Определение коэффициентов разложения нелинейной характеристики в степенной ряд

Полный текст

ВВЕДЕНИЕ

Измерение вольтамперных характеристик нелинейных элементов в реальном масштабе времени востребована в самых различных прикладных областях [1–4]. Современные средства измерений позволяют выполнять измерения напряжений и токов с погрешностью, не превышающей 2^-12 и мегагерцовыми частотами измерений. При этом в большом числе приложений интерес представляют не сами измеряемые напряжения (токи) устройств, а их вольтамперные характеристики (ВАХ). Также важным требованием является необходимость воспроизведение ВАХ устройств и изменений ВАХ в реальном масштабе времени. Именно такие алгоритмы позволяют создавать системы оперативного реагирования на регламентные или аварийные изменения режимов работы разнообразных технических устройств и систем.

Большинство электротехнических устройств обладают нелинейными ВАХ. Используемые в промышленности реальные устройства имеют сложные ВАХ, что затрудняет их описание с достаточной точностью при помощи простых аналитических выражений. Для ряда приложений важным также является определение ВАХ элемента “здесь и сейчас”, так как определенная заранее ВАХ может неверно отражать реальные свойства нелинейного элемента (НЭ), например, из-за деградации его характеристик ввиду старения.

Рассмотрим НЭ с управляемой напряжением ВАХ. Зависимость тока i от напряжения u таких устройств может быть представлена в виде [5]

$i=g\left(u\right),$ (1)

где g(u) однозначно определенная непрерывная функция. Если НЭ с ВАХ (1) рассматривать как, например, нагрузку в электрической цепи переменного тока, то нелинейность ВАХ приведет к возникновению высших гармоник в токах в общем случае всех ветвей цепи. Это может негативно влиять на работу устройств, составляющих цепь, вызывая их дополнительный нагрев, внося помехи и изменяя штатный режим функционирования вплоть до перехода цепи в нерабочее состояние. Поэтому весьма важным для практики является возможность выполнять измерение ВАХ в реальном времени.

Для анализа процессов в нелинейных цепях удобно задать ВАХ НЭ в аналитическом виде, используя ту или иную аппроксимирующую функцию, которая, являясь желательно достаточно простой, могла бы тем не менее воспроизводить особенности реальной характеристики с достаточной точностью. В электротехнике с этой целью наиболее часто используют кусочно-линейную и полиноминальную аппроксимации, а также их симбиоз – сплайн-аппроксимацию. Сопоставлению достоинств и недостатков этих аппроксимаций посвящено значительное число работ [6] и не обсуждается здесь. В рамках настоящей статьи мы рассмотрим только полиномиальную аппроксимацию. Авторами настоящей статьи ранее был предложен метод измерения характеристик нелинейных элементов электрической цепи [7–9]. Материал настоящей статьи является продолжением этих разработок и совершенствованием предложенного метода.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Полиномиальная аппроксимация g(u) имеет вид, точность которой определяется количеством членов разложения.

$g\left(u\right)=a_0+a_{1}u+a_2{u}^2+\mathrm{...}+a_K{u}^K,$ (2)

где $a_{ò}ò=\overline{\mathrm{0,}K}$ – коэффициенты полинома, а K – его порядок, определяющий во многом точность аппроксимации. Для аппроксимации функции g(u) полиномом K-й степени, необходимо определить коэффициенты $a_{ò}ò=\overline{\mathrm{0,}K}$ [10–12]. Поэтому цель работы – выработать эффективный метод определения коэффициентов по измерениям напряжения и тока нелинейного элемента в реальном времени.

ПРЕДЛАГАЕМЫЙ МЕТОД

Рассмотрим далее метод определения коэффициентов $a_{ò}ò=\overline{\mathrm{0,}K}$. Пусть на входе НЭ действует синусоидальное напряжение:

$u\left(t\right)=U_1\cos (2\pi ft+\phi )=U_1\left(\frac{1}{2}{e}^{j(2\pi ft+\phi )}+\frac{1}{2}{e}^{-j(2\pi ft+\phi )}\right),$ (3)

где U₁, f и φ – соответственно амплитуда, частота и фаза напряжения. Тогда зависимость тока от времени будет иметь вид

