The problem of trajectories avoiding from rarefied terminal sets

全文:

1. Введение. Постановка глобальной задачи уклонения траекторий. Пусть конфликтно управляемый процесс описывается уравнением

$\dot{z}=f(z,u,v),$ (1.1)

где $z\in R^n, \dot{z}\in R^n$ точка над $z$ означает производную по времени, $u\in P\subset R^p, v\in Q\subset R^q$, $P$ и $Q$ — компакты с началами своих несущих пространств $\left(0_p\in P и 0_q\in Q\right)$. Функция $f\left(z,u,v\right)$ непрерывна по $\left(z,u,v\right)\in X=R^n\times P\times Q$ и удовлетворяет условиям:

1) Для каждого компакта $K\subset X$ найдется константа Липшица $L=L\left(K\right)>0$, такая, что при всех $\left(z_1,u,v\right), \left(z_2,u,v\right)\in K$ выполняется условие Липшица:

$\left|f\left(z_2,u,v\right)-f\left(z_1,u,v\right)\right|\le L\left(K\right)\left|z_2-z_1\right|$ (1.2)

2) Для любых компактов $K_1\subset K_2\subset X$ найдутся такие константы Липшица $L\left(K_1\right)$ и $L\left(K_2\right)$, что $L\left(K_1\right)\le L\left(K_2\right)$ (монотонность $L\left(K\right)$ по включению).

3) Для всех $\left(z,u,v\right)\in X$ выполняется неравенство (оценка) Филиппова:

$⟨z,f(z,u,v)⟩\le C(1+{\left|z\right|}^2);C=\mathrm{const}\ge 0$ (1.3)

Терминальное множество $M$ имеет вид:

$\begin{array}{c}M=\left\{m_1,m_2,m_3\mathrm{,...,}{m}_i\mathrm{,...}\right\}\\ m_i\in R^n,i\in N=\left\{\mathrm{1,2,3,...}\right\}\end{array}$ (1.4)

Параметры $u$ и $v$ в (1.1) выбираются двумя сторонами (игроками) в виде измеримых функций $u=u\left(t\right)\in P$, $v=v\left(t\in Q\right)$; $t\ge 0$, при этом каждый игрок решает свою задачу. Игрок, выбирающий $v=v\left(t\in Q\right)$ (уклоняющийся игрок), стремится при любом допустимом $u\left(t\in P\right)$ уклонить соответствующую выбранным управлениям траекторию $z\left(t\right)$ уравнения (1.1), $z\left(0\right)=z_0\notin M$ от терминального множества $M$ при всех $t\ge 0$. Такую задачу называют глобальной задачей уклонения (убегания) от $M$. Задача второго игрока (преследующего) заключается в приведении траектории в некоторый конечный момент времени на терминальное множество при любом допустимом поведении уклоняющейся стороны. Впервые глобальная задача уклонения (убегания) была изложена в работе Л.С. Понтрягиным и Е.Ф. Мищенко [1, стр. 335–338], при этом постановка задачи существенно отличалась от постановок дифференциальных игр в [2, 3].

Множества вида (1.4) имеют разреженную структуру. Задачи управления и конфликтного управления траекториями (1.1) относительно таких терминальных множеств возникают при исследовании различных колебательных процессов [3–13]. Действительно, при исследовании конфликтно управляемых колебательных систем важным является приведение траектории системы в одно из ее положений равновесия (задача преследования) или уклонение траектории от всех положений равновесия исследуемой системы (задача уклонения). В совокупности указанные положения равновесия образуют терминальное множество, которое для многих колебательных систем является дискретным (разреженным), и имеют вид (1.4), соответствующий пример приведен и исследован ниже.

В данной работе исследуется глобальная задача уклонения траекторий (1.1) от разреженного терминального множества (1.4). Предполагается, что уклоняющийся игрок при формировании управления уклонения $v\left(t\in Q\right)$ знает начальную позицию, терминальное множество, параметры (1.1) и значение управления $u\left(t\right)\in P$ в тот же момент времени, но не знает значения $u\left(s\right)\in P$ при $s>t$. Заметим, что выбранное управление преследователя $u\left(t\right)\in P$ и конструируемое управление уклоняющегося игрока $v\left(t\right)\in Q$ в паре должны порождать единственную траекторию системы (1.1), удовлетворяющую заданным начальным условиям. Такие пары управлений называются совместными. Все типы совместных пар управлений (стратегий) для позиционных дифференциальных игр рассмотрены в [17].

В настоящей статье решена глобальная задача уклонения, указано правило построения стратегии уклонения на основе локальных управлений маневров обхода точек терминального множества (Теорема 4.1) и приведен пример.

2. Основные определения и леммы

2.1. Свойства решений на компактах. Пусть $B\left(a,r\right)$ и $S\left(a,r\right)$ соответственно, замкнутый шар и сфера радиусов $r\ge 0$ c центрами в точке $a\in R^n, S=S\left(0_n,1\right), B=B\left(0_n,1\right)$, $0_n$ — начало $R^n$, $co\left\{X\right\}$ — выпуклая оболочка множества $X$, null — знак скалярного произведения, $In{t}_{R^n}A$ — внутренность множества $A$ относительно $R^n$, null, $a\in R^n$. Всюду ниже константами будут называться положительные числа, зависящие от исходных параметров процесса (1.1) $\left(P,Q,M,L=L\left(K\right),C и др.\right)$, но не зависящие от управлений и хода процесса уклонения.

