Преобразование Гильберта и свойства солнечных циклов в переменных “огибающая−мгновенная частота”

Полный текст

1. ВВЕДЕНИЕ

Интерес к индексам солнечной активности традиционно высок и мотивация этого, подробно изложенная в обзоре [Иванов-Холодный и Чертопруд, 1990], актуальна и сейчас. Цюрихский ряд среднемесячных чисел Вольфа W (или WSN – Wolf sunspot number) является наиболее представительным и широко используется в различных приложениях. Он включает достоверный ряд Wtool, опирающийся на регулярные инструментальные наблюдения начатые Р. Вольфом с 1849 г. [Friedli, 2016] и восстановленный ряд Wrest (с 1749 г. по 1849 г.). Многие исследователи опираются на весь ряд среднемесячных чисел Вольфа W (W = Wrest U Wtool), что мало аргументировано. Достаточно полный обзор этих вопросов представлен в монографии [Витинский и др., 1986].

Данная работа опирается на старую версию ряда W, что связано со следующими соображениями. При переходе к новой версии циклы 1÷21 сохранили длительности цикла и ветви роста (https://www.sidc.be/silso/datafiles). У групп циклов 1÷9 и 11÷17 отношение максимумов циклов обеих версий постоянно (обзор отношения показаний новой и старой версий ряда показан на рис. 1). Фактически свойства 16 циклов, включая всю восстановленную часть ряда, сохранены и перенесены в новую версию. Начиная с 18 цикла трансформация имеет более сложный амплитудный характер (особенно циклы 22÷24). Возникают вопросы о согласованности различных фрагментов, т.к. к “дефектам” старой версии добавятся “дефекты” перехода к новой. Наблюдения по новым правилам ведутся восемь лет (нет даже полного цикла) и наработки по старой версии вполне могут быть актуальными.

Рис. 1. Обзор отношения показаний новой и старой версий ряда WSN, ось ОХ — дата.

Ряд чисел Вольфа – это последовательность апериодических всплесков. Чтобы выделить циклы и определить их стандартные (табличные) параметры опираются на ряд W*, который получают из ряда ежемесячных чисел Вольфа W скользящим усреднением по 13 месяцам (W => W*). Усредненный ряд W*, исходя из простых правил, разбивают на временные интервалы (циклы), которым сопоставляют длительность Tc, максимальное значение числа Вольфа Wm на этом интервале и момент времени достижения этого максимума Tm – длительность ветви роста (Tm < Tc). В рассматриваемой, старой версии ряда, мы имеем 23 полных цикла: циклы 1÷9 соответствуют восстановленной, а циклы 10÷23 достоверной частям ряда W. В работе [Shibaev and Ishkov, 2012] проведено сравнение статистических свойств достоверных и восстановленных циклов и отмечено их отличие.

Другой подход описания ряда W, через анализ его спектральных компонент, использован в работах [Ишков и Шибаев, 2006; Шибаев, 2008], где отмечены более существенные различия в поведении восстановленной и достоверной частей ряда. Для анализа выделенных спектральных компонент применялось преобразованию Гильберта [Бендат и Пирсол, 1989], традиционно используемое в радиотехнике [Гоноровский,1986]. Преобразование позволяет анализ узкополосного сигнала (Δf/f₀ << 1, где f₀ – характерная частота сигнала, а Δf – его спектральная ширина) свести к анализу медленно меняющихся, с характерным временем ~1/Δf, функций, задавая правила выделения огибающей и фазы узкополосного сигнала, и по их гладкости оценивать характер процесса. Применяя преобразование к узкополосному сигналу, мы переходим к медленно меняющимся функциям – огибающей (амплитуде) и “мгновенной” частоте этого сигнала.

Целью данной работы является показ соответствия описания циклов в переменных “огибающая–мгновенная частота” их традиционному представлению (Wm, Tc, Tm) и демонстрация возможностей такого подхода.

2. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДА ЧИСЕЛ ВОЛЬФА

В работе [Шибаев, 2008], исходя из характера спектра, ряд W был разбит на пять спектральных интервалов со следующими временными периодами в годах: Р1 [24 < T], Р2 [6.8 < T < 24], Р3 [4.26 < T < 6.8], Р4 [1.66 < T < 4.26], Р5 [T < 1.66]. Напомним роль этих компонент. Сумма длиннопериодной составляющей Р1(W) и основной гармоники Р2(W) (окрестность основной гармоники f*, Т* = 1/f* ~ 130 месяц) отражает основные временные и амплитудные характеристики циклов. Ряд Р3(W) корректирует ветви роста и спада. Составляющая Р4(W) трансформирует гладкий рельеф циклов за счет квазидвухлеток – появляются локальные максимумы, возможно смещение основного максимума, т.е. циклы приобретают более индивидуальный вид. Высокочастотный остаток Р5(W) включает годовую и 155-d гармоники. Далее мы акцентируем внимание на достоверных данных, т.е. характеристиках ряда Wtool. Его спектр и основные компоненты разложения с их свойствами представлены на рис. 2.

