Исследование спектральной структуры сигнала методом конечных разностей

Аннотация

Рассмотрен метод оценивания спектральных параметров полигармонического процесса методом центральных конечных разностей чётного порядка для случая, когда ряд числовых наблюдений достаточно большой, а количество гармонических компонент в исследуемом процессе априори неизвестно.

Полный текст

Рассмотрим модифицированный метод оценивания параметров применительно к случаю, когда ряд числовых наблюдений y₁, y ₂,…, y_m достаточно большой и, соответственно, допускает возможность формирования центральных конечных разностей высокого порядка (много больше, чем это необходимо для метода, описанного в [1]). Положим на начальном этапе рассмотрения, что число N синусоидальных компонент нам известно. Пусть для максимального порядка центральной конечной разности 2l, которую можно оформить согласно алгоритму [1] на основе имеющегося ряда y₁, y ₂,…, y_m, выполняется условие 2l >> 4N.

Пусть рассматриваемый процесс можно представить в следующем виде:

$y_s=y_{ср}+\sum _{i=1}^N{r}_i\sin \left(\frac{2\pi }{T_i}sg+{\alpha }_i\right).$

Введем следующие обозначения:

$\begin{array}{c}{\lambda }_i=4{\sin }^2\frac{\pi g}{T_i};A_i^{\left(k\right)}=r_i\sin \left(\frac{2\pi }{T_i}{s}_{k}g+{\alpha }_i^{\left(k\right)}\right)\text{,}\\ i=\text{1,\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2,\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\mathrm{...,}N\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em} }k=\text{1,\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}2,\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\mathrm{...,}l.\end{array}$

$\begin{array}{c}{B}_t^{\left(k\right)}=\sum _{i=1}^N{A}_i^{\left(k\right)}{\lambda }_i^j=\left\{\begin{array}{c}{y}_{sj}^{\left(j\right)}-y_{ср}, \text{при }t=0\\ {(-1)}^t{\Delta }^{2t}{y}_{sk}^{\left(k\right)}, \text{при }t=\mathrm{1,}\mathrm{2,...,}N\mathrm{,...}\end{array}\right.\\ k=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}l.\end{array}$

Рассмотрим l + I (l >> 2N) уравнений системы

$B_k=\sum _{i=1}^N{A}_i{\lambda }_i^k;k=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{...,}l.$ (1)

Положим, что величины ${\lambda }_1,{\lambda }_2\mathrm{,...,}{\lambda }_N$ – корни уравнения

${\lambda }^N+C_{N-1}{\lambda }^{N-1}+C_{N-2}{\lambda }^{N-2}+\mathrm{...}+C_1\lambda +C_0=0.$ (2)

Возьмем в системе (1) какую-нибудь группу из N+1 последовательных уравнений, например группу

$\begin{array}{c}{B}_t=A_1{\lambda }_1^t+A_2{\lambda }_2^t+\mathrm{...}+A_N{\lambda }_N^t,\\ B_{t+1}=A_1{\lambda }_1^{t+1}+A_2{\lambda }_2^{t+1}+\mathrm{...}+A_N{\lambda }_N^{t+1},\\ \begin{array}{l}\cdot \\ \cdot \\ \cdot \end{array}\\ B_{t+N}=A_1{\lambda }_1^{t+N}+A_2{\lambda }_2^{t+N}+\mathrm{...}+A_N{\lambda }_N^{t+N}.\end{array}$ (3)

Умножим первое уравнение на С₀, второе – на С₁, …N-е – на С_N–1, тогда, складывая их и добавляя N+1 уравнений системы (3), получим

$\begin{array}{c}{C}_0{B}_t+C_1{B}_{t+1}+\mathrm{...}+C_{N-1}{B}_{t+N-1}+B_{t+N}=\\ =A_1{\lambda }_1^t\left(C_0+C_1{\lambda }_1+\mathrm{...}+C_{N-1}{\lambda }_1^{N-1}+{\lambda }_1^N\right)+\\ +A_2{\lambda }_1^t\left(C_0+C_1{\lambda }_2+\mathrm{...}+C_{N-1}{\lambda }_2^{N-1}+{\lambda }_2^N\right)+\mathrm{...}\\ +A_N{\lambda }_N^t\left(C_o+C_1{\lambda }_N+\mathrm{...}+C_{N-1}{\lambda }_N^{N-1}+{\lambda }_N^N\right).\end{array}$ (4)

