Отправить статью по E-mail О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь $\sqrt{f}$ для кубических многочленов $f$ над полями алгебраических чисел
- Авторы: Платонов В.П.1,2, Жгун В.С.1, Петрунин М.М.1
-
Учреждения:
- Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук
- Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
- Выпуск: Том 213, № 3 (2022)
- Страницы: 139-170
- Раздел: Статьи
- URL: https://bakhtiniada.ru/0368-8666/article/view/133441
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9578
- ID: 133441
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Получено полное описание полей $\mathbb K$, являющихся расширениями $\mathbb Q$ степени не более $3$, и кубических многочленов $f \in\mathbb K[x]$, для которых разложение $\sqrt{f}$ в непрерывную дробь в поле формальных степенных рядов $\mathbb K((x))$ периодично. Доказана теорема конечности для кубических многочленов $f \in\mathbb K[x]$ с периодическим разложением $\sqrt{f}$ для расширений $\mathbb Q$ степени не более $6$. Получено описание периодических элементов $\sqrt{f}$ для кубических многочленов $f(x)$, определяющих эллиптические кривые с точками порядка $3 \le N\le 42$, $N \ne 37, 41$.Библиография: 19 названий.
Ключевые слова
Об авторах
Владимир Петрович Платонов
Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук; Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Email: platonov@mi-ras.ru
доктор физико-математических наук, профессор
Владимир Сергеевич Жгун
Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук
Email: zhgoon@mail.ru
кандидат физико-математических наук, без звания
Максим Максимович Петрунин
Федеральный научный центр Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук
Email: petrushkin@yandex.ru
кандидат физико-математических наук, без звания
Список литературы
- В. П. Платонов, “Теоретико-числовые свойства гиперэллиптических полей и проблема кручения в якобианах гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел”, УМН, 69:1(415) (2014), 3–38
- В. П. Платонов, В. С. Жгун, Г. В. Федоров, “Непрерывные дроби в гиперэллиптических полях и представление Мамфорда”, Докл. РАН, 471:6 (2016), 640–644
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “Группы $S$-единиц и проблема периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Топология и физика, Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Сергея Петровича Новикова, Труды МИАН, 302, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М., 2018, 354–376
- В. П. Платонов, Г. В. Федоров, “О проблеме периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях”, Матем. сб., 209:4 (2018), 54–94
- B. Mazur, “Rational points on modular curves”, Modular functions of one variable V (Univ. Bonn, Bonn, 1976), Lecture Notes in Math., 601, Springer, Berlin, 1977, 107–148
- D. S. Kubert, “Universal bounds on the torsion of elliptic curves”, Proc. London Math. Soc. (3), 33:2 (1976), 193–237
- M. A. Kenku, F. Momose, “Torsion points on elliptic curves defined over quadratic fields”, Nagoya Math. J., 109 (1988), 125–149
- M. Derickx, A. Etropolski, M. van Hoeij, J. S. Morrow, D. Zureick-Brown, “Sporadic cubic torsion”, Algebra Number Theory, 15:7 (2021), 1837–1864
- P. Parent, “Bornes effectives pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres”, J. Reine Angew. Math., 1999:506 (1999), 85–116
- В. П. Платонов, В. С. Жгун, Г. В. Федоров, “О периодичности непрерывных дробей в гиперэллиптических полях над квадратичным полем констант”, Докл. РАН, 482:2 (2018), 137–141
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, В. С. Жгун, Ю. Н. Штейников, “О конечности гиперэллиптических полей со специальными свойствами и периодическим разложением $sqrt{f}$”, Докл. РАН, 483:6 (2018), 609–613
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, Ю. Н. Штейников, “О конечности числа эллиптических полей с заданными степенями $S$-единиц и периодическим разложением $sqrt{f}$”, Докл. РАН, 488:3 (2019), 237–242
- В. П. Платонов, В. С. Жгун, М. М. Петрунин, “О проблеме периодичности разложений в непрерывную дробь $sqrt{f}$ для кубических многочленов над числовыми полями”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 493:1 (2020), 32–37
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “О конечности числа периодических разложений в непрерывную дробь $sqrt{f}$ для кубических многочленов над полями алгебраических чисел”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 495:1 (2020), 48–54
- В. П. Платонов, М. М. Петрунин, “$S$-единицы в гиперэллиптических полях и периодичность непрерывных дробей”, Докл. РАН, 470:3 (2016), 260–265
- A. V. Sutherland, “Constructing elliptic curves over finite fields with prescribed torsion”, Math. Comp., 81:278 (2012), 1131–1147
- Daeyeol Jeon, Chang Heon Kim, Euisung Park, “On the torsion of elliptic curves over quartic number fields”, J. London Math. Soc. (2), 74:1 (2006), 1–12
- M. Derickx, A. V. Sutherland, “Torsion subgroups of elliptic curves over quintic and sextic number fields”, Proc. Amer. Math. Soc., 145:10 (2017), 4233–4245
- Daeyeol Jeon, Chang Heon Kim, A. Schweizer, “On the torsion of elliptic curves over cubic number fields”, Acta Arith., 113:3 (2004), 291–301
Дополнительные файлы
