Отправить статью по E-mail Операторные $E$-нормы и их использование
- Авторы: Широков М.Е.1
-
Учреждения:
- Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
- Выпуск: Том 211, № 9 (2020)
- Страницы: 119-152
- Раздел: Статьи
- URL: https://bakhtiniada.ru/0368-8666/article/view/133353
- DOI: https://doi.org/10.4213/sm9336
- ID: 133353
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Рассмотрено семейство эквивалентных норм (названных операторными $E$-нормами) на алгебре $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$ всех ограниченных операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, индуцированных положительным плотно определенным оператором $G$ в $\mathscr{H}$. Выбирая разные операторы $G$, можно получить операторные $E$-нормы, порождающие разные топологии, в частности сильную операторную топологию на ограниченных подмножествах в $\mathfrak{B}(\mathscr{H})$.Доказана обобщенная версия теоремы Кречмана–Шлингемана–Вернера, которая показывает непрерывность представления Стайнспринга линейных вполне положительных отображений относительно нормы полной ограниченности с энергетическим ограничением на множестве линейных вполне положительных отображений и операторной $E$-нормы на множестве операторов Стайнспринга.Показано, что операторные $E$-нормы естественно определяются на множестве линейных операторов, ограниченных относительно оператора $\sqrt{G}$, и превращают это множество в банахово пространство. Получены явные соотношения между операторными $E$-нормами и стандартными характеристиками относительно ограниченных операторов. С помощью операторных $E$-норм получены простые оценки сверху и оценки модуля непрерывности важных для приложений функций, зависящих от относительно ограниченных операторов.Библиография: 29 названий.
Об авторах
Максим Евгеньевич Широков
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Email: msh@mi-ras.ru
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник
Список литературы
- У. Браттели, Д. Робинсон, Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, Мир, М., 1982, 512 с.
- V. Paulsen, Completely bounded maps and operator algebras, Cambridge Stud. Adv. Math., 78, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, xii+300 pp.
- М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 1, Функциональный анализ, Мир, М., 1977, 357 с.
- А. С. Холево, Квантовые системы, каналы, информация, МЦНМО, М., 2010, 328 с.
- J. Watrous, The theory of quantum information, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2018, viii+590 pp.
- M. M. Wilde, Quantum information theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2013
- А. Я. Хелемский, Лекции по функциональному анализу, МЦНМО, М., 2004, 552 с.
- M. E. Shirokov, “Strong convergence of quantum channels: continuity of the Stinespring dilation and discontinuity of the unitary dilation”, J. Math. Phys. (to appear)
- M. E. Shirokov, “On extension of quantum channels and operations to the space of relatively bounded operators”, Lobachevskii J. Math., 41:4 (2020), 714–727
- M. E. Shirokov, A. S. Holevo, “Energy-constrained diamond norms and quantum dynamical semigroups”, Lobachevskii J. Math., 40:10 (2019), 1569–1586
- D. Kretschmann, D. Schlingemann, R. F. Werner, “A continuity theorem for Stinespring's dilation”, J. Funct. Anal., 255:8 (2008), 1889–1904
- A. Winter, Energy-constrained diamond norms with applications to the uniform continuity of continuous variable channel capacities
- А. С. Холево, “Классические пропускные способности квантового канала с ограничением на входе”, Теория вероятн. и ее примен., 48:2 (2003), 359–374
- A. Winter, “Tight uniform continuity bounds for quantum entropies: conditional entropy, relative entropy distance and energy constraints”, Comm. Math. Phys., 347:1 (2016), 291–313
- С. В. Вейс, М. Е. Широков, “О крайних точках множества состояний с ограниченной энергией”, УМН (в печати)
- W. F. Stinespring, “Positive functions on $C^*$-algebras”, Proc. Amer. Math. Soc., 6:2 (1955), 211–216
- V. P. Belavkin, G. M. D'Ariano, M. Raginsky, “Operational distance and fidelity for quantum channels”, J. Math. Phys., 46:6 (2005), 062106, 23 pp.
- D. Aharonov, A. Kitaev, N. Nisan, “Quantum circuits with mixed states”, STOC' 98. Proceedings of the 30th annual ACM symposium on theory of computing (Dallas, TX, 1998), ACM, New York, 1999, 20–30
- М. Е. Широков, “О норме полной ограниченности с энергетическим ограничением и ее использовании в квантовой теории информации”, Пробл. передачи информ., 54:1 (2018), 24–38
- S. Pirandola, R. Laurenza, C. Ottaviani, L. Banchi, “Fundamental limits of repeaterless quantum communications”, Nat. Commun., 8 (2017), 15043
- M. E. Shirokov, “Uniform continuity bounds for information characteristics of quantum channels depending on input dimension and on input energy”, J. Phys. A, 52:1 (2019), 014001, 31 pp.
- R. Nair, “Quantum-limited loss sensing: Multiparameter estimation and Bures distance between loss channels”, Phys. Rev. Lett., 121 (2018), 230801
- S. Simons, Minimax and monotonicity, Lecture Notes in Math., 1693, Springer-Verlag, Berlin, 1998, xii+172 pp.
- A. Uhlmann, “The “transition probability” in the state space of a $*$-algebra”, Rep. Math. Phys., 9:2 (1976), 273–279
- Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
- I. Bengtsson, K. Życzkowski, Geometry of quantum states. An introduction to quantum entanglement, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2017, xv+619 pp.
- М. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической физики, т. 2, Гармонический анализ. Самосопряженность, Мир, М., 1978, 395 с.
- B. Simon, Operator theory, Compr. Course Anal., 4, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015, xviii+749 pp.
- В. Ю. Протасов, М. Е. Широков, “О взаимно обратных преобразованиях функций на полупрямой”, Докл. РАН, 489:5 (2019), 452–455
Дополнительные файлы