Лемма 2.1. (о выборе компакта). Пусть в задаче уклонения (1.1) — (1.4) точка $m_i\in M$, $z\left(t\right)$ — некоторое допустимое решение (1.1), $z\left(0\right)=z_0\notin M$. Тогда для всех $t\in I=\left[0,1\right]$ выполняется:

1) $\max \left\{\left|z\left(t\right)\right|,\left|z\left(t\right)-m_i\right|,\left|z\left(t\right)-z_0\right|\right\}\le {\rho }_i\left(t\right),$ (2.1)

где ${\rho }_i\left(t\right)=2(1+\left|z_0-m_i\right|+\left|m_i\right|)e^{Ct}$

2) Решение $z\left(t\right)\in B(0_n,{\rho }_i(1\left)\right)$ и будет единственным на отрезке $I$.

Доказательство. Пусть $z\left(t\right)$ — любое допустимое решение (1.1), определенное при $t\in \left[\mathrm{0,}{t}_{*}\right)$, $t_{*}>0$. Тогда из (1.1) и (1.3) получаем:

$⟨z\left(t\right),\dot{z}\left(t\right)⟩=\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(1+{\left|z\left(t\right)\right|}^2)\le C(1+{\left|z\left(t\right)\right|}^2)$

Интегрирование последнего неравенства приводит к оценкам:

${\left|z\left(t\right)\right|}^2\le 1+{\left|z\left(t\right)\right|}^2\le (1+{\left|z_0\right|}^2)e^{2Ct}\le {(1+\left|z_0\right|)}^2{e}^{2Ct},$

из которых следует неравенство для $\left|z\left(t\right)\right|$ в (2.1):

$\left|z\left(t\right)\right|\le (1+\left|z_0\right|)e^{Ct}\le (1+\left|z_0-m_i\right|+\left|m_i\right|e^{Ct}$ (2.2)

Второе неравенство из (2.1) для оценки $\left|z\left(t\right)-m_i\right|$ легко следует из (2.2):

$\left|z\left(t\right)-m_i\right|\le \left|z\left(t\right)\right|+\left|m_i\right|\le 2(1+\left|z_0-m_i\right|+\left|m_i\right|)e^{Ct}\le {\rho }_i\left(t\right)$ (2.3)

Из (2.2) следует, что траектория $z\left(t\right)$ за конечное время не сможет “уйти в бесконечность”, поэтому она продолжаема вправо при всех $t\ge 0$, тем самым будет существовать и при всех $t\in I=\left[0,1\right]$.

Оставшееся неравенство из (2.1) доказывается аналогично.

Выберем в (1.2) компакт $K=B(0_n,{\rho }_i(1\left)\right)\times P\times Q$, и пусть $L\left(K\right)$ — соответствующая константа Липшица. Тогда (1.2) и (2.2) обеспечивают существование и единственность решения $z\left(t\right)$, $z\left(0\right)=z_0\notin M$ и условие $z\left(t\right)\in B\left(0_n,{\rho }_i\left(1\right)\right)$ при всех $t\in I=\left[0,1\right]$. Лемма доказана.

Лемма 2.2. Если в Лемме 2.1 дополнительно положить, что $\left|z_0-m_i\right|\le {\delta }_i,$ где константа ${\delta }_i\in (0,1]$, то найдутся константы $d_{1i}$ и $d_{2i}$, для которых при всех $t\in \left[0,1\right]$ справедливо неравенство

$\left|z\left(t\right)-m_i\right|\le d_{1i}{\delta }_i+d_{2i}t$ (2.4)

Доказательство. Пусть $z\left(t\right)$ — решение (1.1), удовлетворяющее начальным условиям $z\left(0\right)=z_0$ и определенное при $t\in I=\left[0,1\right]$. По лемме 2.1 $z\left(t\right)\in B(0_n,{\rho }_i)$, ${\rho }_i={\rho }_i\left(1\right)$. Пусть далее $K_i=B\left(0_n,{\rho }_i\right)\times P\times Q$, $L_i=L\left(K_i\right)$ — константа Липшица для $K_i$. Тогда из интегрального представления решения (1.1) равенства

$f\left(z\right(s),u(s),v(s\left)\right)=f\left(z\right(s),u(s),v(s\left)\right)-f(m_i,u(s),v(s\left)\right)+f(m_i,u(s),v(s\left)\right)$

и условия Липшица (1.2) имеем неравенство

$\left|z\left(t\right)-m_i\right|\le \left|z_0-m_i\right|+{\int }_0^t\left[L_i\left|z\left(s\right)-m_i\right|ds+{\beta }_i\right]ds,$ (2.5)

где ${\beta }_i=\underset{(u,v)\in P\times Q}{\max }\left|f(m_i,u,v)\right|$. Применение к (2.5) известного неравенства Гронуолла–Беллмана [13] приводит к неравенству

$\left|z\left(t\right)-m_i\right|\le e^{L_{i}t}\left|z_0-m_i\right|+\frac{{\beta }_i}{L_i}(e^{L_{i}t}-1);t\in I$,

отсюда можно видеть, что

$\left|z\left(t\right)-m_i\right|\le e^{L_i}\left|z_0-m_i\right|+{\beta }_i{e}^{L_i}t$ (2.6)

Положим ${\rho }_{i0}=2\left(2+\left|m_i\right|\right)e^C$ и $K_i^0=B\left(0_n,{\rho }_{i0}\right)\times P\times Q$. Поскольку ${\rho }_i<{\rho }_{i0}$ то $K_i\subset K_i^0$ поэтому по условию монотонности констант Липшица будет $L_i\le L_{i0}$ где $L_{i0}=L\left(K_i^0\right)$ является, очевидно, константой. С учетом этих замечаний, заменяя в (2.6) $L_i$ на $L_{i0}$ получим (2.4), в котором за константы можно принять $d_{1i}=e^{L_{i0}}$, $d_{2i}={\beta }_i{e}^{L_{i0}}$. Лемма доказана.

