О скорости звука в многофазных системах

详细

Вычислена общая зависимость скорости звука c_s в двухфазной системе типа: “жидкость + газ” и “газ + жидкость” в виде функции от концентрации x добавочной фазы и термодинамических параметров смеси. Показано, что в предельных случаях, когда концентрация стремится к нулю или к единице, получаются формулы, численные значения которых хорошо согласуются с известными значениями для скорости звука в воде и воздухе. Дано обобщение этой формулы на многокомпонентные системы. Графически проиллюстрирована найденная функциональная зависимость c_s(x) для случая двухфазной среды и показано ее качественное и количественное соответствие с результатами других авторов.

全文:

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем сообщении мы подробно остановимся на важном в практическом отношении вопросе о вычислении функциональной зависимости скорости звука в многофазных структурах. Вначале будет рассмотрен случай двухфазной среды с целью наметить алгоритм вычисления, а затем полученные формулы будут обобщены на произвольный случай многофазных сред, которые в настоящее время весьма интенсивно изучаются (см. [1–17]).

Первые теоретические результаты в этом направлении были изложены, видимо, в [18], где на стр. 355 приводится решение задачи о вычислении скорости звука в системе “жидкость + газ” и “газ + жидкость” в зависимости от ряда термодинамических параметров таких двухфазных структур. Здесь следует отметить, что авторы монографии [18] вычислили предельные выражения для скорости звука в обоих рассмотренных случаях (“жидкость + газ” и “газ + жидкость”), и при этом привели обстоятельные аргументы, касающиеся того факта, почему приведенная ими формула “не работает” при переходе к двум предельным случаям, когда x = 0 и x = 1.

Заметим, что в работе [16], в которой, если говорить формальным языком, изучалась трехфазная система, где роль третьей фазы была отведена металлическим примесным частицам, авторами приведена формула, описывающая зависимость скорости звука как функции от концентрации. Она имеет вид $\frac{c_s}{1-x}$. Однако, как видно, подобное поведение скорости звука характеризуется сингулярностью в точке x = 1.

Ниже мы приведем подробное решение этой задачи, лишенное отмеченных недостатков, когда полученное общее выражение позволяет непрерывным образом описывать переход к обоим предельным случаям x = 0 и x = 1 без каких-либо ограничений. При этом считается, что размер неоднородностей r добавляемой фазы должен удовлетворять условию λ >> r, где λ – длина волны звука. Подобное приближение означает, что мы имеем право ввести в рассмотрение концентрацию примесной фазы.

Общий подход и решение задачи для двухкомпонентной среды

Введем относительную концентрацию добавочной фазы с помощью формулы $x=\frac{n_1\overline{v}}{V}$, где n1 – число “капелек” добавочной фазы, v – их средний размер (см. монографию [19]), V = V₀ + V₁ – полный объем, V₀ – объем, занимаемый основным веществом. Заметим здесь, что мы придерживаемся тех же обозначений, что и в монографии [20], т. е. индекс “0” относится к основной фазе, а индекс “1” – к добавочной.

Благодаря аддитивным свойствам энтропии S и объема V мы имеем право записать:

$S=\left(1-x\right)S_0+x{S}_1,$ (1)

$V=\left(1-x\right)V_0+x{V}_1.$ (2)

Исходя из классического определения скорости звука [18], согласно которому $c_s^2={\left(\frac{\partial P}{\partial \rho }\right)}_S$, добавим в него еще одну независимую переменную, в качестве которой выберем полное количество молекул N = N₀ + N₁. Тогда квадрат обратной скорости звука можно представить как

$\frac{1}{c_s^2}=-\frac{\rho }{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_{S,N}.$ (3)

Преобразуем теперь формулу (3), перейдя в ней к новым независимым переменным (P, x, T). В результате у нас получается следующая цепочка преобразований

$\begin{array}{c}\frac{1}{c_s^2}=-\frac{\rho }{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_{S,N}=\frac{\partial \left(V,S,N\right)}{\partial \left(P,x,T\right)}\frac{\partial \left(P,x,T\right)}{\partial \left(P,S,N\right)}=\left|\begin{array}{ccc}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_{T,x}& {\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)}_{P,T}& {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_{P,x}\\ {\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)}_{T,x}& {\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)}_{P,T}& {\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{P,x}\\ {\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)}_{T,x}& {\left(\frac{\partial N}{\partial x}\right)}_{P,x}& {\left(\frac{\partial N}{\partial T}\right)}_{P,x}\end{array}\right|\frac{1}{\left|\begin{array}{cc}{\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)}_{P,T}& {\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{P,x}\\ {\left(\frac{\partial N}{\partial x}\right)}_{P,T}& {\left(\frac{\partial N}{\partial T}\right)}_{P,x}\end{array}\right|}=\\ \end{array}$

