionally graded material // Compos. Struct. 2017. V. 178. P. 246–259. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2017.06.065
  22. Irie T., Yamada G., Muramoto Y. Natural frequencies of in-plane vibration of annular plates // J Sound Vib. 1984. V. 97. № 1. P. 171–175. https://doi.org/10.1016/0022-460X(84)90479-6
  23. Wang Q., Shi D., Liang Q., e Ahad F. A unified solution for free in-plane vibration of orthotropic circular, annular and sector plates with general boundary conditions // Appl. Math. Model. 2016. V. 40. № 21-22. P. 9228–9253. https://doi.org/10.1016/j.apm.2016.06.005
  24. Chen Z., Qin B., Zhong R., Wang Q. Free in-plane vibration analysis of elastically restrained functionally graded porous plates with porosity distributions in the thickness and in-plane directions // Eur. Phys. J. Plus. 2022. V. 137. № 1. P. 158. https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-021-02153-w
  25. Arreola-Lucas A., Franco-Villafane J.A., Baez G., Mendez-Sanchez R.A. In-plane vibrations of a rectangular plate: Plane wave expansion modelling and experiment // J. Sound Vib. 2015. V. 342. P. 168–176. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2014.12.043
  26. Schaadt K., Simon G., Ellegaard C. Ultrasound resonances in a rectangular plate described by random matrices // Phys. Scr. 2001. V. 2001. № T90. P. 231. https://doi.org/10.1238/Physica.Topical.090a00231
  27. Larsson D. In-plane modal testing of a free isotropic rectangular plate // Exp. Mech. 1997. V. 37. № 3. P. 339–343. https://doi.org/10.1007/BF02317428
  28. Nedin R., Vatulyan A. Inverse problem of non-homogeneous residual stress identification in thin plates // Int. J. Solids Struct. 2013. V. 50. № 13. P. 2107–2114. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2013.03.008
  29. Huang C., Wang L., Wang K. Residual stress identification in thin plates based on modal data and sensitivity analysis // Int. J. Solids Struct. 2022. V. 236–237. Article number 111350. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2021.111350
  30. Богачев И.В., Ватульян А.О., Явруян О.В. Реконструкция жесткости неоднородной упругой пластины // Акустический журнал. 2016. Т. 62. № 3. С. 369–374. https://doi.org/10.7868/S0320791916030059
  31. Ablitzer F., Pezerat C., Lascoup B., Brocail J. Identification of the flexural stiffness parameters of an orthotropic plate from the local dynamic equilibrium without a priori knowledge of the principal directions // J. Sound Vib. 2017. V. 404. P. 31–46. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2017.05.037
  32. Богачев И.В. Совместная идентификация механических характеристик функционально-градиентных пластин в рамках моделей Кирхгофа и Тимошенко // Вестник ПНИПУ. Механика. 2021. № 4. С. 19–28. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2021.4.03
  33. Lopes H., dos Santos J., Katunin A. Identification of material properties of a laminated plate from measurements of natural frequencies and modal rotations // Procedia Struct. Integr. 2019. V. 17. P. 971–978. https://doi.org/10.1016/j.prostr.2019.08.129
  34. Rodrigues A., dos Santos J., Lopes H. Identification of material properties of green laminate composite plates using bio-inspired optimization algorithms // Procedia Struct. Integr. 2022. V. 37. P. 684–691. https://doi.org/10.1016/j.prostr.2022.01.138
  35. Ватульян А.О. Коэффициентные обратные задачи механики. М.: Физматлит, 2019. 272 с.
  36. Васильев М.П., Ягола А.Г. Применение многопроцессорных систем для решения двумерных интегральных уравнений Фредгольма I рода // Вычислительные методы и программирование. 2003. Т. 4. № 1. С. 323–326.
  37. Лукьяненко Д.В., Ягола А.Г. Использование многопроцессорных систем для решения обратных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 1. С. 222–234.
  38. Nedin R.D., Vatulyan A.O. Advances in modeling and identification of prestresses in modern materials // Advanced Materials Modelling for Mechanical, Medical and Biological Applications. 2022. V. 155. P. 357–374. https://doi.org/10.1007/978-3-030-81705-3_19
  39. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Ленанд, 2014. 367 с.
  40. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. М.: Физматлит, 2009. 312 с.
  41. Dudarev V.V., Mnukhin R.M., Nedin R.D., Vatulyan A.O. Effect of material inhomogeneity on characteristics of a functionally graded hollow cylinder // Appl. Math. Comput. 2020. V. 382. Article number 125333. https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125333
  42. Vatulyan A.O., Dudarev V.V., Mnukhin R.M. Identification of characteristics of a functionally graded isotropic cylinder // Int. J. Mech. Mater. Des. 2021. V. 17. P. 321–332. https://doi.org/10.1007/s10999-020-09527-5
  43. Asgari M., Akhlaghi M. Natural frequency analysis of 2D FGM thick hollow cylinder based on three-dimensional elasticity equation // Eur. J. Mech. A/Solids. 2011. V. 30. № 2. P. 72–81. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2010.10.002
  44. Vatulyan A.O., Dudarev V.V., Mnukhin R.M., Nedin R.D. Identification of the Lame parameters of an inhomogeneous pipe based on the displacement field data // Eur. J. Mech. A/Solids. 2020. V. 81. Article number 103939. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2019.103939
  45. Lindstrom S.B. et al. Integrated digital image correlation for mechanical characterization of carbon fiber-reinforced polymer plates // Compos. Struct. 2023. V. 305. P. 116501. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2022.116501
  46. Rokos O., Peerlings R.H.J., Hoefnagels J.P.M., Geers M.G.D. Integrated digital image correlation for micro-mechanical parameter identification in multiscale experiments // Int. J. Solids Struct. 2023. V. 267. P. 112130. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2023.112130
  47. Koohbor B. et al. Through thickness elastic profile determination of functionally graded materials // Exp. Mech. 2015. V. 55. № 8. P. 1427–1440. https://doi.org/10.1007/s11340-015-0043-z
  48. Tutuncu N. Stresses in thick-walled FGM cylinders with exponentially-varying proper ties // Eng. Struct. 2007. V. 29. № 9. P. 2032–2035. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2006.12.003
  49. Nejad M.Z., Jabbari M., Ghannad M. Elastic analysis of axially functionally graded rotating thick cylinder with variable thickness under non-uniform arbitrarily pressure loading // Int. J. Eng. Sci. 2015. V. 89. P. 86–99. https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2014.12.004
  50. Romano A.J., Shirron J.J., Bucaro J.A. On the noninvasive determination of material parameters from a knowledge of elastic displacements theory and numerical simulation // IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Control. 1998. V. 45. № 3. P. 751–759. https://doi.org/10.1109/58.677725
  51. Cleveland W.S. Robust locally weighted regression and smoothing Scatterplots // J. Am. Stat. Assoc. 1979. V. 74. № 368. P. 829–836. https://doi.org/10.1080/01621459.1979.10481038
  52. Marzavan S., Nastasescu V. Displacement calculus of the functionally graded plates by finite element method // Alex. Eng. J. 2022. V. 61. № 12. P. 12075–12090. https://doi.org/10.1016/j.aej.2022.06.004