Рис. 2. (a) – спектр ряда Wtool, ось ОХ в обратных месяцах; (б) – обзор компонент Р1÷Р3, ось ОХ - дата; (в) – средние значения циклов () и средние значения Р1(Wtool) (+) на соответствующих этим циклам интервалам, ось ОХ — номер цикла; (г) – сопоставление рядов W*, P13 и обзор сконструированного ряда A13, ось ОХ — дата.

Амплитудный спектр ряда с маркированными базовыми спектральными интервалами демонстрирует рис. 2а (ось Х в обратных месяцах – 1/мес.). Обзор временной динамики компонент Р1÷Р3, легко дифференцируемых по характеру их поведения, показан на рис. 2б, где видны сопоставимый вклад длиннопериодной составляющей Р1 с основной гармоникой Р2 и корректирующая роль второй гармоники Р3. На нижней части рисунка слева (рис. 2в) сопоставлены средние значения циклов (отмечены ) и средние значения Р1(Wtool) на интервале, соответствующем этому циклу (маркированы +). Для группы циклов 10÷23 коэффициент корреляции указанных характеристик равен 0.98. Совпадение показаний позволяет трактовать длиннопериодную компоненту ряда, как геометрическое место (или огибающую) средних значений циклов. На рис. 2г сопоставлены сумма компонент Р1÷Р3 (Р13=Р1+Р2+Р3) и ряд W* (ряд W у средненный по 13 месяцам), видна их близость (у рис. 2г и рис. 2б общая временная ось Х). Можно заключить, что поведение солнечных циклов хорошо описывается в этом приближении и разумно сопоставить характеристики циклов и свойства ряда Р13(Wtool).

3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ “ОГИБАЮЩАЯ–МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА” ДЛЯ ОСНОВНОЙ И ВТОРОЙ ГАРМОНИК

Вычисляя для выборки Tc достоверных циклов среднее значение Тср и квадратный корень из центрального момента второго порядка ΔT получим: Тср = 131 месяц, ΔT=10 месяцев. Наличие слабо размытого периода (ΔT/Тср <<1) и послужило основанием применения преобразования Гильберта.

Часто узкополосный сигнал представляют в виде x(t) = A(t)·cos(Ө(t)), а используя преобразование Гильберта снимают неоднозначность в выборе связи между амплитудой A(t) и фазой Ө(t). Если y(t) – преобразование Гильберта функции x(t), то переходим к представлению “огибающая A(t) — мгновенная частота F(t)” через простые соотношения:

$\begin{array}{c}A\left(t\right)={\left[x\left(t\right)²+y\left(t\right)²\right]}^{\mathrm{½}},\Theta \left(t\right)=\\ =\text{arctg}\left[y\left(t\right)/x\left(t\right)\right], F\left(t\right)=\left(1/2\pi \right)d\Theta \left(t\right)/dt\end{array}$ (1)

и представлению сигнала в форме:

$\text{x}\left(t\right)=\text{A}\left(t\right)\cos \left(2\pi \underset{0}{\overset{t}{\int }}\text{F}\left(\tau \right)d\tau +\psi \left(0\right)\right)$, (2)

где значение начальной фазы ψ(0) зависит от выбора (положения) начала временной оси.

Применяя процедуры (1) к рядам Р2(Wtool) и Р3(Wtool), мы переходим к соответствующим медленно меняющимся огибающим (амплитудам) A[Р2], A[Р3] и “мгновенным” частотам в обратных месяцах F[Р2], F[Р3], обзор которых представлен на рис. 3. (слева- результаты для Р2(Wtool), справа – для Р3(Wtool), ось Х – дата).