Так как по предположению ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{...,}{\lambda }_N$ – корни уравнения (2), то

$C_0+C_1{\lambda }_i+\mathrm{...}+C_{N-1}{\lambda }_i^{N-1}+{\lambda }_i^N=0;i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{..,}N.$ (5)

и, значит,

$C_0{B}_t+C_1{B}_{t+1}+\mathrm{...}+C_{N-1}{B}_{t+N-1}+B_{t+N}=0.$ (6)

Таким же образом, полагая последовательно t равным 0, 1, 2,…, l–N получим систему линейных уравнений с неизвестными С₀, С ₁,…, С _N–1 :

$\left.\begin{array}{c}{B}_0{C}_0+B_1{C}_1+\mathrm{...}+B_{N-1}{C}_{N-1}+B_N=\mathrm{0,}\\ B_1{C}_0+B_2{C}_1+\mathrm{...}+B_N{C}_{N-1}+B_{N+1}=\mathrm{0,}\\ \\ B_{l-N}{C}_0+B_{l-N+1}{C}_1+\mathrm{...}+B_{l-1}{C}_{N-1}+B_l=0.\end{array}\right\}$ (7)

Решаем эту линейную относительно параметров С₀, C₁,…, C_N–1 систему по методу наименьших квадратов. При этом учтем, что число уравнений l–N+1 много больше числа неизвестных (С₀, C₁,…, C_N–1)_. Положим, что мы взяли какую-нибудь систему значений ($C_0^{*}$,$C_1^{*}$,…,$C_{N-1}^{*}$), подставили в уравнение (7) и составили разности

$\left.\begin{array}{c}{B}_0{C}_0^{*}+B_1{C}_1^{*}+\mathrm{...}+B_{N-1}{C}_{N-1}^{*}+B_N={\epsilon }_1,\\ B_1{C}_0^{*}+B_2{C}_1^{*}+\mathrm{...}+B_N{C}_{N-1}^{*}+B_{N+1}={\epsilon }_2,\\ \mathrm{...................................................................}\\ B_{l-N}{C}_0^{*}+B_{l-N+1}{C}_1^{*}+\mathrm{...}+B_{l-1}{C}_{N-1}^{*}+B_l={\epsilon }_{l-N+1}.\end{array}\right\}$ (8)

Эти разности представляют те ошибки, которые имеют место в наблюдаемых величинах B_N, B_N+1,…, B_l при системе значений ($C_0^{*}$,$C_1^{*}$,…,$C_{N-1}^{*}$). Составим сумму квадратов разностей

$F(C_0^{*}\text{,}{C}_1^{*}\text{,}\dots \text{,}{C}_{N-1}^{*}\text{)}=\sum _{i=\text{1}}^{l-N+\text{1}}{\epsilon }_i^{\text{2}}={\overline{\epsilon }}^T\overline{\epsilon },$ (9)

где ${\overline{\epsilon }}^T=({\epsilon }_1,{\epsilon }_2\mathrm{,...,}{\epsilon }_{l-N+1})$.

Оценки по методу наименьших квадратов получают при минимизации функции (9). Минимум функций (9) получим, приравняв к нулю частные производные

$\frac{\partial F\left(C_0^{*}\text{,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{C}_1^{*}\text{,}\dots \text{,}{C}_{N-1}^{*}\right)}{\partial C_i^{*}}=0;i=\mathrm{0,}\mathrm{1,...,}N-1.$ (10)

Подставляя (8) и (9) в систему уравнений (10), получим нормальную систему уравнений, которую запишем в матричном виде [2]

${\mathbf{B}}_{(l-N+\mathrm{1,}N)}^T{\mathbf{B}}_{l-N+\mathrm{1,}N}^{}\overline{\mathbf{C}}=-{\mathbf{B}}_{(l-N+\mathrm{1,}N)}^T\overline{\mathbf{H}},$ (11)

