О звукопоглощающем покрытии в виде слоя вязкой жидкости с пузырьками

Full Text

Введение

В годы второй мировой войны в Германии интенсивно проводились работы по созданию резонансных противогидролокационных покрытий для подводных лодок (ПЛ). Идея резонансного покрытия, выполненного в виде тонкого слоя резины с полостями разных размеров, вытекала из стремления закрепить на корпусе ПЛ газовые пузырьки, получаемые электролитическим способом с помощью металлической сетки, размещенной вблизи корпуса ПЛ. Опыты с тонкими разреженными пузырьковыми завесами оказались успешными и “это привело к изобретению резонансного покрытия” [1] (покрытие “Альберих” на диапазон частот 9–18 кГц [2]). Если для движущихся кораблей пузырьковое покрытие явно не годится, оно вполне может оказаться полезным для вертикальных стенок измерительных гидроакустических бассейнов и камер.

Воздушный пузырек в воде – весьма эффективный гаситель энергии звуковой волны. Так, на резонансной частоте для любого пузырька отношение сечения погашения энергии (суммы термического поглощения и рассеяния) к площади поверхности пузырька превышает значение 555. Поэтому неустраненные пузырьки могут сильно исказить результаты измерений на таких гидроакустических установках как “Импульсная труба”, “Реверберационный бак” [3] и других.

1. Дисперсионное уравнение для жидкости с пузырьками

Предположим, что в жидкости с плотностью ρ_l равномерно распределены пузырьки газа разных радиусов R. В произвольном малом объеме такой среды, размер которого много меньше длины распространяющейся в среде плоской монохроматической звуковой волны exp(kx –iωt), находится достаточно большое число пузырьков, чтобы их можно было описать функцией распределения по размерам n(R), единой для всех таких объемов. С другой стороны, будем полагать, что в указанном объеме пузырьков достаточно мало, чтобы можно было пренебречь их взаимодействием. Такую среду называют микронеоднородной [4, с. 56]. Поскольку, как будет показано, требуемая объемная концентрация газа в среде ε << 1, примем плотность среды ρ равной плотности жидкости ρ_l. Комплексное волновое число (или дисперсионное уравнение) для пузырьковой среды имеет вид:

$\begin{array}{c}{k}^2={k_l}^2+\frac{{\rho }_l{\omega }^2}{P_0}\times \\ \times \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{U\left(R\right)dR}{q(\omega ,R)\left[1-\frac{{\omega }^{2}q({\omega }_p,R)}{{{\omega }_p}^2\left(R\right)q(\omega ,R)}-i\delta (\omega ,R)\right]},\end{array}$ (1)

где k_l = ω/c_l – волновое число для чистой жидкости без потерь, ω – круговая частота, c_l – скорость звука в чистой жидкости; P₀ – гидростатическое давление;

$U\left(R\right)=\frac{4}{3}\pi R^{3}n\left(R\right)$ (2)

— объемная функция распределения пузырьков;

${\omega }_p=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{3q({\omega }_p,R)P_0\left(1+\frac{2\alpha (3q-1)}{3q{P}_{0}R}\right)}{{\rho }_l}}$ (3)

— резонансная частота пузырька с учетом поверхностного натяжения α;

$\delta ={\delta }_T+\frac{{\omega }^2}{{{\omega }_p}^2}{k}_{l}R$ (4)

— затухание пузырька–резонатора; q(z) – показатель политропы газа, $z=2R\sqrt{\omega /2{\chi }_g},$ χ_g – коэффициент температуропроводности газа; δ_T(z) < 0.12 – термическая часть затухания; второе слагаемое в (4) представляет потери на излучение. Функции q(z) и δ_T(z) найдены Девином [5] и приведены также в книге [6, с. 146]:

$q\left(z\right)=\frac{\gamma }{1+\frac{3(\gamma -1)(\sinh z-\sin z)}{z(\cosh z-\cos z)}},$

${\delta }_T\left(z\right)=\frac{\frac{\sinh z+\sin z}{\cosh z-\cos z}-\frac{2}{z}}{\frac{z}{3(\gamma -1)}+\frac{\sinh z-\sin z}{\cosh z-\cos z}},$ (5)

где γ = c_p/c_v – показатель адиабаты. Соотношение (1) обобщает на случай спектра пузырьков по размерам формулу, впервые полученную Фолди для совокупности одинаковых пузырьков, когда U(R) = εδ(R) [7, 8], где δ(R) – дельта–функция.

Для пузырьков в воде диаметром больше 0.2 мм (с резонансной частотой менее 33 кГц) поверхностное натяжение можно не учитывать. Тогда при q → γ из (3) следует формула Минаэрта.

