Анализ концентрации напряжений и деформаций в неупругой области для упрочняющихся и разупрочняющихся материалов

Полный текст

${\overline{\sigma }}_n>1$

Постановка проблемы. Проблемы взаимоувязанного обоснования ресурса, живучести и безопасности уникальных объектов техносферы с использованием комплекса обобщенных закономерностей процессов деформирования и разрушения являются актуальными для современной постановки вопросов обеспечения безопасной эксплуатации высокорисковых объектов техносферы [1]. Фундаментальные закономерности процессов деформирования и разрушения исследуются в рамках линейной и нелинейной механики деформируемых твердых тел, а прикладные результаты этих исследований имеют прямое отношение к оценке работоспособности уникальных объектов атомной и термоядерной энергетики, ракетно-космического комплекса, современной авиационной техники, высокоскоростного наземного, водного, воздушного транспорта, шельфовых инфраструктур и оборонных отраслей.

Одной из базовых целей в указанных научных исследованиях и прикладных разработках были и остаются решения краевых задач о напряженно-деформированных состояниях несущих элементов уникальных потенциально опасных объектов с широкой вариацией концентрации напряжений, действующих усилий, механических свойств конструкционных материалов.

В этих решениях широко используются аналитические, численные и экспериментальные методы. Учитывая исключительно высокую вариативность постановки и сложность решения задач с учетом конструкторско-технологических и эксплуатационных факторов возможности численных и, тем более, экспериментальных методов, большое значение имели и имеют точные и приближенные аналитические методы. Они уже получили отражение в ряде методических и нормативно-технических документов, в том числе по проектированию атомных реакторов, жидкостных ракетных двигателей и летательных аппаратов.

Возникновение и развитие поврежденных состояний с их переходом в аварии и катастрофы на высокорисковых объектах в значительной, а в ряде случаев в решающей степени определяются локальными напряжениями и деформациями в зонах концентрации несущих элементов.

Методы анализа концентрации напряжений и деформаций. Фундаментальные исследования по теории концентраций напряжений на стадии упругого деформирования были выполнены в ХХ в. Результаты аналитических решений краевых задач теории упругости отражены в основополагающих монографиях Н.И. Мусхелишвили [2], Г.Н. Савина [3], Г. Нейбера [4]. Эти решения в дальнейшем были распространены на случаи упругопластического деформирования [5] и деформирования в условиях ползучести [6]. В конце ХХ – начале XXI в. существенное развитие получили численные решения (методами конечных элементов, конечных разностей, интегральных уравнений и др.); они ориентированы на конкретные постановки задач – способы нагружения, геометрические формы деформируемых тел и зон концентрации, механические свойства материалов в упругой и неупругой области.

Особую актуальность проблемы концентрации напряжений и деформаций приобрели в последнее время для объектов атомной [7] и ракетно-космической [8] техники, когда расчеты и обоснование прочности, ресурса и безопасности стали осуществляться в общей нелинейной постановке с переходом от силовых критериев (в экстремальных локальных напряжениях σ_max) к деформационным (в экстремальных локальных деформациях e_max). Учитывая многообразие конструктивных форм, условий термомеханического нагружения и механического поведения материалов, свою актуальность вновь приобрели аналитические [9, 10], численные [11] и экспериментальные [12] решения нелинейных краевых задач концентрации напряжений и деформаций в наиболее нагруженных и повреждаемых зонах. В основу наиболее эффективных аналитических решений была положена [9] формула Нейбера [4] для случая нелинейной степенной аппроксимации диаграммы деформирования. При такой постановке характер перераспределения напряжений и деформаций в зонах концентрации и коэффициенты концентрации определяются на основе ряда исходных гипотез: сохранения подобия распределения деформаций при переходе от упругой стадии деформирования к упругопластической [3, 5]; сохранения общей энергии упругопластических деформаций при развитии пластических деформаций [13, 14].

По результатам выполненных исследований на рис. 1 (кривая 1) показано распределение и перераспределение напряжений σ(x) и деформации e(x) по опасному сечению х в бесконечной пластике с отверстием радиусом r при действии номинальных растягивающих напряжений σ_n.