$=\frac{1}{\left(S_1-S_0\right){\left(\frac{\partial N}{\partial T}\right)}_{P,x}}\left|\begin{array}{ccc}\left(1-x\right){\left(\frac{\partial V_0}{\partial P}\right)}_{T,x}+x{\left(\frac{\partial V_1}{\partial P}\right)}_{T,x}& V_1-V_0& \left(1-x\right){\left(\frac{\partial V_0}{\partial T}\right)}_{P,x}+x{\left(\frac{\partial V_1}{\partial T}\right)}_{P,x}\\ \left(1-x\right){\left(\frac{\partial S_0}{\partial P}\right)}_{T,x}+x{\left(\frac{\partial S_1}{\partial P}\right)}_{T,x}& S_1-S_0& \left(1-x\right){\left(\frac{\partial S_0}{\partial T}\right)}_{P,x}+x{\left(\frac{\partial S_1}{\partial T}\right)}_{P,x}\\ {\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)}_{T,x}& 0& {\left(\frac{\partial N}{\partial T}\right)}_{P,x}\end{array}\right|$

Раскрывая определитель, находим

$\begin{array}{c}\frac{1}{c_s^2}=-\frac{\rho }{V}\left\{\left(\frac{V_1-V_0}{S_1-S_0}+G\right)\right.\times \\ \times [\left(1-x\right)V_0{\alpha }_{0P}+x{V}_1{\alpha }_{1P}]-\left(1-x\right)\frac{V_0}{K_{0T}}-\\ -\left.x\frac{V_1}{K_{1T}}-\frac{V_1-V_0}{S_1-S_0}\frac{G}{T}\left[\right(1-x)C_{0P}+x{C}_{1P}]\right\},\end{array}$ (4)

где введены следующее сокращенное обозначение

$G=\frac{{\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)}_{T,x}}{{\left(\frac{\partial N}{\partial T}\right)}_{P,x}},$ (5)

а также изобарические коэффициенты объемного расширения

${\alpha }_{0P}=\frac{1}{V_0}{\left(\frac{\partial V_0}{\partial T}\right)}_P,{\alpha }_{1P}=\frac{1}{V_1}{\left(\frac{\partial V_1}{\partial T}\right)}_P$ (6)

и изотермические коэффициенты сжатия

$K_{0T}=-V_0{\left(\frac{\partial P}{\partial V_0}\right)}_T,K_{1T}=-V_1{\left(\frac{\partial P}{\partial V_1}\right)}_T.$ (7)

Прежде чем проводить дальнейшие вычисления, вначале необходимо преобразовать формулу (5). С учетом (6) имеем для нее

$\begin{array}{c}G=\frac{{\left(\frac{\partial N}{\partial P}\right)}_{T,x}}{{\left(\frac{\partial N}{\partial T}\right)}_{P,x}}=-{\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)}_{P,x}=-\left(1-x\right)\times \\ \times {\left(\frac{\partial V_0}{\partial S}\right)}_{P,x}-x{\left(\frac{\partial V_1}{\partial S}\right)}_{P,x}=-\left(1-x\right)\times \\ \times {\left(\frac{\partial V_0}{\partial T}\right)}_{P,x}\frac{1}{{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{P,x}}-x{\left(\frac{\partial V_1}{\partial T}\right)}_{P,x}\frac{1}{{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{P,x}}=\\ =-\frac{T}{C_P}\left[\left(1-x\right)V_0{\alpha }_{0P}+x{V}_1{\alpha }_{1P}\right],\end{array}$ (8)

где изобарическая теплоемкость

$C_P=T{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{P,x}=\left(1-x\right)C_{0P}+x{C}_{1P}.$ (9)

Подставляя теперь явное выражение (8) в общую формулу (4), после ряда сокращений, в результате которых автоматически исчезают слагаемые, содержащие дробь $\frac{V_1-V_0}{S_1-S_0}$, получаем для квадрата обратной скорости звука следующее довольно компактное выражение

$\begin{array}{c}\frac{1}{c_s^2}=\frac{\rho }{V}\left\{\left(1-x\right)\frac{V_0}{K_{0T}}+x\frac{V_1}{K_{1T}}+\frac{T}{C_P}\right.\times \\ \left.\times {\left[\left(1-x\right)V_0{\alpha }_{0P}+x{V}_1{\alpha }_{1P}\right]}^2\right\},\end{array}$ (10)

где изобарическая теплоемкость смеси определяется формулой (9).