Замечание 2.1. Неравенства (2.3) и (2.4) дают различные верхние оценки для $\left|z\left(t\right)-m_i\right|$, что необходимо для использования в следующих целях: (2.3) позволяет траектории находиться внутри определенного компакта, а “более тонкое” неравенство (2.4) понадобится ниже при доказательстве локального маневра уклонения (обхода) траектории от точки $m_i$ внутри того же компакта. Кроме того, оценка (2.3) зависит от ${\rho }_i$ и $L_i$, не являющихся, вообще говоря, константами (они зависят от $z_0$), в то время как в (2.4) входят только константы.

2.2. Свойства наборов Каратеодори. Пусть $m_i\in M, i\in N$. Введем обозначения:

$g\left(m_i,u,v\right)=f\left(m_i,u,v\right)-f\left(m_i,{}^{0}p,{}^{0}q\right)$

$A_{1i}=\mathrm{co}\left\{\psi \in S:\underset{v\in Q}{\max }\underset{u\in P}{\min }⟨\psi ,g(m_i,u,v)⟩>0\right\}$ (2.7)

$A_{2i}=\mathrm{co}\left\{\psi \in S:\underset{u\in P}{\min }\underset{v\in Q}{\max }⟨\psi ,g(m_i,u,v)⟩>0\right\}$ (2.8)

Определение 2.1. [14, стр.6]. Набор векторов $\left\{{\Psi }_j\in R^n, j=1,2,...,n+1\right\}$ называется аффинно независимым, если линейно независимы векторы

${\psi }_2-{\psi }_1,{\psi }_3-{\psi }_1\mathrm{,...,}{\psi }_{n+1}-{\psi }_1$

Определение 2.2. Множество векторов $\left\{{\Psi }_j\in R^n, j=1,2,...,n+1\right\}$ называется набором Каратеодори (или $K$-набором), если эти векторы аффинно независимые и их выпуклая комбинация равна $0_n$. Множество всех наборов Каратеодори, составленных из векторов множеств $A_{li}$ ((2.7) — (2.8)) обозначим через $K_{li}$, $i\in N$, $l=1,2$.

Определение 2.3. Пусть $N_{1i}=\underset{K_{\alpha }\in K_{1i}}{\sup }\underset{1\le k\le n+1}{\min }\underset{v\in Q}{\max }\underset{u\in P}{\min }⟨{\psi }_k^{\alpha },g(m_i,u.v)⟩,$

$N_{2i}=\underset{K_{\beta }\in K_{2i}}{\sup }\underset{1\le k\le n+1}{\min }\underset{u\in P}{\min }\underset{v\in Q}{\max }⟨{\psi }_k^{\beta },g(m_i,u.v)⟩$,

где $K_{\alpha }=\left\{{\psi }_k^{\alpha },k=\mathrm{1,2,...,}n+1\right\}\in K_{1i}$, $K_{\beta }=\left\{{\psi }_k^{\beta },k=\mathrm{1,2,...,}n+1\right\}\in K_{2i}$.

Ясно, что если $K_{li}\ne \varnothing$, то числа $N_{li}>0$. Условия, при которых числа $N_{1i}$ и $N_{2i}$ положительны, даются в нижеследующей лемме.

Лемма 2.3. Пусть $0_n\in co{A}_{li} (l=1,2; i\in N)$. Тогда $\mathrm{dimco}{A}_{li}=n$, $K_{li}\ne \varnothing$, $0_n\in {\mathrm{Int}}_{R^n}\mathrm{co}{A}_{li}$.

Доказательство. Непрерывная функция null после операций минимума и максимума на компакте $P\times Q$ будет непрерывной по $\Psi \in S$, поэтому для каждого ${\Psi }_0\in A_{li}$ найдется число ${\epsilon }_0={\epsilon }_0\left({\Psi }_0\right)>0$, такое, что при каждом $\Psi \in S\left({\psi }_0,{\epsilon }_0\right)=B\left({\psi }_0,{\epsilon }_0\right)\cap S$ строгое неравенство в определении $A_{li}$ будет сохраняться, тем самым будет выполняться включение

$\psi \in S({\psi }_0,{\epsilon }_0)\subset A_{li}$ (2.9)

$S\left({\psi }_0,{\epsilon }_0\right)$ является окрестностью радиуса ${\epsilon }_0>0$ точки ${\psi }_0\in A_{li}$ на сфере $S$, тогда $coS\left({\psi }_0,{\epsilon }_0\right)$ представляет собой $n$-мерный “шаровой сегмент”, поэтому из (2.9) будет следовать включение

$\mathrm{co}S({\psi }_0,{\epsilon }_0)\subset \mathrm{co}{A}_{li}\subset R^n$, (2.10)

отсюда в силу $dim co \mathrm{co}S({\psi }_0,{\epsilon }_0)=n$ (размерность “шарового сегмента”) и (2.10) следует, что $dim co A_{li}=n$. Здесь под размерностью множества понимается размерность его несущего пространства.

