Колебания упругих тел с мелкими тяжелыми включениями (Концентрированными массами)

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Построена асимптотика частот и мод собственных колебаний составного анизотропного тела с группой мелких включений, масса каждого из которых превосходит или сравнима по порядку с массой окружающего материала. Если часть поверхности тела жестко защемлена, то моды собственных колебаний в главном локализуются около включений, а старшие члены асимптотик собственных частот описываются спектром задач о включениях единичных плотности и размера в невесомом пространстве. В случае поверхности тела, свободной от внешних воздействий, возникает взаимодействие удаленных мелких тяжелых включений: предельной задачей служит совокупность систем уравнений для включений в пространстве, объединенных в единую спектральную задачу интегральными членами при спектральном параметре. Строение интегро-дифференциальных уравнений зависит как от показателя концентрации масс, так и от взаимного расположение включений. Обоснование полученных асимптотических разложений проведено в наиболее сложном случае сверхтяжелых концентрированных масс при расположении центров нескольких включений на одной прямой – остальные ситуации обрабатываются по той же схеме.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

С. А. Назаров

Институт проблем машиноведения РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: srgnazarov108@gmail.com
Санкт-Петербург, Россия

Список литературы

  1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. M.: Наука, 1977.
  2. Bertram A. Elasticity and Plasticity of Large Deformations. Berlin: Springer, 2005.
  3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
  4. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974.
  5. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
  6. Гомес Д., Назаров С.А., Перес М.Е. Формальная асимптотика собственных частот колебаний упругого трехмерного тела с концентрированными массами // Зап. научн. Сем. Петербург. отделения матем. института РАН. 2007. Т. 342. С. 31–76.
  7. Sanchez-Palencia É. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of systems withconcentrated masses // in: Trends in Appl. of Pure Math. to Mech. (Palaiseau, 1983). Lecture Notes in Phys. Vol. 195. Berlin: Springer, 1984. P. 346–368.
  8. Sanchez-Palencia É, Tchatat H. Vibration de systemes elastiques avec masses concentrees // in: Rendiconti del Seminario matematico della Universita e politecnico di Torino. 1984. V. 42. № 3. P. 43–63. (Palaiseau, 1983). Lecture Notes in Phys. Vol. 195. Berlin: Springer, 1984. P. 346–368.
  9. Oleinik O.A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singularly perturbed operators // in: Non Classical Continuum Mechanics. 1987. Lecture Notes ser. Vol. 22. Cambridge: Univ. Press, P. 188–205.
  10. Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: изд-во МГУ, 1990. 312 с.
  11. Олейник О.А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами // в сб.: Совр. Пробл. Прикл. Матем. и Матем. Физ. М.: Наука, М., 1988. С. 101–128.
  12. Головатый Ю.Д., Назаров С.А., Олейник О.А. Асимптотическое разложение собственных значений и собственных функций задач о колебаниях среды с концентрированными возмущениями // Тр. матем. Ин-та АН СССP. 1990. Т. 192. С. 42–60.
  13. Lobo M., Pérez E. Asymptotic behavior of the vibrations of a body having many concentrated masses near the boundary // C.R. Acad. Sci. Paris. Séerie II. 1992. V. 314. P. 13–18.
  14. Lobo M., Pérez E. Vibrations of a membrane with many concentrated masses near the boundary // Math. Models&Methods in Appl. Sci. 1995. V. 5. № 5. P. 565–585.
  15. Gómez D., Lobo M., Pérez E. On the eigenfunctions associated with the high frequencies in systems with a concentrated mass // J. Math. Pures Appl. 1999. V. 78. P. 841–865.
  16. Rybalko V. Vibration of elastic systems with a large number of tiny heavy inclusions // Asympt. Anal. 2002. V. 32. № 1. P. 27–62.
  17. Chechkin G.A., Pèrez M.E., Yablokova E.I. Non-periodic boundary homogenization and “light” concentrated masses // Indiana Univ. Math. J. 2005. V. 54. № 2. P. 321–348.
  18. Чечкин Г.А. Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций эллиптического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе “легких” концентрированных масс. Двумерный случай // Изв. РАН. Cер. матем. 2005. Т. 69. № 4. С. 161–204.