Рис. 1. Распределение напряжений σ(x) и деформаций e(x) по сечению х: 1 – упругое решение; 2 – неупругое решение

Для упругого материала с линейной диаграммой деформирования (рис. 2, линия 1) теоретический коэффициент концентрации напряжений принимается равным

${\alpha }_{\sigma }={\sigma }_{\max }/{\sigma }_n$. (1)

Рис. 2. Виды диаграмм деформирования материалов с различной степенью упрочнения и разупрочнения: 1 – упругое деформирование; 2 – деформирование по степенному закону из исходного состояния; 3 – упругое и неупругое деформирование с упрочнением по степенному закону; 4 – идеальное упругопластическое деформирование; 5 – упругое и неупругое деформирование с разупрочнением по степенному закону

При этом характер распределения напряжений σ(x) и деформаций e(x) одинаков, а теоретические коэффициенты концентрации деформаций α_e и напряжений α_σ равны:

${\alpha }_e=e_{\max }/e_n={\alpha }_{\sigma }$. (2)

Величины σ_n, σ_max и e_n, e_max связаны законом Гука:

${\sigma }_n=e_{en}E, {\sigma }_{\max }=e_{\max }E$, (3)

где Е – модуль продольной упругости.

Для неупругого материала со степенным упрочнением во всем диапазоне деформации (рис. 2, линия 2) и константами материала K, n (0 ≤ n ≤ 1), когда деформации невелики (0 ≤ е ≤ 0.03)

${\sigma }_n=K{e}_n^n; \text{}{\sigma }_{\text{max}}=K{e}_{\max }^n=K_{\max }{e}_n^n,$, (4)

где K_n, K_max – коэффициенты, зависящие от α_σ и n.

Для такого материала в работе Г. Нейбера [5] получено выражение

$\frac{K_{\sigma }{K}_e}{{{\alpha }_{\sigma }}^2}=1$, (5)

где K_σ, K_e – коэффициенты концентрации напряжений и деформаций при неупругом деформировании ($K_{\sigma }=\frac{{\sigma }_{\max }}{{\sigma }_n},K_e=\frac{e_{\max }}{e_n}$).

Для большинства традиционных конструкционных материалов научно обоснована и используется диаграмма деформирования с двумя участками:

– упругое деформирование по закону (3) при σ ≤ σ_T (σ_T – предел текучести);

– нелинейное деформирование по степенному закону

$\sigma ={\sigma }_{\text{T}}{(e/e_{\text{T}})}^m$ при σ ≥ σ_T или $\overline{\sigma }={\overline{e}}^m$, (6)

где m – показатель упрочнения для диаграммы деформирования в истинных напряжениях и деформациях (0 ≤ m ≤ 1); $\overline{\sigma }$ и $\overline{e}$ – относительные напряжения ($\overline{\sigma }=\sigma /{\sigma }_{\text{T}}$) и деформации ($\overline{e}=e/e_{\text{T}}$).

Для большого числа широко применяемых металлических конструкционных материалов (сталей и сплавов) 0.05 ≤ m ≤ 0.35. Условие m = 0 относится к идеально упругопластическому материалу (рис. 2, линия 4) или материалу с выраженной площадкой текучести.

Для ряда новых и перспективных материалов (специальных жаростойких сплавов на основе вольфрама и молибдена, сверхвысокопрочных мартенситных сталей, высокопрочных композитов на металлической и неметаллической основе), а также для материалов, упрочненных и поврежденных взрывом и высокой радиацией, характерна ниспадающая (при σ ≥ σ_T) диаграмма деформирования степенного типа (рис. 2, линия 5 при –0.2 ≤ m ≤ 0). Такой же характер диаграммы деформирования может иметь место для традиционных конструкторских материалов при экстремально высоких температурах, превышающих 0.6–0.7 от температуры плавления, что связано с проявлением интенсивной ползучести. Для таких разноупрочняющихся материалов и их состояний с отрицательным значением m анализ эффектов концентрации напряжений и деформаций практически не проводился.