где

$\begin{array}{c}{B}_{l-N+\mathrm{1,}N}^{}=||\begin{array}{cccc}{B}_0& B_1& & B_{N-1}\\ B_1& B_2& & B_N\\ & & & \\ B_{l-N}& B_{l-N+1}& & B_{l-1}\end{array}||;\\ \overline{\mathbf{C}}=||\begin{array}{c}{C}_0\\ C_1\\ \mathrm{...}\\ C_{N-1}\end{array}||;\overline{\mathbf{H}}=||\begin{array}{c}{B}_N\\ B_{N+1}\\ \\ B_l\end{array}||.\end{array}$ (12)

Матрица ${\mathbf{B}}_{(l-N+\mathrm{1,}N)}^T{\mathbf{B}}_{l-N+\mathrm{1,}N}^{}$= K(N×N) представляет собой таблицу коэффициентов при неизвестных ${\overline{C}}^T=(C_{\text{0}}\text{,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{C}_{\text{1}}\text{,}\dots \text{,\hspace{0.33em}}{C}_{N\text{-1}}\text{)}$ в системе нормальных уравнений и является матрицей Грама для системы векторов [2]

${\overline{\mathit{Z}}}_K=||\begin{array}{c}{B}_K\\ B_{K+1}\\ \mathrm{...}\\ B_{l-N+K}\end{array}||,$ (13)

т.е.

$\begin{array}{c}\mathbf{K}\left(N\times N\right)={\mathbf{B}}_{(l-N+\mathrm{1,}N)}^T{\mathbf{B}}_{l-N+\mathrm{1,}N}^{}=\\ =||\begin{array}{cccc}\left({\overline{Z}}_0,{\overline{Z}}_0\right)& \left({\overline{Z}}_0,{\overline{Z}}_1\right)& & \left({\overline{Z}}_0,{\overline{Z}}_{N-1}\right)\\ \left({\overline{Z}}_1,{\overline{Z}}_0\right)& \left({\overline{Z}}_1,{\overline{Z}}_1\right)& & \left({\overline{Z}}_1,{\overline{Z}}_{N-1}\right)\\ & & & \\ \left({\overline{Z}}_{N-1},{\overline{Z}}_0\right)& \left({\overline{Z}}_{N-1},{\overline{Z}}_1\right)& & \left({\overline{Z}}_{N-1},{\overline{Z}}_{N-1}\right)\end{array}||.\end{array}$ (14)

Для нахождения неизвестных ${\overline{\mathbf{C}}}^T=(C_{\text{0}}\text{,\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}{C}_{\text{1}}\text{,}\dots \text{,}{C}_{N\text{-1}}\text{)}$ умножим обе части матричного уравнения (11) слева на ${\mathbf{K}}^{-1}(N\times N)$. Получим

$\overline{\mathit{C}}=-{\mathbf{K}}^{-1}\left(N\times N\right){\mathbf{B}}_{(l-N+\mathrm{1,}N)}^T\overline{\mathbf{Н}}\text{.}$ (15)

Решение системы нормальных уравнений (15) определяет те значения $\overline{\mathbf{С}}*$, при которых достигается точка минимума функции $F\left(\overline{\mathbf{С}}\right)$ (9) в N-мерном пространстве. Функция $F\left(\overline{\mathbf{С}}\right)$ является неотрицательной квадратичной относительно $\overline{\mathbf{С}}$. Поэтому минимум функции $F\left(\overline{\mathbf{С}}\right)$ всегда существует, а так как точка минимума обязательно удовлетворяет нормальной системе, то последняя является совместной, т.е. всегда имеет решение. Однако нормальная система может иметь и несколько решений в тех случаях, когда матрица K является особенной. Для однозначного определения вектора $\overline{\mathbf{С}}*$ из (15) необходимо, чтобы матрица K (матрица Грама) была неособенной, т.е. система векторов $\{{\overline{\mathbf{Z}}}_K,\mathit{K}=\mathrm{0,}\mathrm{1,...,}N-1\}$ была линейно независимой. Только в этом случае существует обратная матрица K^–1 и однозначное решение (15).

Рассмотрим, что представляет собой матрица Грама K (N×N ).