2. Отражение звука от стенки, покрытой слоем пузырьков

Защищаемая стенка с поверхностной плотностью M, имеющая массовый импеданс, с одной стороны граничит с вакуумом (воздухом), а с другой покрыта слоем жидкости с пузырьками, за которым находится вода. Пусть на систему из воды нормально падает плоская звуковая волна. Толщину h пузырькового слоя будем считать акустически малой, т. е. |kh| << 1. Найдем условия, при которых коэффициент отражения r от слоя близок к нулю.

Входную проводимость системы на границе с водой найдем по известной формуле [4, с. 156]:

$Y^{\text{'}}=\frac{Y_M-i\frac{\tan kh}{{\rho }_{l}c}}{1-i{\rho }_{l}c{Y}_M\tan kh}.$

Подставив сюда проводимость стенки Y_M = i/ωM, заменив тангенсы их аргументами и считая массу слоя малой сравнительно с массой стенки, т. е. m = ρ_lh << M, с помощью (1) найдем входную проводимость нагруженного слоя жидкости с пузырьками, приведенную к проводимости воды:

$Y={\rho }_0{c}_{0}Y\text{'}=P\left(\omega \right)+i\left(Q\left(\omega \right)+Q_{ss}\left(\omega \right)\right),$ (6)

где ρ₀c₀ – волновое сопротивление воды,

$\begin{array}{c}P\left(\omega \right)=\frac{{\rho }_0{c}_0\omega h}{P_0}\times \\ \times \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\frac{\delta (\omega ,R)}{q(\omega ,R)}U\left(R\right)dR}{{\left(1-\frac{{\omega }^{2}q({\omega }_p,R)}{{{\omega }_p}^2\left(R\right)q(\omega ,R)}\right)}^2+{\delta }^2(\omega ,R)},\end{array}$ (7)

$\begin{array}{c}Q\left(\omega \right)=\frac{{\rho }_0{c}_0\omega h}{P_0}\times \\ \times \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\frac{1}{q(\omega ,R)}\left(\frac{{\omega }^{2}q({\omega }_p,R)}{{{\omega }_p}^2\left(R\right)q(\omega ,R)}-1\right)U\left(R\right)dR}{{\left(1-\frac{{\omega }^{2}q({\omega }_p,R)}{{{\omega }_p}^2\left(R\right)q(\omega ,R)}\right)}^2+{\delta }^2(\omega ,R)},\end{array}$ (8)

$Q_{ss}\left(\omega \right)={\rho }_0{c}_0\left(\frac{1}{\omega M}-\frac{\omega h}{{\rho }_l{c_l}^2}\right)$ (9)

— реактивная проводимость исходной системы, т. е. сумма массовой проводимости стенки и упругой проводимости слоя чистой жидкости. Функции P(ω) и Q(ω) можно назвать соответственно активной и реактивной, приведенными к воде проводимостями совокупности пузырьков.

Поскольку коэффициент отражения

$r=\frac{1-Y}{1+Y},$ (10)

то для того, чтобы он был мал, очевидно, требуется:

P(w) ≈ 1, |Q(w) + Q_ss(w)| << 1. (11)

Другими словами, пузырьки должны вносить в систему активную проводимость, равную проводимости чистой жидкости, и компенсировать реактивную проводимость исходной системы. При этом первое условие в (11) может быть выполнено в достаточно широком диапазоне частот, независимо от параметров исходной системы. Второе же условие может и не выполняться. Действительно, поскольку, как будет показано ниже, функции P(ω) и Q(ω) жестко связаны друг с другом, то задание диапазона частот поглощения налагает жесткие требования на значения параметров исходной системы M и h.

3. Применение интегральных дисперсионных соотношений к расчету покрытия

Объемная скорость совокупности пузырьков, приходящихся на единицу поверхности слоя, является линейным “откликом” на действующее в слое звуковое давление. Коэффициентом пропорциональности между этими двумя величинами служит физически реализуемая входная проводимость пузырьков из (6), которая представляет собой частный случай “обобщенной восприимчивости” [9, § 123; 10, § 82; 11]. Поэтому активная и реактивная части проводимости совокупности пузырьков должны быть однозначно взаимосвязаны дисперсионными соотношениями Крамерса–Кронига:

$P\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi }\text{V.p.}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{Q\left(\xi \right)}{\xi -\omega }d\xi ,$ (12)

$Q\left(\omega \right)=-\frac{1}{\pi }\text{V.p.}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{P\left(\xi \right)}{\xi -\omega }d\xi ,$ (13)

где интегралы понимаются в смысле главного значения. Дисперсионные соотношения являются математическим выражением принципа причинности.