Проведем некоторые сопоставления и оценки. Найденные огибающие A[Р2] и A[Р3] для компонент Р2 и Р3, представленные на верхней части рис. 3, хорошо отслеживают их поведение. Далее, от основной частоты f* и её окрестности, а также 2·f* и её окрестности, мы переходим к мгновенным частотам F[P2] и F[P3], как функциям времени. Эти зависимости и их средние значения представлены на средней части рисунка. Обратная величина среднего значения мгновенной частоты F[P2] равна 133 месяцам (для F[P3] – 66.5 мес.), что соответствует среднему значению Тср – выборки Tc достоверных циклов и периоду основной гармоники Т* = 1/f*. Видно, что четыре явных минимума F[P2], отмеченные серой заливкой, легли на самые длинные циклы 11, 13, 20 и 23, также выделяются группы коротких циклов 15–19 и 21–22 с Tc < 133 мес. (средний рисунок – слева). Подобные связи, отражающие длительность циклов, проявляются и для F[P3], но с более четкой индикацией перехода к коротким циклам – левая окрестность 1920 г. (средний рисунок — справа).

Соответствие реального сигнала его упрощенному представлению (2) служит критерием успешности применения преобразования Гильберта. Для сопоставления рядов Р2(Wtool) / Р3(Wtool) с их узкополосными образами (2), удобно представить F(t) = F° + dF(t), где F° характерная частота процесса. Для циклов 10÷23 за t=0 берем начало десятого цикла с естественным выбором F° = f* (т.е. 1/130 мес^-1.) для образа Р2(Wtool) и F° = 2·f* для образа Р3(Wtool) и получаем следующее представление образов:

$\begin{array}{l}A\left[\text{P}2\left(t\right)\right]\cdot \cos \left(2\cdot \pi \cdot \stackrel{\pm }{f\cdot t}+2\cdot \pi \cdot \underset{0}{\overset{t}{\int }}d\text{F}2\left(\tau \right)d\tau +\psi \left(0\right)\right),\\ A\left[\text{P}3\left(t\right)\right]\cdot \cos \left(4\cdot \pi \cdot \stackrel{\pm }{f\cdot t}+2\cdot \pi \cdot \underset{0}{\overset{t}{\int }}d\text{F}3\left(\tau \right)d\tau +\psi \left(0\right)\right),\end{array}$ (3)

где dF2(t)=F[P2(t)] ‒f*, dF3(t)=F[P3(t)] ‒2f*, а из условий Р2(t=0) = A[Р2(t=0)]·cos(ψ(0)) и Р3(t=0) = = A[Р3(t=0)]·cos(ψ(0)) находим ψ(0) с соответствующими значениями 3.456 и 2.663. На нижней части рис. 3 представлена разность между рядами Р2(Wtool) / Р3(Wtool) и их образами (3), видно хорошее соответствие.

Рис. 3. Представление “огибающая–мгновенная частота” компонент Р2 (левая сторона) и Р3 ряда Wtool. На нижней панели рисунка представлена разность между рядами Р2(Wtool) / Р3(Wtool) и их узкополосными образами. По оси ОХ — дата.

Суммируя всё вышесказанное можно сказать, что представление “огибающая A(t) — мгновенная частота F(t)” ряда Wtool адекватно отражает свойства достоверных циклов.

Теперь оценим соответствие (или степень согласованности) данных восстановленной и достоверной частей ряда W. История и методы формирования ряда Wrest ставят вопрос о надежности этих данных, так как при объединении отрывочных данных [Hathaway, 2015] с различными плотностью наблюдений, амплитудным разрешением и масштабированием исказятся, естественно, локальные характеристики регистрируемого процесса и взаимосвязь временных фрагментов разного масштаба. Для оценки качества данных ряда Wrest достаточно для всего ряда W рассмотреть в представлении “огибающая–мгновенная частота” его основную Р2(W) и вторую Р3(W) гармоники. Поведение “мгновенных” частот F[P2(W)] и F[P3(W)], после вычитания их средних, с 1749 года демонстрирует рис. 4, где нижней маркировкой выделена область достоверных данных. Явно проявляются искажения в области восстановленных данных и их степень возрастает с удалением в прошлое.

Рис. 4. Обзор “мгновенных” частот компонент Р2 (слева) и Р3 всего ряда W, ось ОХ — дата.

Характеристики временной области примыкающей к 1849 году, т.е. область циклов 8 и 9 (верхняя маркировка) наименее искажена. Видим очень неровную временную динамику основных компонент восстановленного ряда, что вполне соответствует его “истории формирования”, отмеченной выше.