Так как $\mathbf{\text{K}}(N\times N)={\mathbf{B}}_{(l-N+\mathrm{1,}N)}^T{\mathbf{B}}_{l-N+\mathrm{1,}N}^{}$, то распишем матрицу ${\mathbf{B}}_{l-N+\mathrm{1,}N}^{}$

${\mathbf{B}}_{l-N+\mathrm{1,}N}^{}=||\begin{array}{cccc}\sum _{i=1}^N{A}_i& \sum _{i=1}^N{A}_i{\lambda }_i^{}& & \sum _{i=1}^N{A}_i{\lambda }_i^{N-1}\\ \sum _{i=1}^N{A}_i{\lambda }_i^{}& \sum _{i=1}^N{A}_i{\lambda }_i^2& & \sum _{i=1}^N{A}_i{\lambda }_i^N\\ & & & \\ \sum _{i=1}^N{A}_i{\lambda }_i^{l-N}& \sum _{i=1}^N{A}_i{\lambda }_i^{l-N+1}& & \sum _{i=1}^N{A}_i{\lambda }_i^{l-1}\end{array}||,$ (16)

где A = diag{A₁,A₂,…,A_N},

${\mathbf{L}}_{(l-N+1\times N)}=||\begin{array}{cccc}1& 1& \mathrm{...}& 1\\ {\lambda }_1^{}& {\lambda }_2^{}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{}\\ {\lambda }_1^2& {\lambda }_2^2& \mathrm{...}& {\lambda }_N^2\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ {\lambda }_1^{l-N}& {\lambda }_2^{l-N}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{l-N}\end{array}||;{\mathbf{L}}_{(N\times N)}=||\begin{array}{cccc}1& 1& \mathrm{...}& 1\\ {\lambda }_1^{}& {\lambda }_2^{}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ {\lambda }_1^{N-1}& {\lambda }_2^{N-1}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{N-1}\end{array}||.$ (17)

Тогда матрица K(N×N) может быть представлена в виде

$\begin{array}{c}\mathbf{K}\left(N\times N\right)={\mathbf{B}}_{(l-N+\mathrm{1,}N)}^T{\mathbf{B}}_{l-N+\mathrm{1,}N}^{}=\\ ={\left[{\mathbf{L}}_{(l-N+1\times N)}{\mathbf{AL}}_{(N\times N)}^T\right]}^T\times \left[{\mathbf{L}}_{(l-N+1\times N)}{\mathbf{AL}}_{(N\times N)}\right]=\\ ={\mathbf{L}}_{(N\times N)}{\mathbf{AL}}_{(l-N+1\times N)}^T{\mathbf{L}}_{l-N+1\times N)}{{\mathbf{AL}}^T}_{(N\times N)}.\end{array}$ (18)

Определитель матрицы K(N×N). Учитывая, что определитель матрицы

L(N×N) – определитель Вандермонда

$\det \mathit{L}\underset{}{\left(N\times N\right)}=\underset{}{\underset{}{\underset{1\le j<i\le N}{\mathrm{\Pi }}\left({\lambda }_i-{\lambda }_j\right)}},$

а определитель матрицы A – det A=A₁A₂…A_N , тогда можно записать в виде

$\det \mathbf{K}\left(\underset{}{N\times N}\right)=A_1^2{A}_1^2\mathrm{...}{A}_1^2{\underset{}{\underset{}{\underset{1\le j<i\le N}{\mathrm{\Pi }}({\lambda }_i-{\lambda }_j)}}}^2\det ||\begin{array}{cccc}1& {\lambda }_1^{}& \mathrm{...}& {\lambda }_1^{l-N}\\ 1& {\lambda }_2^{}& \mathrm{...}& {\lambda }_2^{l-N}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ 1& {\lambda }_N^{}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{l-N}\end{array}||||\begin{array}{cccc}1& 1& \mathrm{...}& 1\\ {\lambda }_1^{}& {\lambda }_2^{}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ {\lambda }_1^{l-N}& {\lambda }_2^{l-N}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{l-N}\end{array}||$ (19)

Для вычисления определителя, стоящего в правой части выражения (19), воспользуемся формулой Бине-Коши [2]

$\begin{array}{c}\det {\mathit{L}}_{(l-N+1\times N)}^T{\mathbf{L}}_{(l-N+1\times N)}=\\ =\sum _{1\le m1<m2<\mathrm{...}<mN\le l-N+1}{L}^2\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \mathrm{...}& N\\ m_1^{}& m_2& \mathrm{...}& m_N\end{array}\right),\end{array}$ (20)

где $L^2\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \mathrm{...}& N\\ m_1^{}& m_2& \mathrm{...}& m_N\end{array}\right)$ – минор порядка N матрицы ${\mathbf{L}}_{(l-N+1\times N)}$.

