FINDING COMPLEX-VALUED SOLUTIONS TO THE BRENT EQUATIONS BY REDUCING THEM TO A NONLINEAR LEAST SQUARES PROBLEM

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Finding nontrivial solutions to the trilinear Brent equations corresponds to the construction of asymptotically fast matrix multiplication algorithms is an important, but in general a very difficult computational task. Methods of parameterization of the Brent equations based on the use of symmetries of the matrix product tensor are proposed, which make it possible to repeatedly reduce the dimension of the problem. The numerical solution of the obtained trilinear or cubic systems of nonlinear equations is carried out by reducing to a nonlinear least squares problem and applying to it a specially developed iterative method that does not require calculation of derivatives. The found solutions of the parameterized Brent equations, as a rule, have a rank no higher (and sometimes even lower) than the known results. Thus, an algorithm for multiplying two 4th-order matrices in 48 active multiplications is obtained.

About the authors

I. E Kaporin

Federal Research Center Computer Science and Control of the Russian Academy of Sciences

Email: igorkaporin@mail.ru
Moscow, Russia

References

  1. Brent R. P. Algorithms for matrix multiplication. (Report No. STAN-CS-70-157). Stanford Univ. CA Dept. of Computer Science, 1970, 58 p.
  2. Strassen V. Gaussian elimination is not optimal //Numer. Math. 13, 354—356 (1969).
  3. Laderman J. D. A noncommutative algorithm for multiplying 3x3 matrices using 23 multiplications. Bull. Amer. Math. Soc. 82, 126-128 (1976).
  4. Pan V. How we can speed up matrix multiplication? // SIAM Review, 26(3), 393-415 (1984).
  5. Smirnov A. V. The bilinear complexity and practical algorithms for matrix multiplication // Comp. Math. Mathem. Phys. 53, 1781-1785 (2013).
  6. Karstadt E., Schwartz O. Matrix multiplication, a little faster // J. of the ACM (JACM). 2020, 67(1), 1-31.
  7. Kaporin I. A Derivative-Free Nonlinear Least Squares Solver. In: Olenev N.N., Evtushenko Y.G., Jacimovic M., Khachay M., Malkova V. (eds.) Optimization and Applications. OPTIMA 2021. Lecture Notes in Computer Science, V. 13078. P. 217-230. Springer, Cham. (2021). https://doi.org/10.1007/978-3-030-91059-4_16
  8. Oseledets I. V., Savostyanov D. V. Minimization methods for approximating tensors and their comparison // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2006, 46(10), 1641-1650
  9. Kaporin I. E., Axelsson O. On a class of nonlinear equation solvers based on the residual norm reduction over a sequence of affine subspaces // SIAM J. Sci. Comput. 16(1), 228-249 (1994)
  10. Kaporin I. Preconditioned Subspace Descent Method for Nonlinear Systems of Equations // Open Computer Science, 2020, 10(1), 71-81
  11. Kozak D., Molinari C., Rosasco L., Tenorio L., Villa S. Zeroth order optimization with orthogonal random directions. // Mathematical Programming. 2022. V. 199. P. 1-41.
  12. Armijo L. Minimization of functions having Lipschitz continuous first partial derivatives // Pacific Journal of mathematics 16(1), 1-3 (1966).
  13. Ballard G., Ikenmeyer C., Landsberg J. M., Ryder N. The geometry of rank decompositions of matrix multiplication II: 3x3 matrices. // Journal of Pure and Applied Algebra, 2019, 223(8), 3205-3224.
  14. Berger G. O., Absil P. A., De Lathauwer L., Jungers R. M., Van Barel M. Equivalent polyadic decompositions of matrix multiplication tensors // J. of Computational and Applied Mathematics, 2022, 406, 113941. https://doi.org/10.1016/j.cam.2021.113941.
  15. Hopcroft J. E., Kerr L. R. On minimizing the number of multiplications necessary for matrix multiplication // SIAM Journal on Applied Mathematics, 1971, 20(1):30—36.
  16. Fawzi A. et al. Discovering faster matrix multiplication algorithms with reinforcement learning. Nature, 2022, 610(7930): 47-53.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».