С помощью соотношений (12), (13) мы можем, задав одну из функций P(ω) или Q(ω), вычислить другую. При этом, помимо достаточно хорошего поведения этих функций при ω → ∞, необходимо также, чтобы P(ω) была четной, а Q(ω) – нечетной функцией частоты:

$P(-\omega )=P\left(\omega \right),$ $Q(-\omega )=-Q\left(\omega \right).$ (14)

Функции (7) и (8) свойствами (14) обладают. Действительно, для этого требуется, чтобы q(ω) была четной, а δ_T(ω) – нечетной функцией. При этом второе слагаемое в (4) нечетно. Согласно (5) q(z) = q(iz), δ_T(z) = –δ_T(iz), что означает: q(ω) = q(–ω), δ_T(ω) = –δ_T(–ω).

Особенно полезна формула (13), поскольку с ее помощью, задав почти произвольно четную функцию P(ω), удовлетворяющую физически необходимому требованию P(ω) > 0, можно найти функцию Q(ω), не противоречащую никаким необходимым физическим условиям, т. е. принципиально возможную, т. к. величина и знак Q(ω), вообще говоря, физически ничем не ограничены. Напротив, формула (12) не дает (в общем случае произвольно заданной функции Q(ω)) физически возможной функции P(ω), т. к. не обеспечивает автоматическим образом положительности последней.

Зададим:

$P\left(\omega \right)=\frac{1}{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_2}\right)}^{\zeta }}-\frac{1}{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_1}\right)}^{\zeta }},$ (15)

где ω₂ >> ω₁ опорные частоты, а ζ – четное число. Подставив эту функцию в формулу (13), вычислим с помощью теории вычетов:

$Q\left(\omega \right)={\Phi }_{\zeta }\left(\frac{\omega }{{\omega }_2}\right)-{\Phi }_{\zeta }\left(\frac{\omega }{{\omega }_1}\right),$ (16)

где, в частности,

${\Phi }_2\left(x\right)=\frac{x}{1+x^2},$ ${\Phi }_4\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{x+x^3}{1+x^4},$

${\Phi }_6\left(x\right)=\frac{2}{3}\frac{x+0.5x^3+x^5}{1+x^6},$

${\Phi }_8\left(x\right)=0.653\frac{x+0.414(x^3+x^5)+x^7}{1+x^8},$

${\Phi }_{10}\left(x\right)=\frac{0.647(x+x^9)+0.247(x^3+x^7)+0.2x^5}{1+x^{10}}.$ (17)

Эти функции обладают следующими свойствами:

 Φ_ζ(x) ~ x при x → 0,

Φ_ζ(x) ~ при x → ∞, max Φ_ζ(x) = Φ_ζ(1). (18)

По формулам (6), (10) найдем модуль коэффициента отражения звука:

$\left|r\left(\omega \right)\right|=\sqrt{\frac{{\left[1-P\left(\omega \right)\right]}^2+{\left[Q\left(\omega \right)+Q_{ss}\left(\omega \right)\right]}^2}{{\left[1+P\left(\omega \right)\right]}^2+{\left[Q\left(\omega \right)+Q_{ss}\left(\omega \right)\right]}^2}}.$ (19)

Реактивную проводимость исходной системы (9) представим как

$Q_{ss}\left(\omega \right)=B_{\zeta }\left(\frac{{\omega }_1}{\omega }-\frac{\omega }{{\omega }_2}\right),$ $B_{\zeta }=\text{const },$ (20)

и тем самым установим связь между опорными частотами ω₁, ω₂ и параметрами исходной системы M и h:

${\omega }_1=\frac{{\rho }_0{c}_0}{B_{\zeta }M},$ ${\omega }_2=\frac{B_{\zeta }{\rho }_l{c_l}^2}{{\rho }_0{c}_{0}h}.$ (21)

Среднее геометрическое этих величин определяет собственную частоту исходной системы:

${\omega }_0=\sqrt{{\omega }_1{\omega }_2}=\sqrt{\frac{{\rho }_l{c_l}^2}{Mh}}.$

Используя формулы (16), (18), (20), для реактивной составляющей входной проводимости (6) системы найдем:

$\begin{array}{c}Q\left(\omega \right)+Q_{ss}\left(\omega \right)=\\ =\left[B_{\zeta }\frac{{\omega }_1}{\omega }-{\Phi }_{\zeta }\left(\frac{{\omega }_1}{\omega }\right)\right]+\left[{\Phi }_{\zeta }\left(\frac{\omega }{{\omega }_2}\right)-B_{\zeta }\frac{\omega }{{\omega }_2}\right].\end{array}$ (22)

Здесь каждая из функций слева равна нулю на частоте ω = ω₀. Поэтому ω₀ можно назвать центральной частотой рабочего диапазона покрытия. В обе стороны от центральной частоты ω₀ функции Q(ω) и Q_ss(ω) компенсируют друг друга, т. к. имеют противоположные знаки. Это хорошо видно из (22), откуда следует, что полнота такой взаимной компенсации в диапазоне частот ω₁ ≤ ω ≤ ω₂ зависит от удачной аппроксимации функции Φ_ζ(x) прямой B_ζx, т. е. от выбора оптимального значения B_ζ.