Таким образом, определитель матрицы Грама det K(N×N) можно записать в виде

$\det \mathit{K}\left(N\times N\right)=A_1^2{A}_2^2\mathrm{...}{A}_N^2{\underset{}{\underset{}{\underset{1\le j<i\le N}{\mathrm{\Pi }}\left({\lambda }_i-{\lambda }_j\right)}}}^2\det \sum _{1\le m1<m2<\mathrm{...}<mN\le l-N+1}{L}^2\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \mathrm{...}& N\\ m_1^{}& m_2& \mathrm{...}& m_N\end{array}\right).$ (21)

В предположении $A_i\ne \mathrm{0,}{\lambda }_i\ne {\lambda }_j;i,j=\mathrm{1,}N,\det \mathit{K}(N\times N)\ne 0$ так как среди миноров порядка N матрицы L(l – N + 1 × N) обязательно имеются ненулевые, таким образом получим, что при числе гармоник N определитель матрицы Грама положителен ($\det \mathit{K}(N\times N)>0$) и нормальная система уравнений (11) имеет единственное решение (15).

Покажем, что последовательность определителей матрицы Грама $\left\{\det \mathit{K}\right(t\times t),t=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,...}\}$ позволяет определить число гармоник. Пусть неизвестное число компонент равно N. По наблюдаемому отрезку временного ряда y₁, y₂,…, y определяется последовательность центральных конечных разностей четного порядка и на их основе формируется последовательность B₀, B₁, B₂,…, B_l. Из последовательности $\{\det {\mathbf{В}}_{i}i=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,..,}l\}$строятся векторы $\left\{{\overline{\mathbf{Z}}}_K, \mathit{K} = 0, 1, 2, 3, ...\right\}$ (13), причем их размерность (l–p+1) выбирается больше предполагаемого максимально возможного числа P синусоидальных составляющих (l–p+1 > P_max). На основе векторов $\left\{{\overline{\mathbf{Z}}}_K, \mathit{K} = 0, 1, 2, 3, ...\right\}$ формируем последовательность матриц Грама $\{\mathrm{de}t \mathbf{K}(t\times t),t=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,...}\}$, где

$\begin{array}{c}\mathbf{K}(t\times t)=||\begin{array}{cccc}\left({\overline{Z}}_0,{\overline{Z}}_0\right)& \left({\overline{Z}}_0,{\overline{Z}}_1\right)& \mathrm{...}& \left({\overline{Z}}_0,{\overline{Z}}_{t-1}\right)\\ \left({\overline{Z}}_1,{\overline{Z}}_0\right)& \left({\overline{Z}}_1,{\overline{Z}}_1\right)& \mathrm{...}& \left({\overline{Z}}_1,{\overline{Z}}_{t-1}\right)\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ \left({\overline{Z}}_{t-1},{\overline{Z}}_0\right)& \left({\overline{Z}}_{t-1},{\overline{Z}}_1\right)& \mathrm{...}& \left({\overline{Z}}_{t-1},{\overline{Z}}_{t-1}\right)\end{array}||=||\begin{array}{cccc}{B}_0& B_1& \mathrm{...}& B_{l-p}\\ B_1& B_2& \mathrm{...}& B_{l-p+1}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ B_{t-1}& B_t& \mathrm{...}& B_{l-p+t-1}\end{array}||\times \\ \times ||\begin{array}{cccc}{B}_0& B_1& \mathrm{...}& B_{t-1}\\ B_1& B_2& \mathrm{...}& B_t\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ B_{l-p}& B_{l-p+1}& \mathrm{...}& B_{l-p+t-1}\end{array}||=\\ ={\mathbf{B}}_{(l-p+\mathrm{1,}t)}^T{\mathbf{B}}_{(l-p+\mathrm{1,}t)}^{}={\mathbf{L}}_{(t\times N)}{\mathbf{AL}}_{(l-p+1\times N)}^T{\mathbf{L}}_{(l-p+1\times N)}{{\mathbf{AL}}^T}_{(t\times N)}\end{array}$, (22)