Некоторое представление о “качестве” циклов 8 и 9 получим оценивая корреляционную связь между Tm и Wm (правило Вальдмайера) для двух вариантов выборок циклов: (1÷9) & (10÷23); (1÷7) & (8÷23). Для малых выборок, без нормального распределения исследуемых величин, более эффективным считается критерий Ширахатэ [Shirahate, 1981]. В первом случае признается отрицательная корреляция между Tm и Wm, с доверительной вероятностью α=0.95, для обеих групп циклов. Во втором случае для циклов 1÷7 эта связь фактически теряется, а для циклов 8÷23 сохраняется, но ослабевает. Т. е. циклы 8, 9 улучшают качество циклов ряда Wrest и ухудшают для циклов ряда Wtool.

Отметим, что попытка сбалансировать временные характеристики циклов ряда Wrest за счет “потерянного” цикла предпринята в работе [Usoskin et al., 2003]. Также критическое отношение к восстановленному ряду выражает ряд авторов симпозиума 1978 г. – “Солнечно-земные связи, погода и климат” [Solar-Terrestrial Influences …, 1979].

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе сопоставлены два подхода к представлению и анализу ряда ежемесячных чисел Вольфа:

– через характеристики спектральных компонент и их временную динамику;

– через параметры фрагментов, на которые разбивают ряд, т.е. циклы.

Опираясь на ряд ежемесячных чисел Вольфа без “квазидвухлеток” мы, через преобразование Гильберта, переходим к представлению “огибающая A(t) — мгновенная частота F(t)” для основной и второй гармоник ряда. Теперь пять компонент – A[Р2], F[P2], A[Р3], F[P3] и Р1 – определяют основные свойства ряда W. Выше, для различных комбинаций этих компонент, было показано хорошее соответствие их свойств амплитудным и временным характеристикам циклов. Дополним это сопоставление следующей конструкцией: А13 = Р1(Wtool) + А[Р2(Wtool)] + А[Р3(Wtool)], которая на рис. 2г наложена на ряды Р1 и W*. Можно сказать, что данная комбинация позволила сконструировать “огибающую” максимумы достоверных циклов. Ряд А13, описывающий как амплитудные, так и временные свойства максимумов циклов, может быть полезен при реконструкции или прогнозировании солнечной активности.

В завершении сформулируем кратко основные результаты работы:

– показано соответствие средних значений циклов и средних значений соответствующих им интервалов ряда Р1(Wtool);

– временная динамика компонент Р2(Wtool) и Р3(Wtool) хорошо отслеживается огибающими A[Р2] и A[Р3];

– характер поведения “мгновенных” частот F[P2(Wtool)] и F[P3(Wtool)] отражает временные свойства циклов;

– отмечено хорошее соответствие рядов Р2(Wtool) / Р3(Wtool) их узкополосному представлению;

– подчеркнуты существенные отличия (рассогласованность) в поведении спектральных компонент восстановленной и достоверной частей ряда W;

– можно говорить, при определенных оговорках, о включении циклов 8 и 9 в статистику достоверных циклов;

– конструирование “огибающей” максимумы циклов – это пример, демонстрирующий возможности данного подхода.

Более ранние попытки применения преобразования Гильберта к солнечным данным отражены в [Витинский и др., 1986].

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор благодарит Ишкова В.Н. за внимание к работе.

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Данная работа финансировалась за счет средств бюджета института. Никаких дополнительных грантов на проведение или руководство данным исследованием получено не было.

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Об авторах

И. Г. Шибаев

Автор, ответственный за переписку.
Email: ishib@izmiran.ru
Россия, Москва, Троицк

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Обзор отношения показаний новой и старой версий ряда WSN, ось ОХ — дата.

Скачать (20KB)

Метаданные

3. Рис. 2. (a) – спектр ряда Wtool, ось ОХ в обратных месяцах; (б) – обзор компонент Р1÷Р3, ось ОХ - дата; (в) – средние значения циклов () и средние значения Р1(Wtool) (+) на соответствующих этим циклам интервалам, ось ОХ — номер цикла; (г) – сопоставление рядов W*, P13 и обзор сконструированного ряда A13, ось ОХ — дата.

Скачать (49KB)

Метаданные

4. Рис. 3. Представление “огибающая–мгновенная частота” компонент Р2 (левая сторона) и Р3 ряда Wtool. На нижней панели рисунка представлена разность между рядами Р2(Wtool) / Р3(Wtool) и их узкополосными образами. По оси ОХ — дата.

Скачать (51KB)

Метаданные

5. Рис. 4. Обзор “мгновенных” частот компонент Р2 (слева) и Р3 всего ряда W, ось ОХ — дата.

Скачать (25KB)

Метаданные