Теперь легко показать, что $K_{li}\ne \varnothing$. Действительно, в силу $dim co A_{li}=n$, в $A_{li}$ можно выбрать систему из $n$ линейно независимых векторов. Добавление к этой системе любого вектора из $A_{li}$, не равного выбранным векторам, приведет к системе из $n+1$ векторов, которая, очевидно, образует $K$ — набор из $A_{li}$.

Докажем, что $0_n\in In{t}_{R^n}co A_{li}$. Пусть при выбранных $l=1,2; i\in N$ будет $0_n\in co A_{li}$. Тогда по теореме Каратеодори [14, 15] для некоторых

${\lambda }_k\ge \mathrm{0,}{\lambda }_1+{\lambda }_2+\mathrm{...}+{\lambda }_{n+1}=\mathrm{1,}{\phi }_k\in \mathrm{co}{A}_{li}$ (2.11)

будет справедливо представление

${\lambda }_1{\phi }_k+{\lambda }_2{\phi }_k+\mathrm{...}+{\lambda }_{n+1}{\phi }_k=0_n$ (2.12)

Далее, для каждого ${\phi }_k$ найдется такое число ${\omega }_k>0$ что в силу (2.9)

$\mathrm{co}S({\phi }_k,{\omega }_k)\subset \mathrm{co}{A}_{li};k=\mathrm{1,2,...,}n+1$ (2.13)

Очевидно, что в каждый “шаровой сегмент” $co S\left({\phi }_k,{\omega }_k\right)$ можно вписать шар радиуса ${\delta }_k={\omega }_k^2/4<1$, с центром, расположенным на векторе ${\phi }_k$. Пусть $\underset{1\le k\le n+1}{min}{\delta }_k=\delta$. Из простых геометрических соображений следует, что

$\begin{array}{l}(1-\delta ){\phi }_k+\delta B\subset (1-{\delta }_k){\phi }_k+{\delta }_{k}B\mathrm{,1}\le k\le n+1\\ B\left(\right(1-\delta ){\phi }_k,\delta )\subset B\left(\right(1-{\delta }_k){\phi }_k,{\delta }_k)\end{array}$ (2.14)

Из (2.13) и (2.14) имеем включения

$B\left(\right(1-{\delta }_k){\phi }_k,{\delta }_k)\subset \mathrm{co}S({\phi }_k,{\delta }_k)\subset \mathrm{co}S({\phi }_k,{\omega }_k)\subset \mathrm{co}{A}_{li}$ (2.15)

Далее, из (2.11)–(2.15) получаются соотношения

$\begin{array}{l}{0}_n+\delta B=\sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_k({\phi }_k+\delta B)=\sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_k\left[(1-\delta ){\phi }_k+\delta {\phi }_k+\delta B\right]=\\ =\sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_{k}B\left(\right(1-\delta ){\phi }_k,\delta )+\delta \sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_k{\phi }_k=\sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_{k}B\left(\right(1-\delta ){\phi }_k,\delta )\subset \\ \sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_{k}B\left(\right(1-{\delta }_k){\phi }_k,{\delta }_k)\subset \sum _{k=1}^{n+1}{\lambda }_k\mathrm{co}S({\phi }_k,{\omega }_k)\subset \mathrm{co}{A}_{li},\end{array}$

которые показывают, что $0_n\in In{t}_{R^n}co A_{li}$. Лемма доказана.

3. Теорема о локальном уклонении

Предположение 3.1 (о разреженности $M$). Существует число $r_0\ge 0$ такое, что множество $M\cap B\left(0_n,r\right)=\varnothing$ при $r\in [0;r_0)$, а при каждом $r\ge r_0$ состоит из конечного числа точек терминального множества $M$.

Предположение 3.2. $n=\dim R^n\ge 2$ и $0_n\in A_1\cup A_2$, где $A_1\left(A_2\right)$ является пересечением всех множеств $A_{li}\left(A_{2i}\right); i\in N$.

Теорема 3.1 (о локальном уклонении). Пусть для конфликтно управляемого процесса (1.1)–(1.4) выполняются Предположения 3.1, 3.2 и $m_i\in M$ — фиксированная точка. Тогда существуют такие константы ${\delta }_i, {\epsilon }_i, {\theta }_i, {\sigma }_i$, что для любой начальной позиции $z\left(0\right)=z_0\notin M$ с условием $\left|z_0-m_i\right|\le {\delta }_i$ и любого допустимого управления $u\left(t\right)\in P$ существует специально конструируемое измеримое управление $\tilde{v}\left(t\right)\in Q$, такое, что траектория $z\left(t\right)$ уравнения (1.1), $z\left(0\right)=z_0$, соответствующая управлениям $u\left(t\right)\in P$ и $\tilde{v}\left(t\right)\in Q$, удовлетворяет при всех $t\in (0;{\theta }_i]$ неравенствам:

1. $z\left(t\right)\in B(0_n,{\rho }_i)$, ${\rho }_i=2(1+\left|z_0-m_i\right|+\left|m_i\right|)e^C$ (3.1)
2. $\frac{{\epsilon }_i}{2}\ge \left|z\left(t\right)-m_i\right|\ge \frac{1}{3}{N}_{2i}t>0$ (3.2)
3. $\left|z\left({\theta }_i\right)-m_i\right|>{\sigma }_i$ (3.3)

Далее, неравенства (3.1)–(3.3) обеспечивают уклонение траектории $z\left(t\right)$ от терминального множества $M$ на “малом” отрезке времени $\left[0;{\theta }_i\right]$.