Для основных типов упрочняющихся конструкционных материалов (рис. 2, диаграммы деформирования 3, 4) широкого диапазона деформаций (е_т ≤ е ≤ 0.5) и коэффициентов концентрации (1 ≤ α_σ ≤ 5) выражение (5) при положительных m было модифицировано в форме

$\frac{K_{\sigma }{K}_e}{{{\alpha }_{\sigma }}^2}=F\left({\overline{\sigma }}_n,m,{\alpha }_{\sigma }\right)$. (7)

Обобщение целого ряда расчетных и экспериментальных данных для кривых деформирования (рис. 2) в относительных координатах $\overline{\sigma }=\sigma /{\sigma }_{\text{T}}, \overline{e}=e/e_{\text{T}}$ (когда при упругом деформировании $\overline{\sigma }\le 1$ и ${\overline{\sigma }}_n={\overline{e}}_n$, ${\overline{\sigma }}_{\max }={\overline{e}}_{\max }^m$, а при упругопластическом деформировании $\overline{\sigma }\ge 1$ и ${\overline{\sigma }}_n={\overline{e}}_n^m$, ${\overline{\sigma }}_{\max }={\overline{e}}_{\max }^m$) позволило записать следующее выражение для функционала F в выражении (7):

$F=1/{\left({\alpha }_{\sigma }{\overline{\sigma }}_n\right)}^{n\left(1-m\right)\left[1-\left({\overline{\sigma }}_n-1/{\alpha }_{\sigma }\right)\right]}$, (8)

где n – константа (n ≈ 0.5).

Для упругого материала при m = 1 и ${\overline{\sigma }}_n\le 1$ функционал F = 1 и $K_{\sigma }=K_e={\alpha }_{\sigma }$.

На рис. 3 приведены расчетные (линии) и экспериментальные (точки) данные для функционала F при различных уровнях номинальных напряжений ${\overline{\sigma }}_n$, теоретических коэффициентов концентрации α_σ, условных местных упругих напряжений ${\alpha }_{\sigma }{\overline{\sigma }}_n$ и показателей упрочнения m.

Рис. 3. Зависимости функционала F от номинальных напряжений, концентрации напряжений и показателя упрочнения материала: точки из эксперимента, линии – расчет; 1 – расчет по выражению (5), 2 – расчет по выражению (8), 3 – эксперимент и расчет по выражению (8), 4 – расчет по выражению (9)

Для идеально упругопластического материала (m = 0) при ${\overline{\sigma }}_n=1$ концентрация напряжений отсутствует (K_σ = 1), и тогда указанное выше допущение о сохранении распределения упругих и упругопластических деформаций (α_σ = K_e) по выражению (8) дает самые низкие значения F:

$F=1/{\alpha }_{\sigma }$. (9)

Функционал F в виде кривой 2 по выражению (8) учитывает следующие факторы упругопластического деформирования в широком диапазоне деформаций $\overline{e}$ (вплоть до разрушающих ${\overline{e}}_{к}$): 1) изменение геометрии в зоне концентрации, ведущее к снижению эффектов концентрации (снижение F ≤ 0.8 при 1 ≤ (${\alpha }_{\sigma }{\overline{\sigma }}_n$) ≤ 4 с образованием начальных пластических деформаций); 2) уменьшение несущего сечения в области развития пластических деформаций, ведущее к росту 0.8 ≥ F ≥ 1 за счет увеличения истинных номинальных напряжений.

Выражения (7) и (8) позволяют расчетом (рис. 3, кривая 2) определить коэффициенты концентрации напряжений K_σ и деформаций K_e для любых заданных ${\overline{\sigma }}_n$, α_σ и m. Для упрочняющихся материалов с увеличением ${\overline{\sigma }}_n$ при ${\overline{\sigma }}_n$ ≥ 1 / α_σ и уменьшением показателя упрочнения т коэффициент концентрации напряжений K_σ снижается, приближаясь к единице, (α_σ ≥ K_σ ≥ 1) а коэффициент концентрации деформаций K_e увеличивается, приближаясь к ${\alpha }_{\sigma }^2$ (${\alpha }_{\sigma }={\alpha }_e\le K_e\le {\alpha }_{\sigma }^2$) или превосходя его при ${\overline{\sigma }}_n>1$.