Определим граничные частоты ω_min и ω_max рабочего диапазона покрытия условием:

$P\left({\omega }_{\min }\right)=P\left({\omega }_{\max }\right)=\mathrm{0.8.}$

Тогда из формул (15), (21) найдем:

${\omega }_{\min }=\frac{4^{1/\zeta }{\rho }_0{c}_0}{B_{\zeta }M},$ ${\omega }_{\max }=\frac{4^{-1/\zeta }{B}_{\zeta }{\rho }_l{c_l}^2}{{\rho }_0{c}_{0}h}.$

Отсюда видно, что граничные частоты покрытия определяются: нижняя – поверхностной плотностью M стенки, верхняя – толщиной h пузырькового слоя. Ширина рабочего диапазона покрытия ω₁ < ω_min ≤ ω ≤ ω_max< ω₂ в октавах

$\begin{array}{c}{N}_{\text{oct}}={\log }_2\frac{{\omega }_{\max }}{{\omega }_{\min }}=\\ =3.322\lg \frac{{B_{\zeta }}^{2}M}{m}{\left(\frac{{\rho }_l{c}_l}{{\rho }_0{c}_0}\right)}^2-\frac{4}{\zeta }.\end{array}$

На рис. 1 приведены частотные зависимости модуля коэффициента отражения, рассчитанные по формуле (19) с учетом выражений (15)–(17), (22) для случая ω₂/ω₁ = 100 при разных значениях ζ и B_ζ = 0.725. Варьированием параметра B_ζ можно несколько расширять рабочий диапазон частот за счет уменьшения степени поглощения звука в нем и наоборот.

Рис. 1. Модуль коэффициента отражения звука для разных значений ζ: ––– ζ = 2; ––– ζ = 4; – - – ζ = 6; – – – ζ = 8; ━ ζ = 10.

Теперь необходимо найти объемную функцию распределения пузырьков U(R), способную обеспечить такие результаты. Подставив в (7) функцию (15), получим интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода относительно неизвестной функции U(R). Такие уравнения относятся к трудно решаемым некорректным обратным задачам. Но в данном случае можно получить приближенное решение, если, считая искомую функцию U(R) плавной в сравнении с ядром уравнения, имеющем острорезонансный характер за счет малости δ(ω, R), вынести ее из-под знака интеграла. Останется вычислить интеграл от ядра, что сделаем приближенно, положив q(ω_p, R) = const, δ(ω_p, R) = const, заменив по (3) (при α = 0) переменную интегрирования R на ω_p и воспользовавшись известным интегралом [12, с. 443], [13, с. 312, 3.257]

$\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{{\omega }_{p}d{\omega }_p}{{({{\omega }_p}^2-{\omega }^2)}^2+{{\omega }_p}^2{\beta }^2}=\frac{\pi }{2\beta },$

где β ≈ ωδ . Таким образом, получим:

$U\left(R\right)\approx \frac{2\sqrt{q{\rho }_l{P}_0}}{\pi \sqrt{3}{\rho }_0{c}_{0}h}\left[\frac{1}{1+{\left(\frac{R_2}{R}\right)}^{\zeta }}-\frac{1}{1+{\left(\frac{R_1}{R}\right)}^{\zeta }}\right],$ (23)

где

$R_{\mathrm{1,2}}=\frac{1}{{\omega }_{\mathrm{1,2}}}\sqrt{\frac{3q{P}_0}{{\rho }_l}}.$ (24)

По условиям вывода значение q = const остается неопределенным, его следует выбирать в диапазоне 1 < q < γ. Величина δ сократилась, что говорит о слабой зависимости U(R) от малых δ << 1, или об ее отсутствии.

Функция радиуса R в квадратных скобках (23) имеет вид столообразной кривой, равной единице в центре, при $R=\sqrt{R_1{R}_2},$ равной 0.5 при R = R₁ и R = R₂ и спадающей к нулю при R → 0 и R → ∞. Таким образом, для хорошего поглощения звука пеленой пузырьков у стенки требуется, чтобы их объемная функция распределения U(R) была постоянной в широком диапазоне радиусов пузырьков, отвечающем по (24) диапазону частот поглощения. Совокупности пузырьков разных размеров, получаемые известными способами (например, электролитическим), таким свойством не обладают и не могут обеспечить широкополосного (заметно превышающего одну октаву) звукопоглощения.

