Нормализация рационально интегрируемых систем

Хорошо известно, что любое аналитическое векторное поле вблизи особой точки допускает нормализацию Пуанкаре–Биркгофа, однако эта нормализация в общем случае является лишь формальной, а задача о ее сходимости сложна. В [26], [27] мы предложили новый подход к нормализации векторных полей через внутренние ассоциированные действия тора: аналитическое векторное поле аналитически нормализуемо вблизи особой точки в том и только том случае, когда его ассоциированное действие аналитично (а не просто формально). Затем мы показали, что если векторное поле аналитически интегрируемо, то его ассоциированное действие тора аналитично, поэтому такое векторное поле аналитически нормализуемо [26], [27]. В настоящей работе мы обобщили этот результат (об аналитической нормализации) на случай рационально интегрируемых систем, первые интегралы и коммутирующие векторные поля которых не обязательно являются аналитическими, а являются только рациональными (т.е. отношениями аналитических функций или покомпонентными отношениями аналитических векторных полей). Например, любое векторное поле вида $X=fY$, где $Y$ – аналитически диагонализуемое векторное поле, а $f$ – аналитическая функция такая, что $Y(f)=0$, является рационально интегрируемым, но не обязательно аналитически интегрируемым.Библиография: 31 название.