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. График функции δξ₁ для d = 1, n = m = 1, соответствующие амплитудному изменению функции rd.

Скачать (79KB)
Метаданные
3. Рис. 2. График функции δξ₂ для d = 1, n = m = 1, соответствующие амплитудному изменению функции rd .

Скачать (89KB)
Метаданные
4. Рис. 3. График функции δξ₁ для fρ при n = m = 3.

Скачать (79KB)
Метаданные
5. Рис. 4. График функции δξ₂ для fρ при n = m = 3.

Скачать (95KB)
Метаданные
6. Рис. 5. Графики сплайнов компонент тензора напряжений: (a) Ss₁₁; (b) Ss₁₂.

Скачать (147KB)
Метаданные
7. Рис. 6. (a) графики точной квадратичной функции rex(ξ₁,ξ₂) = fρ(ξ₁,ξ₂) при n = m = 2 (сплошная поверхность) и восстановленной функции rrec(ξ₁,ξ₂) (сетка); (b) график функции относительной погрешности δρ(ξ₁,ξ₂).

Скачать (183KB)
Метаданные
8. Рис. 7. (a) графики точной экспоненциальной функции rex(ξ₁,ξ₂) = 0.5(eξ₁ + e4ξ) (сплошная поверхность) и восстановленной функции rrec(ξ₁,ξ₂) (сетка); (b) график функции относительной погрешности δρ(ξ₁,ξ₂).

Скачать (144KB)
Метаданные
9. Рис. 8. (a) графики точной тригонометрической функции rex(ξ₁, ξ₂) = 3.5 – 0.5cos(1.2π(ξ₁+ξ₂)) (сплошная поверхность) и восстановленной функции rrec(ξ₁, ξ₂) (сетка); (b) график функции относительной погрешности δρ(ξ₁, ξ₂).

Скачать (189KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».