Требуемую объемную концентрацию пузырьков можно оценить по формуле

$\epsilon =\underset{0}{\overset{\infty }{\int }}U\left(R\right)dR\approx \frac{2\sqrt{q{\rho }_l{P}_0}(R_1-R_2)}{\pi \sqrt{3}{\rho }_0{c}_{0}h},$ (25)

где следует считать q = 1.284.

Большая добротность пузырьков-резонаторов в воде (малое значение δ (4)) обеспечивает высокую точность приближенного решения (23). Но при переходе от сплошного спектра к дискретному эта особенность пузырьков оборачивается большим недостатком, т. к. требует слишком тесного их расположения в спектре и задания размеров пузырьков с высокой точностью. Для резонансных покрытий оптимальны резонаторы с δ(ω_p) ≈ 1. Поэтому желательно значительно увеличить затухание δ пузырьков, чего можно добиться, если использовать в покрытии вязкую жидкость, например, касторовое масло. Дополнительное затухание за счет вязкости η_l окружающей жидкости составит [5]:

${\delta }_{\text{vis}}=\frac{4\omega {\eta }_l}{3q\left(\omega \right)P_0}.$ (26)

Тогда полное затухание вместо (4) примет вид:

$\delta =\frac{4\omega {\eta }_l}{3q\left(\omega \right)P_0}+{\delta }_T+\frac{{\omega }^2}{{{\omega }_p}^2}{k}_{l}R.$ (27)

Зависимости (26), (27) легко получить из формулы И.Б. Андреевой для газонаполненной полости в вязкоупругой среде [14], [15, с. 363] путем замены среды вязкой жидкостью посредством перехода $\frac{i\mu \text{*}\left(\omega \right)}{\omega }\to {\eta }_l,$ где µ*(ω) – комплексный модуль сдвига среды.

На рис. 2 приведены примеры частотных зависимостей вязких δ_vis(f) (26) и тепловых δ_T(f) (5) частей затухания для воздушных пузырьков трех размеров в вязкой жидкости с η_l = 0.5 Па с. Видно существенное превышение вязких потерь над тепловыми на высоких частотах. К сожалению, это не касается низких частот.

Рис. 2. Частотные зависимости вязких и тепловых частей затухания пузырьков: δ_vis(f) (26), η_l = 0.5 Па с: – – – R = 5 мм; ––– R = 1 мм; ––– R = 0.2 мм; δ_T(f) (5): ••••• R = 5 мм; ••••• R = 1 мм; ••••• R = 0.2 мм.

Проверка приближенных решений для U(R) показана на рис. 3. В левой части выражения (7) была использована исходная функция P(f) (15) с параметрами: ζ = 10; f₁ = 0.326 кГц; f₂ = 31.7 кГц. В правую часть интегрального уравнения подставили приближенное решение (23) (при q = 1.284; P₀ = 10⁵ Па; ρ_l = 10³ кг/м³; c_l = 1.5×10³ м/с; R₁ = 10 мм; R₂ = 0.1 мм) и вычислили для δ (4) и δ (27) на разных частотах значения интеграла, чтобы сравнить их с исходной функцией P(f). Видно, что при δ << 1 (4) точность приближенного решения (23) высока во всем диапазоне частот, но при учете вязких потерь (26) в δ (27) расхождение кривых растет с частотой, начиная с f ≈ 5 кГц. На рисунке также отмечены кружочками значения интеграла в (7) для “прямоугольной функции”

$U\left(R\right)=\frac{2\sqrt{q{\rho }_l{P}_0}}{\pi \sqrt{3}{\rho }_0{c}_{0}h},$ $R_2\le R\le R_1,$ (28)

где q = 1.284, а для δ принято (4).

Рис. 3. Проверка приближенного решения (23): ––– исходная проводимость P(f); • – подстановка (23) в (7) при δ по (4); □ – подстановка (23) в (7) при δ по (27), η_l = 0.5 Па с; ○ – подстановка (28) в (7) при δ по (4).