$i\left(t\right)=g\left(u\left(t\right)\right)=\sum _{k=0}^K{I}_k\cos (k2\pi ft+\phi ).$ (4)

При нахождении I_k раскладываем ток через комплексные экспоненты и берем от них удвоенную действительную часть

$I_k\cos \left(\alpha \right)=\frac{I_k}{2}{e}^{j\alpha }+\frac{I_k}{2}{e}^{-j\alpha }=2\mathrm{Re}\left(\frac{I_k}{2}{e}^{j\alpha }\right).$ (5)

При вычислении $g\left(u\left(t\right)\right)$ по (2) поступаем аналогично (5). Тогда для степеней косинусов с использованием биноминальных коэффициентов $C_n^k=\frac{n!}{k!(n+k)!}$ [13, 14] имеем для, например, K = 7:

$\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}{e}^{j\alpha }+\frac{1}{2}{e}^{-j\alpha }\right)}^7=\sum _{k=0}^7{C}_7^k{\left(\frac{1}{2}{e}^{j\alpha }\right)}^{7-k}{\left(\frac{1}{2}{e}^{-j\alpha }\right)}^k=\\ =\frac{\cos \left(7\alpha \right)+7\cos \left(5\alpha \right)+21\cos \left(3\alpha \right)+35\cos \left(\alpha \right)}{64}.\end{array}$ (6)

Таким образом, для полинома, например, 7-го порядка выражение (4) примет вид

$\begin{array}{c}i\left(t\right)=g\left(u\left(t\right)\right)=a_0+a_1{U}_1\cos \left(\alpha \right)+\frac{a_2{U}_1^2}{2}+\frac{a_2{U}_1^2\cos \left(2\alpha \right)}{2}+\frac{3a_3{U}_1^3\cos \left(\alpha \right)}{4}+\frac{a_3{U}_1^3\cos \left(3\alpha \right)}{4}+\\ +\frac{3a_4{U}_1^4}{8}+\frac{a_4{U}_1^4\cos \left(2\alpha \right)}{2}+\frac{a_4{U}_1^4\cos \left(4\alpha \right)}{8}+\frac{5a_5{U}_1^5\cos \left(\alpha \right)}{8}+\frac{5a_5{U}_1^5\cos \left(3\alpha \right)}{16}+\frac{a_5{U}_1^5\cos \left(5\alpha \right)}{16}+\\ +\frac{5a_6{U}_1^6}{16}+\frac{15a_6{U}_1^6\cos \left(2\alpha \right)}{32}+\frac{3a_6{U}_1^6\cos \left(4\alpha \right)}{16}+\frac{a_6{U}_1^6\cos \left(6\alpha \right)}{32}+\\ +\frac{35a_7{U}_1^7\cos \left(\alpha \right)}{64}+\frac{21a_7{U}_1^7\cos \left(3\alpha \right)}{64}+\frac{7a_7{U}_1^7\cos \left(5\alpha \right)}{64}+\frac{a_7{U}_1^7\cos \left(7\alpha \right)}{64}.\end{array}$

$\begin{array}{c}i\left(t\right)=g\left(u\left(t\right)\right)=a_0+a_1{U}_1\cos \left(\alpha \right)+\frac{a_2{U}_1^2}{2}+\frac{a_2{U}_1^2\cos \left(2\alpha \right)}{2}+\frac{3a_3{U}_1^3\cos \left(\alpha \right)}{4}+\frac{a_3{U}_1^3\cos \left(3\alpha \right)}{4}+\\ +\frac{3a_4{U}_1^4}{8}+\frac{a_4{U}_1^4\cos \left(2\alpha \right)}{2}+\frac{a_4{U}_1^4\cos \left(4\alpha \right)}{8}+\frac{5a_5{U}_1^5\cos \left(\alpha \right)}{8}+\frac{5a_5{U}_1^5\cos \left(3\alpha \right)}{16}+\frac{a_5{U}_1^5\cos \left(5\alpha \right)}{16}+\\ +\frac{5a_6{U}_1^6}{16}+\frac{15a_6{U}_1^6\cos \left(2\alpha \right)}{32}+\frac{3a_6{U}_1^6\cos \left(4\alpha \right)}{16}+\frac{a_6{U}_1^6\cos \left(6\alpha \right)}{32}+\\ +\frac{35a_7{U}_1^7\cos \left(\alpha \right)}{64}+\frac{21a_7{U}_1^7\cos \left(3\alpha \right)}{64}+\frac{7a_7{U}_1^7\cos \left(5\alpha \right)}{64}+\frac{a_7{U}_1^7\cos \left(7\alpha \right)}{64}.\end{array}$