Доказательство. Пусть $K_i=B\left(0_n, {\rho }_i\right)\times P\times Q$ и $L$ — константа Липшица для $K_i$. В силу выбора ${\rho }_i$ и Леммы 2.1, точки $z_0$ и $m_i$ находятся внутри шара $B\left(0_n,{\rho }_i\right)$. Будем считать, что в Предположении 3.2 $0_n\in A_2$ (случай $0_n\in A_1$ рассматривается аналогично). Тогда по Лемме 2.3 $K_{2i}\ne \varnothing$ и $N_{2i}>0$, поэтому найдется набор $K_{i0}=\left\{{\psi }_{ij}^0,j=\mathrm{1,2,...,}n+1\right\}\notin K_{2i}$, для которого

$\underset{1\le j\le n+1}{\min }\underset{u\in P}{\min }\underset{v\in Q}{\max }⟨{\psi }_{ij}^0,g(m_i,u,v)⟩\ge \frac{2}{3}{N}_{2i}>0$ (3.4)

Для выбранной точки $m_i\in M$ зафиксируем $K$-набор $K_{i0}\in K_{2i}$ и выберем в этом наборе вектор ${\psi }_{ik}^0\in K_{i0}$, для которого при всех $t\in \left[0,1\right]$ имеет место неравенство:

$⟨{\psi }_{ik}^0,z_0-m_i+tf\left(m_i{\mathrm{,0}}_p{\mathrm{,0}}_q\right)⟩\ge 0$ (3.5)

Такой вектор ${\psi }_{ik}^0\in K_{i0}$ существует, потому что $K_{i0}$ является набором Каратеодори и $n\ge 2$ (Предположение 3.2). Далее, для вектора ${\psi }_{ik}^0$ и управления $u\left(t\right)\in P$, согласно Лемме Филиппова об измеримом выборе для дифференциальных игр [15], найдется такая измеримая функция $\tilde{v}\left(t\right)\in Q$, что справедливо неравенство

$⟨{\psi }_{ik}^0,g(m_i,u(t),\tilde{v}(t)⟩\ge \frac{2}{3}{N}_{2i}>0;t\in \left[\mathrm{0,1}\right]$ (3.6)

Управление $\tilde{v}\left(t\right)\in Q$ называется специальным управлением уклонения от точки $m_i\in M$ при $t\in \left[0,1\right]$, а процесс применения $\tilde{v}\left(t\right)\in Q$ — локальным маневром уклонения (обхода) [1]. Рассмотрим решение $z\left(t\right)$, $z\left(0\right)=z_0\notin M$, соответствующее выбранному преследователем допустимому управлению $u\left(t\right)\in P$ и специальному управлению уклонения $\tilde{v}\left(t\right)\in Q$. По лемме 2.1 для построенных $K_i$ и $L_i=L\left(K_i\right)$ траектория $z\left(t\right)$ будет находиться в шаре $B\left(0_n,{\rho }_i\right)$ при всех $t\in \left[0,1\right]$.

Из интегрального представления решения уравнения (1.1), равенства

$\begin{array}{c}f(z,u,v)=f(z,u,v)-f(m_i,u,v)+\\ +f(m_i,u,v)-f\left(m_i{\mathrm{,0}}_p{\mathrm{,0}}_q\right)+f\left(m_i{\mathrm{,0}}_p{\mathrm{,0}}_q\right)\end{array}$

условия Липшица (1.2) и неравенств (3.4)–(3.6) вытекает, что

$⟨{\psi }_{ik}^0,z\left(t\right)-m_i⟩\ge \frac{2}{3}{N}_{2i}t-{\int }_0^t{L}_i\left|z\left(s\right)-m_i\right|ds$ (3.7)

Для интеграла в (3.7), согласно неравенству (2.4) Леммы 2.2, имеем оценку:

${\int }_0^t{L}_i\left|z\left(s\right)-m_i\right|ds\le L_i(d_{1i}{\delta }_{i}t+\frac{1}{2}{d}_{2i}{t}^2)$ (3.8)

Введем следующие константы:

${\gamma }_i=\underset{j\ne i}{\min }\left|m_i-m_j\right|>0$, ${\epsilon }_i=\min \left\{1;\frac{1}{2}{\gamma }_i\right\}$, ${\theta }_i=\min \left\{1;\frac{N_{2i}}{6{\beta }_i{e}^{2L_{i0}}};\frac{{\epsilon }_i}{2{\beta }_i{e}^{L_{i0}}}\right\}$ (3.9)

${\delta }_i=\min \left\{1;\frac{N_{2i}}{6{\beta }_i{e}^{L_{i0}}};\frac{{\epsilon }_i}{2e^{L_{i0}}}\right\}$, ${\sigma }_i=\min \left\{1;\frac{1}{8}{N}_{2i}{\theta }_i;\frac{{\epsilon }_i}{4}\right\}$ (3.10)

В (3.9) константы ${\gamma }_i$ существуют в силу Предположения 1 о разреженности $M$, константа $L_{i0}$ введена в Лемме 2.2 (формула (2.4)).