4. Примеры широкополосных звукопоглощающих покрытий

Примем радиус самых мелких пузырьков в спектре R = 0.2 мм. Согласно (3) (при α = 0) их собственная частота f_p ≈ 16 кГц. Положим по (26), (27), что затухание этих пузырьков

$\delta \left({\omega }_p\right)\approx {\delta }_{\text{vis}}\left({\omega }_p\right)=\frac{4{\omega }_p{\eta }_l}{3q\left({\omega }_p\right)P_0}=1.$ (29)

Для остальных пузырьков δ < 1, а для самых крупных δ << 1. Из (29) найдем требуемое значение вязкости жидкости: η_l ≈ 1 Па с. Такую вязкость при 20°C имеет, например, касторовое масло. Расстояние между соседними пузырьками положим одинаковым по всему спектру и равным ∆R = 0.1 мм. Тогда радиусы пузырьков n-го размера в мм можно описать формулой:

$R_n=0.1(1+n).$ (30)

Рисунки 4 и 5 посвящены акустическим характеристикам звукопоглощающего покрытия, защищающего стальную стенку толщиной 55.6 мм и состоящего из слоя касторового масла (η_l = 0.987 Па с, ρ_l = 0.96 × 10³ кг/м³, c_l = 1.5 × 10³ м/с при 20°C) толщиной 10.77 мм с воздушными пузырьками (χ_g = 21.4 × 10^–6 м²/с) размерами согласно (30) от R₂ = 0.3 мм до R₃₉ = 4.0 мм. Объемные концентрации пузырьков почти всех размеров в соответствии с основным свойством функции (23) одинаковы и составляют ε₀ = 2.59×10^–5. Вблизи граничных частот рабочего диапазона выполнена коррекция характеристик путем увеличения концентраций пузырьков некоторых типоразмеров: n = 2 (2.5ε₀), n = 5 (1.1ε₀), n = 35, 37, 39 (2.0ε₀). С учетом коррекции общая объемная концентрации пузырьков в покрытии равна ε = 42.6ε₀ = 1.103 × 10^–3. Оценка по (25) дает ε = 0.935 × 10^–3. Ожидать лучшего совпадения не приходится, поскольку формула (25) пригодна только для маловязких жидкостей.

Рис. 4. Частотные зависимости компонентов приведенных к воде проводимостей покрытия c касторовым маслом: ––– – суммарная активная проводимость пузырьков P(f); ••••• – суммарная реактивная проводимость пузырьков Q(f); –––– – проводимость исходной системы –Q_ss(f); – – – реактивная проводимость покрытия Q(f) + Q_ss(f).

Рис. 5. Расчетный модуль r(f) коэффициента отражения звука от покрытия на рис. 4.

На рис. 4 показаны частотные зависимости компонентов приведенных к воде проводимостей: суммарной активной проводимости пузырьков P(f), их суммарной реактивной проводимости Q(f), проводимости исходной системы –Q_ss(f); реактивной проводимости покрытия Q(f) + Q_ss(f). На рис. 5 представлен расчетный график модуля r(f) коэффициента отражения звука от описанного покрытия с указанием граничных частот по уровню r = 0.1. Ширина полосы поглощения покрытия составляет 3.63 октавы.

Может быть, лучше делать стенки измерительного бассейна не из стали, а из достаточно толстого железобетона, такого, чтобы можно было считать их импеданс бесконечным. В этом случае отсутствие массовой проводимости в исходной системе можно восполнить применением в покрытии низкочастотных компенсирующих резонаторов (крупных пузырьков) [16, с. 477]. Их реактивная проводимость на зарезонансных частотах имеет массовый характер, а спадающая активная проводимость, суммируясь с P(f) основного набора резонаторов, несколько сдвигает спад P(f) в сторону низких частот.

Рисунки 6 и 7 демонстрируют результаты модернизации предыдущего покрытия на случай M = ∞ применением компенсирующих резонаторов – крупных пузырьков радиусом 6 мм с объемной концентрацией 83ε₀, где ε₀ = 2.83 × 10^–5. Концевая коррекция: n = 2 (2.4ε₀), n = 3 (1.1ε₀), n = 39 (2.3ε₀). Концентрация пузырьков основного набора равна 40.8ε₀ = 1.157 × 10^–3 (1.045 × 10^–3 по (25)), а общая концентрация пузырьков в покрытии с учетом компенсирующих ε = 123.8ε₀ = 3.503 × 10^–3, и 67% в ней приходится на компенсаторы (как и в [16]). Толщина покрытия h = 9.63 мм.

Рис. 6. Компоненты проводимостей покрытия с касторовым маслом и компенсаторами: ––– – сумма активных P(f) проводимостей всех пузырьков; ••••• – сумма реактивных Q(f) проводимостей всех пузырьков; –––– – упругая реактивная проводимость исходной системы –Q_ss(f); – – – общая реактивная проводимость покрытия Q(f) + Q_ss(f).

Рис. 7. Модуль r(f) коэффициента отражения звука от покрытия на рис. 6.

На рис. 6 представлены компоненты проводимостей: суммы активных P(f) и реактивных Q(f) проводимостей всех пузырьков; упругая реактивная проводимость исходной системы –Q_ss(f); общая реактивная проводимость покрытия Q(f) + Q_ss(f). На рис. 7 показан график модуля r(f) коэффициента отражения. Граничные частоты рабочего диапазона 0.834 кГц и 11.08 кГц, его ширина 3.73 октавы.