Теперь можем записать выражения для гармоник тока полинома 7-го порядка:

$I_0=a_0+\frac{1}{2}{a}_2{U}_1^2+\frac{3}{8}{a}_4{U}_1^4+\frac{5}{16}{a}_6{U}_1^6,$

$I_1=a_1{U}_1^{}+\frac{3}{4}{a}_3{U}_1^3+\frac{5}{8}{a}_5{U}_1^5+\frac{35}{64}{a}_7{U}_1^7,$

$I_2=\frac{1}{2}{a}_2{U}_1^2+\frac{1}{2}{a}_4{U}_1^4+\frac{15}{32}{a}_6{U}_1^6,$

$I_3=\frac{1}{4}{a}_3{U}_1^3+\frac{5}{16}{a}_5{U}_1^5+\frac{21}{64}{a}_7{U}_1^7,$

$I_4=\frac{1}{8}{a}_4{U}_1^4+\frac{3}{16}{a}_6{U}_1^6,$

$I_5=\frac{1}{16}{a}_5{U}_1^5+\frac{7}{64}{a}_7{U}_1^7,$

$I_6=\frac{1}{32}{a}_6{U}_1^6,$

$I_7=\frac{1}{64}{a}_7{U}_1^7.$

В результате, используя данный математический аппарат, определяем выражения для определения гармоник тока через коэффициенты разложения и амплитудное значение входного напряжения [17, 16] для полинома любого порядка

$\left\{\begin{array}{c}{I}_0=a_0+\frac{1}{2}{U}_1^2{a}_2+\frac{3}{8}{U}_1^4{a}_4+\mathrm{...}+\frac{63}{256}{U}_1^{10}{a}_{10}+\frac{231}{1024}{U}_1^{12}{a}_{12}+\mathrm{...,}\\ I_1=U_1^{}{a}_1+\frac{3}{4}{U}_1^3{a}_3+\mathrm{...}+\frac{63}{128}{U}_1^9{a}_9+\frac{231}{512}{U}_1^{11}{a}_{11}+\mathrm{...,}\\ I_2=\frac{1}{2}{U}_1^2{a}_2+\frac{1}{2}{U}_1^4{a}_4+\mathrm{...}+\frac{105}{256}{U}_1^{10}{a}_{10}+\frac{99}{256}{U}_1^{12}{a}_{12}+\mathrm{...,}\\ ⋮\\ I_9=\frac{1}{256}{U}_1^9{a}_9+\frac{11}{1024}{U}_1^{11}{a}_{11}+\mathrm{...}+\frac{595}{16384}{U}_1^{17}{a}_{17}+\frac{2907}{65536}{U}_1^{19}{a}_{19}+\mathrm{...,}\\ I_{10}=\frac{1}{512}{U}_1^{10}{a}_{10}+\frac{3}{512}{U}_1^{12}{a}_{12}+\mathrm{...}+\frac{765}{32768}{U}_1^{18}{a}_{18}+\frac{969}{32768}{U}_1^{20}{a}_{20}+\mathrm{...,}\\ ⋮\end{array}\right.$ (7)

Коэффициенты для восьми гармоник тока сведены в табл. 1.

 

Таблица 1. Результаты расчета коэффициентов для восьми гармоник тока, разложенных через степенной ряд в одиннадцатой степени нелинейной вольт-амперной характеристики

U10a0

U11a1

U12a2

U13a3

U14a4

U15a5

U16a6

U17a7

U18a8

U19a9

U110a10

U111a11

I0

1

1/2

3/8

5/16

35/128

63/256

I1

1

3/4

5/8

35/64

63/128

231/512

I2

1/2

1/2

15/32

7/16

105/256

I3

1/4

5/16

21/64

21/64

165/512

I4

1/8

3/16

7/32

15/64

I5

1/16

7/64

9/64

165/1024

I6

1/32

1/16

45/512

I7

1/64

9/256

55/1024

I8

1/128

5/256

 

Полученные выражения для гармоник тока I_k можно записать для любого порядка полинома. Постоянная составляющая тока будет находиться по формуле

$I_0=\sum _{i=0}^K\frac{a_i{U}_1^i}{2^i}\frac{i!}{{\left(\left(\frac{i}{2}\right)!\right)}^2}.$ (8)

При расчете данного выражения используются только четные коэффициенты.