Если теперь ввести изобарические теплоемкости, отнесенные к единице объема соответствующего вещества,

$c_{0P}=\frac{C_{0P}}{V_0},c_{1P}=\frac{C_{1P}}{V_1},$ (11)

формула (10) принимает вид

$\begin{array}{c}\frac{1}{c_s^2}=\left\{\rho \frac{{(1-x)}^2}{K_{0T}}+\frac{x^2}{K_{1T}}+\right.\\ \left.+\frac{T{[{(1-x)}^2{\alpha }_{0P}+x^2{\alpha }_{1P}]}^2}{{(1-x)}^2{c}_{0P}+x^2{c}_{1P}}\right\}.\end{array}$ (12)

Чтобы выразить плотность смеси ρ через концентрацию x, удобно представить ее в виде обратного выражения

$\frac{1}{\rho }=\frac{V}{M}=\frac{\left(1-x\right)V_0+x{V}_1}{V_0\left({\rho }_0+{\rho }_1\frac{V_1}{V_0}\right)}.$

Отсюда получаем

$\rho =\frac{\left(1-x\right){\rho }_0+x{\rho }_1}{{\left(1-x\right)}^2+x^2}.$ (13)

Подставляя, наконец, (13) в общее выражение (12), приходим к искомой формуле для обратной скорости звука в бинарной смеси

$\begin{array}{c}\frac{1}{c_s^2}=\frac{(1-x){\rho }_0+x{\rho }_1}{1-2x+2x^2}\times \\ \times \left\{\frac{{(1-x)}^2}{K_{0T}}+\frac{x^2}{K_{1T}}+\right.\\ \left.+T\frac{{[{(1-x)}^2{\alpha }_{0P}+x^2{\alpha }_{1P}]}^2}{{(1-x)}^2{c}_{0P}+x^2{c}_{1P}}\right\}.\end{array}$ (14)

Из формулы (14) сразу же видно, что, если x << 1 или 1 – x << 1 , мы приходим к выражениям для скорости звука либо в почти однородной фазе “0”, либо в почти однородной фазе “1”. В том случае, если значения концентрации x произвольные, из формулы (14) будут следовать два качественно разных соотношения. Действительно, выбирая в качестве основной фазы воду с плотностью ${\rho }_0=1\frac{\text{г}}{{\text{см}}^{\text{3}}},$ а в качестве примесной фазы пузырьки воздуха с плотностью ${\rho }_1=1.20\times {10}^{-3}\frac{\text{г}}{{\text{см}}^{\text{3}}}$ и используя известные справочные данные для коэффициентов изотермического сжатия и изобарического объемного расширения в нормальных условиях при T = 300 K = 4.14 × 10–14 эрг, а именно

$\begin{array}{c}{K}_{0T}\approx 2\times {10}^{10}\text{\hspace{0.33em}СГС},K_{1T}=P\approx {10}^6\text{\hspace{0.33em}СГС},\\ c_{0P}\approx 3\times {10}^{23}{\text{\hspace{0.33em}см}}^{\text{-3}},c_{1P}\approx 1.63\times {10}^{20}{\text{\hspace{0.33em}см}}^{-3},\\ {\alpha }_{0P}\approx 5.3\times {10}^{-5}\frac{\text{1}}{{\text{K}}^{\text{0}}}=3.84\times {10}^{11}{\text{\hspace{0.33em}эрг}}^{-1},\\ {\alpha }_{1P}\approx 3.6\times {10}^{-3}\frac{1}{{\text{K}}^{\text{0}}}=2.6\times {10}^{13}{\text{\hspace{0.33em}эрг}}^{-1},\end{array}$ (15)

из (14) получаем следующее функциональное соотношение

$c_s\left(x\right)={10}^3\sqrt{\frac{2\left(1-2x+2x^2\right)}{\left(1-x+1.20\times {10}^{-3}x\right)\left\{{\left(1-x\right)}^2+2\times {10}^4{x}^2+\frac{1.8{\left[x^2+1.48\times {10}^{-2}{\left(1-x\right)}^2\right]}^2}{{\left(1-x\right)}^2+0.54\times {10}^{-3}{x}^2}\right\}}},\frac{\text{м}}{\text{c}}.$ (16)

Зависимость (16) проиллюстрирована на рис. 1.

Рис. 1. Иллюстрация аналитической зависимости (16) скорости звука от концентрации x.