где

${\mathbf{L}}_{(t\times N)}=||\begin{array}{cccc}1& 1& \mathrm{...}& 1\\ {\lambda }_1^{}& {\lambda }_2^{}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ {\lambda }_1^{t-1}& {\lambda }_2^{t-1}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{t-1}\end{array}||;{\mathbf{L}}_{(l-p+1\times N)}=||\begin{array}{cccc}1& 1& \mathrm{...}& 1\\ {\lambda }_1^{}& {\lambda }_2^{}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{}\\ \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}& \mathrm{...}\\ {\lambda }_1^{l-p}& {\lambda }_2^{l-p}& \mathrm{...}& {\lambda }_N^{l-p}\end{array}||.$ (23)

Вычислим определитель det K(t×t). Используя (19) и (21), можно показать, что

$\det \mathit{K}(t\times t)=A_1^2{A}_2^2\mathrm{...}{A}_N^2\sum _{1\le m1<m2<\mathrm{...}<mN\le l-N+1}{L}^2\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \mathrm{...}& N\\ m_1^{}& m_2& \mathrm{...}& m_N\end{array}\right)\det \left[\mathbf{L}\left(t\times N\right){\mathbf{L}}^T\left(t\times N\right)\right],$ (24)

Используя формулу Бине-Коши для вычисления (24), получим

$\det \mathit{K}(t\times t)=A_1^2{A}_2^2\mathrm{...}{A}_N^2\sum _{1\le m1<m2<\mathrm{...}<mN\le l-N+1}{L}^2\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \mathrm{...}& N\\ m_1^{}& m_2& \mathrm{...}& m_N\end{array}\right)\sum _{1\le l1<l2<\mathrm{...}<lt\le N}{L}^2\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \mathrm{...}& t\\ l_1^{}& l_2& \mathrm{...}& l_N\end{array}\right),$ (25)

где $L^{}\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \mathrm{...}& t\\ l_1^{}& l_2& \mathrm{...}& l_N\end{array}\right)$ – минор порядка t матрицы L( t ×N ).

Если предположить, что $A_i\ne \mathrm{0,}{\lambda }_i\ne {\lambda }_j;i,j=\mathrm{1,}N,\det \mathbf{K}(N\times N)>0$и $t\le N$, то получим, что как среди миноров порядка T матрицы L(t × N), так и среди миноров порядка N матрицы L(l – p + 1 × N), обязательно найдутся нулевые. Если же t > N, то detK(t × t) = 0. Таким образом, определение числа N сводится к следующему. По наблюдаемому отрезку y₁, y₂,…,y_m определяется последовательность центральных конечных разностей четного порядка, формируется последовательность B₀, B₁, B₂,…, B_l, на основе которой строят векторы $\left\{{\overline{\mathbf{Z}}}_K, \mathit{K} = 0, 1, 2, 3, ...\right\}$ согласно (13), причем размерность их (l–p+1) предполагается больше максимального возможного числа P компонент в данном временном ряду. На основе векторов $\left\{{\overline{\mathbf{Z}}}_K, \mathit{K} = 0, 1, 2, 3, ...\right\}$ формируется последовательность матриц Грама $\left\{\mathbf{K}\right(t\times t),t=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,...}\}$ вычисляются определители detK(t × t). Процесс обрывают, как только detK(S × S) = 0. Последнее означает, что число гармоник равно S–1. Зная N, можно определить вектор $\overline{C}$ (15), корни ${\lambda }_1,{\lambda }_2\mathrm{,...,}{\lambda }_{s-1}$ уравнения (5). Далее определяются периоды $T_1,T_2\mathrm{,...,}{T}_{s-1}$. Такой подход позволяет проводить надежное и однозначное определение числа параметров тех компонент, для которых $A_i\ne 0;i=\mathrm{1,}N$. В силу того, что возможна ситуация, когда выполняется $A_i=0$, следует при оценивании параметров повторять описанную процедуру для нескольких значений $y_{s1},y_{s2}\mathrm{,...,}{y}_{sk}$ и окончательно суждение выносить на основе анализа совместных результатов.

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Работа выполнена в рамках госзадания ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.