  19. Назаров С.А. Асимптотика собственных чисел задачи Неймана при концентрации масс на тонком тороидальном множестве // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 2006. Вып. 3 (№ 15). С. 61–71.
  20. Космодемьянский Д.А., Шамаев А.С. Спектральные свойства некоторых задач механики сильно неоднородных сред. // СМФН. 2006. Т. 17. С. 88–109.
  21. Chechkin G.A., Cioranescu D., Damlamian A., Piatnitski A.L. On boundary value problem with singular inhomogeneity concentrated on the boundary // J. de Mathématiques Pures et Appliquées. 2012. V. 98. № 2. P. 115–138.
  22. Nazarov S.A., Perez M.E. On multi-scale asymptotic structure of eigenfunctions in a boundary value problem with concentrated masses near the boundary // Revista Matemática Complutense. 2018. V. 31. № 1. P. 1–62.
  23. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia É. Vibration and Coupling of Continuous System. Asymptotic Methods. Berlin, Heidelberg: Springer, 1989. 421 p.
  24. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the eigenvalues of a membrane with a concentrated mass // Quart. Appl. Math. 1989. V. 47. № 1. P. 93–103.
  25. Oleinik O.A., Sanchez-Hubert J., Yosifian G.A. On vibrations of a membrane with concentrated masses // Bull. Sci. Math. 1991. V. 115. № 1. P. 1–27.
  26. Назаров С.А. “Дальнодействие” концентрированных масс в двумерных задачах Неймана и Дирихле // Изв. РАН. Серия матем. 2023. Т. 87. № 1. С. 85–118.
  27. Назаров С.А. Об одной задаче Санчес-Паленсия с краевыми условиями Неймана // Изв. вузов. Матем. 1989. № 11. С. 60–66.
  28. Nazarov S.A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1993. V. 27. № 6. P. 777–799.
  29. Gomez J., Pérez E., Vilasánchez M. Asymptotics for the eigenelements of the Neumann spectral problem with concentrated masses // Indiana Univ. Math. J. 2007. V. 56. № 4. P. 1939–1987.
  30. Назаров С.А. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин истержней // УМН. 2008. Т. 63. № 1. С. 37–110.
  31. Назаров С.А. Модели упругого сочленения пластины со стержнями, основанные на точечных условиях Соболева и самосопряженных расширениях дифференциальных операторов // Диф. ур-я. 2021. Т. 57. № 5. С. 700–716.
  32. Mazja W.G., Nasarow S.A., Plamenewski B.A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten. 1 & 2 Berlin: Akademie, 1991.
  33. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна // УМН. 1988. Т. 43. № 5. С. 55–98.
  34. Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: 1980.
  35. Hardy G.H. Note on a theorem of Hilbert // Mathematische Zeitschrift. 1920. V. 6. P. 314–317.
  36. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Московск. матем. об-ва. 1963. Т. 16. С. 219–292.
  37. Nazarov S.A., Plamenevsky B.A. Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1994.
  38. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Rossmann J. Elliptic Boundary Value Problems in Domains with Point Singularities. Providence: Amer. Math. Soc., 1997.
  39. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: изд-во Ленингр.ун-та, 1980.
  40. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М., 1979.
  41. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.
  42. Мазья В.Г., Пламеневский Б.А. Оценки в Lp и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда–Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1977. Bd. 77. S. 25–82.
  43. Назаров С.А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // УМН. 1999. Т. 54. № 5. С. 77–142.
  44. Назаров С.А. Самосопряженные эллиптические краевые задачи. Полиномиальное свойство и формально положительные операторы // Проблемы матем. анализа. Вып. 16. 1997. С. 167–192.
  45. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН. 1957. Т. 12. № 5. С. 3–122.
  46. Ван Дайк М.Д. Методы возмущений в механике жидкостей. М.: Мир, 1967. 310 с.
  47. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.
  48. Назаров С.А. Искусственные краевые условия для поиска поверхностных волн в задаче дифракции на периодической границе // ЖВММФ. 2006. Т. 46. № 12. С. 2265–2276.
  49. Козлов В.A., Мазья В.Г. Спектральные свойства операторных пучков, порожденных эллиптическими краевыми задачами в конусе // Функц. анализ и его прил. 1988. Т. 22. № 2. С. 38–46.
  50. Kozlov V.A., Maz’ya V.G., Movchan A.B. Asymptotic Analysis of Fields in Multi-Structures. Oxford Math. Monogr. Oxford: Clarendon, 1999.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2025

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».