Отметим, что при x → 0 скорость звука в воде, согласно формуле (16), будет иметь значение

$c_s=1430\frac{\text{м}}{\text{c}},$ (17)

а при x → 1 скорость звука в воздухе будет составлять примерно

$c_s=267\frac{\text{м}}{\text{c}}.$ (18)

В другом предельном случае, когда основная фаза представляет собой воздух, а примесная – капельки воды, вместо (16), но с учетом численных значений (15), получаем из (14)

$c_s\left(x\right)={10}^3\sqrt{\frac{2\left(1-2x+2x^2\right)}{\left[1.20\times {10}^{-3}\left(1-x\right)+x\right]\left\{2\times {10}^4{\left(1-x\right)}^2+x^2+\frac{1.8{\left[{\left(1-x\right)}^2+1.48\times {10}^{-2}{x}^2\right]}^2}{0.54\times {10}^{-3}{\left(1-x\right)}^2+x^2}\right\}}},\frac{\text{м}}{\text{c}}.$ (19)

Зависимость (19) иллюстрирует рис. 2.

Рис. 2. Графическое изображение зависимости скорости звука от концентрации второй фазы в системе “газ + жидкость”.

Приведенные оценки вполне удовлетворительно коррелируют со всеми известными нам экспериментальными результатами. Как показало сравнение полученной выше теоретической зависимости (19) с результатами работы [13], они вполне неплохо накладываются друг на друга при аккуратном построении. Сказанное отчетливо прослеживается на рис. 3.

Рис. 3. Сплошная линия – результаты расчета по общей формуле (19), пунктирная линия – результаты работы [13].

Если теперь сравнить зависимость (19) с результатами работы [12], то, согласно приведенному в этой работе рис. 3, мы видим еще одно вполне удовлетворительное доказательство корректности упомянутой выше зависимости (19) для случая двухфазной среды “газ + жидкость”. Это сравнение иллюстрирует рис. 4.

Рис. 4. Зависимость (19) (сплошная линия) и экспериментальные точки, взятые из работы [12] (кружочки). По оси ординат отложена скорость звука c_s, а по оси абсцисс – концентрация.

Из обоих рисунков видно, что в области малой концентрации примесной мелкодисперсной фазы скорость звука начинает резко спадать, как это отмечено в [17], а с ростом концентрации – скорость звука будет возрастать, что было подтверждено экспериментально [6]. Заметим также, что рис. 1, 2 как качественно, так и количественно, совпадают с рис. 1 из работы [14], полученным численным путем.

В однородном газе скорость звука можно оценить, воспользовавшись уравнением состояния идеального газа [20] PV = NT (здесь считаем, что постоянная Больцмана kB = 1). Для однородной среды получаем

$c_s=\sqrt{\frac{P}{\rho }\frac{C_P}{C_V}}\approx \sqrt{\frac{{10}^6}{1.2\times {10}^{-3}}}\approx 289\frac{\text{м}}{\text{c}}.$ (20)

Приведенная численная оценка (20) вполне неплохо коррелирует с результатом (18), найденным из соотношения (16).

МНОГОФАЗНАЯ СРЕДА

Формула (14) легко обобщается и на общий случай (см. также [18]), когда речь идет о произвольном количестве добавляемых фаз с разными физическими свойствами, количество которых обозначим буквой k. Действительно, имеем в результате

$\begin{array}{c}\frac{1}{c_s^2}=\frac{\frac{1}{k}{\displaystyle \sum _{i=1}^k\left(1-x_i\right){\rho }_0+\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{x}_i{\rho }_i}}{{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^k\left(1-x_i\right)}\right)}^2+{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^k{x}_i}\right)}^2}\times \\ \times \left\{\frac{{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^k\left(1-x_i\right)}\right)}^2}{K_{0T}}+\sum _{i=1}^k{x}_i\sum _{i=1}^k\frac{x_i}{K_{iT}}-\right.\\ \left.-k^{2}T\frac{{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^k\left(1-x_i\right)}\right)}^2{\alpha }_{0P}+{\displaystyle \sum _{i=1}^k{x}_i\sum _{i=1}^k{x}_i{\alpha }_{iP}}}{{\left({\displaystyle \sum _{i=1}^k\left(1-x_i\right)}\right)}^2{c}_{0P}+{\displaystyle \sum _{i=1}^k{x}_i\sum _{i=1}^k{x}_i{c}_{iP}}}\right\}.\end{array}$ (21)

Общее выражение (21) позволяет нам без труда вычислять скорость звука в любых многофазных структурах и с произвольным количеством разнообразных по физическим свойствам добавок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение этого короткого сообщения отметим следующее.

Полученное с помощью чисто теоретического подхода общее выражение для скорости звука в двухфазных структурах (14), анализ которого проиллюстрирован на двух качественно разных примерах: “вода + воздух” и “воздух + вода”, продемонстрировал вполне удовлетворительную возможность приложения формулы (14) для любых подобных двухфазных соединений.

Графически проиллюстрирована зависимость скорости звука c_s(x) в обоих рассмотренных случаях.

Дано обобщение модели двухфазной системы для случая многофазной системы и приведена общая формула (21), описывающая этот нетривиальный случай.