На рис. 8 и 9 показаны аналогичные рис. 6 и 7 расчетные характеристики покрытия для стенки с бесконечным импедансом, состоящего из слоя глицерина (η_l = 1.48 Па с, ρ_l = 1.26 × 10^–3 кг/м³, c_l = 1.923 × 10^–3 м/с при 20°C) толщиной 13.84 мм с воздушными пузырьками размерами от R₁ = 0.2 мм до R₄₉ = 5.0 мм. Коррекция крайних резонаторов: n = 1 (3.1ε₀), n = 49 (2.1ε₀), где ε₀ = 2.24×10^–5. Концентрация пузырьков основного набора равна 52.2ε₀ = 1.169 × 10^–3 (1.081 × 10^–3 по (25)). Концентрация компенсирующих пузырьков диаметром 14 мм равна 88ε₀.Общая концентрация всех пузырьков в покрытии равна ε = 140.2ε₀ = 4.346 × 10^–3. На долю компенсирующих резонаторов приходится 63% объема пузырьков.

Рис. 8. Компоненты проводимостей покрытия с глицерином и компенсаторами. Обозначения те же, что и на рис. 6.

Рис. 9. Модуль r(f) коэффициента отражения звука от покрытия на рис. 8.

На рис. 8 представлены компоненты проводимостей: суммы активных P(f) и реактивных Q(f) проводимостей всех пузырьков; упругая реактивная проводимость исходной системы –Q_ss(f); общая реактивная проводимость покрытия Q(f) + Q_ss(f). На рис. 9 показан график модуля r(f) коэффициента отражения. Граничные частоты рабочего диапазона 0.578 кГц и 16.12 кГц, его ширина 4.80 октавы. При удалении или удвоении числа n-х пузырьков r(f) возрастает на 0.07–0.14 на частоте f_pn.

Следующие два рисунка относятся к резонансному покрытию привычного вида, в котором пузырьки-резонаторы имеют добротности порядка единицы (δ ≈ 1) и, следовательно, активные проводимости смежных по спектру пузырьков перекрываются по уровню ~0.5 от их максимальных значений. Здесь пузырьки определенного размера обеспечивают примерно одну октаву полосы поглощения, следовательно, таких размеров не более 5–6-ти.

Покрытие предназначено для звуконепроницаемой стенки, в нем используются компенсирующие резонаторы. Основной набор состоит из пузырьков шести размеров. Пузырьки радиуса R_n занимают свою нишу и помещены в жидкость с вязкостью  обеспечивающей согласно (29) и (3) равенство δ_vis(ω_p) = 1. В покрытии использованы глицерин с вязкостью η₁ = 1.5 Па с и жидкости ПМСс плотностью ρ_l = 0.971 × 10³ кг/м³, скоростью звука c_l = 1.013 × 10³ м/с и разной вязкости. Поскольку покрытие неоднородно, содержание пузырьков n-го размера в нем далее представлено объемом V_n этих пузырьков в см³, приходящимся на 1 м² поверхности покрытия.

Пузырьковый состав покрытия следующий:

R₁ = 0.2 мм (q₁ = 1.314, глицерин, V₁ = 1.00 см³/м²); R₂ = 0.3 мм (q₂ = 1.329, глицерин, V₂ = 0.238 см³/м²); R₅ = 0.6 мм (q₅ = 1.352, ПМС, η₅ = 3 Па с, V₅ = = 1.378 см³/м²); R₁₁ = 1.2 мм (q₁₁ = 1.366, η₁₁ = 6 Па с, V₁₁ = 3.088 см³/м²); R₂₃ = 2.4 мм (q₂₃ = 1.376, η₂₃ = = 12 Па с, V₂₃ = 6.175 см³/м²); R₄₇ = 4.8 мм (q₄₇ = = 1.383, η₄₇ = 24 Па с, V₄₇ = 16.63 см³/м²).

Низкочастотные компенсирующие резонаторы (R₆₉ = 7 мм, q₆₉ = 1.385, V₆₉ = 20.425 см³/м²) размещены в глицерине. Так как они работают в своей зарезонансной области, то их затухание может быть малым, а собственная частота достаточно произвольной. Поэтому допустима некоторая сплюснутость этих пузырьков, при которой будут отличны от сферического случая присоединенная масса и вязкие потери.

На рис. 10 представлены компоненты проводимостей шестиэлементного покрытия с компенсаторами: суммы активных P(f) и реактивных Q(f) проводимостей всех пузырьков; требуемая упругая реактивная проводимость исходной системы –Q_ss(f) = 0.032f; общая реактивная проводимость покрытия Q(f) + Q_ss(f). На рис. 11 показан график модуля r(f) коэффициента отражения от этого покрытия. Граничные частоты рабочего диапазона 0.571 кГц и 17.04 кГц, его ширина 4.90 октавы.

