Отправить статью по E-mail 
РАЦИОНАЛЬНАЯ АРИФМЕТИКА С ОКРУГЛЕНИЕМ
- Авторы: Варин В.П1
-
Учреждения:
- Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН
- Выпуск: Том 64, № 6 (2024)
- Страницы: 895-913
- Раздел: ОБЩИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
- URL: https://bakhtiniada.ru/0044-4669/article/view/273758
- DOI: https://doi.org/10.31857/S0044466924060015
- EDN: https://elibrary.ru/XZRESQ
- ID: 273758
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Вычисления на компьютере в плавающей арифметике всегда являются приближенными. Напротив, вычисления в рациональной арифметике (например, в компьютерной алгебре) всегда абсолютно точны и воспроизводимы как на других компьютерах, так и (теоретически) вручную. Поэтому такие вычисления могут быть доказательными в том смысле, что доказательство, полученное с их помощью, ничем не отличается от традиционного. Однако обычно такие вычисления в достаточно сложной задаче невозможны ввиду ограниченности ресурсов памяти и времени. Мы предлагаем механизм округления рациональных чисел при расчетах в рациональной арифметике, который решает эту проблему (ресурсов), т.е. вычисления по-прежнему могут быть доказательными, но уже не требуют неограниченных ресурсов. Приведен ряд примеров реализации стандартных численных алгоритмов в этой арифметике. Результаты имеют приложения к аналитической теории чисел. Библ. 22. Фиг. 3.
Об авторах
В. П Варин
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН
Email: varin@keldysh.ru
Москва, Россия
Список литературы
- Borwein J., Bailey D., Gigensohn R. Experimentation in Mathematics: computational paths to discovery. A K Peters, Natick. 2004.
- Арнольд В. И. Экспериментальная математика. М.: ФАЗИС, 2005.
- Hammer R., et.al. Numerical Toolbox for Verified Computing I. Springer, 1993.
- Appel K., Haken W. Solution of the Four Color Map Problem // Scientific American. 1977. V. 237. N 4. P. 108–121.
- Рухович Ф. Д. Внешние биллиарды вне правильных многоугольников: ручной случай // Изв. РАН. Сер. матем. 2022. Т. 86. No 3. С. 105–160.
- Варин В. П. Преобразование последовательностей в доказательствах иррациональности некоторых фундаментальных констант // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. N 10. С. 1587–1614.
- Варин В. П. Аппроксимация дифференциальных операторов с учетом граничных усло- вий // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2023. Т. 63. N 8. С. 1251–1271.
- Хинчин А. Я. Цепные дроби. М.: Гостехиздат, 1961.
- Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1984.
- Hairer, et. al. Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. 2nd ed. Berlin, Springer. 1993.
- Weniger E. J. Nonlinear sequence transformations for the acceleration of convergence and the summation of divergent series // Comput. Phys. Rep. North-Holland. Amsterdam, 1989. V. 10. P. 189–371.
- Brent R. P. Computation of the Regular Continued Fraction for Euler’s Constant // Math. of Comput. 1977. V. 31. No 139. P. 771–777.
- Serret M. J.-A. Oeuvres de Lagrange. Vol. 2. Gauthier-Villars. Paris. (M DCCC LXVIII).
- Брюно А. Д. Разложение алгебраических чисел в цепные дроби // Ж. вычисл. матем. и ма- тем. физ. 1964. Т. 4. No 2. С. 211–221.
- Knuth D. E. The Art of Computer Programming. 3rd ed. Vol. 2. 1998. Addison Wesley Longman.
- Haas A. The relative growth rate for partial quotients // New York J. Math. 2008. V. 14. P. 139–143.
- Roth K. F. Rational approximations to algebraic numbers // Mathematika. 1955. V. 2. Part 1. No 3. P. 1–20.
- Stark H. M. An explanation of some exotic continued fractions found by Brillhart // in: A.O.L. Atkin, B.J. Birch (ed.), Computers in Number Theory. Science Research Council Atlas Symposium N 2. Oxford, Academic Press, 1971.
- Lévy P. Sur le lois de probabilité dont dépendent les qoutients complets et incomplets d’une fraction continue // Bull. Scc. Math. 1929. V. 57. P. 178–194.
- Borwein J., et. al. Neverending Fractions. An Introduction to Continued Fractions. Australian Mathematical Society Lecture Series: 23. 2014.
- Brun V. Ein Satz über Irrationalität // Arkiv for Mathematik og Naturvidenskab (Kristiania), 1910. V. 31. No 3. P. 3–6.
- Butler L. A. A useful application of Brun’s irrationality criterion // Expo. Math. 2015. V. 33. P. 121–134.
Дополнительные файлы