Анализ эффектов перераспределения напряжений K_σ и деформаций K_e при неупругом деформировании в зонах концентрации и в зонах трещин с учетом градиентов напряжений, объемности напряженного состояния и многоосности напряжения был проведен в работах [7–16].

Особенности эффектов концентрации для разупрочняющихся материалов. Для традиционных упрочняющихся материалов (рис. 2, кривые 2, 3, 4, m ≥ 0) исследованные эффекты концентрации представлены на рис. 3. Для новых разупрочняющихся материалов (рис. 2, кривая 5, m ≤ 0) или специальных экстремальных условий нагружения изменение коэффициентов концентрации напряжений K_σ и деформаций K_e имеет свои чрезвычайно важные особенности. Для зоны концентрации в пластине с отверстием по рис. 1 с теоретическим коэффициентом концентрации α_σ = 3 на рис. 4 представлено различие эффектов концентрации в неупругой области для упрочняющихся (m > 0) и разупрочняющихся материалов (m < 0).

Рис. 4. Изменение коэффициентов концентрации напряжений α_σ, K_σ и деформаций K_e при увеличении номинальных напряжений ${\overline{\sigma }}_n$ и при упругопластическом деформировании со степенным упрочнением (m = +0.08) и разупрочнением (m = –0.08)

Это различие на рис. 4 представлено для двух характерных расчетных случаев: 1) используемая в энергомашиностроении низколегированная теплоустойчивая сталь с небольшим упрочнением в упругопластической области (m = +0.08), работающая при температурах 20–320 °С и имеющая диаграмму деформирования типа 3 (рис. 2); 2) специальный сплав для современного энергомашиностроения, разупрочняющийся (m = –0.08) при высокой температуре (до 1200–1400 °С) и имеющий диаграмму деформирования типа 5 (рис. 2).

С увеличением относительных номинальных напряжений ${\overline{\sigma }}_n$ от 0 до 0.33 справедливо решение краевой упругой задачи о концентрации по выражениям (1)–(3) (${\alpha }_{\sigma }=K_{\sigma }, {\alpha }_e={\alpha }_{\sigma }=K_e$).

Для упрочняющихся (m = +0.08) и разупрочняющихся (m = –0.08) материалов при ${\overline{\sigma }}_n$ > 0.33 коэффициенты концентрации деформаций K_e по выражениям (5) и (8) увеличиваются (K_e ≥ α_σ), а коэффициенты концентрации напряжений K_σ снижаются (K_σ ≥ α_σ). Однако для разупрочняющегося сплава (m = –0.08) при увеличении ${\overline{\sigma }}_n$ рост K_e оказывается существенно бóльшим (до 1.5 раз), чем для упрочняющейся стали (m = +0.08). Согласно деформационному критерию прочности [1, 7–9] это указывает на повышение опасности достижения предельных состояний в зоне концентрации деформаций при применении разупрочняющихся материалов (m ≤ 0).

В области нелинейного деформирования (при ${\overline{\sigma }}_n$ ≥ 1 / α_σ) коэффициенты концентрации напряжений K_σ для двух рассматриваемых материалов отличаются меньше (не более чем в 1.2 раза). Это указывает на относительно невысокую чувствительность материалов к концентрации напряжений в неупругой области и ограниченную применимость силового (в напряжениях) критерия прочности [5–19].

Принципиально новой и важной особенностью концентрации напряжений для разупрочняющегося материала (m = –0.08) является то обстоятельство, что в точке А при определенном уровне номинальных напряжений (${\overline{\sigma }}_n$ = 0.75 по рис. 4) величина K_σ становится равной единице, и при дальнейшем увеличении ${\overline{\sigma }}_n$ максимальные напряжения σ_max в зоне концентрации по выражениям (7) и (8) оказываются меньше номинальных напряжений σ_n (${\overline{\sigma }}_{\max }\le {\sigma }_n$). В этой связи общепринятые расчеты прочности в максимальных местных (локальных) напряжениях (${\overline{\sigma }}_{\max }=K_{\sigma }{\overline{\sigma }}_n$) теряют смысл. В таком случае для разупрочняющегося материала (при m ≤ 0) в упругопластической области при ${\overline{\sigma }}_n$ ≥ 1 / α_σ научно обоснованным, более информативным и практически значимым становятся как расчет в максимальных местных деформациях (${\overline{e}}_{\max }=K_e{e}_n$) по деформационным критериям прочности и локальным деформациям, так и экспериментальные исследования локальных напряжений для объектов новой техники (атомная и термоядерная энергетика, ракетно-космические системы, высокорисковые объекты в экстремальных аварийных и катастрофических ситуациях).