Далее, непосредственное применение к неравенствам (3.7) и (3.8) результатов Леммы 2.2 с выбранными константами (3.9)–(3.10) приводит к выполнению при всех $t\in \left[0,{\theta }_i\right]$ следующих неравенств:

$\left|z\left(t\right)-m_i\right|\le d_{1i}{\delta }_i+d_{2i}{\theta }_i\le \frac{{\epsilon }_i}{2}$ (3.11)

$\begin{array}{c}⟨{\psi }_{ik}^0,z\left(t\right)-m_i⟩\ge \frac{2}{3}{N}_{2i}t-\\ -L_i(d_{1i}{\delta }_{i}t+\frac{1}{2}{d}_{2i}{t}^2)\ge \frac{1}{3}{N}_{2i}t\end{array}$

$\left|z\left(t\right)-m_i\right|\ge ⟨{\psi }_{ik}^0,z\left(t\right)-m_i⟩\ge \frac{1}{3}{N}_{2i}t$; $t\in \left[\mathrm{0,}{\theta }_i\right]$ (3.12)

Объединяя (3.11) и (3.12), получаем доказательство аналогов неравенств (3.2) и (3.3):

$0<\frac{1}{3}{N}_{2i}t\le \left|z\left(t\right)-m_i\right|\le \frac{{\epsilon }_i}{2}$; $t\in \left[\mathrm{0,}{\theta }_i\right]$ (3.13)

$\left|z\left({\theta }_i\right)-m_i\right|\ge \frac{1}{4}{N}_{2i}{\theta }_i>\frac{1}{8}{N}_{2i}{\theta }_i\ge {\sigma }_i>0$ (3.14)

Неравенства (3.13) и (3.14) показывают, что при $t\in \left[\mathrm{0,}{\theta }_i\right]$ траектория $z\left(t\right)$ не будет совпадать с точкой $m_i$, оставаясь в ${\epsilon }_i/2$-окрестности точки $m_i$, а в момент ${\theta }_i$ траектория покидает ${\sigma }_i$-окрестность точки $m_i$, но остается по-прежнему в ее ${\epsilon }_i/2$ — окрестности, значит, не будет находиться в ${\epsilon }_i/4$-окрестностях остальных точек $M$ и не попадает на все $M$, тем самым уклоняясь от него при всех $t\in \left[0,{\theta }_i\right]$. Таким образом, специальное управление уклонения $\tilde{v}\left(t\right)\in Q$ обеспечивает локальное уклонение траектории (1.1) от $M$ “на малом” положительном отрезке времени $\left[0,{\theta }_i\right]$ при этом, за время локального уклонения от точки $m_i\in M$ траектория $z\left(t\right)$ не покидает шар $B\left(0_n,{\rho }_i\right)$.Теорема доказана.

Замечание 3.1. Специальное управление уклонения формируется на основе (3.4)–(3.6) в виде измеримой функции $\tilde{v}\left(t\right)\in Q$, $t\in \left[0,{\theta }_i\right]$, которая в каждый момент времени $t\in \left[0,{\theta }_i\right]$ зависит еще от начальной позиции $z_0$ точки $m_i\in M$ и значения управления $u\left(t\right)\in P$.

Замечание 3.2. В дальнейшем при $t>{\theta }_i$ уклоняющемуся игроку предлагается полагать $v\left(t\right)=0_q\in Q$ до тех пор, пока при некотором $j=1,2,...$, в некоторый первый момент $t_j>{\theta }_i$ будет выполняться неравенство

$\left|z\left(t_j\right)-m_j\right|={\sigma }_j$

Тогда значения $t_j$ и $z\left(t_j\right)$ выбираются за новые начальные данные, и уклоняющийся игрок совершает при $t\ge t_j$ маневр уклонения от точки $m_j$, при этом локальное управление обхода точки $m_j$ строится в соответствии с (3.4)–(3.6). Здесь возможен случай, когда $j=i$, что соответствует повторному маневру обхода точки $m_i\in M$.

4. Глобальное уклонение (основной результат)

Теорема 4.1 (о глобальном уклонении). Пусть для конфликтно управляемого процесса (1.1) с разреженным терминальным множеством (1.4) выполняются Предположения 3.1 и 3.2. Тогда из любой начальной позиции $z_0\notin M$, при всех $t\ge 0$ возможно уклонение от $M$ траектории $z\left(t\right), z\left(0\right)=z_0$, уравнения (1.1). Доказательство будет следовать идеям [1, 4, 12] и заключаться в применении Теоремы 3.1 о локальном уклонении к возможности глобального уклонения траектории при всех $t\ge 0$.

Выберем константу $r_1>0$ такой, что $M_1=B\left(0_n,r_1\right)\cap M\ne \varnothing$ (Предположение 3.1) и пусть

$M_1=\left\{\begin{array}{c}{m}_{11},m_{12}\mathrm{,......,}{m}_{1q_1}\\ m_{1j}\in M,j=\mathrm{1,2,...,}{q}_1<\infty \end{array}\right\}$ (4.1)

Дополнительно выберем $r_1>0$ так, чтобы для точек $z_0$ и $m_{1j}\in M_1$ выполнялись условия Леммы 2.1 о выборе компакта, для этого достаточно взять

$r_1=2\underset{1\le j\le q_1}{\max }(\left|z_0-m_{1j}\right|+1+\left|m_{1j}\right|)e^C$ (4.2)

В силу (4.2) и Леммы 2.1 все точки $z_0$ и $m_{1j}$ находятся в шаре $B\left(0_n,r_1\right)$. Для каждой точки $m_{1j}\in M_1\subset M$ можно определить в соответствии с Теоремой 3.1 набор констант ${\delta }_{1j},{\epsilon }_{1j},{\theta }_{1j},{\sigma }_{1j}$, которые обеспечивают локальный маневр уклонения от каждой точки $m_{1j}\in M_1$; $j=1,2,...q_1$.