Рис. 10. Компоненты проводимостей шестиэлементного покрытия с компенсаторами. Обозначения те же, что и на рис. 6.

Рис. 11. Модуль r(f) коэффициента отражения звука от покрытия на рис. 10.

5. Заключение

Представлены теория и методы расчета многоэлементных резонансных гидроакустических покрытий, содержащих газовые пузырьки и предназначенных для нанесения на инерционные, либо звуконепроницаемые стенки измерительных бассейнов и камер. Главные особенности рассмотренных покрытий следующие.

1. Постоянство требуемой объемной функции распределения высокодобротных пузырьков-резонаторов по размерам, обусловливающее необходимость довольно строгого соблюдения как постоянной разницы размеров смежных пузырьков в их дискретном спектре, так и одинаковой концентрации разных пузырьков по всему спектру. Коррекции подлежат концентрации лишь пузырьков, расположенных вблизи краев спектра.
2. Использование вязкой жидкости для значительного увеличения затухания высокочастотных пузырьков за счет вязких потерь в жидкости. Поскольку эти потери пропорциональны частоте, в сторону низких частот этот эффект уменьшается. Лучше всего подходит глицерин. Он имеет сравнительно малую сжимаемость, что позволяет увеличить толщину покрытия, чтобы вместить крупные пузырьки-компенсаторы. В последнем примере (рис. 10, 11) неизбежно применение жидкостей ПМС, имеющих огромный диапазон вязкостей. Недостатком этих жидкостей в данном применении является их большая сжимаемость, а к достоинствам можно отнести малую зависимость вязкости от температуры и малое поверхностное натяжение. Кроме того, жидкости ПМС безвредны для резин, пригодных в качестве оболочки покрытия.
3. Использование низкочастотных пузырьков-компенсаторов при звуконепроницаемых защищаемых стенках. Их назначение – восполнить отсутствующую в исходной системе инерционную проводимость. Собственная частота компенсаторов, меньшая нижней граничной частоты рабочего диапазона, а также их затухание достаточно произвольны.

About the authors

Л. И. Казаков

Author for correspondence.
Email: lev-kazakov@rambler.ru
Russian Federation

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Modulus of the sound reflection coefficient for different values of ζ: ζ = 2; ζ = 4; ζ = 6; ζ = 8; ζ = 10.

Download (16KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Frequency dependences of the viscous and thermal parts of bubble damping: δvis(f) (26), ηl = 0.5 Pa s: ––– R = 5 mm; ––– R = 1 mm; ––– R = 0.2 mm; δT(f) (5): ••••• R = 5 mm; ••••• R = 1 mm; ••••• R = = 0.2 mm.

Download (13KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Checking the approximate solution (23): ––– initial conductivity P(f); • – substitution (23) into (7) for δ according to (4); ■ – substitution of (23) into (7) at δ according to (27), ηl = 0.5 Pa s; ○ – substitution (28) into (7) with δ according to (4).

Download (13KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. Frequency dependences of the components of the conductivities of the coating with castor oil reduced to water: ––– – total active conductivity of bubbles P(f); ••••• – total reactive conductivity of bubbles Q(f); –––– – conductivity of the original system –Qss(f); – – – reactive conductivity of the coating Q(f) + Qss(f).

Download (14KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5. Calculated module r(f) of the coefficient of sound reflection from the coating in Fig. 4.

Download (11KB)

Indexing metadata

7. Fig. 6. Components of the conductivities of the coating with castor oil and compensators: ––– – the sum of the active P(f) conductivities of all bubbles; ••••• – the sum of the reactive Q(f) conductivities of all bubbles; –––– – elastic reactive conductivity of the original system –Qss(f); – – – total reactive conductivity of the coating Q(f) + Qss(f).

Download (15KB)

Indexing metadata

8. Fig. 7. Modulus r(f) of the coefficient of sound reflection from the coating in Fig. 6.

Download (11KB)

Indexing metadata

9. Fig. 8. Coating conductivity components with glycerin and compensators. The designations are the same as in Fig. 6.

Download (13KB)

Indexing metadata

10. Fig. 9. Module r(f) of the coefficient of sound reflection from the coating in Fig. 8.

Download (11KB)

Indexing metadata

11. Fig. 10. Conductivity components of a six-element coating with compensators. The designations are the same as in Fig. 6.

Download (14KB)

Indexing metadata

12. Fig. 11. Module r(f) of the coefficient of sound reflection from the coating in Fig. 10.

Download (13KB)

Indexing metadata