Заключение. При проектировании, создании и эксплуатации новых и перспективных объектов и инфраструктуры повышенного риска с заданными параметрами прочности, ресурса, живучести и безопасности существенное значение приобретают методы аналитического, численного и экспериментального анализа кинетики напряженно-деформированных состояний в зонах концентрации. С учетом того, что для таких условий точные аналитические решения краевых задач пока не получены, а численные и экспериментальные невозможны в силу бесконечно большого набора реальных частных вариантов постановки этих задач, особую важность приобретают приближенные аналитические методы определения локальных напряжений σ_max и деформаций e_max в зонах концентрации с использованием выражений типа (6)–(8). Реализация таких расчетов основывается на исходном решении упругой краевой задачи с оценкой теоретического коэффициента концентрации α_σ и определением базовых механических свойств конструкционного материала (предела текучести σ_T и показателя упрочнения m). На базе этой исходной информации (α_σ, σ_T, m) расчетом при заданном уровне номинальных напряжений σ_n можно получить коэффициенты концентрации напряжений K_σ и деформаций K_e в упругопластической области, а по ним величины σ_max и e_max.

В расчетном анализе подтверждаются ранее установленные закономерности роста коэффициента концентрации локальных деформаций K_e (K_e ≥ α_σ) и снижения коэффициента концентрации локальных напряжений K_σ (K_σ  ≤ α_σ) по мере увеличения номинальных напряжений σ_n и снижения показателя упрочнения m для упрочняющих традиционных конструкционных материалов (0 ≤ m ≤ 1).

Вместе с тем для разупрочняющихся материалов при отрицательных значениях показателя упрочнения m (m < 0) наряду с наблюдаемым более интенсивным увеличением коэффициентов концентрации деформаций имеет место принципиально новый эффект – коэффициент концентрации напряжений на контуре зоны концентрации может оказаться меньше единицы (α_σ < K_σ < 1).

Для таких материалов расчеты прочности, ресурса и живучести по силовым критериям (в напряжениях) не могут быть использованы, а обоснование приемлемости проектов новых и перспективных объектов техносферы повышенного риска должны проводиться по деформационным критериям [20].

Финансирование. Работа выполнена при поддержке РНФ (проект № 20-19-00769-П).

Конфликт интересов. Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Об авторах

Н. А. Махутов

Автор, ответственный за переписку.
Email: safety@imash.ru
Россия, Москва

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Распределение напряжений σ(x) и деформаций e(x) по сечению х: 1 – упругое решение; 2 – неупругое решение

Скачать (87KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Виды диаграмм деформирования материалов с различной степенью упрочнения и разупрочнения: 1 – упругое деформирование; 2 – деформирование по степенному закону из исходного состояния; 3 – упругое и неупругое деформирование с упрочнением по степенному закону; 4 – идеальное упругопластическое деформирование; 5 – упругое и неупругое деформирование с разупрочнением по степенному закону

Скачать (37KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Зависимости функционала F от номинальных напряжений, концентрации напряжений и показателя упрочнения материала: точки из эксперимента, линии – расчет; 1 – расчет по выражению (5), 2 – расчет по выражению (8), 3 – эксперимент и расчет по выражению (8), 4 – расчет по выражению (9)

Скачать (169KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Изменение коэффициентов концентрации напряжений ασ, Kσ и деформаций Ke при увеличении номинальных напряжений и при упругопластическом деформировании со степенным упрочнением (m = +0.08) и разупрочнением (m = –0.08)

Скачать (91KB)

Метаданные