Ненулевые гармоники рассчитываются по формуле

$I_n=\sum _{i=0}^K\frac{a_i{U}_1^i}{2^{i-1}}\frac{i!}{\left(\frac{i+n}{4}\right)!\left(\frac{i-n}{4}\right)!},$ (9)

где n – номер гармоники.

Стоит отметить, что для вычисления нечетных гармоник используются только нечетные коэффициенты и наоборот.

Таким образом, получены выражения для гармоник тока I_k через коэффициенты $a_{ò}ò=\overline{\mathrm{0,}K}$ нелинейной характеристики g(u). Решив полученную систему уравнений (7), определим искомые коэффициенты $a_{ò}ò=\overline{\mathrm{0,}K}$.

Решение системы уравнений (7) также может быть найдено аналитически для произвольного K [16–18]. Формулы для коэффициентов $a_{ò}ò=\overline{\mathrm{0,}K}$ через значения гармоник тока I_k будут иметь следующий вид

$a_0=I_0+\sum _{i=1}^{K-1}{I}_{2i}^{}{(-1)}^i,$

$a_n=\frac{2^{n-1}}{U_1^n}\left(I_n+\sum _{i=1}^{K-1}\frac{I_{n+2i}{(-1)}^i(n+2i)(i+n-1)!}{i!n!}\right),$

где n – номер коэффициента. Для, например, К = 10 искомые коэффициенты будут иметь вид

$a_0=I_0-I_2+I_4-I_6+\mathrm{...}-I_{14}+I_{16}-I_{18},$

$a_1=\frac{I_1-3I_3+5I_5-7I_7+\mathrm{...}-15I_{15}+17I_{17}}{U_1^{}},$

$a_2=\frac{2(I_2-4I_4+9I_6-16I_8+\mathrm{...}-64I_{16}+81I_{18})}{U_1^2},$

$a_9=\frac{256(I_9-11I_{11}+65I_{13}-275I_{15}+935I_{17})}{U_1^9},$

$a_{10}=\frac{512(I_{10}-12I_{12}+77I_{14}-352I_{16}+1287I_{18})}{U_1^{10}}.$

Предложенный алгоритм позволяет определить значение коэффициентов разложения нелинейной характеристики в степенной ряд любого порядка через амплитудные значения гармоник тока I_k и поданного напряжения U₁.

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА

В качестве экспериментального подтверждения правильности данного алгоритма рассмотрим нелинейную зависимость, заданную полиномом пятой степени

$i=0.01+0.01u+0.02u^2+0.03u^3+0.04u^4+0.05u^5.$

В результате моделирования в пакете MATLAB были получены амплитудные значения гармоник тока (табл. 2).

 

Таблица 2. Амплитудные значения гармоник тока нелинейной характеристики, заданной полиномом пятой степени

Номер гармоники тока	0	1	2	3	4	5
Амплитудное значение гармоники тока, А	0.0350	0.0638	0.0300	0.0231	0.0050	0.0031

 

Используя данные значения гармоник тока, находим значения коэффициентов разложения в степенной ряд:

$a_0=0.035-0.03+0.005=\mathrm{0.01,}$ $a_1=\frac{2^0}{1_{}^1}\left(0.0638-3\cdot 0.0231+5\cdot 0.0031\right)=\mathrm{0.01,}$

$a_2=\frac{2^1}{1_{}^2}\left(0.03-4\cdot 0.005\right)=\mathrm{0.02,}$ $a_3=\frac{2^2}{1_{}^3}\left(0.0231-5\cdot 0.0031\right)=\mathrm{0.03,}$

$a_4=\frac{2^3}{1_{}^4}\left(0.005\right)=\mathrm{0.04,}$ $a_5=\frac{2^4}{1_{}^5}\left(0.0031\right)=\mathrm{0.05.}$

Далее определим амплитудные значения гармоник тока и коэффициенты разложения в степенной ряд при подаче случайной ошибки. Результаты сведем в табл. 3 и 4.