Введем для каждого $j=1,2,...,q_1$ следующие множества:

$D_{1j}=\left\{z\in B(0_n,r_1):\left|z-m_{1j}\right|\le {\sigma }_{1j}\right\}$, $F_{1j}=D_{1j}\backslash \partial D_{1j}$, (4.3)

где $\partial$ — символ границы множества. Заметим, что в силу выбора констант ${\sigma }_{1j}$ (3.9)–(3.10) множества $D_{1j}$ попарно не пересекаются при $j\ne k$. Из открытых множеств $F_{1j}$ выделим те, для которых

$In{t}_{R^n}\left\{F_{1j}\cap (R^n\backslash B(0_n,r_1\left)\right)\right\}\ne \varnothing$ (4.4)

Пусть это будут множества $F_{1j}$ при $j=p_1+1,...,q_1,p_1\le q_1$, при этом, увеличивая, если нужно $r_1$, можно добиться выполнения включений

$D_{1j}\subset B(0_n,r_1),$ при $j=1,2,...,p_1,p_1\le q_1$ (4.5)

Введем следующие множества: $F_1$ — объединение $F_{1j}$ при $j=p_1+1,...q_1$; $D_1$ есть объединение $D_{1j}$ при $j=1,2,...,p_1; B_1=B\left(0_n,r_1\right)\backslash F_1$. В силу открытости множеств $F_{1j}$ $B_1$ будет компактным и содержать точки $m_{11}, m_{12},...,m_{1p_1}$ из $M$ (остальные точки исключены из $B_1$ по построению). По существу $B_1$ представляет собой шар $B(0_n,r_1)$ с удаленными из него открытыми шарами $F_{1j}$ радиусов ${\sigma }_{1j}$ с центрами в точках $m_{1j}, j=p_1+1,...,q_1, p_1\le q_1$, , имеющими непустые пересечения с границей множества $B(0_n,r_1)$.

Организуем первый цикл процесса уклонения, которое будет происходить в множестве $B_1$. Пусть $z\left(t\right)$ — некоторая допустимая траектория конфликтно управляемой системы (1.1) с начальным условием $z\left(0\right)=z_0\in B_1\backslash M_1$.

Для поведения $z\left(t\right)$ в $B_1$ возможны следующие два случая:

$E_1)$ Траектория $z\left(t\right)$ начинается и находится внутри $B_1$, не выходя на границу $\partial B_1$ при всех $t\ge 0$. При этом во время пребывания в $B_1$ и формирования $z\left(t\right)$ уклоняющийся игрок может совершить конечное или бесконечное число маневров обхода точек из $M_1$. Напомним, что в периоды между маневрами уклоняющийся игрок может применять любое допустимое управление, например, равное нулевому вектору;

$E_2)$ Траектория $z\left(t\right)$ начинается внутри $B_1$, и в некоторый первый конечный момент времени $t_1>0$ выходит на границу $B_1$. При этом до выхода на границу уклоняющийся игрок может совершить конечное число маневров обхода точек из $M_1$.

Рассмотрим случай $E_1)$. Здесь каждый маневр обхода (если он имеет место) уклоняет траекторию от некоторой точки из $M_1$, значит, и от всего $M$ (Теорема 3.1). Конечное число маневров не приводит траекторию $z\left(t\right)$ на М , а пребывание в множестве $B_1$ при всех $t\ge 0$ указывает на то, что $z\left(t\right)\in M$ при всех $t\ge 0$, то есть из точки $z_0$ возможно уклонение. Если же уклоняющийся игрок, находясь в $B_1$, совершает бесконечное число маневров обхода от точек конечного множества $M_1$, то найдется точка $M_1$, относительно которой происходит бесконечное число маневров обхода с фиксированным временем обхода. Тогда общее время обхода будет бесконечным, значит, в рассматриваемом случае из начальной точки возможно уклонение от $M$ при всех $t\ge 0$.

Рассмотрим случай $E_2)$ Прежде всего заметим, что уклоняющийся игрок в этом случае может совершить лишь конечное число маневров обхода, поскольку бесконечное число маневров обхода потребует бесконечного времени (см. $E_1$), и тогда конечного времени выхода на границу $\partial B_1$ не будет. Таким образом, уклоняющийся игрок после конечного числа маневров обхода выходит на границу $\partial B_1$ в некоторый момент времени $t_1>0$, т.е. $z\left(t_1\right)\in \partial B_1$.

На этом первый цикл уклонения во множестве $B_1\subset B\left(0_n,r_1\right)$ завершается и начинается организация второго цикла уклонения. В этом случае принимаем за новые начальные данные $t_1=0$, $z\left(t_1\right)=z\left(0\right)=z_0$. Заметим, что новое начальное значение $z\left(t_1\right)\in M$, поскольку граница $\partial B_1$ по построению множества $B_1$ не содержит точек из $M$. Далее, все построения производятся аналогично первому циклу. Сначала определяется шар $B\left(0_n,r_2\right)$, такой, что $M_{2}B\left(0_n,r_2\right)\cap M\ne \varnothing$ и

$M_2=\left\{\begin{array}{c}{m}_{21},m_{22}\mathrm{,......,}{m}_{2q_2}\\ m_{2j}\in M,j=\mathrm{1,2,...,}{q}_2<\infty \end{array}\right\},$

для этого можно положить $r_2=\underset{1\le j\le q_2}{2max}\left(\left|z_0-m_{2j}\right|+1+\left|m_{2j}\right|\right)e^C+r_1+2$.