 

Таблица 3. Амплитудные значения гармоник тока нелинейной характеристики, заданной полиномом пятой степени при подаче случайной ошибки

Номер гармоники тока	0	1	2	3	4	5
Амплитудное значение гармоники тока при величине ошибки 10-3, А	0.0350	0.0637	0.0300	0.0231	0.0050	0.0032
Амплитудное значение гармоники тока при величине ошибки 10-2, А	0.0351	0.0638	0.0302	0.0231	0.0052	0.0033

 

Таблица 4. Значения коэффициентов разложения в степенной ряд при подаче случайной ошибки

Номер коэффициента	0	1	2	3	4	5
Значение коэффициента при величине ошибки 0	0.0100	0.0100	0.0200	0.0300	0.0400	0.0500
Значение коэффициента при величине ошибки 10-3	0.0100	0.0104	0.0200	0.0284	0.0400	0.0512
Значение коэффициента при величине ошибки 10-2	0.0101	0.0110	0.0188	0.0264	0.0416	0.0528

 

Абсолютные отклонения полученных коэффициентов при заданных величинах случайной ошибки приведены в табл. 5.

 

Таблица 5. Абсолютные отклонения полученных коэффициентов при подаче случайной ошибки

Номер коэффициента	0	1	2	3	4	5
Δ при величине ошибки 10–3	0.0000	0.0004	0.0000	0.0016	0.0000	0.0012
Δ при величине ошибки 10–2	0.0001	0.0010	0.0012	0.0036	0.0016	0.0028

 

Как видно из полученных результатов, значения найденных коэффициентов равны коэффициентам заданного полинома, что может свидетельствовать о правильности полученного алгоритма.

ДИСКУССИЯ

Как известно, спектральный анализ включает изучение характеристик источника воздействия и функционирующей аппаратуры [18, 19]. Но со временем и под воздействием дестабилизирующих факторов характеристики подаваемого сигнала могут изменяться. В результате таких воздействий сигнал на выходе аппаратуры может быть изменен. В спектре появятся более высокие гармоники, которые приводят к искажениям, что отражается на безопасности и уязвимости таких систем. Основной задачей в данном случае становится определение гармонических составляющих воздействия на аппаратуру различного назначения. Поэтому анализ воздействия сигналов различного рода на нелинейные устройства будет являться предметом дальнейших научных исследований.

Спектральный анализ дает максимально качественную оценку воздействия дестабилизирующих факторов на объекты энергетических и телекоммуникационных устройств в любой момент эксплуатации. Последствия таких воздействий, как правило, приводят к сбоям в работе управляющих систем. Эти влияния оказывают воздействия на работу как аналогового, так и цифрового оборудования, что в настоящее время актуально при разработке и эксплуатации систем гражданского и специального назначения.

В результате проделанной работы можно утверждать, что полученные математические выражения $a_{ò}ò=\overline{\mathrm{0,}K}$ справедливы при исследовании любых ВАХ и значительно упрощают обработку и сокращают время проведения таких измерений НЭ. Предметом дальнейшей работы может стать исследование полученного алгоритма на практическую применимость при измерении реальных нелинейных устройств в реальных условиях, т.е. при разных уровнях шумов.

ВЫВОДЫ

В данной статье предложен вариант измерения нелинейной ВАХ, основанный на определении коэффициентов разложения степенного ряда, полученного при полиномиальной аппроксимации. Также выполнено исследование предлагаемого метода, по результатам которого можно утверждать, что он имеет достаточно высокую точность. В завершении составлен план дальнейших исследований в рассматриваемом направлении.

Метод полезен при проектировании и эксплуатации систем гражданского и специального назначения, так как его использование позволяет повысить информационную защищенность систем различного назначения.

Об авторах

Н. В. Коровкин

ФГАОУ ВО Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Email: fedotoff-dm@yandex.ru
Россия, Санкт-Петербург

С. С. Грицутенко

“НПО ТЕХНО-АС”

Email: fedotoff-dm@yandex.ru
Россия, Коломна

Д. А. Федотов

ФГБОУ ВО Омский государственный университет путей сообщения

Автор, ответственный за переписку.
Email: fedotoff-dm@yandex.ru
Россия, Омск

Список литературы

Дополнительные файлы