Для $M_2$ повторяем все рассуждения, аналогичные (4.1)–(4.5), и строим множество $B_2$ (аналог $B_1$), для которого рассматривают два случая типа $E_1$ и $E_2$. Очевидно, что по построению $B_1\subset B_2$. Продолжая индуктивно этот процесс, получаем для случаев типа $E_2$ (случаи типа $E_1$ легко анализируются) последовательность вложенных множеств

$B_1\subset B_2\subset \mathrm{...}\subset B_n\subset B_{n+1}\subset \mathrm{...}$ (4.6)

с радиусами $r_{n+1}\ge r_n+2,n\in N$. Процесс уклонения траектории $z\left(t\right), z\left(0\right)=z_0\notin M$, на $n$-м цикле состоит в уклонении $z\left(t\right)$ внутри множества $B_n$ и выходом ее в случае $E_2$ на границу $\partial B_n$ в первый момент времени $t_n>0$, который принимается за начало следующего цикла. Заметим, что в (4.6) цепочка включений может оказаться конечной, т.е. на некотором конечном цикле выхода на границу множества не происходит, и процесс бесконечного уклонения разрешается случаем $E_1)$. Покажем, что в случае бесконечной цепочки включений (4.6), когда каждый цикл завершается выходом траектории на границу множества (случай $E_2)$), траектория $z\left(t\right),z_0\notin M$, не попадет на $M$ при всех $t\ge 0$. Время перехода из $z_0\notin M$ на границу $\partial B_n$ за $n$ циклов уклонения будет равно $T_n=t_1+t_2+...+t_n$, где все слагаемые положительны. Ясно, что по построению траектория $z\left(t\right)\notin M$ при всех $t\in \left[0,T_n\right]$.

Покажем, что $T_n\to +\infty$ при $n\to +\infty$. Допустим противное: $T_n\to T<+\infty$. Тогда траектория $z\left(t\right)$ не выйдет из шара $B\left(0_n,R_0\right)$, где $R_0=\underset{0\le t\le T}{max}z\left(t\right)<+\infty$, что противоречит тому, что радиусы $r_n$ шаров $B_n$ неограниченно возрастают. Поскольку $T_n\to +\infty$, при $n\to +\infty$, то убегание из точки $z_0\notin M$ возможно при всех $t\ge 0$. Теорема доказана.

5. Пример. Задача о раскачке обобщенного математического маятника. Уравнения движения конфликтно управляемой системы (обобщенного математического маятника) имеют вид (ср. [3, 4]):

$\begin{array}{l}{\dot{z}}_1=z_2\\ {\dot{z}}_2=-a\sin (z_1+\mu z_1^2)+u+v,\end{array}$ (5.1)

где $z=(z_1,z_2)\in R^2$; $a>0$, $\left|u\right|\le \alpha$, $\left|v\right|\le \beta$; $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\mu \ge 0$.

Терминальное множество $M$ есть объединение положений равновесия (5.1), имеющих вид $m_k=\left(z_1^k;0\right)$, где $z_1^k$ — неотрицательные корни уравнения $z_1+\mu z_1^2=\pi k$; $k=0,1,2,...$. Нетрудно показать, что для корней этого уравнения справедлива оценка

$\begin{array}{c}\frac{2\pi }{\sqrt{1+8\pi (k+1)}}\le \left|z_1^{k+1}-z_1^k\right|\le \\ \le \frac{2\pi }{\sqrt{1+8\pi k}};k=\mathrm{0,1,2,...,}\end{array}$ (5.2)

из которой легко следует, что $M$ имеет предельную точку на бесконечности.

Рассмотрим для (5.1) задачу уклонения (раскачки маятника) от $M$ [3, 4]. Проверим выполнимость Предположений 3.1 и 3.2 теоремы 4.1 об уклонении. Предположение 3.1 (о дискретности) выполнено в силу (5.2). Далее, для (5.1) в условиях (1.2) и (1.3) можно положить (ср. [3, 4]) $C=(1+a+\alpha +\beta )$, $L\left(K\right)=L\left(B\right(0_2,r\left)\right)=(1+a+2\mu ar+\alpha +\beta )$, отсюда видна их выполнимость. Предположение 3.2 выполнено, если $\beta >\alpha$. Поэтому по Теореме 4.1 задача о раскачке обобщенного математического маятника (5.1) разрешима.

Замечание 5.1. Для (5.1) при $\mu >0$ не выполняются условия разрешимости задачи о раскачке маятника из работ [3, 4], в которых требуется строгая дискретность терминального множества (отсутствие предельных точек). При $\mu =0$ условия разрешимости данной работы и [3, 4] совпадают.

Замечание 5.2. Выбор аргумента синуса в (5.1) связан с возможными неточностями при его измерении либо с неопределенностью в точном определении самих значений синуса (см. например [16]).

Заключение. Для глобальной задачи уклонения траекторий от разреженных множеств получены эффективные достаточные условия уклонения, указаны способы построения управления уклонения и приведен пример (обобщенный математический маятник). Основные результаты статьи изложены в [12].

Автор выражает глубокую благодарность Академику РАН Ф.Л. Черноусько за поддержку и советы, способствовавшие улучшению полученных результатов.

作者简介

L. Yugay

编辑信件的主要联系方式.
Email: yugailp@mail.ru
乌兹别克斯坦, Chirchik

参考

补充文件